[벡터의 연산]

B10 | 벡터의 뜻과 기본연산

합력 : "[eqn: 3rmN]"+"[eqn: 4 rm N]"

탐구

벡터 : 크기와 방향을 가진 양 ( [eqn: lrarrow] 스칼라)

개념1

① 화살표를 이용하여 나타내며, 길이로 크기를 나타낸다.

② 점 [eqn: rmA]에서 점 [eqn: rmB]로 향하는 벡터를 [eqn: rm vecAB]로 나타내고

이때, 점 [eqn: rmA]를 시점, 점 [eqn: rmB]를 종점이라 한다.

벡터를 문자로 나타낼 때, [eqn: veca]와 같이 나타낸다.

③ 벡터 [eqn: veca]의 크기를 [eqn: |veca`|]로 나타낸다.

④ [eqn: vec0] : 크기가 [eqn: 0]인 벡터 (방향은 임의)

⑤ 시점이 달라도 크기와 방향이 같으면 같은 벡터이다.

※ 두 점 [eqn: {rmA(0,```2)], [eqn: rmB(4,```5)]에 대하여 [eqn: |vec{rmAB }| =5]

벡터의 기본연산

개념2

① 실수배 : [eqn: -veca],    [eqn: k veca]

② 합차 : [eqn: veca +vecb],    [eqn: veca -vecb]

※ [eqn: | k veca | = |k | times|veca |]

※ [eqn: rm vec{AB} `+ vec{BC} `+ vec{CD} `= vec{AD}],    [eqn: rmvecOB`-vecOA`=vecAB]

그림과 정육각형에서 다음을 확인하여라.

예제1

(1) [eqn: rm vec{AB} = vec{OC} =- vec{DE} = {1} over {2} vec{FC}]

(2) [eqn: rm vec{EF} + vec{ED} = rm vec{EF} + vec{FO} = rm vec{AB} - vec{AO}]

(3) [eqn: rm | vec{AB} |=1]이면 [eqn: rm | vec{AB} `+ vec{AF} `|=1]

B11 | 벡터 연산의 성질

벡터 연산에 대한 다음 성질들을 확인하여라.

개념1

① 실수배 결합 ( [eqn: k(l vec{a})=(kl)veca] )

② 덧셈의 교환, 결합

③ 실수배의 분배 ( [eqn: k(veca +vecb )=k veca +k vecb],   [eqn: (k+l)veca =k veca +l veca] )

④ 덧셈의 항등원과 역원 (이항) ( [eqn: veca +vecx =vecb]이면 [eqn: vecx =vecb -veca] )

B11E1 | 벡터의 단위화

임의의 벡터 [eqn: veca]에 대하여 [eqn: {1} over {| vec{a} |} vec{a}]는 [eqn: veca]와 방향이 같고 크기가 [eqn: 1]인 벡터이다.

개념1

원 [eqn: x ^{2} +(y-2) ^{2} =1] 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]에 대하여 점 [eqn: rmX]가

예제1

[eqn: rm vec{OX} = {1} over {| vec{OP} |} vec{OP}]를 만족시킬 때, 점 [eqn: rmX]의 자취를 구하여라.

B11E2 | 벡터의 분해

[eqn: y=-x+4] 위의 점 [eqn: rmP]와 [eqn: rmA(2,```0)], [eqn: rmB(0,``2)]에 대하여

예제1

[eqn: rm|vecAP +vecBP |]의 최솟값을 구하여라.

정오각형 [eqn: rmABCDE]의 외접원 반지름의 길이가 [eqn: 1]이다.

예제2

[eqn: rm|vecAB +vecAC +vecAD +vecAE |]의 값을 구하여라.

중심이 [eqn: rmO]인 원 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]와 원 밖의 두 정점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에 대하여

예제3

[eqn: rm|vecAB +vecAP |]과 [eqn: rm | vec{PA} + vec{PB} |]가 각각 최대일 때 점 [eqn: rmP]의 위치를 설명하여라.

B11E3 | 벡터의 평행

[eqn: vec0]이 아닌 두 벡터 [eqn: veca], [eqn: vecb]가 서로 평행하다.

개념1

[eqn: LRARROW] 적당한 실수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: vec{a} =k vecb]가 성립한다.

※ 나중에 쓸 일이 많으니 잘 기억해두자.

[eqn: {cases{#####}}]

B12 | 위치벡터와 성분

원점이 [eqn: rmO]인 좌표평면 위의 점 [eqn: rmA]에 대하여 [eqn: rm vec{OA}]를 점 [eqn: rmA]의 위치벡터라 한다.

개념1

※ 시점을 통일하면 하나의 벡터는 좌표평면상의 하나의 점에 대응된다.

B13 | 내분벡터와 외분벡터

[eqn: {1} over {2} veca`+ {1} over {2} vecb],   [eqn: {1} over {3} veca`+ {2} over {3} vecb],   [eqn: veca`+t(vecb`-veca`)]

탐구

[eqn: vec{rm OA it}=veca], [eqn: vec{rm OB it} = vec{b}]라 하고 선분 [eqn: rmAB}]를 [eqn: m:n]으로

개념1

내분하는 점을 [eqn: rmP]라 하면,

[eqn: vec{rmOP}={n} over {m+n} vec{a} `+ {m} over {m+n} vec{b}]

외분하는 점을 [eqn: rmQ]라 하면,

[eqn: vec{rm OQ it} = {-n} over {m-n} vec{a} `+ {m} over {m-n} vec{b}]

※ 편의상 [eqn: vec{rmOP}={n} over {m+n} vec{a} `+ {m} over {m+n} vec{b}]를 [eqn: veca]와 [eqn: vecb]의 [eqn: m:n] 내분벡터

[eqn: vec{rm OQ it} = {-n} over {m-n} vec{a} `+ {m} over {m-n} vec{b}]를 [eqn: veca]와 [eqn: vecb]의 [eqn: m:n] 외분벡터라 하자.

다음의 도형에서 각각 [eqn: rmvecOP], [eqn: rmvecPQ], [eqn: rmvecMN], [eqn: rmvecBN]을 [eqn: p vec{rmOA }+q vec{rmOB}]꼴로 나타내어라.

예제1

(1)	(2)

(3)	(4)

네 점 [eqn: rmO], [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]에 대하여 [eqn: vec{rm OA it}=veca], [eqn: vec{rm OB it} = vec{b}], [eqn: vec{rm OC it} = vec{c}]라 할 때,

개념2

삼각형의 [eqn: rmtriangleABC]의 무게중심을 [eqn: rmG]라 하면 [eqn: vec{rmOG}= {1} over {3} vec{a} `+ {1} over {3} vec{b} + {1} over {3} vec{c}]이다.

B13E1 | 벡터의 일차결합

평면 위에 놓인 평행하지 않은 (서로 독립인) 두 벡터 [eqn: veca], [eqn: vecb]에 대하여

개념1

평면 위의 모든 벡터는 적당한 실수 [eqn: p], [eqn: q]에 대하여 [eqn: p vec{a} +q vec{b}]로 나타낼 수 있다.

다음의 도형에서 [eqn: rmvecOP]를 [eqn: p vec{rmOA }+q vec{rmOB}]꼴로 나타내어라.

예제1

(1)	(2)

B13E2 | 벡터의 자취

평면 위의 세 정점 [eqn: rmO], [eqn: rmA], [eqn: rmB]에 대하여 같은 평면 위의 점 [eqn: rmX]가

예제1

[eqn: vec{rm OX it} =t vec{rm OA it} +s vec{rm OB it}]

이다. [eqn: t], [eqn: s]가 다음 조건을 만족시킬 때, 점 [eqn: rmX]의 자취에 대하여 설명하여라.

(1) 조건X	(2) [eqn: 0 le t le1]	(3) [eqn: 0 le t le1], [eqn: 0 le s le 2]

(4) [eqn: t+s=1]	(5) [eqn: t+s=2]	(6) [eqn: t+s=0]

(7) [eqn: t=1]	(8) [eqn: s=2]	(9) [eqn: t+ {1} over {2} s=1]

(10) [eqn: 2t+3s=1]	(11) [eqn: t-s=1]	(12) [eqn: t+s=1], [eqn: t ge0], [eqn: s ge0]

(13) [eqn: 0le t+s le1], [eqn: t ge0], [eqn: s ge0]	(14) [eqn: 0 le t+2s le 2], [eqn: t ge 1], [eqn: s ge0]

[eqn: vec{rmOX}=(1-t) vec{rm OA it} +t vec{rm OB it}]일 때, 점 [eqn: rmX]의 자취 :

개념1

두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]를 지나는 직선

B13E3 | 가무게중심 정리

[eqn: rmtriangleABC]에서 [eqn: p{rmvecPA}+q{rmvecPB}+r{rmvecPC}=vec0]일 때, [eqn: rmP]의 위치 찾기.

개념1

① [eqn: {p} over {p+q} {rmvecPA}+ {q} over {p+q} {rmvecPB}=- {r} over {p+q} {rmvecPC}]에서,

② 야매로 무게추 올려놓고 풀기

평면 위의 점 [eqn: rmP]와 [eqn: TRIANGLE rmABC]에 대하여 [eqn: rmvec{PA} `+2 vec{PB} `+3 vec{PC} `= vec{0}]을 만족시킬 때,

예제1

(1) 두 직선 [eqn: rm{ PA}]와 [eqn: rmBC]의 교점 [eqn: rmM]은 선분 [eqn: rmBC]를 몇 대 몇으로 내분하고 있는가?

(2) [eqn: rmP]는 선분 [eqn: rmAM]을 몇 대 몇으로 내분하고 있는가?

[eqn: triangle \ ABC]에서 변 [eqn: \BC]를 [eqn: 3:2]로 내분하는 점을 [eqn: \D]라 하고, 선분 [eqn: \AD]를

예제2

[eqn: 5:6]으로 내분하는 점을 [eqn: \P]라 할 때, [eqn: vec{\PA}]를 [eqn: vec{\PB}]와 [eqn: vec{\PC]로 나타내어라.

[eqn: {matrix{#####}} RIGHT }][eqn: left{{matrix{#####}}]

[eqn: rmtriangleABC]에서 [eqn: p{rmvecPA}+q{rmvecPB}+r{rmvecPC}=vec0]일 때, [eqn: TRIANGLE rm PAB it : TRIANGLE rm PBC it : TRIANGLE rm PCA it =r:p:q]

개념2

넓이가 [eqn: 14]인 [eqn: rm triangle ABC]의 내부의 한 점 [eqn: rm P]에 대하여

예제3

[eqn: rm 3 vecPA + 2 vec PB + 2 vecPC = vec0]일 때, [eqn: rm triangle PAB]의 넓이를 구하여라.

메넬라우스의 정리

※  체바의 정리	를 증명해보자.

제르곤의 정리

[평면벡터의 성분과 내적]

B14 | 벡터의 성분

원점이 [eqn: rmO]인 좌표평면 위의 점 [eqn: rmA]에 대하여

개념1

[eqn: rm vec{OA}]를 점 [eqn: rmO]에 대한 점 [eqn: rmA]의 위치벡터라 한다.

[eqn: veca `=(a_1 ,```a_ 2 )], [eqn: vecb `=(b_1 ,```b_2 )]일 때,

개념2

① [eqn: |veca |= sqrt { a_1 ^2 +a_2 ^2}]

② [eqn: k veca =k(a_1 ,```a_2 )=(ka_1 ,```ka_2 )]

③ [eqn: vec{a} +- vec{b} `=(a _{1} ,```a _{2} )+-(b _{1} ,```b _{2} )=(a _{1} +-b _{1} ,```a _{2} +-b _{2} )]

④ [eqn: vec{a} ⫽ vec{b}] [eqn: RARROW] [eqn: { a_2} over { a_1}= { b_2} over {b_1 }] [eqn: RARROW] [eqn: cases{ ka_1 =b_1 # ka_2 =b_2 }] [eqn: RARROW] [eqn: k(a_1 ,```a_2 )=(b_1`,```b_2 )] [eqn: RARROW] [eqn: k veca =vecb]

⑤ [eqn: veca BOT vecb] [eqn: RARROW] [eqn: { a_2} over { a_1} cdot { b_2} over { b_1}=-1] [eqn: RARROW] [eqn: a_1 b_1 +a_2 b_2 =0]

다음을 식으로 나타내어라.

예제1

(1) [eqn: vec{a} = LEFT ( -1,```0 RIGHT )], [eqn: vec{b} = LEFT ( 1,```1 RIGHT )]에 대하여 [eqn: vec{c} = LEFT ( -2,```3 RIGHT )]가 [eqn: k vec{a}+l vec{b}]이다.

(2) 네 점 [eqn: rm A LEFT ( -2,```5 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( 1,```3 RIGHT )], [eqn: rmC LEFT ( 2,```6 RIGHT )], [eqn: {rm D }(x,```y)]에 대하여 [eqn: rm { vec{AB}`=`vec{CD} }]이다.

(3) [eqn: vec{a} =(1,``2)], [eqn: vec{b} =(-1,``3)]에 대하여 [eqn: vecc =veca +t vecb]일 때 [eqn: vec c]의 크기가 최소이다.

(4) [eqn: vec{a} =(-1,``-2)], [eqn: vec{b} =(2,``-2)], [eqn: vec{c} =(2,``-4)]일 때, 두 벡터 [eqn: vec a + t vec b]와 [eqn: vec c - vec a]가 평행하다.

(5) 세 점 [eqn: rm { A LEFT ( -5,```1 RIGHT ) }], [eqn: rm B LEFT ( -1,```8 RIGHT )], [eqn: rm C LEFT ( 3,```3 RIGHT )]에 대하여 [eqn: rm LEFT | vec{PA} + vec{PB} + vec{PC} RIGHT | =6]이다.

B15 | 내적의 정의

[eqn: veca]와 [eqn: vecb]의 내적 : [eqn: vec{a} CDOT vec{b} `=| vec{a} || vec{b} |cos theta]

개념1

✔ 벡터의 내적은 각에 대한 정보를 담고 있다.

다음을 만족시킬 때, [eqn: veca]와 [eqn: vecb]가 이루는 각을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: | vec{a}|=2], [eqn: |vecb |=3]이고 [eqn: veca cdot vec b =3]

(2) [eqn: | vec{a}|=2], [eqn: |vecb |=3]이고 [eqn: veca cdot vecb =3 sqrt { 2}]

(3) [eqn: | vec{a}|=2], [eqn: |vecb |=3]이고 [eqn: vec{a} CDOT vec{b} =0]

(4) [eqn: | vec{a}|=2], [eqn: |vecb |=3]이고 [eqn: vec{a} CDOT vec{b} =-6]

B15E1 | 내적의 기하적 의미

[eqn: vec{a} CDOT vec{b} `=| vec{a} |times| vec{b} |cos theta]

개념1

[eqn: (veca 의```크기)times(vecb 의```veca```방향으로의```성분)]

기하적 의미에 의해 다음을 생각해보자.

탐구

(1) [eqn: vec{a} CDOT vec{x _{i}} ``=0]의 최대최소?

(2) [eqn: vec{a} cdot vecx ``=0]의 자취?

(3) [eqn: vec{a} CDOT vec{x} ``=k]의 자취?

B15E2 | 벡터의 수직

영벡터가 아닌 두 벡터 [eqn: veca], [eqn: vecb]에 대하여 [eqn: veca BOT vecb] [eqn: LRARROW] [eqn: vec{a} cdot vecb =0]

개념1

[eqn: vec{a} = LEFT ( 3,```1 RIGHT )], [eqn: vec{b} = LEFT ( 1,```2 RIGHT )]에 대하여 두 벡터 [eqn: vec{a} -x vec{b}]와 [eqn: 2 vec{a} + vec{b}]가

예제1

서로 수직이 되게 하는 [eqn: x]의 값을 구하여라.

점 [eqn: rmA(6,```8)]에 대하여 점 [eqn: rmP]가 다음을 만족시킬 때, [eqn: rmP]의 자취를 구하여라.

예제2

(1) [eqn: vec{rm OA it} cdot vec{rm OP it} =0]	(2) [eqn: vec{rm OP it} cdot vec{rm AP it} =0]

B16 | 내적의 성질

벡터 내적에 대한 다음 성질들을 확인하여라.

개념1

① (벡터)[eqn: cdot](벡터) = (스칼라)   [eqn: RARROW] 결합 ㄴㄴ

② 교환 가능 : [eqn: vec{a} cdot vecb ``=vecb cdot veca]

③ 실수배의 교환 : [eqn: (k veca )cdot vecb =veca cdot(k vecb )=k(veca cdot vecb )]

④ 분배 가능 : [eqn: veca cdot (vecb +vecc )=veca cdot vecb +veca cdot vecc]

⑤ [eqn: |veca |^2 =veca cdot veca]

⑥ [eqn: veca cdot vecb =0```LRARROW```veca BOT vecb]

⑦ [eqn: (a_1 ,```a_2 )cdot (b_1 ,```b_2 )=a_1 b_1 +a_2 b_2]

B16E1 | 두 벡터가 이루는 각

[eqn: |veca |], [eqn: |vecb |]를 알 때, [eqn: veca cdot vecb]를 안다.

개념1

[eqn: LRARROW]  [eqn: costheta]를 안다.  [eqn: LRARROW]  [eqn: theta]를 안다.

※ [eqn: veca]와 [eqn: vecb]가 이루는 각을 구하고 싶으면, [eqn: veca cdot vecb]를 이용하여 접근한다.

다음을 만족시킬 때, [eqn: veca]와 [eqn: vecb]가 이루는 각을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: | vec{a} |=3], [eqn: | vec{b} |=4]이고 [eqn: vec{a} cdot vecb =6]

(2) [eqn: | vec{a} |=3], [eqn: | vec{b} |=4]이고 [eqn: vec{a} CDOT vec{b} =-12]

(3) [eqn: | vec{a} |=3], [eqn: | vec{b} |=4]이고 [eqn: vec{a} CDOT vec{b} =0]

(4) [eqn: | vec{a} |=3], [eqn: | vec{b} |=4]이고 [eqn: vec{a} CDOT vec{b} =-4]

다음을 구하여라.

예제2

(1) [eqn: rm A(-1,```3)], [eqn: rm B(1,```2)]일 때, [eqn: vec{rmOA}]와 [eqn: vec{rmOB}]가 이루는 각

(2) [eqn: rm A(4,```2)], [eqn: rm B(-1,```2)]일 때, [eqn: vec{rmOA}]와 [eqn: vec{rmOB}]가 이루는 각

B16E2 | 두 벡터의 일차결합과 내적

두 벡터 [eqn: veca], [eqn: vecb]에 대하여 [eqn: | vec{a} |], [eqn: | vec{b} |], [eqn: veca cdot vecb]를 알면

개념1

① [eqn: p veca +q vecb]의 크기를 알 수 있다.

② 두 벡터 [eqn: p veca +q vecb]와 [eqn: r veca +s vec b]가 이루는 각을 알 수 있다.

다음을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: | vec{a}|=4], [eqn: |vecb |=2], [eqn: veca cdot vecb =4]일 때, [eqn: |veca -vecb |]의 값

(2) [eqn: |veca |=4], [eqn: | vec{b} |=2 sqrt {2}], [eqn: vec{a} CDOT vec{b} =8]일 때, [eqn: | vec{a} +2 vec{b} |]의 값

(3) [eqn: | vec{a} |=2 sqrt {2}], [eqn: | vec{b} |=2], [eqn: |2 vec{a} - vec{b} |=2 sqrt {5}]일 때, 두 벡터가 이루는 각

(4) [eqn: vec{a} + vec{b} + vec{c} = vec{0}]이고, [eqn: LEFT | ` vec{a} ` RIGHT | =3], [eqn: LEFT | ` vec{b} ` RIGHT | =5], [eqn: LEFT | ` vec{c} ` RIGHT | =7]일 때, [eqn: vec{a} `,``` vec{b}]가 이루는 각

B16E3 | 내적과 분해

자주 쓰이는 분해

개념1

① 수직성분으로 분해 [eqn: RARROW] 좌표화

② 두 점의 중심을 경유하는 분해 [eqn: RARROW] [eqn: {rmvecPA }cdot vec{rmPB }=|{rmvecPM}|^2 -|{rmvecMA}|^2]

③ 구(정다각형)의 중심을 경유하는 분해

정삼각형 [eqn: rmABC]와 지름이 [eqn: rm AC]인 원 [eqn: O]가

예제1

있다. 점 [eqn: rmD]는 [eqn: rm BC] 위의 점이고 [eqn: rm angleDAB= piover15]이다.

원 [eqn: O] 위의 점 [eqn: rmX]에 대하여 [eqn: rm vecAD cdot vecCX]의 값이

최소인 점 [eqn: rmX]의 위치를 구하여라.

좌표평면 위의 두 점 [eqn: rmA(4,```0)], [eqn: rmB(0,```6)]와 원 [eqn: x^2 +y^2 =1] 위를

예제2

움직이는 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: rmvec PA cdot vecPB]의 값이 최대인 점 [eqn: rmP]의 위치를 구하여라.

B17 | 직선의 벡터방정식

※ 직선 : 기울기 [eqn: m]과 지나는 한 점 [eqn: (x _{1} ,```y _{1} )]에 의해 결정된다. ( [eqn: LRARROW] 두 점 )

[eqn: RARROW] [eqn: y=m(x-x _{1} )+y _{1}]   ( [eqn: LRARROW] [eqn: {y-y _{1}} over {x-x _{1}} =m] )

방향벡터 : 직선과 평행한 방향을 가지는 벡터

개념1

eg) 직선 [eqn: y=2x+1]의 방향벡터는 [eqn: (1,```2)]이다.

※ 방향벡터는 크기를 따지지 않는다. [eqn: (1,```2)], [eqn: (2,```4)], [eqn: (-1,```-2)] 등은

방향벡터로서 서로 같다. [eqn: left( { 1} over { sqrt { 5} } ,``` { 2} over { sqrt { 5} } right)]와 같이 크기가 [eqn: 1]인 방향벡터를

단위방향벡터라 한다.

[eqn: RARROW] 임의의 방향벡터는 [eqn: (1,```a)]와 같이 둘 수 있다. ([eqn: x]축과 수직인 방향만 아니면)

점 [eqn: rmA]를 지나고 방향벡터가 [eqn: vecd]인 직선 위의 점 [eqn: rmP]는 어떤 실수 [eqn: t]에 대하여

개념2

[eqn: vecp` = veca +t vecd]   ( [eqn: vec{rmOA}=veca], [eqn: vec{rmOP}=vecp] )

로 나타낼 수 있다.

✔ [eqn: {rmP}(x,```y)], [eqn: {rmA}(x_1 ,```y_1 )], [eqn: vec{d}` =(a,```b)]라 하면, 위 식은 [eqn: (x,```y)=(x_1 ,```y_1 )+t(a,```b)]이므로

점 [eqn: rmP]의 자취는 [eqn: {cases{x=at+x _{1}#y=bt+y_1}}]과 같이 매개변수 [eqn: t]를 이용하여 나타낼 수 있다.

✔ 위 식에서 [eqn: t]를 소거하면 직선의 방정식을 [eqn: { x-x_1} over {a }= { y-y_1} over { b}]로 나타낼 수 있다.

[eqn: RARROW] 위 식을 살짝 더 정리해 [eqn: y= { b} over { a}(x-x_1 )+y_1]을 얻을 수 있다.

두 점 [eqn: (x_1 ,```y_1 )], [eqn: (x_2 ,```y_2 )]를 지나는 직선은 방향벡터가 [eqn: (x_2 -x_1 ,```y_2 -y_1 )]이므로

개념3

[eqn: vec{p} `=(x _{1} ,```y _{1} )+t(x _{2} -x _{1} ,```y _{2} -y _{1} )]

로 나타낼 수 있다.

[eqn: RARROW] 정리해서 [eqn: (1-t)(x _{1} ,```y _{1} )+t(x _{2} ,```y _{2} )]로 나타낼 수 있다. ( 분점 벡터로 해석 )

그림에서 [eqn: l_1 ⫽ l_2 ⫽ l_3], [eqn: m_1 ⫽m_2]이고

예제1

[eqn: rm vec OA = it veca], [eqn: rm vecOB = it vecb], [eqn: rm vecOC = itvecc]라고 할 때,

[eqn: rm vecAP`= (it`vecc `-`vecb`- `veca`) t] (단, [eqn: t]는 실수)

를 만족시키는 점 [eqn: rm P]가 나타내는 도형은?

한 변의 길이가 [eqn: 6]인 정삼각형 [eqn: rmABC]에 대하여 점 [eqn: rmP]가

예제2

[eqn: rm vecAP =it(1-3t)rm vecAB +it 2t rm vecAC it``left(0≤t≤ 1over3 right)]

를 만족시킬 때, 점 [eqn: rmP]가 그리는 도형의 길이를 구하여라.

※ 분점벡터로의 해석이 헷갈리면 한 문자로 정리해서 지나는 점과

방향벡터를 찾도록 하자. 정 헷갈리면 대충 [eqn: t]에 적당한 두 값을 넣어서..

B17E1 | 법선벡터를 이용한 직선의 표현

법선벡터 : 직선과 수직인 방향을 가지는 벡터

개념1

[eqn: RARROW] 방향벡터와 마찬가지로 크기를 따지지 않는다.

점 [eqn: rmA]를 지나고 법선벡터가 [eqn: vecn]인 직선 위의 점 [eqn: rmP]의 자취는

개념2

[eqn: vec{n} cdot( vec{p} `- vec{a} )=0]   ( [eqn: vec{rmOA}=veca],  [eqn: vec{rmOP}=vecp] )

로 나타낼 수 있다.

✔ [eqn: {rmP}(x,```y)], [eqn: {rmA}(x_1 ,```y_1 )], [eqn: vec{n} `=(a,```b)]라 하면, 위 식은 [eqn: (a,```b) CDOT left{(x,```y)-(x_1 ,```y_1 )right}],

정리하면 [eqn: a(x-x_1 )+b(y-y_1 )=0]을 얻을 수 있다.

[eqn: RARROW] 위 식을 살짝 더 정리하여 [eqn: y=- {a} over {b} (x-x _{1} )+y _{1}]을 얻을 수 있다.

B17E2 | 두 직선이 이루는 각

※ 두 직선이 이루는 각은 두 직선의 방향벡터(기울기)만의 문제이다.

두 직선 [eqn: x+2= {y-6} over {3}], [eqn: {x+1} over {2} = {y+7} over {-6}]이 이루는 각의 크기를 구하여라.

예제1

두 직선 [eqn: {x+7} over {m} =5-y], [eqn: {x-1} over {4} = {y+2} over {2}]가 이루는 각의 크기가 [eqn: {pi } over {4}]일 때,

예제2

실수 [eqn: m]의 값을 구하여라.

두 직선 [eqn: {x-5} over {k-2} =1-y,``` {x+2} over {3} = {y+4} over {k}]가 서로 수직이 되도록 하는

예제3

실수 [eqn: k]의 값을 구하여라.

B18 | 원의 벡터방정식

점 [eqn: rmA]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: r]인 원 위의 점 [eqn: rmP]의 자취는

개념1

[eqn: left| vec{p} `- vec{a} right|=r]   ( [eqn: vec{rmOA}=veca],  [eqn: vec{rmOP}=vecp] )

로 나타낼 수 있다.

※ 절댓값을 이용하지 않으려면 [eqn: ( vec{p} -veca )cdot(vecp -veca )=r^2]로 나타낼 수 있다.

두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]를 지름의 양 끝으로 하는 원 위의 점 [eqn: rmP]의 자취는

개념2

[eqn: ( vec{p} - vec{a} ) CDOT ( vec{p} - vec{b} )=0]   ( [eqn: vec{rmOA}=veca],  [eqn: vec{rm OB} = vec{b}],  [eqn: vec{rmOP}=vecp] )

로 나타낼 수 있다.

※ [eqn: ( vec{p} - vec{a} ) CDOT ( vec{p} - vec{b} )=k ^{2}]의 꼴도 원의 방정식을 나타낸다.

: 중심은 [eqn: rmA]와 [eqn: rmB]의 중점이고, 반지름의 길이는 [eqn: sqrt {{{bar{rmAB}}^{2}} over {4} +k ^{2}}]이다.

[eqn: RARROW] 중점을 이용한 분해를 통해서 생각해보자.

원점이 [eqn: rmO]인 좌표평면 위의 점 [eqn: rm P]와 두 점 [eqn: rm A(2,```1)], [eqn: rm B(-2,```1)]에

예제1

대하여 [eqn: rm vec{AP} cdot vecBP =0]을 만족시킬 때, [eqn: rmbarOP]의 최솟값을 구하여라.

좌표평면 위의 점 [eqn: rm P]와 세 점 [eqn: rmA(1,```2)], [eqn: rmB(4,```1)], [eqn: rmC(0,```-1)]에 대하여

예제2

[eqn: LEFT | ` vec{rm PA} + vec{rmPB} + vec{rmPC}` RIGHT | =9]를 만족시킬 때, 점 [eqn: rm P]가 나타내는 도형이 [eqn: x]축과 만나는

두 점 사이의 거리를 구하여라.

원 [eqn: x^2 + y^2 =10]과 직선 [eqn: x=y-2]의 두 교점을 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하자.

예제3

좌표평면 위의 점 [eqn: rm P]에 대하여 [eqn: rm vec \PA cdot vec PB =8]을 만족시킬 때,

점 [eqn: rm P]의 자취의 길이를 구하여라.