			원포인트 개념주입 C 이차곡선

원포인트개념주입

개념1	✔ 점 [eqn: {rmP}(x,```y)]의 자취의 방정식 : ① [eqn: x]와 [eqn: y]가 만족하는 관계식을 찾는다. ② 매개변수를 이용하여 나타낼 수 있는지 살핀다. ③ 이차곡선의 정의를 만족하는지 살핀다.

이차곡선

001. 좌표평면에서 원 [eqn: x^2 + y^2 =36] 위를 움직이는 점 [eqn: {\P} (a,```b)]와 점 [eqn: \A( 4,```0)]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 점 [eqn: \Q] 전체의 집합을 [eqn: X]라 하자. (단, [eqn: b != 0]) (가) 점 [eqn: \Q]는 선분 [eqn: \OP] 위에 있다. (나) 점 [eqn: \Q]를 지나고 직선 [eqn: \AP]에 평행한 직선이 [eqn: angle \OQA]를 이등분한다. 집합의 포함관계로 옳은 것은? ⑤ ① [eqn: X subset left{ (x,```y)`left|`{(x-1)^2} over {9} - {(y-1)^2} over 5 =1 right}] ② [eqn: X subset left{ (x,```y)`left|`{(x-2)^2} over {9} + {(y-1)^2} over 5 =1 right}] ③ [eqn: X subset left{ (x,```y)`left|`{(x-1)^2} over {9} - {y^2} over 5 =1 right}] ④ [eqn: X subset left{ (x,```y)`left|`{(x-1)^2} over {9} + {y^2} over 5 =1 right}] ⑤ [eqn: X subset left{ (x,```y)` left|`{(x-2)^2} over 9 + {y^2}over 5 = 1 right}]

	이차곡선

002. 그림과 같이 중심이 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]이고 반지름의 길이가 각각 [eqn: 6], [eqn: 2]인 두 원이 서로 만나지 않는다. 두 원 중 한 원은 외접하고 다른 한 원은 내접하는 원을 생각할 때, 이 원의 중심 [eqn: rmP]의 자취는 쌍곡선이다. 점 [eqn: rmP]의 자취의 주축의 길이를 구하여라. [eqn: 8]
003. 좌표평면에서 포물선 [eqn: y^2 =16 x] 위의 점 [eqn: \A]에 대하여 점 [eqn: \B]는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 점 [eqn: \A]가 원점이면 점 [eqn: \B]도 원점이다. (나) 점 [eqn: \A]가 원점이 아니면 점 [eqn: \B]는 점 [eqn: \A], 원점 그리고 점 [eqn: \A]에서의 접선이 [eqn: y``]축과 만나는 점을 세 꼭짓점으로 하는 삼각형의 무게중심이다. 점 [eqn: \A]가 포물선 [eqn: y^2 =16x] 위를 움직일 때 점 [eqn: \B]가 나타내는 곡선을 [eqn: C]라 하자. 점 [eqn: (3,```0)]을 지나는 직선이 곡선 [eqn: C]와 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]에서 만나고 [eqn: bar{ \PQ}=20]일 때, 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 [eqn: x]좌표의 값의 합을 구하여라. [eqn: 14`]

	이차곡선

개념2	✔ 타원과 쌍곡선의 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]가 만족하는 직각삼각형.

004. 점근선의 방정식이 [eqn: y=± {4} over {3} x]이고 두 초점이 [eqn: {rmF} LEFT ( c,```0 RIGHT )], [eqn: {rmF}' LEFT ( -c,```0 RIGHT )][eqn: LEFT ( c>0 RIGHT )]인 쌍곡선이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 쌍곡선 위의 한 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: {bar{rmPF'}} =30], [eqn: 16 LEQ {bar{rmPF}} LEQ 20]이다. (나) [eqn: x]좌표가 양수인 꼭짓점 [eqn: rmA]에 대하여 선분 [eqn: rmAF]의 길이는 자연수이다. 이 쌍곡선의 주축의 길이를 구하여라. [eqn: 12]

	이차곡선

005. 그림과 같이 두 초점이 [eqn: {rmF}(c,```0)], [eqn: {rm F prime }(-c,```0)]인 쌍곡선 [eqn: C]와 점 [eqn: rmF']을 중심으로 하고 점 [eqn: rmF]를 지나는 원이 있다. 쌍곡선과 원의 교점 중 제[eqn: 1]사분면의 교점을 [eqn: rmP], 제[eqn: 2]사분면의 교점을 [eqn: rmQ]라 하자. [eqn: cos( rm ANGLE FQF prime )= {3} over {4}]일 때, [eqn: cos( rm ANGLE PF'F)]의 값은? (단, [eqn: c]는 양수이다.) ⑤ ① [eqn: {3} over {4}] ② [eqn: {4} over {5}] ③ [eqn: {5} over {6}] ④ [eqn: {6} over {7}] ⑤ [eqn: 7over8]
006. 그림과 같이 한 초점이 [eqn: {rmF}(c,```0)]인 타원 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} + {y ^{2}} over {b ^{2}} =1]과 두 점 [eqn: {rm A}(a,```0)], [eqn: {rmB}(0,```b)]가 있다. 점 [eqn: rmB]를 중심으로 하고 점 [eqn: rmF]를 지나는 원이 [eqn: y]축과 만나는 점 중에서 [eqn: y]좌표가 양수인 점을 [eqn: rmC]라 할 때, 직선 [eqn: rmCF]와 직선 [eqn: rmCA]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 하자. [eqn: tan(rmangleCFB)= { 1} over { 4}]일 때, [eqn: tantheta]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 양수이다.) ① ① [eqn: 36over145] ② [eqn: {41} over {145}] ③ [eqn: {46} over {145}] ④ [eqn: {51} over {145}] ⑤ [eqn: {56} over {145}]

	이차곡선

개념3	✔ 이차곡선의 정의를 이용한 풀이 : 일단 초점과 이어라. [eqn: RARROW] 수능은 일단 정의.

007. 그림과 같이 두 초점이 [eqn: {rmF}(c,```0)], [eqn: {rmF'}(-c,```0)]인 타원 [eqn: { x^2} over {a^2 }+ { y^2} over { b^2}=1]이 있다. 타원 위에 있고 제[eqn: 2]사분면에 있는 점 [eqn: rmP]에 대하여 선분 [eqn: rmPF']의 중점을 [eqn: rmQ], 선분 [eqn: rmPF]를 [eqn: 1:3]으로 내분하는 점을 [eqn: rmR]이라 하자. [eqn: rmanglePQR= piover2], [eqn: rmbarQR = sqrt { 5}], [eqn: rmbarRF =9]일 때, [eqn: a^2 +b^2]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 양수이다.) [eqn: 104]

	이차곡선

008. 두 초점이 [eqn: rmF], [eqn: rmF']인 타원 [eqn: x^2 over49 + y^2 over33 = 1]이 있다. 원 [eqn: x^2 + LEFT ( y -3 RIGHT )^2 = 4] 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 직선 [eqn: rmF' P]가 이 타원과 만나는 점 중 [eqn: y]좌표가 양수인 점을 [eqn: rmQ]라 하자. [eqn: rm {bar{PQ}} + rm {bar{FQ}}]의 최댓값을 구하여라. [eqn: 11]
009. 좌표평면에서 포물선 [eqn: C_1 : x^2 =4y]의 초점을 [eqn: rmF_1], 포물선 [eqn: C_2 :y^2 =8x]의 초점을 [eqn: rmF_2]라 하자. 점 [eqn: rmP]는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 중심이 [eqn: C_1] 위에 있고 점 [eqn: rmF_1]을 지나는 원과 중심이 [eqn: C_2] 위에 있고 점 [eqn: rmF_2]를 지나는 원의 교점이다. (나) 제[eqn: 3]사분면에 있는 점이다. 원점 [eqn: rmO]에 대하여 [eqn: {rmbarOP}^2]의 최댓값을 구하여라. [eqn: 5]

	이차곡선

개념4	✔ 이차곡선의 정의와 대칭성 : 대유행

010. 좌표평면에서 두 점 [eqn: rmA(0,```3)], [eqn: rmB(0,```-3)]에 대하여, 두 초점이 [eqn: rmF], [eqn: rmF']인 타원 [eqn: { x^2} over { 16}+ { y^2} over {7 }=1] 위의 점 [eqn: rmP]가 [eqn: rmbarAP =barPF]를 만족시킨다. 사각형 [eqn: rmAF'BP]의 둘레의 길이가 [eqn: a+b sqrt { 2}]일 때, [eqn: a+b]의 값을 구하여라. (단, [eqn: rmbarPF <barPF']이고 [eqn: a], [eqn: b]는 자연수이다.) [eqn: 14]

	이차곡선

011. 아래의 그림과 같이 초점이 각각 [eqn: rmF], [eqn: rmF']과 [eqn: rmG], [eqn: rmG']이고 주축의 길이가 [eqn: 2], 중심이 원점 [eqn: rmO]인 두 쌍곡선이 제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rmP], 제[eqn: 3]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rmQ]라 하자. [eqn: rmbarPG timesbarQG =8], [eqn: rmbarPF timesbarQF =4]일 때, 사각형 [eqn: rmPGQF]의 둘레의 길이는? (단, 점 [eqn: rmF]의 [eqn: x]좌표와 점 [eqn: rmG]의 [eqn: y]좌표는 양수이다.) ④ ① [eqn: 6+2 sqrt { 2}] ② [eqn: 6+2 sqrt { 3] ③ [eqn: 10] ④ [eqn: 6+2 sqrt {5}] ⑤ [eqn: 6+2 sqrt { 6}]
012. 그림과 같이 두 초점이 [eqn: rmF], [eqn: rmF']인 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {8} - {y ^{2}} over {17} =1] 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 직선 [eqn: rmFP]와 직선 [eqn: rmF'P]에 동시에 접하고 중심이 [eqn: y]축 위에 있는 원 [eqn: C]가 있다. 직선 [eqn: rmF'P]와 원 [eqn: C]의 접점 [eqn: rmQ]에 대하여 [eqn: rmbar{F'Q}=5 sqrt {2}]일 때, [eqn: {rmbar{FP}} ^{2} +{rmbar{F'P}} ^{2}]의 값을 구하여라. (단, [eqn: rmbar{F'P}<bar{FP}]) [eqn: 116]

	이차곡선

개념5	✔ 이차곡선의 접선 : 기울기가 주어진 접선공식까지 해두자. ① 포물선 [eqn: y^2 =4px]에 접하는 기울기 [eqn: m]인 직선의 방정식 : [eqn: y=mx+ { p} over {m }] ② 타원 [eqn: { x^2} over {a^2 } + { y^2} over {b^2 }=1]에 접하는 기울기 [eqn: m]인 직선의 방정식 : [eqn: y=mx+- sqrt {a ^{2} m ^{2} +b ^{2}}] ③ 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1]에 접하는 기울기 [eqn: m]인 직선의 방정식 : [eqn: y=mx± sqrt {a ^{2} m ^{2} -b ^{2}}] ✏ 극선 : 곡선 위의 점에서 접선 구하는 것처럼 하면 돼.

013. 그림과 같이 초점이 [eqn: rmF]인 포물선 [eqn: y^2 =4x] 위의 한 점 [eqn: rmP]에서의 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점의 [eqn: x]좌표가 [eqn: -2]이다. [eqn: cos(rmanglePFO)]의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.) ② ① [eqn: -{ 5} over { 12}] ② [eqn: - 1over3] ③ [eqn: - 1over4] ④ [eqn: - 1over6] ⑤ [eqn: - 1over12]

	이차곡선

014. 쌍곡선 [eqn: x^2 over 9 - y^2 over p^2 =1]에 접하고 기울기가 [eqn: 2]인 직선이 두 개 있고, 두 직선 사이의 거리는 [eqn: 4]일 때, 상수 [eqn: p]의 값은? ③ ① [eqn: 12] ② [eqn: 14] ③ [eqn: 16] ④ [eqn: 18] ⑤ [eqn: 20]
015. 두 양수 [eqn: k], [eqn: p]에 대하여 점 [eqn: {rmA}(-k,```0)]에서 포물선 [eqn: y^2 =4px]에 그은 두 접선이 [eqn: y]축과 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmF], [eqn: rmF'], 포물선과 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]라 할 때, [eqn: rmanglePAQ= { pi} over {3 }]이다. 두 점 [eqn: rmF], [eqn: rmF']을 초점으로 하고 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]를 지나는 타원의 장축의 길이가 [eqn: 4sqrt { 3 }+12]일 때, [eqn: k+p]의 값은? ① ① [eqn: 8] ② [eqn: 10] ③ [eqn: 12] ④ [eqn: 14] ⑤ [eqn: 16]

	이차곡선

개념6	✔ 포물선의 성질 : 알아두면 좋을 때가 가끔 있다. [eqn: RARROW] 접선과 관련된 성질 : ① 이등변, ② 마름모, ③ 대각선의 교점 [eqn: RARROW] 초점을 지나는 직선과 관련된 성질 : ① [eqn: { 1} over { a}+ { 1} over {b }= { 1} over {p }], ② [eqn: { costheta={a-2p} over { a}]

016. 그림과 같이 포물선 [eqn: y^2 =4x]의 초점 [eqn: rm F]와 포물선 위 제[eqn: 1]사분면 위의 점 [eqn: rm P]에 대하여 [eqn: rm bar PF =bar FQ]가 되도록 [eqn: x]축 위에 점 [eqn: rm Q]를 잡을 때, 점 [eqn: rm P]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: a]라 하자. 다음 보기의 설명 중 옳은 것을 모두 고른 것은? ⑤ ㄱ. [eqn: rm angle PQF = angle QPF] ㄴ. [eqn: {rm bar FQ} =a+1] ㄷ. 직선 [eqn: rm PQ]의 기울기는 [eqn: 1 over root{a}]이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

	이차곡선

017. 자연수 [eqn: n]에 대하여 포물선 [eqn: y^2 = { x} over { n}]의 초점 [eqn: rmF]를 지나는 직선이 포물선과 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]라 하자. [eqn: rmbarPF =1]이고 [eqn: {rmbarFQ} =a_n]이라 할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} {1} over {a _{n}}]의 값은? ① ① [eqn: 210] ② [eqn: 205] ③ [eqn: 200] ④ [eqn: 195] ⑤ [eqn: 190]
018. 그림과 같이 좌표평면에서 꼭짓점이 원점 [eqn: rmO]이고 초점이 [eqn: rmF]인 포물선과 점 [eqn: rmF]를 지나고 기울기가 [eqn: 1]인 직선이 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmA,~B]라 하자. 선분 [eqn: rmAF]를 대각선으로 하는 정사각형의 한 변의 길이가 [eqn: 2]일 때, 선분 [eqn: rmAB]의 길이는 [eqn: a`+ b sqrt { 2}]이다. [eqn: a^2`+b^2]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a,~b]는 정수이다.) [eqn: 128] [4점][2012년 9월 평가원]

	이차곡선

개념7	✔ 타원과 원 : 원을 꾹 누르면 타원

019. 타원 [eqn: x ^{2} + {y ^{2}} over {4} =1] 위의 점 [eqn: {rmP}(x,```y)]에 대하여 [eqn: 3x+2y]의 최댓값을 구하여라. [eqn: 5]

	이차곡선

020. 타원 [eqn: {x ^{2}} over {9} + {y ^{2}} over {16} =1] 위의 임의의 점 [eqn: rmP]에서의 접선과 평행하고 원점을 지나는 직선이 타원과 만나는 두 점을 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 할 때, [eqn: rmtrianglePAB]의 넓이를 구하여라. [eqn: 12]
021. 그림과 같이 타원 [eqn: x^2 over 9 + y^2 over 5 =1] 위의 꼭짓점이 아닌 임의의 점 [eqn: rmP]에서의 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rm Q], 점 [eqn: rmP]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 할 때, [eqn: bar{rm OH it} CDOT bar{rm OQ it}]의 값은? ③ ① [eqn: 3] ② [eqn: 6] ③ [eqn: 9] ④ [eqn: 12] ⑤ [eqn: 15]