			원포인트 개념주입 B2 이차곡선

원포인트개념주입

이차곡선

개념1	✏ 초점이 [eqn: (p,```0)], 준선이 [eqn: x=-p]인 포물선의 방정식 : [eqn: y^2 =4px]

001. 두 포물선 [eqn: (x-1)^{2}=4y], [eqn: (y+2)^{2}=-8x]의 초점을 각각 [eqn: rmF_{1}], [eqn: rmF_{2}]라고 할 때, [eqn: rm {bar{F_{1}F_{2}}}^{2}]의 값은? ③ ① [eqn: 8] ② [eqn: 13] ③ [eqn: 18] ④ [eqn: 25] ⑤ [eqn: 32]		002. 그림과 같은 포물선에서 꼭짓점은 [eqn: \O], 초점은 [eqn: \F], 축은 [eqn: l]이다. 포물선 위의 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에 대하여 직선 [eqn: \AB]가 축에 수직이고 점 [eqn: \F]에서 점 [eqn: \O]와 직선 [eqn: \AB]까지의 거리가 각각 [eqn: 4], [eqn: 5]일 때, 선분 [eqn: \AB]의 길이를 구하여라. [eqn: 24]

	이차곡선

개념2	✏ 두 초점이 [eqn: (c,```0)]과 [eqn: (-c,```0)], 거리의 합이 [eqn: 2a]인 타원 : [eqn: { x^2} over { a^2}+ { y^2} over { b^2}=1] ([eqn: b^2 =a^2 -c^2])

003. 중심이 [eqn: (0,```0)]이고, [eqn: x]축 위에 있는 장축의 길이가 단축의 길이의 두 배인 타원이 두 점 [eqn: (2,```1)], [eqn: LEFT ( k,``` {sqrt {2}} over {2} RIGHT )]를 지난다. 이때, 양수 [eqn: k]의 값을 구하여라. [eqn: sqrt { 6}]		004. 타원 [eqn: {LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2}} over {a} + {LEFT ( y-2 RIGHT ) ^{2}} over {4} =1]의 두 초점의 좌표가 [eqn: LEFT ( 6,```b RIGHT )], [eqn: LEFT ( -2,```b RIGHT )]일 때, [eqn: ab]의 값은? (단, [eqn: a]는 ① 양수이다.) ① [eqn: 40] ② [eqn: 42] ③ [eqn: 44] ④ [eqn: 46] ⑤ [eqn: 48]

	이차곡선

개념3	✏ 두 초점이 [eqn: (c,```0)]과 [eqn: (-c,```0)], 거리의 차가 [eqn: 2a]인 쌍곡선 : [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1] ([eqn: c ^{2} =a ^{2} +b ^{2}])

005. 다음 조건을 만족시키는 쌍곡선의 주축의 길이는? ④ (가) 두 초점의 좌표는 [eqn: (5,```0)], [eqn: (-5,```0)]이다． (나) 두 점근선이 서로 수직이다． ① [eqn: 2 sqrt {2} ``] ② [eqn: 3 sqrt {2} ``] ③ [eqn: 4 sqrt {2} ``] ④ [eqn: 5 sqrt {2} ``] ⑤ [eqn: 6 sqrt {2} ``]		006. 점근선의 방정식이 [eqn: y=± {4} over {3} x]이고 두 초점이 [eqn: {rmF} LEFT ( c,```0 RIGHT )], [eqn: {rmF}' LEFT ( -c,```0 RIGHT )][eqn: LEFT ( c>0 RIGHT )]인 쌍곡선이 다음 조건을 만족시킨다. 이 쌍곡선의 주축의 길이를 구하여라. (가) 쌍곡선 위의 한 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: {bar{rmPF'}} =30], [eqn: 16 LEQ {bar{rmPF}} LEQ 20]이다. (나) [eqn: x]좌표가 양수인 꼭짓점 [eqn: rmA]에 대하여 선분 [eqn: rmAF]의 길이는 자연수이다. [eqn: 12]

	이차곡선

개념4	✔ 이차곡선에서 초점과 연결되어 있으면 정의부터 생각하자.

007. 그림과 같이 점 [eqn: rm A(3,```0)]을 지나는 직선이 쌍곡선 [eqn: x^2 over 4 - y^2 over 5 =1]과 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]에서 만나고 [eqn: rm bar PQ = 6]이다. 점 [eqn: rm B(-3,```0)]일 때 [eqn: rm bar BP + bar BQ]의 값은? (단, 직선의 ④ 기울기는 [eqn: { sqrt { 5} } over { 2}]보다 크다.) ① [eqn: 11] ② [eqn: 12] ③ [eqn: 13] ④ [eqn: 14] ⑤ [eqn: 15]		008. 그림과 같이 초점이 각각 [eqn: rmF], [eqn: rmF']과 [eqn: rmG], [eqn: rmG']이고 주축의 길이가 [eqn: 2], 중심이 원점 [eqn: rmO]인 두 쌍곡선이 제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rmP], 제[eqn: 3]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rmQ]라 하자. [eqn: rmbarPG timesbarQG =8], [eqn: rmbarPF timesbarQF =4] 일 때, 사각형 [eqn: rmPGQF]의 둘레의 길이는? ④ (단, 점 [eqn: rmF]의 [eqn: x]좌표와 점 [eqn: rmG]의 [eqn: y]좌표는 양수이다.) ① [eqn: 6+2 sqrt { 2}] ② [eqn: 6+2 sqrt { 3] ③ [eqn: 10] ④ [eqn: 6+2 sqrt {5}] ⑤ [eqn: 6+2 sqrt { 6}]

	이차곡선

개념5	✔ 포물선 위의 점이 초점과 연결되어 있으면 준선에다 수선의 발

009. 아래 그림에서 두 점 [eqn: rm F], [eqn: rmF']은 타원의 두 초점이고, 점 [eqn: rmF]는 포물선의 초점이다. 타원과 [eqn: x]축의 교점 중에서 원점이 아닌 점을 [eqn: rmA], 점 [eqn: rmA]를 지나고 [eqn: x]축에 수직인 직선이 제[eqn: 1]사분면에서 포물선과 만나는 점을 [eqn: rm B], 선분 [eqn: rm BF]와 타원의 교점을 [eqn: rm C]라고 하자. [eqn: rm barOF = 3], [eqn: rm bar BF = 12]일 때, 선분 [eqn: rm CF']의 길이를 구하여라. (단, [eqn: rm O]는 원점) [eqn: 21 over 5`]		010. 좌표평면에서 초점이 [eqn: {rmA}(a,```0)]([eqn: a>0])이고 꼭짓점이 원점인 포물선과 두 초점이 [eqn: {rmF}(c,```0)], [eqn: {rmF'}(-c,```0)]([eqn: c>a])인 타원의 교점 중 제[eqn: 1]사분면 위의 점을 [eqn: rmP]라 하자. [eqn: rmbarAF =2], [eqn: rmbarPA =barPF], [eqn: rmbar{FF'}=barPF'] 일 때, 타원의 장축의 길이는 [eqn: p+q sqrt { 7}]이다. [eqn: p^2 +q^2]의 값을 구하여라. (단, [eqn: p], [eqn: q]는 유리수이다.) [eqn: 29]

	이차곡선

개념6	✔ 이차곡선의 정의와 대칭성. 어디가 같을지에 대한 감각.

011. 좌표평면에서 두 점 [eqn: rmA(0,```3)], [eqn: rmB(0,```-3)]에 대하여, 두 초점이 [eqn: rmF], [eqn: rmF']인 타원 [eqn: { x^2} over { 16}+ { y^2} over {7 }=1] 위의 점 [eqn: rmP]가 [eqn: rmbarAP =barPF]를 만족시킨다. 사각형 [eqn: rmAF'BP]의 둘레의 길이가 [eqn: a+b sqrt { 2}]일 때, [eqn: a+b]의 값을 구하여라. (단, [eqn: rmbarPF <barPF']이고 [eqn: a], [eqn: b]는 자연수이다.) [eqn: 14]		012. 그림과 같이 두 초점이 [eqn: rmF], [eqn: rmF']인 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {8} - {y ^{2}} over {17} =1] 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 직선 [eqn: rmFP]와 직선 [eqn: rmF'P]에 동시에 접하고 중심이 [eqn: y]축 위에 있는 원 [eqn: C]가 있다. 직선 [eqn: rmF'P]와 원 [eqn: C]의 접점 [eqn: rmQ]에 대하여 [eqn: rmbar{F'Q}=5 sqrt {2}]일 때, [eqn: {rmbar{FP}} ^{2} +{rmbar{F'P}} ^{2}]의 값을 구하여라. (단, [eqn: rmbar{F'P}<bar{FP}]) [eqn: 116]

	이차곡선

개념7	✔ 점 [eqn: {rmP}(x,```y)]의 자취의 방정식은 [eqn: x], [eqn: y]가 만족하는 관계식이다. [eqn: RARROW] 매개변수로 쓰는 방법

013. 점 [eqn: rmF(4,```0)]과 직선 [eqn: x=1]에 이르는 거리의 비가 [eqn: 2:1]인 점이 나타내는 도형의 방정식을 구하여라. ④ ① [eqn: {x ^{2}} over {4} - {y ^{2}} over {12} =-1] ② [eqn: {x ^{2}} over {12} - {y ^{2}} over {4} =1] ③ [eqn: {x ^{2}} over {12} + {y ^{2}} over {4} =1] ④ [eqn: x^2 over 4 - y^2 over 12 = 1] ⑤ [eqn: {x ^{2}} over {4} + {y ^{2}} over {12} =1]		014. 타원 [eqn: {x ^{2}} over {16} + {y ^{2}} over {12} =1]의 두 초점 중 [eqn: x]좌표가 양수인 점을 [eqn: rmF]라 하자. 그림과 같이 타원 [eqn: {x ^{2}} over {16} + {y ^{2}} over {12} =1] 위의 점 [eqn: rmP]가 타원 [eqn: {x ^{2}} over {16} + {y ^{2}} over {12} =1] 위를 움직일 때, 선분 [eqn: rmPF]의 중점 [eqn: rmQ]가 나타내는 곡선을 [eqn: C]라 하자. 곡선 [eqn: C]에 내접하는 마름모 중 넓이가 가장 큰 것의 넓이를 [eqn: S]라 할 때, [eqn: S ^{2}]의 값을 구하여라. [eqn: 48]

	이차곡선

개념8	✔ 이차곡선의 정의를 만족하는지 살펴본다.

015. 점 [eqn: rmA(2,```0)]을 지나고 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =100]에 내접하는 원의 중심 [eqn: rmP]가 나타내는 도형의 방정식은? ③ ① [eqn: {x ^{2}} over {25} + {(y-1) ^{2}} over {21} =1] ② [eqn: {x ^{2}} over {25} + {(y-1) ^{2}} over {16} =1] ③ [eqn: {(x-1) ^{2}} over {25} + {y ^{2}} over {24} =1] ④ [eqn: {(x-1) ^{2}} over {25} + {y ^{2}} over {21} =1] ⑤ [eqn: {(x-1) ^{2}} over {25} + {(y-1) ^{2}} over {16} =1]		016. 다음 그림과 같이 원 [eqn: (x+2) ^{2} +y ^{2} =36]의 중심을 [eqn: rmC]라 하고, 원의 내부의 한 점 [eqn: rm A(2,```0)]을 지나는 직선이 원과 만나는 한 점을 [eqn: rmB]라 하자. 선분 [eqn: rmAB]의 수직이등분선과 선분 [eqn: rm BC]가 만나는 점을 [eqn: rmP]라 할 때, 점 [eqn: rmP]가 나타내는 도형의 방정식은? ② ① [eqn: {x ^{2}} over {5} + {y ^{2}} over {4} =1] ② [eqn: {x ^{2}} over {9} + {y ^{2}} over {5} =1] ③ [eqn: {x ^{2}} over {10} + {y ^{2}} over {8} =1] ④ [eqn: y ^{2} =4(x-1)] ⑤ [eqn: x ^{2} =4(y-1)]

	이차곡선

개념10	✏ 포물선 [eqn: y^2 =4px] 위의 점 [eqn: (x_1`,```y_1 )]에서 접하는 직선 : [eqn: y_1 y=2px+2px_1] ✏ 타원 [eqn: { x^2} over { a^2}+ { y^2} over {b^2 }=1] 위의 점 [eqn: (x_1`,```y_1 )]에서 접하는 직선 : [eqn: {x _{1} x} over {a ^{2}} + {y _{1} y} over {b ^{2}} =1] ✏ 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1] 위의 점 [eqn: (x_1`,```y_1 )]에서 접하는 직선 : [eqn: {x _{1} x} over {a ^{2}} - {y _{1} y} over {b ^{2}} =1]

017. 자연수 [eqn: n]에 대하여 직선 [eqn: y=nx+(n+1)]이 꼭짓점의 좌표가 [eqn: (0,```0)]이고 초점이 [eqn: (a_n ,```0)]인 포물선에 접할 때, [eqn: sum_n=1 ^5 a_n]의 값은? ① ① [eqn: 70] ② [eqn: 72] ③ [eqn: 74] ④ [eqn: 76] ⑤ [eqn: 78]		018. 두 양수 [eqn: k], [eqn: p]에 대하여 점 [eqn: {rmA} LEFT ( -k,```0 RIGHT )]에서 포물선 [eqn: y ^{2} =4px]에 그은 두 접선이 [eqn: y]축과 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmF], [eqn: rmF'], 포물선과 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]라 할 때, [eqn: rmANGLE PAQ= {pi } over {3}]이다. 두 점 [eqn: rmF], [eqn: rmF']을 초점으로 하고 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]를 지나는 타원의 장축의 길이가 [eqn: 4 sqrt {3} +12]일 때, [eqn: k+p]의 값은? ① ① [eqn: 8] ② [eqn: 10] ③ [eqn: 12] ④ [eqn: 14] ⑤ [eqn: 16]

	이차곡선

개념11	✏ 포물선 [eqn: y^2 =4px]에 접하는 기울기 [eqn: m]인 직선 : [eqn: y=mx+ { p} over { m}] ✏ 포물선 [eqn: x ^{2} =4py]에 접하는 기울기 [eqn: m]인 직선 : [eqn: y=mx-m ^{2} p] ✏ 타원 [eqn: { x^2} over { a^2}+ { y^2} over {b^2 }=1]에 접하는 기울기 [eqn: m]인 직선 : [eqn: y=mx+- sqrt {a ^{2} m ^{2} +b ^{2}}] ✏ 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1]에 접하는 기울기 [eqn: m]인 직선 : [eqn: y=mx± sqrt {a ^{2} m ^{2} -b ^{2}}]

019. 좌표평면에서 점 [eqn: rmA(0,```4)]와 타원 [eqn: {x ^{2}} over {5} +y ^{2} =1] 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 두 점 [eqn: rmA]와 [eqn: rmP]를 지나는 직선이 원 [eqn: x ^{2} +(y-3) ^{2} =1]과 만나는 두 점 중에서 [eqn: rmA]가 아닌 점을 [eqn: rmQ]라 하자. 점 [eqn: rmP]가 타원 위의 모든 점을 지날 때, 점 [eqn: rmQ]가 나타내는 도형의 길이는? ④ ① [eqn: {pi } over {6}] ② [eqn: {pi } over {4}] ③ [eqn: {pi } over {3}] ④ [eqn: {2} over {3} pi] ⑤ [eqn: {3} over {4} pi]		020. 그림과 같이 직선 [eqn: x=2] 위의 점 [eqn: rmP]에서 타원 [eqn: {x ^{2}} over {2} +y ^{2} =1]에 그은 두 접선의 기울기의 차가 [eqn: 4]이다. 점 [eqn: rmP]의 [eqn: y]좌표를 [eqn: k]라 할 때, [eqn: k ^{2}]의 값은? ② ① [eqn: 6] ② [eqn: 7] ③ [eqn: 8] ④ [eqn: 9] ⑤ [eqn: 10]

	이차곡선

개념12	✔ 포물선 [eqn: y^2 =4px] 위의 점 [eqn: rmA]에서 그은 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmP]라 하면 ① [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표 ② [eqn: rm bar{PF} = bar{AF}] ③ 마름모 ④ 대각선의 교점

021. 그림과 같이 초점이 [eqn: rmF]인 포물선 [eqn: y^2 =4x] 위의 한 점 [eqn: rmP]에서의 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점의 [eqn: x]좌표가 [eqn: -2]이다. [eqn: cos(rmanglePFO)]의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.) ② ① [eqn: -{ 5} over { 12}] ② [eqn: - 1over3] ③ [eqn: - 1over4] ④ [eqn: - 1over6] ⑤ [eqn: - 1over12]		022. 초점이 [eqn: rmF]인 포물선 [eqn: C:y ^{2} =8x] 위의 한 점 [eqn: rmP]에서의 접선을 [eqn: l], [eqn: rmP]를 지나고 [eqn: l]과 수직인 직선을 [eqn: m]이라 하자. 직선 [eqn: l]과 [eqn: x]축, [eqn: y]축의 교점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하고, 직선 [eqn: m]과 [eqn: x]축, [eqn: y]축의 교점을 각각 [eqn: rm C], [eqn: rmD]라 하자. 세 삼각형 [eqn: rm BFA], [eqn: rm PCA], [eqn: rm PBD]의 넓이를 각각 [eqn: S _{1}], [eqn: S _{2}], [eqn: S _{3}]라 할 때, [eqn: S _{2} +S _{3} =6S _{1}]이다. 점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표의 값을 구하여라. [eqn: 4]

	이차곡선

개념13	✔ 포물선의 초점을 지나는 직선 ① [eqn: {1} over {a} + {1} over {b} = {1} over {p}] ② [eqn: { a-2p} over {a }=costheta], [eqn: { 2p-b} over { b}=costheta]

023. 그림과 같이 포물선 [eqn: y^2 =12x]의 초점 [eqn: rmF]를 지나는 직선과 포물선이 만나는 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에서 준선 [eqn: l]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmC], [eqn: rmD]라 하자. [eqn: rmbarAC =4]일 때, 선분 [eqn: rmBD]의 길이는? ① ① [eqn: 12] ② [eqn: 25over2] ③ [eqn: 13] ④ [eqn: 27over2] ⑤ [eqn: 14]		024. 그림과 같이 점 [eqn: {rmF}(p,```0)]을 초점으로 하는 포물선 [eqn: y ^{2} =4px]와 두 점 [eqn: {rmF}(p,```0)], [eqn: {rmF} prime (-p,```0)]을 초점으로 하는 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1][eqn: (a>0,```b>0)]이 제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rmA]라 하자. [eqn: bar{rmAF} =5], [eqn: cos( rmANGLE AFF` prime )=- {1} over {5}] 일 때, [eqn: a ^{2} b ^{2}]의 값을 구하여라. [eqn: 3]

	이차곡선

개념14	✔ 타원 [eqn: { x^2} over {a^2 }+ { y^2} over {b^2 }=1]에서 두 초점을 지름의 양끝으로 하는 원

025. 타원 [eqn: { x^2} over {9 }+ { y^2} over {4 }=1]의 두 초점 중 [eqn: x]좌표가 양수인 점을 [eqn: rmF], 음수인 점을 [eqn: rmF']이라 하자. 이 타원 위의 점 [eqn: rmP]를 [eqn: rmangleFPF'= { pi} over {2 }]가 되도록 제[eqn: 1]사분면에서 잡고, 선분 [eqn: rmFP]의 연장선 위에 [eqn: y]좌표가 양수인 점 [eqn: rmQ]를 [eqn: rmbarFQ =6]이 되도록 잡는다. 삼각형 [eqn: rmQF'F]의 넓이를 구하여라. [eqn: 12]		026. 그림과 같이 두 점 [eqn: {rmF}(c,```0)], [eqn: {rmF'}(-c,```0)]([eqn: c>0])을 초점으로 하고 장축의 길이가 [eqn: 4]인 타원이 있다. 점 [eqn: rmF]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: c]인 원이 타원과 점 [eqn: rmP]에서 만난다. 점 [eqn: rmP]에서 원에 접하는 직선이 점 [eqn: rmF']을 지날 때, [eqn: c]의 값은? ④ ① [eqn: sqrt { 2}] ② [eqn: sqrt { 10}- sqrt { 3}] ③ [eqn: sqrt { 6}-1] ④ [eqn: 2sqrt { 3}-2] ⑤ [eqn: sqrt { 14}- sqrt { 5}]

	이차곡선

개념15	✔ 이차곡선과 빛 반사. ✔ 준선과 준원.

027. 그림과 같이 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {4} - {y ^{2}} over {9} =1]의 제[eqn: 1]사분면 위의 점 [eqn: rmP]와 두 초점 [eqn: rmF], [eqn: rmF']에 대하여 [eqn: rmbar{F prime P} : bar{FP} =3:1]이다. 점 [eqn: rmP]에서의 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmQ]라 할 때, [eqn: rm {bar{F` prime Q}} over {bar{FQ}}]의 값은? ⑤ ① [eqn: sqrt { 2}] ② [eqn: sqrt { 3}] ③ [eqn: 2] ④ [eqn: 2sqrt { 2}] ⑤ [eqn: 3]		028. 점 [eqn: (5,```a)]에서 포물선 [eqn: x^2 =8y]에 그은 두 접선이 서로 수직일 때, [eqn: a]의 값을 구하여라. [eqn: -2]