			원포인트 개념주입 B 이차곡선

원포인트개념주입

이차곡선

개념1	✏ 초점이 [eqn: (p,```0)], 준선이 [eqn: x=-p]인 포물선의 방정식 : [eqn: y^2 =4px]

001. 그림과 같이 포물선 [eqn: y^2 =ax][eqn: LEFT ( a>0 RIGHT )] 위의 한 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: rmbarPF =1`]이고 [eqn: rmPF]가 포물선의 축과 이루는 예각의 크기가 [eqn: 60DEG]일 때, 상수 [eqn: a`]의 값을 구하여라. [eqn: 1]		002. 그림과 같이 좌표평면에서 [eqn: x]축 위의 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에 대하여 꼭짓점이 [eqn: rmA]인 포물선 [eqn: p _{1}]과 꼭짓점이 [eqn: rmB]인 포물선 [eqn: p _{2}]가 다음 조건을 만족시킬 때, 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이는? ③ (가) [eqn: p _{1}]의 초점은 [eqn: rmB]이고, [eqn: p _{2}]의 초점은 원점 [eqn: rmO]이다. (나) [eqn: p _{1}]과 [eqn: p _{2}]는 [eqn: y]축 위의 두 점 [eqn: rmC], [eqn: rmD]에서 만난다. (다) [eqn: rmbarAB =2] ① [eqn: 4 LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT )] ② [eqn: 3 LEFT ( sqrt {3} -1 RIGHT )] ③ [eqn: 2 LEFT ( sqrt {5} -1 RIGHT )] ④ [eqn: sqrt {3} +1] ⑤ [eqn: sqrt {5} +1]

	이차곡선

개념2	✏ 두 초점이 [eqn: (c,```0)]과 [eqn: (-c,```0)], 거리의 합이 [eqn: 2a]인 타원 : [eqn: { x^2} over { a^2}+ { y^2} over { b^2}=1] ([eqn: b^2 =a^2 -c^2])

003. 한 변의 길이가 [eqn: 10]인 마름모 [eqn: rm ABCD]에 대하여 대각선 [eqn: rm BD]를 장축으로 하고, 대각선 [eqn: rm AC]를 단축으로 하는 타원의 두 초점 사이의 거리가 [eqn: 10 root 2]이다. 마름모 [eqn: rm ABCD]의 넓이는? ③ ① [eqn: 55 root 3``] ② [eqn: 65 root 2``] ③ [eqn: 50 root 3``] ④ [eqn: 45 root 3``] ⑤ [eqn: 45 root 2``]		004. 타원 [eqn: x^2 over a^2 + y^2 over b^2 =1]의 한 초점을 [eqn: rm F it (c,```0)(c>0)], 이 타원이 [eqn: x]축과 만나는 점 중에서 [eqn: x]좌표가 음수인 점을 [eqn: \A], [eqn: y]축과 만나는 점 중에서 [eqn: y]좌표가 양수인 점을 [eqn: \B]라 하자. [eqn: angle \AFB= pi over 3]이고 [eqn: rm triangleAFB]의 넓이는 [eqn: 6root3]일 때, [eqn: a^2 +b^2]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) ④ ① [eqn: 22] ② [eqn: 24] ③ [eqn: 26] ④ [eqn: 28] ⑤ [eqn: 30]

	이차곡선

개념3	✏ 두 초점이 [eqn: (c,```0)]과 [eqn: (-c,```0)], 거리의 차가 [eqn: 2a]인 쌍곡선 : [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1] ([eqn: c ^{2} =a ^{2} +b ^{2}])

005. 쌍곡선 [eqn: x^2 over a^2 - y^2 over 9 = 1]의 두 꼭짓점은 타원 [eqn: x^2 over 13 + y^2 over b^2 = 1]의 두 초점이다. [eqn: a^2 + b^2``]의 값은? ④ ① [eqn: 10``] ② [eqn: 11``] ③ [eqn: 12``] ④ [eqn: 13``] ⑤ [eqn: 14``] 006. 점근선의 방정식이 [eqn: y=± {3} over {4} x]이고, 한 초점의 좌표가 [eqn: (10,```0)]인 쌍곡선의 주축의 길이를 구하여라. [eqn: 16]		007. 그림과 같이 두 점 [eqn: rm F( it k,```0)], [eqn: rm F prime ( it -k,```0)]을 초점으로 하는 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1]과 점 [eqn: rm F]를 초점으로 하는 포물선 [eqn: y ^{2} =56(x+c)]가 있다. 쌍곡선 위의 임의의 점 [eqn: rm P]에 대하여 [eqn: | rm bar{PF} - bar{PF prime } |=10]이 성립하고, 포물선의 꼭짓점 [eqn: rm A]에 대하여 [eqn: rm bar{AF prime }:bar FF' =1:6]이 성립한다. 이때, [eqn: {c ^{2}} over {a ^{2} -b ^{2}}]의 값은? (단, [eqn: 0<k<c]이다.) ④ ① [eqn: {53} over {14}] ② [eqn: {55} over {14}] ③ [eqn: {30} over {7}] ④ [eqn: {32} over {7}] ⑤ [eqn: {34} over {7}]

	이차곡선

개념4	✔ 이차곡선에서 초점과 연결되어 있으면 정의부터 생각하자.

008. 그림과 같이 [eqn: y]축 위의 점 [eqn: rm A it (0,```a)]와 두 점 [eqn: rmF], [eqn: rmF']을 초점으로 하는 타원 [eqn: { x^2} over {25 } + { y^2} over {9 } =1] 위를 움직이는 점 [eqn: \P]가 있다. [eqn: {bar{rm AP it}} - {bar{rm FP it}}]의 최솟값이 [eqn: 1]일 때, [eqn: a^2]의 값을 구하여라. [eqn: 105]		009. 그림과 같이 쌍곡선 [eqn: {4x^2 } over 9 - y^2 over 40 =1]의 두 초점은 [eqn: rmF], [eqn: rmF']이고, 점 [eqn: \F]를 중심으로 하는 원 [eqn: C]는 쌍곡선과 한 점에서 만난다. 제[eqn: 2]사분면에 있는 쌍곡선 위의 점 [eqn: \P]에서 원 [eqn: C]에 접선을 그었을 때 접점을 [eqn: \Q]라 하자. [eqn: bar{ \PQ}=12]일 때, 선분 [eqn: \PF']의 길이는? ① ① [eqn: 10] ② [eqn: 21 over 2] ③ [eqn: 11] ④ [eqn: 23 over 2] ⑤ [eqn: 12]

	이차곡선

개념5	✔ 포물선 위의 점이 초점과 연결되어 있으면 준선에다 수선의 발

010. 좌표평면에서 두 점 [eqn: rmA LEFT ( 5,```0 RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( -5,```0 RIGHT )]에 대하여 장축이 선분 [eqn: rmAB]인 타원의 두 초점을 [eqn: rmF], [eqn: rmF']이라 하자. 초점이 [eqn: rmF]이고 꼭짓점이 원점인 포물선이 타원과 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]라 하자. [eqn: rmbarPQ =2sqrt10]일 때, 두 선분 [eqn: rmPF]와 [eqn: rmPF']의 길이의 곱 [eqn: rmbarPF timesbar{PF']의 값은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하여라. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [eqn: 103`]		011. 포물선 [eqn: y ^{2} =4x]의 초점을 [eqn: rm F], 준선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rm P], 점 [eqn: rmP]를 지나고 기울기가 양수인 직선 [eqn: l]이 포물선과 만나는 두 점을 각각 [eqn: rm A], [eqn: rmB]라 하자. [eqn: rm bar{FA} : bar{FB} =1:2] 일 때, 직선 [eqn: l]의 기울기는? ⑤ ① [eqn: {2 root 6} over 7``] ② [eqn: root 5 over 3``] ③ [eqn: 4 over 5``] ④ [eqn: root3 over 2``] ⑤ [eqn: {2 root 2} over 3``]

	이차곡선

개념6	✔ 점 [eqn: {rmP}(x,```y)]의 자취의 방정식은 [eqn: x], [eqn: y]가 만족시키는 관계식이다. [eqn: RARROW] 매개변수로 쓰는 방법

012. 점 [eqn: rmF LEFT ( 3,```0 RIGHT )]과 직선 [eqn: x= {4} over {3}]에 이르는 거리의 비가 [eqn: 3:2]인 점 [eqn: rmP LEFT ( it{x,```y} RIGHT )]가 나타내는 도형의 방정식이 [eqn: ax ^{2} +by ^{2} =20] 일 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 합 [eqn: a+b]의 값은? ④ ① [eqn: -2] ② [eqn: -1] ③ [eqn: 0] ④ [eqn: 1] ⑤ [eqn: 2] 013. 그림과 같이 길이가 [eqn: 5]인 선분 [eqn: rmAB]의 양 끝점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]가 각각 [eqn: x]축, [eqn: y]축 위를 움직일 때, 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 2:3]으로 내분하는 점 [eqn: rmP]가 나타내는 도형의 방정식을 구하여라. [eqn: x^2 over 9 + y^2 over 4 =1]		014. 좌표평면에서 포물선 [eqn: y^2 =16 x] 위의 점 [eqn: \A]에 대하여 점 [eqn: \B]는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 점 [eqn: \A]가 원점이면 점 [eqn: \B]도 원점이다. (나) 점 [eqn: \A]가 원점이 아니면 점 [eqn: \B]는 점 [eqn: \A], 원점 그리고 점 [eqn: \A]에서의 접선이 [eqn: y]축과 만나는 점을 세 꼭짓점으로 하는 삼각형의 무게중심이다. 점 [eqn: \A]가 포물선 [eqn: y^2 =16x] 위를 움직일 때 점 [eqn: \B]가 나타내는 곡선을 [eqn: C]라 하자. 점 [eqn: (3,```0)]을 지나는 직선이 곡선 [eqn: C]와 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]에서 만나고 [eqn: bar{ \PQ}=20]일 때, 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 [eqn: x]좌표의 값의 합을 구하여라. [eqn: 14`]

	이차곡선

개념7	✔ 이차곡선의 정의를 만족시키는지 살펴본다.

015. 원 [eqn: x^2 + y^2 =36] 위를 움직이는 점 [eqn: {\P} (a,```b)]와 점 [eqn: \A( 4,```0)]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 점 [eqn: \Q] 전체의 집합을 [eqn: X]라 하자. (단, [eqn: b != 0]) (가) 점 [eqn: \Q]는 선분 [eqn: \OP] 위에 있다. (나) 점 [eqn: \Q]를 지나고 직선 [eqn: \AP]에 평행한 직선이 [eqn: angle \OQA]를 이등분한다. 집합의 포함관계로 옳은 것은? ⑤ ① [eqn: X SUBSET LEFT { (x,```y)` LEFT |` {(x-1) ^{2}} over {9} - {(y-1) ^{2}} over {5} =1 RIGHT } RIGHT .] ② [eqn: X subset left{ (x,```y)`left|`{(x-2)^2}over {9} + {(y-1)^2} over 5 =1 right}] ③ [eqn: X subset left{ (x,```y)`left|`{(x-1)^2} over {9} - {y^2}over 5 =1 right}] ④ [eqn: X subset left{ (x,```y)`left|`{(x-1)^2} over {9} + {y^2} over 5 =1 right}] ⑤ [eqn: X subset left{ (x,```y)` left|`{(x-2)^2}over 9 + {y^2} over 5 = 1 right}]		016. 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {9 } - {y ^{2}} over {3 } =1]의 두 초점 [eqn: (2 sqrt {3} ,``0)], [eqn: (-2 sqrt {3} ,``0)]을 각각 [eqn: rmF], [eqn: rmF']이라 하자. 이 쌍곡선 위를 움직이는 점 [eqn: rm P it (x,```y)(x＞0)]에 대하여 선분 [eqn: rm F prime P] 위의 점 [eqn: rm Q]가 [eqn: rm bar{FP} = bar{PQ}]를 만족시킬 때, 점 [eqn: rm Q]가 나타내는 도형 전체의 길이는? ③ ① [eqn: pi] ② [eqn: sqrt {3} pi] ③ [eqn: 2 pi] ④ [eqn: 3 pi] ⑤ [eqn: 2 sqrt {3} pi]

	이차곡선

개념8	✏ 포물선 [eqn: y^2 =4px] 위의 점 [eqn: (x_1`,```y_1 )]에서 접하는 직선 : [eqn: y_1 y=2px+2px_1] ✏ 타원 [eqn: { x^2} over { a^2}+ { y^2} over {b^2 }=1] 위의 점 [eqn: (x_1`,```y_1 )]에서 접하는 직선 : [eqn: {x _{1} x} over {a ^{2}} + {y _{1} y} over {b ^{2}} =1] ✏ 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1] 위의 점 [eqn: (x_1`,```y_1 )]에서 접하는 직선 : [eqn: {x _{1} x} over {a ^{2}} - {y _{1} y} over {b ^{2}} =1]

017. 쌍곡선 [eqn: x ^{2} -4y ^{2} =a] 위의 점 [eqn: (b,```1)]에서의 접선이 쌍곡선의 한 점근선과 수직이다. [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 양수이다.) ① ① [eqn: 68] ② [eqn: 77] ③ [eqn: 86] ④ [eqn: 95] ⑤ [eqn: 104]		018. 그림과 같이 두 초점이 [eqn: \F (3,```0)], [eqn: \F ' (-3,```0)]인 쌍곡선 [eqn: x^2 over a^2 - y^2 over b^2 =1] 위의 점 [eqn: {\P} (4,```k)]에서의 접선과 [eqn: x]축과의 교점이 선분 [eqn: \F ' F]를 [eqn: 2:1]로 내분할 때, [eqn: k ^{2}]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) [eqn: 15]

	이차곡선

개념9	✏ 포물선 [eqn: y^2 =4px]에 접하는 기울기 [eqn: m]인 직선 : [eqn: y=mx+ { p} over { m}] ✏ 포물선 [eqn: x ^{2} =4py]에 접하는 기울기 [eqn: m]인 직선 : [eqn: y=mx-m ^{2} p] ✏ 타원 [eqn: { x^2} over { a^2}+ { y^2} over {b^2 }=1]에 접하는 기울기 [eqn: m]인 직선 : [eqn: y=mx+- sqrt {a ^{2} m ^{2} +b ^{2}}] ✏ 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1]에 접하는 기울기 [eqn: m]인 직선 : [eqn: y=mx± sqrt {a ^{2} m ^{2} -b ^{2}}]

019. 좌표평면에서 포물선 [eqn: y ^{2} =8x]에 접하는 두 직선 [eqn: l _{1}], [eqn: l _{2}]의 기울기가 각각 [eqn: m _{1}], [eqn: m _{2}]이다. [eqn: m _{1}], [eqn: m _{2}]가 방정식 [eqn: 2x^2 -3x +1 =0]의 서로 다른 두 근일 때, [eqn: l_1]과 [eqn: l_2]의 교점의 [eqn: x]좌표는? ④ ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5] 020. 좌표평면에서 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1]의 한 점근선에 평행하고 타원 [eqn: {x ^{2}} over {8a ^{2}} + {y ^{2}} over {b ^{2}} =1]에 접하는 직선을 [eqn: l`]이라 하자. 원점과 직선 [eqn: l] 사이의 거리가 [eqn: 1]일 때, [eqn: {1} over {a ^{2}} + {1} over {b ^{2}}]의 값은? ① ① [eqn: 9] ② [eqn: 19over2] ③ [eqn: 10] ④ [eqn: { 21} over { 2}] ⑤ [eqn: 11]		021. 타원 [eqn: { x^2} over { 4}+y^2 =1]의 네 꼭짓점을 연결하여 만든 사각형에 내접하는 타원 [eqn: { x^2} over { a^2}+{ y^2} over { b^2}=1]이 있다. 타원 [eqn: { x^2} over { a^2}+{ y^2} over { b^2}=1]의 두 초점이 [eqn: {\F}(b,```0)], [eqn: {\F} '(-b,```0)]일 때, [eqn: a^2 b^2 = q over p]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하여라. [eqn: 17] (단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

	이차곡선

개념10	✔ 포물선 [eqn: y^2 =4px] 위의 점 [eqn: rmA]에서 그은 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmP]라 하면 ① [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표 ② [eqn: rm bar{PF} = bar{AF}] ③ 마름모 ④ 대각선의 교점

022. 포물선 [eqn: y^{2} =4x] 위의 점 [eqn: rm`P][eqn: (x _{1} ,```y _{1} )] [eqn: (y _{1} >0)]에서의 접선을 [eqn: l], 초점 [eqn: rmF]에서 직선 [eqn: l]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하자. 삼각형 [eqn: rmOFH]의 넓이가 [eqn: {1} over {2}] 이상일 때, [eqn: x _{1} +y _{1}]의 최솟값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.) ③ ① [eqn: 1`] ② [eqn: 2`] ③ [eqn: 3`] ④ [eqn: 4`] ⑤ [eqn: 5`]		023. 그림과 같이 포물선 [eqn: y ^{2} =4 LEFT ( x+2 RIGHT )]에 접하고, 포물선의 초점 [eqn: rm`F]를 지나는 원이 있다. 원과 포물선의 접점 중 제[eqn: 1]사분면에 있는 점을 [eqn: rmP], 점 [eqn: rmP]가 아닌 다른 접점을 [eqn: rmQ]라 할 때, 부채꼴 [eqn: rmCPQ]의 넓이는? (단, 점 [eqn: rmC]는 원의 중심이다.) ⑤ ① [eqn: {8} over {3} pi] ② [eqn: {10} over {3} pi] ③ [eqn: 4pi] ④ [eqn: {14} over {3} pi] ⑤ [eqn: {16} over {3} pi]

	이차곡선

개념11	✔ 포물선의 초점을 지나는 직선 ① [eqn: {1} over {a} + {1} over {b} = {1} over {p}] ② [eqn: { a-2p} over {a }=costheta], [eqn: { 2p-b} over { b}=costheta]

024. 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2 sqrt {3}]인 정삼각형 [eqn: rmOAB]의 무게중심 [eqn: rm { G }]가 [eqn: x]축 위에 있다. 꼭짓점이 [eqn: rmO]이고 초점이 [eqn: rmG]인 포물선과 직선 [eqn: rmGB]가 제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rmP]라 할 때, 선분 [eqn: rmGP]의 길이를 구하여라. (단, [eqn: rmO]는 원점이다.) [eqn: 8]		025. 그림과 같이 좌표평면에서 꼭짓점이 원점 [eqn: rmO]이고 초점이 [eqn: rmF]인 포물선과 점 [eqn: rmF]를 지나고 기울기가 [eqn: 1]인 직선이 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmA,~B]라 하자. 선분 [eqn: rmAF]를 대각선으로 하는 정사각형의 한 변의 길이가 [eqn: 2]일 때, 선분 [eqn: rmAB]의 길이는 [eqn: a`+ b sqrt { 2}]이다. [eqn: a^2`+b^2]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 정수이다.) [eqn: 128] [4점][2012년 9월 평가원]

	이차곡선

개념12	✔ 타원 [eqn: { x^2} over {a^2 }+ { y^2} over {b^2 }=1]에서 두 초점을 지름의 양끝으로 하는 원

026. 타원 [eqn: {x ^{2}} over {36 } + {y ^{2}} over {16 } =1]의 두 초점을 [eqn: rmF], [eqn: rm F prime]이라 하자. 이 타원 위의 점 [eqn: rm P]가 [eqn: rm bar{OP} = bar{OF}]를 만족시킬 때, [eqn: bar{rm PF` it} × bar{rm PF prime it}] 의 값을 구하여라. (단, [eqn: rm O]는 원점이다.) [eqn: 32]		027. 두 점 [eqn: rmF(5,```0)], [eqn: rmF(-5,```0)]을 초점으로 하는 타원 위의 서로 다른 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]에 대하여 원점 [eqn: rm O]에서 선분 [eqn: rm PF]와 선분 [eqn: rm QF'`]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm H]와 [eqn: rm I]라 하자. 점 [eqn: rm H]와 점 [eqn: rm I]가 각각 선분 [eqn: rm PF]와 선분 [eqn: rm QF']의 중점이고, [eqn: rm bar OH times bar OI = 10]일 때, 이 타원의 장축의 길이를 [eqn: l]이라 하자. [eqn: l^2]의 값을 구하여라. (단, [eqn: rm bar{OH} != bar{OI}]) [eqn: 180``]

	이차곡선

개념13	✔ 한 점 [eqn: rmP]에서 이차곡선에 그은 두 접선이 서로 수직일 때, [eqn: rmP]의 자취는, ① 포물선 [eqn: y^2 =4px`] : [eqn: x=-p`] (준선) ② 타원 [eqn: x^2 over a^2 + y^2 over b^2 =1] : [eqn: x ^{2} +y ^{2} =a ^{2} +b ^{2}] ③ 쌍곡선 [eqn: x^2 over a^2 - y^2 over b^2 =1] : [eqn: x^2 +y^2 =a^2 -b^2]

028. 직선 [eqn: y=x-3] 위의 한 점 [eqn: rm P it (a,```b)]에서 포물선 [eqn: x ^{2} =12y]에 그은 두 접선이 서로 수직일 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 합 [eqn: a+b]의 값은? ① ① [eqn: -3`] ② [eqn: -2`] ③ [eqn: -1`] ④ [eqn: 2`] ⑤ [eqn: 3`] 029. 점 [eqn: rm P it LEFT ( a,```b RIGHT )]에서 타원 [eqn: {x ^{2}} over {9} + {y ^{2}} over {7} =1]에 그은 두 접선이 서로 수직일 때, [eqn: a ^{2}+b^2]의 값을 구하여라. [eqn: a^2 +b^2 =16]		030. 점 [eqn: rmP]에서 쌍곡선 [eqn: x^2 over9 - y^2 over3 =1]의 [eqn: x>0]인 부분에 그은 두 접선이 서로 수직일 때, 점 [eqn: rmP]가 그리는 도형의 길이는? ② ① [eqn: 2over3 pi] ② [eqn: sqrt6 over3 pi] ③ [eqn: {2sqrt2}over3 pi] ④ [eqn: pi] ⑤ [eqn: {2sqrt3}over3 pi]