			원포인트 개념주입 A 이차곡선

원포인트개념주입

개념1	✏ 포물선의 방정식 ① 초점이 [eqn: (p,```0)], 준선이 [eqn: x=-p]인 포물선의 방정식은 [eqn: y^2 =4px]이다. ② 초점이 [eqn: (0,```p)], 준선이 [eqn: y=-p]인 포물선의 방정식은 [eqn: x^2 =4py]이다. 포물선은 초점에서의 거리와 준선에서의 거리가 같은 점들의 모임이다.

이차곡선

001. 다음 포물선의 방정식을 구하여라. (1) [eqn: {y^2 = -8(x-1)] (2) [eqn: (y-4) ^{2} =4(x+1)] (1) 초점이 [eqn: rmF(-1,```0)], 준선이 [eqn: x=3]인 포물선 (2) 초점이 [eqn: rmF(0,```4)], 준선이 [eqn: x=-2]인 포물선 002. 점 [eqn: rm F LEFT ( -1,```3 RIGHT )]과 직선 [eqn: x=3]에 이르는 거리가 같은 점들이 나타내는 도형이 한 점 [eqn: {rmA} LEFT (a,```6 RIGHT )]을 지날 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하여라. [eqn: - 1 over8]		003. 포물선 [eqn: y^2 =16x] 위의 서로 다른 세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]를 꼭짓점으로 하는 [eqn: triangle rm{ABC]의 무게중심이 이 포물선의 초점 [eqn: rm F]와 일치할 때, [eqn: rm barAF + barBF + barCF]의 값을 구하여라. [eqn: 24] 004. 좌표평면 상의 두 점 [eqn: rmA(1,```0)], [eqn: rmB(5,```3)]과 포물선 [eqn: y^2 =4x] 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: rmtriangle ABP]의 둘레의 최솟값을 구하여라. [eqn: 11]

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개념2	✏ 두 점 [eqn: (c,```0)], [eqn: (-c,```0)]에서부터 거리의 합이 [eqn: 2a]인 타원의 방정식은 [eqn: { x^2} over { a^2}+ { y^2} over {b^2 }=1]이다. (단, [eqn: b^2 =a^2 -c^2])

005. 두 점 [eqn: rmF(2,```0)], [eqn: rmF' (-2,```0)]으로부터의 거리의 합이 [eqn: 6]인 타원의 방정식을 구하여라. [eqn: x^2 over 9 + y^2 over 5 = 1] 006. 두 초점이 [eqn: rmF], [eqn: rmF']인 타원 [eqn: {x ^{2}} over {a^2} + {y ^{2}} over {b^2}=1]에서 [eqn: y]축 위의 한 꼭짓점 [eqn: rmA]에 대하여 [eqn: TRIANGLE rm AFF']의 둘레의 길이가 [eqn: 12]인 정삼각형이다. 이때, [eqn: a^2 + b^2]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a>b>0]) [eqn: 28]		007. 타원 [eqn: {x ^{2}} over {25} + {y ^{2}} over {16} =1] 위의 한 점 [eqn: rmP]와 두 초점 [eqn: rmF], [eqn: rmF']에 대하여 [eqn: rmANGLE FPF'= theta]라고 하자. [eqn: rmbar{PF} : bar{PF prime } =2:3]일 때, [eqn: cos theta]의 값을 구하여라. [eqn: { {1} over {3} }] 008. 타원 [eqn: {x ^{2}} over {8} + {y ^{2}} over {4} =1] 위에 세 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q], [eqn: rm R]가 있다. 두 점 [eqn: rm A LEFT ( 2,```0 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( -2,```0 RIGHT )]에 대하여 [eqn: rm bar{AP} + bar{AQ} + bar{AR} =8 sqrt {2}] 일 때, [eqn: rm bar{BP} + bar{BQ} + bar{BR}]의 값은? ④ ① [eqn: 2] ② [eqn: 2sqrt { 2}] ③ [eqn: 4] ④ [eqn: 4sqrt { 2}] ⑤ [eqn: 8]

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개념3	✏ 두 점 [eqn: (c,```0)], [eqn: (-c,```0)]에서부터 거리의 차가 [eqn: 2a]인 쌍곡선의 방정식은 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1]이다. (단, [eqn: b ^{2} =c ^{2} -a ^{2}]) [eqn: RARROW] 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1]의 두 점근선은 [eqn: y=+- {b} over {a} x]이다.

009. 쌍곡선 [eqn: x^2 over a^2 - y^2 over 9 = 1]의 두 꼭짓점은 타원 [eqn: x^2 over 13 + y^2 over b^2 = 1]의 두 초점이다. [eqn: a^2 + b^2]의 값은? ④ ① [eqn: 10``] ② [eqn: 11``] ③ [eqn: 12``] ④ [eqn: 13``] ⑤ [eqn: 14``] 010. 쌍곡선 [eqn: 9x^2 -16y^2 =144]의 초점을 지나고 점근선과 평행한 [eqn: 4]개의 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이는? ⑤ ① [eqn: 75over16`] ② [eqn: 25over4`] ③ [eqn: 25over2`] ④ [eqn: 75over4`] ⑤ [eqn: 75over2`]		011. 그림과 같이 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} - {y ^{2}} over {3} =1]의 두 초점을 [eqn: rmF], [eqn: rmF'] 이라 하고, 점 [eqn: rmF]를 지나는 직선이 쌍곡선과 만나는 점을 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라고 하자. [eqn: rmTRIANGLE AF prime B]의 둘레의 길이가 [eqn: 24]일 때, 선분 [eqn: rmAB]의 길이를 구하여라. [eqn: 10] 012. 타원 [eqn: x^2 over45 + y^2 over20 =1]과 쌍곡선 [eqn: x^2 over9 - y^2 over16 =1]은 두 초점 [eqn: rmF], [eqn: rmF']을 공유한다. 이 타원과 쌍곡선의 교점이 [eqn: rmP]일 때, [eqn: cos (angle rmF'PF)]의 값은? ⑤ ① [eqn: 1over2 ``] ② [eqn: 1over3``] ③ [eqn: 1over5``] ④ [eqn: 1over7``] ⑤ [eqn: 1over9``]

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개념4	✔ 자취 : 잘 생각해본다.

013. 점 [eqn: rmF(1,```0)]과 직선 [eqn: x=4]로부터 거리의 비가 [eqn: 1:2]인 점 [eqn: rmP]의 자취의 방정식을 구하여라. [eqn: {3x^2 +4y^2 =12}] 014. 점 [eqn: rmP]에서 두 직선 [eqn: 2x-3y=0], [eqn: 2x+3y=0]에 대하여 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmQ], [eqn: rmR]이라 할 때, [eqn: rmbar{PQ} CDOT bar{PR} =13] 를 만족시키는 점 [eqn: rmP]의 자취의 방정식을 구하여라. [eqn: 4x ^{2} `-`9y ^{2} `=`±169] 015. 두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 점 [eqn: (a,```b)]가 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =16] 위의 점일 때, 점 [eqn: LEFT ( {a} over {2} ,``` {b} over {4} RIGHT )]의 자취의 방정식을 구하여라. [eqn: {x ^{2}} over {4} +y ^{2} =1`]		016. 원 [eqn: x^2 +y^2 =4] 위의 점 [eqn: rmA]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmB]라고 할 때, 선분 [eqn: rmAB]의 중점 [eqn: rmP]의 자취의 방정식을 구하여라. [eqn: {x^2 +4y^2 =4}] 017. 그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 6]인 원 [eqn: A] 안에 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 원 [eqn: B]가 내접하고 있다. 이 때, 원 [eqn: A]와 내접하고 원 [eqn: B]와 외접하는 원의 중심 [eqn: rmP]의 자취는? ④ ① 직선 ② 원 ③ 포물선 ④ 타원 ⑤ 쌍곡선

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개념5	✏ 이차곡선 위의 점 [eqn: (x _{1} ,```y _{1} )]에서의 접선 [eqn: RARROW] [eqn: x ^{2} `` -> ``x _{1} x], [eqn: y ^{2} `` -> ``y _{1} y], [eqn: 2x``->``x+x _{1}], [eqn: 2y``->``y+y _{1}]

018. 타원 [eqn: x^2 over 8 + y^2 over 18 =1] 위의 점 [eqn: rmP(2,```3)]에서의 접선과 [eqn: x]축 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하여라. [eqn: 12] 019. 쌍곡선 [eqn: x ^{2} -4y ^{2} =a] 위의 점 [eqn: (b,```1)]에서의 접선이 쌍곡선의 한 점근선과 수직이다. [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 양수이다.) ① ① [eqn: 68] ② [eqn: 77] ③ [eqn: 86] ④ [eqn: 95] ⑤ [eqn: 104]		020. 포물선 [eqn: y^2 = nx]의 초점과 포물선 위의 점 [eqn: (n,```n)]에서의 접선 사이의 거리를 [eqn: d]라 하자. [eqn: d ^{2} GEQ 40]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 최솟값을 구하여라. [eqn: 12]

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개념6	✏ 기울기가 [eqn: m]인 접선 ① 포물선 [eqn: y ^{2} `=4px] : [eqn: y=`mx+ {p} over {m} `] ② 타원 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} `+ {y ^{2}} over {b ^{2}} `=1`] : [eqn: y=mx± sqrt {a ^{2} m ^{2} `+b ^{2} `} `] ③ 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} `-` {y ^{2}} over {b ^{2}} `=`1`] : [eqn: y=mx± sqrt {a ^{2} m ^{2} `-b ^{2} `} `]

021. 포물선 [eqn: y^2 = 4x] 위를 움직이는 점과 직선 [eqn: y=x+3] 사이의 거리의 최솟값을 구하여라. [eqn: sqrt2] 022. 점 [eqn: (a,```3)]에서 포물선 [eqn: y^2 =4x]에 그은 두 접선이 수직일 때, [eqn: a]의 값을 구하여라. [eqn: a=-1]		023. 직선 [eqn: y=2] 위의 점 [eqn: \P]에서 타원 [eqn: x ^{2} + {y ^{2}} over {2} =1]에 그은 두 접선의 기울기의 곱이 [eqn: {1} over {3}]이다. 점 [eqn: rm P]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: k]라 할 때, [eqn: k ^{2}]의 값은? ② ① [eqn: 6] ② [eqn: 7] ③ [eqn: 8] ④ [eqn: 9] ⑤ [eqn: 10]

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개념7	✏ 포물선의 접선에 관련된 성질 : ① 이등변삼각형 ② 마름모 ③ 마름모 대각선의 교점 ✏ 포물선의 초점을 지나는 직선 : [eqn: { 1} over {a }+ { 1 } over {b }= { 1} over {p }]

024. 그림과 같이 포물선 [eqn: y ^{2} =4px```(p>0)] 위의 점 [eqn: {rmP}(x_1 ,```y_1 )]에서의 접선이 [eqn: x]축, [eqn: y]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rmQ], [eqn: rmR]라 할 때, 다음 중 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, 점 [eqn: rmF]는 포물선의 ⑤ 초점이다.) ㄱ. [eqn: rmbar PF = bar QF] ㄴ. [eqn: rm bar PR = bar QR] ㄷ. [eqn: rm bar{PQ} BOT bar{RF}] ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ		025. 자연수 [eqn: n]에 대하여 포물선 [eqn: y^2 = { x} over { n}]의 초점 [eqn: rmF]를 지나는 직선이 포물선과 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]라 하자. [eqn: rmbarPF =1]이고 [eqn: {rmbarFQ} =a_n]이라 할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} {1} over {a _{n}}]의 값을 구하면? ① ① [eqn: 210] ② [eqn: 205] ③ [eqn: 200] ④ [eqn: 195] ⑤ [eqn: 190]

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개념8	✏ 타원의 매개변수 곡선 : [eqn: (a costheta,```b sintheta)]로 잡는다. ✏ 쌍곡선의 점근선에 관련된 성질 : 외울 필요는 없고 이런 것들이 있구나 하고 넘어가자. ① 접점은 접선이 점근선과 만나는 점들의 중점이다. ② 접선과 점근선이 만드는 삼각형의 넓이가 일정하다. ③ 곡선 위의 점에서 점근선들에 내린 수선 길이들의 곱이 일정하다.

026. 타원 [eqn: x ^{2}} over {9} + {y ^{2}} over {4} =1]에 내접하는 직사각형의 넓이의 최댓값을 구하여라. [eqn: {12}] 027. 그림과 같이 타원 [eqn: x^2 over 9 + y^2 over 5 =1] 위의 점 [eqn: rmP]에서의 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rm Q], 점 [eqn: rmP]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 할 때, [eqn: bar{ rm OH it} cdot bar{ rm OQ it}]의 값은? (단, [eqn: rmP]는 제[eqn: 1]사분면의 점이다.) ③ ① [eqn: 3] ② [eqn: 6] ③ [eqn: 9] ④ [eqn: 12] ⑤ [eqn: 15]		028. 타원 [eqn: x^2 +4y^2 =1] 위의 점 [eqn: (x,```y)]에 대하여 [eqn: x+y]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 하자. 이때, [eqn: M^{`2}+m^2]의 값은? ④ ① [eqn: 1] ② [eqn: 5 over 4] ③ [eqn: 5 over 3] ④ [eqn: 5 over 2] ⑤ [eqn: 5] 029. 쌍곡선 [eqn: x ^{2} -y ^{2} = {1} over {2}] 위의 점 [eqn: rmP`]에서 두 점근선에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmQ], [eqn: rmR]이라고 할 때, 사각형 [eqn: rmPQOR]의 넓이는? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.) ① ① [eqn: {1} over {4}] ② [eqn: {1} over {2}] ③ [eqn: 1] ④ [eqn: 2] ⑤ [eqn: 4]