[이차곡선]

B01 | 포물선의 뜻과 방정식

한 점에서의 거리와 한 직선에서의 거리가

개념1

같은 점들의 모임을 포물선이라 한다.

✔ 용어 : 초점, 준선, 꼭짓점, 축

초점이 [eqn: (p,```0)], 준선이 [eqn: x=-p]인 포물선의 방정식은 [eqn: y^2 =4px]이다.

개념2

cf) 초점이 [eqn: (0,```p)], 준선이 [eqn: y=-p]인 포물선의 방정식은 [eqn: x^2 =4py]이다.

다음 포물선의 초점의 좌표와 준선의 방정식을 구하고, 그래프를 그려라.

예제1

(1) [eqn: y^2 =x]	(2) [eqn: y^2 =-2x]

(3) [eqn: x ^{2} =4y]	(4) [eqn: x^2 =-4y]

(5) [eqn: y ^{2} +4x-4y+8=0]

다음 포물선의 방정식을 구하여라.

예제2

(1) 초점이 [eqn: rmF(2,~0)], 준선이 [eqn: x=-2]인 포물선

(2) 초점이 [eqn: rmF(-1,~0)], 준선이 [eqn: x=3]인 포물선

(3) 초점이 [eqn: rmF(0,~4)], 준선이 [eqn: x=-2]인 포물선

포물선의 정의를 이용한 풀이

개념3

[eqn: RARROW] 포물선 위의 점은 초점과 연결하고 준선에다 수선을 내려본다.

포물선 [eqn: y^2 =16x] 위의 서로 다른 세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]에 대하여

예제3

[eqn: triangle rm{ABC]의 무게중심이 이 포물선의 초점 [eqn: rm F]와 일치할 때,

[eqn: rm barAF + barBF + barCF]의 값을 구하여라.

좌표평면 위의 두 점 [eqn: rmA(1,~0)], [eqn: rmB(5,~3)]과 포물선 [eqn: y^2 =4x] 위의

예제4

점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: rmTRIANGLE ABP]의 둘레의 길이의 최솟값을 구하여라.

B02 | 타원의 뜻과 방정식

두 점에서의 거리의 합이 일정한

개념1

점들의 모임을 타원이라 한다.

✔ 용어 : 초점, 장축, 단축, 꼭짓점

※ 장축의 길이가 거리의 합이다.

두 초점이 [eqn: (c,```0)]과 [eqn: (-c,```0)], 거리의 합이 [eqn: 2a]인 타원의 방정식은

개념2

[eqn: { x^2} over { a^2}+ { y^2} over { b^2}=1] ([eqn: b^2 =a^2 -c^2]) 이다.

다음 타원의 그래프를 그리고 꼭짓점과 초점을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: { x^2} over { 25}+ { y^2} over { 16}=1]	(2) [eqn: x^2 + { y^2} over { 2}=1]

두 점 [eqn: rmF(2,```0)], [eqn: rm F` prime (-2,```0)]으로부터 거리의 합이 [eqn: 6]인 점들의 자취를 구하여라.

예제2

타원 [eqn: { x^2} over { 25}+ { y^2} over { 16}=1]의 두 초점 [eqn: rmF], [eqn: rmF']과 타원 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여

예제3

[eqn: rmbarFP :barF'P =3:2]이다. 이때, [eqn: cos(rmangleFPF')]의 값을 구하여라.

타원 [eqn: { x^2} over { 28}+ { y^2} over {12 }=1]과 직선 [eqn: y=m(x-4)]가 만나는 두 점을 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하자.

예제4

점 [eqn: rmF(-4,```0)]에 대하여 삼각형 [eqn: rmABF]의 둘레의 길이를 구하여라.

B03 | 쌍곡선의 뜻과 방정식

두 점에서의 거리의 차가 일정한

개념1

점들의 모임을 쌍곡선이라 한다.

✔ 용어 : 초점, 주축, 점근선

※ 주축의 길이가 거리의 차이다.

두 초점이 [eqn: (c,```0)]과 [eqn: (-c,```0)], 거리의 차가 [eqn: 2a]인 쌍곡선의 방정식은

개념2

[eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1] ([eqn: c ^{2} =a ^{2} +b ^{2}]) 이다.

다음 쌍곡선의 그래프를 그리고 초점과 점근선을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: {x ^{2}} over {9} - {y ^{2}} over {16} =1]	(2) [eqn: x ^{2} - {y ^{2}} over {2} =-1]

두 점 [eqn: rmF(2,```0)], [eqn: rmF` prime (-2,```0)]으로부터 거리의 차가 [eqn: 2]인 점들의 자취를 구하여라.

예제2

길이가 [eqn: 4]인 주축이 [eqn: x]축 위에 놓이고 점근선이 [eqn: y=+-2x]인

예제3

쌍곡선의 방정식을 구하여라.

타원 [eqn: {x ^{2}} over {25} + {y ^{2}} over {9} =1]와 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {9} - {y^2 } over {7}=1]의 교점 중 제[eqn: 1]사분면에

예제4

있는 것을 [eqn: rmP]라 하자. [eqn: rmF(4,```0)]에 대하여 선분 [eqn: rm {FP}]의 길이를 구하여라.

쌍곡선 [eqn: { x^2} over { 16}- { y^2} over {9 }=1]와 직선 [eqn: y=m(x-5)]의 두 교점을 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하고

예제5

[eqn: rmF(-5,```0)]이라 하자. 삼각형 [eqn: rmABF]의 둘레의 길이가 [eqn: rm30]일 때,

선분 [eqn: rm {AB}]의 길이를 구하여라. (단, [eqn: |m|> {3} over {4}])

※ 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1]의 점근선의 방정식이 [eqn: y=+- {b} over {a} x]임을 설명해보자.

B04 | 이차곡선의 자취1(방정식)

※ 어떤 조건 하에서 점이 움직일 때, 점들이 그리는 도형을 점의 자취라 한다.

점 [eqn: {rmP}(x,```y)]의 자취의 방정식은 [eqn: x], [eqn: y]가 만족시키는 관계식이다.

개념1

점 [eqn: \F` ( - 4 ,` `0` )]에서의 거리와 직선 [eqn: x `= -1]에서의 거리의 비가

예제1

[eqn: 2:1]인 점의 자취의 방정식을 구하여라.

점 [eqn: rmP]에서 두 직선 [eqn: x-2y=0], [eqn: x+2y=0]에 내린 수선의 발을 각각

예제2

[eqn: rmA], [eqn: rmB]라 할 때, [eqn: rm bar{PA} CDOT bar{PB} =20]을 만족시키는 점 [eqn: rmP]의 자취의 방정식을 구하여라.

한 점 [eqn: rm A LEFT ( 3,```1 RIGHT )]을 지나고, 직선 [eqn: x=-1]에 접하는 원의 중심 [eqn: rmC]의

예제3

자취의 방정식을 구하여라.

매개변수를 이용하여 표현된 자취

개념2

점 [eqn: {rmP}(x,```y)]가 매개변수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: x=f(t)], [eqn: y=g(t)]와 같이 나타날 때,

[eqn: t]를 소거, [eqn: x], [eqn: y]에 대한 식으로 정리하여 점 [eqn: rmP]의 자취의 방정식을 구한다.

포물선 [eqn: y^2 = 8x] 위의 점 [eqn: RMP]와 이 포물선의 초점 [eqn: RM F]에 대하여

예제4

선분 [eqn: RM {PF}]의 중점의 자취의 방정식을 구하여라.

원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =4] 위의 점 [eqn: rmP]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 할 때,

예제5

선분 [eqn: rmPH]의 중점 [eqn: rmQ]의 자취의 방정식을 구하여라.

길이가 [eqn: 10]인 선분 [eqn: rm { AB }]의 양 끝점 [eqn: rm { A], [eqn: rmB]가 각각 [eqn: x]축, [eqn: y]축 위를 움직인다.

예제6

이 때, 선분 [eqn: rm { AB }]를 [eqn: 2:3]으로 내분하는 점 [eqn: {rmP}(x,```y)]의 자취의 방정식을 구하여라.

두 직선 [eqn: y = sqrt 3 x], [eqn: y = - sqrt 3 x] 위를 각각 움직이는 두 점

예제7

[eqn: rmP], [eqn: rmQ]에 대하여 [eqn: rmTRIANGLE OPQ]의 넓이가 [eqn: rm3 sqrt 3]으로 일정할 때,

선분 [eqn: rmPQ]의 중점의 자취의 방정식을 구하여라. (단, [eqn: rmO]는 원점)

B05 | 이차곡선의 자취2(정의)

이차곡선의 정의에 의한 자취

개념1

① 포물선 : 한 점에서의 거리와 한 직선에서의 거리가 같은 점들의 모임

② 타원 : 두 점에서의 거리의 합이 일정한 점들의 모임

③ 쌍곡선 : 두 점에서의 거리의 차가 일정한 점들의 모임

점 [eqn: rmA(0,```2)]를 지나고 [eqn: x]축에 접하는

예제1

원의 중심 [eqn: rm P]의 자취의 방정식을 구하여라.

원 [eqn: LEFT ( x-3 RIGHT )^2 + LEFT ( y+6 RIGHT )^2 =4]에 외접하고, [eqn: x]축에 접하는

예제2

원의 중심 [eqn: rmP]의 자취의 방정식을 구하여라.

원 [eqn: (x+1) ^{2} +y ^{2} =1]에 외접하고, 원 [eqn: (x-1) ^{2} +y ^{2} =25]에 내접하는

예제3

원의 중심 [eqn: {rmC}(x,```y)]의 자취의 방정식을 구하여라.

B06 | 이차곡선의 접선

포물선의 접선

개념1

① 포물선 [eqn: y^2 =4px] 위의 점 [eqn: (x_1`,```y_1 )]에서 접하는 직선 : [eqn: y_1 y=2px+2px_1]

② 포물선 [eqn: y^2 =4px]에 접하는 기울기 [eqn: m]인 직선 : [eqn: y=mx+ { p} over { m}]

③ 포물선 [eqn: x ^{2} =4py]에 접하는 기울기 [eqn: m]인 직선 : [eqn: y=mx-m ^{2} p]

✔ 포물선 밖의 점에서 접선을 그을 때는 접점이나 기울기를 설정해서 푼다.

다음 접선의 방정식을 구하여라.

예제1

(1) 포물선 [eqn: y ^{2} =x] 위의 점 [eqn: (4,```-2)]에서 접하는 직선

(2) 포물선 [eqn: y ^{2} =4x]에 접하며 기울기가 [eqn: 2]인 직선

(3) 포물선 [eqn: y ^{2} =4x]에 접하며 점 [eqn: left(-1,``` {3} over {2} right)]을 지나는 직선

(4) 이차곡선 [eqn: x^2 -2x-y^2 -4y=12] 위의 점 [eqn: (-4,```2)]에서 접하는 직선

타원의 접선

개념2

① 타원 [eqn: { x^2} over { a^2}+ { y^2} over {b^2 }=1] 위의 점 [eqn: (x_1`,```y_1 )]에서 접하는 직선 : [eqn: {x _{1} x} over {a ^{2}} + {y _{1} y} over {b ^{2}} =1]

② 타원 [eqn: { x^2} over { a^2}+ { y^2} over {b^2 }=1]에 접하는 기울기 [eqn: m]인 직선 : [eqn: y=mx+- sqrt {a ^{2} m ^{2} +b ^{2}}]

다음 접선의 방정식을 구하여라.

예제2

(1) 타원 [eqn: {x ^{2}} over {4} +y ^{2} =1] 위의 점 [eqn: left(1,``` {sqrt {3}} over {2} right)]에서 접하는 직선

(2) 기울기가 [eqn: 1]이며 타원 [eqn: {x ^{2}} over {4} +y ^{2} =1]에 접하는 직선

점 [eqn: (2,```1)]을 지나고 타원 [eqn: {x ^{2}} over {2} +y ^{2} =1]에 접하는 직선의 방정식을 구하여라.

예제3

쌍곡선의 접선

개념3

① 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1] 위의 점 [eqn: (x_1`,```y_1 )]에서 접하는 직선 : [eqn: {x _{1} x} over {a ^{2}} - {y _{1} y} over {b ^{2}} =1]

② 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1]에 접하는 기울기 [eqn: m]인 직선 : [eqn: y=mx± sqrt {a ^{2} m ^{2} -b ^{2}}]

※ 쌍곡선의 점근선과 접선이 그어지는 개수와 접점의 위치

점 [eqn: (2,```1)]에서 쌍곡선 [eqn: 2x ^{2} -3y ^{2} =6]에 그은 접선의 방정식을 구하여라.

예제4

기울기가 [eqn: root3]이며 쌍곡선 [eqn: x^2 over 4 - y^2 over 3 =1`]에 접하는

예제5

두 직선 사이의 거리를 구하여라.

쌍곡선 [eqn: x^2 -y^2 =2`]와 직선 [eqn: y=mx+2`]가 두 점에서

예제6

만나는 [eqn: m]값의 범위를 구하여라.

B07 | 포물선의 접선의 성질

포물선의 접선과 마름모

개념1

① [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표 [eqn: -a]

② [eqn: rm bar{PF} = bar{AF}]

③ 마름모

④ [eqn: y]축 위의 대각선의 교점 [eqn: {b} over {2}]

포물선 [eqn: y ^{2} =4x] 위의 점 [eqn: rm`P][eqn: (x _{1} ,```y _{1} )] [eqn: (y _{1} >0)]에서의 접선을 [eqn: l],

예제1

초점 [eqn: rm F]에서 직선 [eqn: l]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 하자.

삼각형 [eqn: rm OFH]의 넓이가 [eqn: {1} over {2}] 이상이 되게 하는 [eqn: x _{1}]의 조건을 구하여라.

B08 | 포물선의 초점을 지나는 직선

포물선의 초점을 지나는 직선

개념1

① 준선 위의 점과의 관계

② 두 접선이 서로 수직임

③ 산술, 기하, 조화평균

④ [eqn: {1} over {a} + {1} over {b} = {1} over {p}]

자연수 [eqn: n]에 대하여 포물선 [eqn: y ^{2} = {x} over {n}]의 초점 [eqn: rm F]를 지나는 직선이

예제1

포물선과 만나는 두 점을 각각 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]라 하자.  [eqn: rm bar{PF} =1]이고 [eqn: rm bar{FQ} =][eqn: a _{n}]이라

할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{10} {1} over {a _{n}}]의 값을 구하여라.

포물선 [eqn: y ^{2} =8x]와 직선 [eqn: y=2x-4]의 두 교점을 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하고

예제2

[eqn: rmA], [eqn: rmB]에서 포물선의 준선에 내린 수선을 발을 각각 [eqn: rmC], [eqn: rmD]라 할 때,

사다리꼴 [eqn: rmABDC]의 넓이를 구하여라.

※ [eqn: {1} over {a} + {1} over {b} = {1} over {p}]만으로도 꽤 행복하지만 아래의 식이 더 유용하다.

포물선의 초점을 지나는 반직선 : [eqn: {a-2p} over {a} = {2p-b} over {b} =costheta]

B09E1 | 타원과 쌍곡선의 성질

타원 [eqn: { x^2} over { a^2}+ { y^2} over {b^2 }=1]은 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =a ^{2}]를

개념1

[eqn: y]축의 방향으로 [eqn: {b} over {a}]배 시킨 도형이다.

① 타원 위의 점 : [eqn: (a cos theta ,```b sin theta )]

② 타원의 넓이는 [eqn: ab pi]이다.

③ [eqn: bar{rm OH it} CDOT bar{rm OQ it}] 일정

타원 [eqn: x ^{2}} over {9} + {y ^{2}} over {4} =1]에 내접하는 직사각형의 넓이의 최댓값을 구하여라.

예제1

타원 [eqn: x ^{2} + {y ^{2}} over {4} =1] 위의 점 [eqn: rmP]에서 접하는 접선의 [eqn: x]절편을 [eqn: rmA],

예제2

[eqn: y]절편을 [eqn: rmB]라 할 때, 삼각형 [eqn: rmOAB]의 넓이의 최솟값을 구하여라.

쌍곡선과 점근선이 만족시키는 성질

개념2

① [eqn: rmP]는 선분 [eqn: rmQR]의 중점이다.

② [eqn: rmtriangleOQR]의 넓이는 [eqn: ab]로 일정하다.

③ [eqn: rm barPH cdotbar{PH'}]의 값은 [eqn: {a ^{2} b ^{2}} over {a ^{2} +b ^{2}}]으로 일정하다.

※ 가끔 보이는데, 모르면 털릴 수 있다.

B09E2 | 준선과 준원

점 [eqn: rmP]에서 곡선에 그은 두 접선이 서로 수직일 때, 점 [eqn: rmP]의 자취는,

개념1

① 포물선 [eqn: y ^{2}=4px] : [eqn: x=-p]

② 타원 [eqn: { x^2} over { a^2}+ { y^2} over {b^2 }=1] : [eqn: x ^{2} +y ^{2} =a ^{2} +b ^{2}]

③ 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1] : [eqn: x ^{2} +y ^{2} =a ^{2} -b ^{2}] (점근선 제외)

※ 내신/논술에 가끔 보이는 문항. 증명해보자.

B09E3 | 극선의 방정식

점 [eqn: {rm P}(x_1 ,```y_1 )]에서 곡선에 그은 두 접선의 접점을 지나는 직선의 방정식은,

개념1

① 포물선 [eqn: y ^{2}=4px] : [eqn: y_1 y =2px+2px_1]

② 타원 [eqn: { x^2} over { a^2}+ { y^2} over {b^2 }=1] : [eqn: {x _{1} x} over {a ^{2}} + {y _{1} y} over {b ^{2}} =1]

③ 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1] : [eqn: {x _{1} x} over {a ^{2}} - {y _{1} y} over {b ^{2}} =1]

※ 가끔 보이는데, 모르면 털릴 수 있다.