			미적분 단원평가 수열의 극한

	미적분 단원평가 [수열의 극한]

001. [eqn: lim _{n->inf} {1 over {root{n^2 + 2n+3} -n +1} }]의 값은? ① ① [eqn: 1 over2] ② [eqn: 1] ③ [eqn: 3 over2] ④ [eqn: 2] ⑤ [eqn: 5 over2]
002. 수렴하는 수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: a_1 =2]이고, [eqn: a_n+1 = 3n(2n+3) over{(2n-1)(2n+1)} -2a_n ~(n=1,```2,```3,```cdots)] 이 성립할 때, [eqn: lim_n->inf{a_n =alpha]이다. 이때 [eqn: 30 alpha]의 값을 구하여라. [eqn: 15]

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003. 두 수열 [eqn: left{a_n right}], [eqn: left{b_n right}]에 대하여 [eqn: lim_n->inf{(a_n -b_n ) =2], [eqn: lim_n->inf{a_n = inf] 일 때, [eqn: lim_n->inf {2a_n -3b_n} over {a_n +2b_n}]의 값은? ④ ① [eqn: -3] ② [eqn: - 3 over2] ③ [eqn: -1] ④ [eqn: - 1over3] ⑤ [eqn: 1]
004. [eqn: 0<a<b]일 때, [eqn: lim_n->inf {(a^n +b^n ) ^{1overn}]의 값은? ⑤ ① [eqn: a] ② [eqn: { a} over {2 }] ③ [eqn: 1] ④ [eqn: {b} over {2}] ⑤ [eqn: b]

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005. 수열 [eqn: left{a_n}right]에 대하여 [eqn: 2n^2 -1 < 3n^2 a_n < 2n^2 +1] 일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {60a _{n}}]의 값을 구하여라. [eqn: 40]
006. 수열 [eqn: left{a_n right}], [eqn: left{b_n right}]에 대한 다음 보기의 설명 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ③ ㄱ. [eqn: lim_n->inf LEFT | a_n RIGHT | =0]이면 수열 [eqn: left{a_n right}]은 수렴한다. ㄴ. [eqn: lim_n->inf a_n overn =0]이면 수열 [eqn: left{a_n right}]은 수렴한다. ㄷ. 두 수열 [eqn: left{a_n +b_n right}], [eqn: left{a_n -b_n right}]이 모두 수렴하면 수열 [eqn: left{a_n right}]과 수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]은 모두 수렴한다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

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007. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: lim _{n -> INF } {} {3 ^{n} a _{n}} over {2 ^{n} +5}]이 [eqn: 0]이 아닌 실수로 수렴할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{n}} over {a _{n+1}}]의 값은? ③ ① [eqn: 3over5] ② [eqn: 2over3] ③ [eqn: 3 over2] ④ [eqn: 5over3] ⑤ [eqn: 8over3]
008. 급수 [eqn: lim _{n -> INF } {} sum _{k=1} ^{n} LEFT { {1+(-1) ^{k}} over {3} RIGHT } ^{k}]의 값은 [eqn: q overp]이다. [eqn: 10p+q]의 값을 구하여라. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [eqn: 54]

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009. 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} =1], [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (a _{n} ) ^{2} =3]일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (a _{n} ) ^{3}]의 값을 구하여라. [eqn: 3]
010. 자연수 [eqn: n]에 대하여 곡선 [eqn: y=x ^{2}] 위의 점 [eqn: (n,```n^2 )]에서의 접선과 [eqn: y]축의 교점의 좌표를 [eqn: (0,```g(n))]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} {g(n)+g( sqrt {n ^{2} +n} )} over {n ^{2}}]의 값은? ① ① [eqn: -2] ② [eqn: -1] ③ [eqn: 0] ④ [eqn: 1] ⑤ [eqn: 2]

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011. 다음 그림과 같이 나열된 수들의 총합이 [eqn: n(n+1)(n+2)]일 때, [eqn: lim_n->inf a_n overn]의 값을 구하여라. [eqn: 3]
012. 등비수열 [eqn: left{left( x over4 +1 right)^n right}]과 등비급수 [eqn: sum _{ n=1} ^{inf } left( 1over{x^2 +1} right) ^n]이 모두 수렴하도록 하는 [eqn: x]의 값의 범위는? ① ① [eqn: -8<x<0] ② [eqn: -8<x LEQ 0] ③ [eqn: -8 LEQ x LEQ 0] ④ [eqn: -4<x<0] ⑤ [eqn: -4<x LEQ 0]

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013. 다음 보기의 급수 중 발산하는 것만을 있는 대로 고른 것은? ⑤ ㄱ. [eqn: sum _{ n=1} ^{inf } 2n over 3n+1] ㄴ. [eqn: sum _{ n=1} ^{inf } (root n+2 - rootn+1 )] ㄷ. [eqn: sum _{ n=1} ^{inf } left( 2n-1 over n+1 - 2n+1 overn+2 right)] ㄹ. [eqn: sum _{ n=1} ^{inf } {1+2+3+`cdots`+n} overn^2] ① ㄱ, ㄴ ② ㄱ, ㄷ ③ ㄴ, ㄹ ④ ㄱ, ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄹ
014. 두 수열 [eqn: left{a_n right}], [eqn: left{b_n right}]에 대한 다음 보기의 설명 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ⑤ ㄱ. [eqn: sum _{ n=1} ^{inf } a_n b_n]이 수렴하고 [eqn: lim_n->inf b_n =2]일 때, [eqn: lim_n->inf a_n =0]이다. ㄴ. [eqn: sum _{ n=1} ^{inf } a_n]과 [eqn: sum _{ n=1} ^{inf } b_n]이 수렴하면 [eqn: lim_n->inf a_n b_n =0]이다. ㄷ. [eqn: sum _{ n=1} ^{inf } a_n]과 [eqn: sum _{ n=1} ^{inf } b_n]이 수렴하면 [eqn: sum _{ n=1} ^{inf } 2^{a_n +b_n}]은 발산한다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

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015. 다음 그림과 같이 점 [eqn: rm{P_1 (2,```0)]에서 직선 [eqn: y=x]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmP_2], 점 [eqn: rm P _{2}]에서 [eqn: y`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm P _{3}], 점 [eqn: rm P _{3}]에서 직선 [eqn: y=-x]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm P _{4}]라 한다. 이와 같은 과정을 한없이 반복할 때, [eqn: rm bar { P_1 P_2}+bar { P_2 P_3}+bar { P_3 P_4}+ `cdots]의 합은? ③ ① [eqn: 1+root2] ② [eqn: 2+ root2] ③ [eqn: 2+ 2root2] ④ [eqn: 4+2 root2] ⑤ [eqn: 2 +4 root2]
016. 어떤 작물의 경작지 [eqn: 1rm m^2]당 [eqn: 1]년 동안 사용하는 농약 속에는 총 [eqn: 36 rm mg]의 중금속이 포함되어 있고 연말에 이 경작지에 남아 있는 중금속을 측정하면 항상 전체의 [eqn: 3over4]은 없어지고 처음 중금속의 양의 [eqn: 1over4]만 남는다. 이와 같은 농약을 올해부터 사용하기 시작하여 매년 말에 경작지 [eqn: 1rmm^2]당 남아 있는 중금속의 양을 계속해서 측정할 때, 토양에 남아 있는 중금속의 양은 어떤 값에 가까워지겠는가? ① ① [eqn: 12rmmg] ② [eqn: 14rmmg] ③ [eqn: 16 rmmg] ④ [eqn: 18rmmg] ⑤ [eqn: 20 rmmg]

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017. 수렴하는 수열 [eqn: left{a_n right}]이 [eqn: a_1 = root3], [eqn: a_2 = sqrt { 3sqrt {3 } }], [eqn: a_3 = sqrt {3 sqrt {3 sqrt { 3} } }], [eqn: cdots] 과 같이 정의될 때, [eqn: lim_n->inf a_n]의 값을 구하여라. [eqn: 3]
018. 수렴하는 수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: LEFT ( a _{1} - {1} over {1 ^{2}} RIGHT ) + LEFT ( a _{2} - {1+2} over {2 ^{2}} RIGHT ) + CDOTS] [eqn: + LEFT ( a _{n} - {1+2+3+` CDOTS `+n} over {n ^{2}} RIGHT ) + CDOTS] 이 수렴할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} 20a _{n}]의 값을 구하여라. [eqn: 10]

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019. 구 모양의 효모 한 개는 자신의 반지름의 길이의 [eqn: 1over2]을 반지름으로 하는 효모 [eqn: 3]개를 생성하는 분열을 한다. 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 효모 한 개가 다음 그림과 같이 계속 분열을 할 때, 모든 효모의 부피의 합은 [eqn: q overp pi]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하여라. (단, 한 번 분열한 효모는 다시 분열하지 않고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [eqn: 47]
020. 규칙 [eqn: S]를 실수 [eqn: a(a>1)]에 대하여 [eqn: b=sum _{ n=1} ^{inf } left(1overa right) ^n]으로 정의하며 [그림1]과 같이 나타내고 규칙 [eqn: T]를 실수 [eqn: c]에 대하여 [eqn: d=16^c]으로 정의하며 [그림2]와 같이 나타내기로 한다. 다음 그림의 실수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]에 대하여 [eqn: xz overy]의 값을 구하여라. [eqn: 40]

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021. 수열 [eqn: 1], [eqn: -1], [eqn: 1], [eqn: -1], [eqn: 1], [eqn: -1], [eqn: cdots]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S_n]에 대하여 [eqn: S = lim_n->inf {S_1 +S_2 +S_3 +`cdots`+S_n} overn] 이라 할 때, [eqn: 10S]의 값을 구하여라. [eqn: 5]
022. 자연수 [eqn: n]에 대하여 원점 [eqn: rm O]와 점 [eqn: (n,```0)]을 이은 선분을 밑변으로 하고, 높이가 [eqn: h_n]인 삼각형의 넓이를 [eqn: a_n]이라 하자. 수열 [eqn: left{a_n right}]은 첫째항이 [eqn: 1over2]인 등비수열 일 때, 다음 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ⑤ ㄱ. 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_n = 1over2]이면 [eqn: h_n = 1overn] ㄴ. [eqn: h_2 = 1over4]이면 [eqn: a_n = left( 1over2 right) ^n] ㄷ. [eqn: h_2 < 1over2]이면 [eqn: lim_n->inf nh_n =0] ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

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023. 자연수 [eqn: n]에 대하여 집합 [eqn: A_n]을 [eqn: A _{n} = LEFT { x LEFT | LEFT | {x} over {n} -1 RIGHT | < {1} over {2} + {1} over {2 ^{2}} + {1} over {2 ^{3}} +` CDOTS `+ {1} over {2 ^{n}},```x는```정수 right}] 로 정의한다. 집합 [eqn: A_n]의 원소의 개수를 [eqn: a_n]이라 할 때, [eqn: lim_n->inf a_n overn]의 값을 구하여라. [eqn: 2]
024. 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정삼각형의 각 변을 [eqn: n]등분한 점들을 각 변에 평행한 선분들로 모두 이을 때 만들어지는 도형에서 선분들의 총 길이의 합을 [eqn: a_n]이라 하고 선분들의 교점인 꼭짓점의 총 개수를 [eqn: b_n]이라 하자. 이때 [eqn: lim_n->inf {a_n b_n} over n^3]의 값은? ③ ① [eqn: 1over4] ② [eqn: 1over2] ③ [eqn: 3over4] ④ [eqn: 1] ⑤ [eqn: 5over4]

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025. 다음 그림과 같이 길이가 [eqn: 12]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 원을 그리고, 선분 [eqn: rm AB]의 [eqn: 3]등분점을 각각 [eqn: rm P_1], [eqn: rmP_2]라 하고 선분 [eqn: rm AP_1]을 지름으로 하는 원의 아래쪽 반원의 호, 선분 [eqn: rm AP_2]를 지름으로 하는 원의 아래쪽 반원의 호, 선분 [eqn: rmP_2 B]를 지름으로 하는 원의 위쪽 반원의 호, 선분 [eqn: rm P_1 B]를 지름으로 하는 원의 위쪽 반원의 호를 경계로 하여 만든 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: rmR_1]이라 하자. 그림 [eqn: rm R_1]에서 선분 [eqn: rmAB] 위의 색칠되지 않은 두 선분 [eqn: rm AP_1], [eqn: rm P_2 B]를 각각 지름으로 하는 두 원을 그리고, 이 두 원 안에 각각 그림 [eqn: rmR_1]을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 두 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: rmR_2]라 하자. 그림 [eqn: rmR_2]에서 두 선분 [eqn: rm AP_1], [eqn: rmP_2 B] 위의 색칠되지 않은 네 선분을 각각 지름으로 하는 네 원을 그리고, 이 네 원 안에 각각 그림 [eqn: rmR_1]을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 네 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: rm R_3]이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 그림 [eqn: rmR_n]에 색칠되어 있는 모든 모양의 도형의 넓이의 합을 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: lim_n->inf S_n]의 값은? ③ ① [eqn: 87 over7 pi] ② [eqn: 95 over 7 pi] ③ [eqn: 108 over7 pi] ④ [eqn: 118 over7 pi] ⑤ [eqn: 125 over7 pi]