			원포인트 개념주입 C 적분법

원포인트개념주입

개념1	✔ 부정적분 : 대충 할 줄 알아야 된다.

적분법

001. 다음 부정적분을 하여라. (1) [eqn: { 2} over { 3}x^ {{ 3} over {2 }} +2x^{ { 1} over { 2} }+C] (2) [eqn: {1} over {10} (2x+1) ^{{5} over {2}} - {1} over {6} (2x+1) ^{{3} over {2}} +C] (3) [eqn: -ln|cosx|+C] (4) [eqn: ln|secx+tanx|+C] (5) [eqn: {e ^{x} (sinx-cosx)} over {2} +C] (6) [eqn: x (lnx)^2 -2 x lnx+2x+C] (7) [eqn: 2ln|x-1|+3ln|x-2|+C] (8) [eqn: ln { |x|^3} over {|x-1|^3 } - { 1} over {x }+C] (9) [eqn: ln|e^2x-1 +1|-2ln|e^2x-1 +1 |+C] (10) [eqn: {1} over {2} x- {sinx} over {2} +C] (11) [eqn: {1} over {4} x ^{2} - {1} over {4} x`sin2x- {1} over {8} `cos2x+C] (12) [eqn: {1} over {2} `tanx+C] (1) [eqn: int _{} ^{} {} {x+1} over {sqrt {x}}dx] (2) [eqn: int _{} ^{} {} x sqrt {2x+1} dx] (3) [eqn: int _{} ^{} {} tanxdx] (4) [eqn: int _{} ^{} {} secxdx] (5) [eqn: int _{} ^{} {} e ^{x} sinxdx] (6) [eqn: int _{} ^{} {(ln`x) ^{2} dx}] (7) [eqn: int _{} ^{} {} {5x-7} over {x ^{2} -3x+2} dx] (8) [eqn: int { 6x^2 -2x-2} over { x^2 (x-1)}dx] (9) [eqn: int {1} over {1+e ^{2x-1}} dx] (10) [eqn: int _{} ^{} {sin ^{2} {x} over {2} dx}] (11) [eqn: int _{} ^{} {x`cos ^{2} xdx}] (12) [eqn: int _{} ^{} {{1} over {1+cos2x} dx}]

	적분법

002. [eqn: tan x over 2 = t]로 치환하여 다음 부정적분을 구하여라. (1) [eqn: 1over 4 `ln left| { 2+ tan x over 2 } over { 2- tan x over 2 } right| + C] (2) [eqn: 1 over 5` ln left| { 1+3 tan x over 2 } over { 3- tan x over 2 } right| + C] (1) [eqn: int 1 over { 3+ 5 cos x } d x] (2) [eqn: int 1 over { 4 sin x + 3 cos x } d x]
003. 다음 부정적분을 구하여라. (1) [eqn: {4} over {5} (1+ sqrt {x} ) ^{{5} over {2}} - {4} over {3} (1+ sqrt {x} ) ^{{3} over {2}} +C] ([eqn: root { 1+ root x } = t]로 치환) (2) [eqn: { 2 ( x^2 - 3 + x root { x^2 + 3 }) } over { 3 root { x + root { x^2 + 3 }}} + C] ([eqn: x + root { x^2 + 3 } = t]로 치환) (3) [eqn: ln|x+ sqrt {x ^{2} -1} |+C] ( [eqn: x+ sqrt {x ^{2} -1} =t]로 치환) (4) [eqn: {1} over {2} left( sqrt {x ^{2} +1} +ln left|x+ sqrt {x ^{2} +1} right|right)] ( [eqn: x+ sqrt {x ^{2} +1} =t]로 치환) (1) [eqn: int root { 1+ root x } dx] (2) [eqn: int root { x + root { x^2 + 3 }} dx] (3) [eqn: int {1} over {sqrt {x ^{2} -1}} dx] (4) [eqn: int sqrt {1+x ^{2}} dx]

	적분법

개념2	✔ 합성함수, 곱의 미분의 역산을 생각해보면, ① [eqn: int f(x)f` prime (x)dx= {1} over {2} LEFT { f(x) RIGHT } ^{2}+C] ② [eqn: int _{} ^{} {} {f`'(x)} over {f(x)} dx=ln|f(x)|+C] ③ [eqn: f(x)+f`'(x)] [eqn: RARROW] 양변에 [eqn: e^x]를 곱해서 적분한다.

004. 다음을 만족시키는 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]를 찾으라. (1) [eqn: f(x)= {1} over {2} + {1} over {x}] (2) [eqn: f(x)= sqrt {2e ^{x} +2}] (3) [eqn: f(x)=e ^{x}] (4) [eqn: f(x)= {e ^{2x}} over {1+e ^{2x}}] (5) [eqn: f(x)=(x-1)e ^{x}] (6) [eqn: f(x)=2x ^{2} -4x+4+e ^{x}] (1) [eqn: x ^{2} f`'(x)+2xf(x)=x+1], [eqn: f(2)=1] (단, [eqn: x>0]) (2) [eqn: f(x)f`'(x)=e ^{x}], [eqn: f(0)=2] (3) [eqn: f`'(x)=f(x)], [eqn: f(0)=1] (4) [eqn: {f` prime (x)} over {f(x)} + {f` prime (x)} over {1-f(x)} =2], [eqn: f(0) = 1 over2] (단, [eqn: 0<f(x) <1]) (5) [eqn: f(x)+f`'(x)=x], [eqn: f(1)=0] (6) [eqn: f(x)=f` prime (x)+2x ^{2}], [eqn: f(0)=5]

	적분법

005. [eqn: x>0]에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: { f(x)} over { x}+f`'(x)=left(2+ { 1} over { x}right)lnx], [eqn: f(1)=- { 3} over {2 }] 을 만족시킬 때, [eqn: f(e)]의 값은? (단, [eqn: e]는 자연로그의 밑이다.) ② ① [eqn: { e} over {4 }] ② [eqn: { e} over { 2}] ③ [eqn: { 3} over { 4}e] ④ [eqn: e] ⑤ [eqn: { 5} over { 4}e]
006. [eqn: x>0]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]는 이계도함수가 존재하고 다음 두 조건을 만족시킨다. (가) [eqn: f(1)=2] (나) [eqn: xf`'(x)-2f(x)+3=0] (다) [eqn: f`'(x)!=0] 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? ⑤ ㄱ. [eqn: f`'(1)=1] ㄴ. [eqn: f`''(1)=1] ㄷ. [eqn: f( sqrt { 3 })=3] ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

	적분법

개념3	✔ 리만합의 표현법 ① 왼쪽합 [eqn: sum _{k=1} ^{n} f(x _{k-1} )DELTAx], 오른쪽합 [eqn: sum _{k=1} ^{n} f(x _{k} ) DELTA x] ② 사다리꼴 합 [eqn: sum _{k=1} ^{n} {f(x _{k-1} )+f(x _{k} )} over {2} DELTA x] ③ [eqn: 2n]등분 : [eqn: sum _{k=1} ^{n} {f(x _{k-1} )+f(x _{k} )} over {2} DELTA x]

007. 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f( x)]가 있다. [eqn: 2] 이상인 자연수 [eqn: n]에 대하여 닫힌구간 [eqn: [ 0,``` 1]]을 [eqn: n]등분한 각 분점(양 끝점도 포함)을 차례대로 [eqn: 0= x_0 ,~ x_1 ,~ x_2 ,~ cdots,~ x_n-1 ,~ x_n = 1`] 이라 할 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? ② ㄱ. [eqn: n=2m```(m은```자연수)]이면 [eqn: sum_k=0^m-1 {f left( x_2k right)}over m ≤ sum_k=0^n-1 {f left( x_k right)}over n]이다. ㄴ. [eqn: lim_n->inf sum_k=1^n 1over n left{ {f left( x_k-1 right)+ f left( x_k right)}over2 right} = int_0^1 f( x)dx] ㄷ. [eqn: sum_k=0^n-1 {f left( x_k right)}over n le int_0^1 f( x)dx le sum_k=1^n {f left( x_k right)}over n] ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄴ, ㄷ

	적분법

008. 그림은 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프이다. 구간 [eqn: LEFT [ 0,```1 RIGHT ]]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 역함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 존재하고 연속일 때, 극한값 [eqn: lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} LEFT { g LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) -g LEFT ( {k-1} over {n} RIGHT ) RIGHT } {k} over {n}}]와 같은 값을 갖는 것은[eqn: ?] ③ ① [eqn: int _{0} ^{1} {g LEFT ( x RIGHT ) dx}] ② [eqn: int _{0} ^{1} {xg LEFT ( x RIGHT ) dx}] ③ [eqn: int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}] ④ [eqn: int _{0} ^{1} {xf LEFT ( x RIGHT ) dx}] ⑤ [eqn: int _{0} ^{1} {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT }} dx]
009. 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다. [eqn: lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} LEFT [ f LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) {1} over {n} + LEFT { f` LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) -f LEFT ( {k-1} over {n} RIGHT ) RIGHT } {k} over {n} RIGHT ]}]의 값을 구하여라. (가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f`'(x)>0] (나) [eqn: f(0)=0], [eqn: f(1)=5] [eqn: 5] (단, [eqn: f ^{-1} (x)]는 [eqn: f(x)]의 역함수이다.)

	적분법

개념4	✔ 구분구적법 : ① 구간을 [eqn: n]등분하여 주어진 도형을 [eqn: n]개의 기본 도형으로 분할한다. ② [eqn: k]번째 기본 도형의 넓이를 [eqn: k]에 대한 식으로 나타낸다. ③ [eqn: n]개의 기본 도형의 넓이의 합 [eqn: S _{n]을 구한다. ④ 넓이의 합 [eqn: S _{n}]의 극한값 [eqn: lim _{n-> INF } {S _{n}]을 구한다.

010. 다음은 반지름의 길이가 [eqn: r]인 구의 부피를 구분구적법을 이용하여 구하는 과정이다. 오른쪽 그림과 같이 반구의 반지름 [eqn: rmOA]를 [eqn: n]등분한 후, 각 분점을 지나고 밑면에 평행한 평면으로 반구를 잘라 [eqn: (가)]개의 원기둥을 만든다. 이 때 아래에서 [eqn: k]번째에 있는 원기둥의 밑면의 반지름의 길이 [eqn: r _{k}]는 [eqn: r _{k} = {r} over {n} cdot(나)]이다. 따라서 [eqn: (가)]개의 원기둥의 부피의 합 [eqn: V _{n}]은 [eqn: V _{n} = {r} over {n} sum _{k=1} ^{(가)} pi LEFT ( {r} over {n} cdot(나) RIGHT ) ^{2}] 반구의 부피를 [eqn: V]라 하면 [eqn: V _{n} = lim _{n -> INF } {{r ^{3} pi } over {n ^{3}} sum _{k=1} ^{(가)} (나) ^{2} = lim _{n -> INF } {{r ^{3} pi } over {n ^{3}} LEFT { n ^{2} LEFT ( n-1 RIGHT ) - {n LEFT ( n-1 RIGHT ) (2n-1)} over {6} RIGHT } = {2} over {3} pi r ^{3}}}] 이므로 구의 부피는 [eqn: {4} over {3} pi r ^{3}]이다. 위의 과정에서 ( ) 안의 (가), (나)에 알맞은 것을 차례로 나열하면? ④ ① [eqn: n-1`,`` sqrt {k}] ② [eqn: n-1`,`` sqrt {n-k}] ③ [eqn: n`,`` sqrt {n}] ④ [eqn: n-1`,`` sqrt {n ^{2} -k ^{2}}] ⑤ [eqn: n`,`` sqrt {n ^{2} +k ^{2}}]

	적분법

011. 다음은 밑면의 반지름의 길이가 [eqn: r]이고 높이가 [eqn: h]인 원뿔의 부피를 구분구적법으로 구하는 과정이다. 높이 [eqn: h]를 [eqn: n]등분하여 [eqn: k]번째 외접하는 원기둥의 부피를 [eqn: V_k]라 하면 [eqn: V_k =box{`````````````````````````````````````}] [eqn: n]개의 원기둥의 합은 [eqn: sum from{k=1}to{n}`V_k]이므로 구하는 원뿔의 부피 [eqn: V]는 [eqn: V= lim _{n -> INF } {} sum _{k=1} ^{n} `V _{k} = {1} over {3} pi r ^{2} h]이다. 이 때, [eqn: BOX{`````````````````````}] 안에 알맞은 것은? ④ ① [eqn: {pi r ^{2} h} over {n ^{3}} k] ② [eqn: {pi r ^{2} h} over {3n ^{2}} k ^{2}] ③ [eqn: {pi r ^{2} h} over {3n ^{3}} k ^{2}] ④ [eqn: {pi r ^{2} h} over {n ^{3}} k ^{2}] ⑤ [eqn: pi r ^{2} h LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{3}]
012. 다음은 밑면이 한 변의 길이가 [eqn: a]인 정사각형이고 높이가 [eqn: h]인 사각뿔의 부피 [eqn: V`]를 구분구적법을 이용하여 구하는 과정이다. [eqn: (n-1)(2n-1)] 그림과 같이 사각뿔을 높이가 [eqn: {h} over {n}]인 직육면체로 분할할 때, 이들 직육면체의 부피의 합을 [eqn: V` _{n}]이라 하면 [eqn: V `_{n} = {a ^{2} h} over {6n ^{2}} times BOX{`````````````````````}] [eqn: THEREFORE `V`= lim _{n -> INF } {V ` _{n}} = {a ^{2} h} over {3}] 위의 과정에서 [eqn: BOX{`````````````````````}] 안에 알맞은 식을 써넣어라.

	적분법

개념5	✔ 급수를 정적분으로 고치기 : ① [eqn: { 1} over { n}] 하나와 [eqn: { k} over {n }]에 대한 함수로 급수를 잘 나타낸다. ② [eqn: lim_n->inf sum_k=1 ^n f left(a+ { b-a} over { n}k right) { b-a} over {n }=int_a ^b f(x)dx]

013. 밑면의 반지름의 길이가 [eqn: 25], 모선의 길이가 [eqn: 100]인 원뿔이 있다. 자연수 [eqn: n]에 대하여 그림과 같이 모선 [eqn: rmAB]를 [eqn: n]등분한 점 중 꼭짓점 [eqn: rmA]에 가까운 점부터 차례대로 [eqn: rmP_1], [eqn: rmP_2], [eqn: rmP_3], [eqn: CDOTS], [eqn: {rm P} _{n-1}]이라 하고, 점 [eqn: rmB]를 점 [eqn: {rmP}_n]이라 하자. 또, 점 [eqn: {rmP}_k]([eqn: k=1,```2,```3,```CDOTS,```n])에서 원뿔의 옆면을 한 바퀴 돌아서 점 [eqn: {rmP}_k]로 되돌아오는 최단경로의 길이를 [eqn: l_k]라 할 때, [eqn: S_n = sum_k=1^n {l_k]라 하자. [eqn: lim_{n rarrow inf}{ S_n overn]의 값은? ① ① [eqn: 50root2] ② [eqn: 75root2] ③ [eqn: 100root2] ④ [eqn: 125 root2] ⑤ [eqn: 150 root2]

	적분법

014. [eqn: lim_n->inf{(1+2+ CDOTS +n)(1 ^{4} +2 ^{4} + CDOTS +n ^{4} )} over {(1 ^{2} +2 ^{2} + CDOTS +n ^{2} )(1 ^{3} +2 ^{3} + CDOTS +n ^{3} )}]의 값을 구하여라. [eqn: { 6} over {5 }]
015. [eqn: rm overline AB =2], [eqn: rm overline BC =1], [eqn: rm ∠B=90DEG]인 직각삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 변 [eqn: rmAB]를 [eqn: n]등분한 점을 그림과 같이 [eqn: rmB_1], [eqn: rmB_2], [eqn: rmB_3], [eqn: cdots], [eqn: {rmB}_n-1]이라 하고, 각 점에서 변 [eqn: rmBC]에 평행하게 직선을 그어 변 [eqn: rmAC]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmC_1], [eqn: rmC_2], [eqn: rmC_3], [eqn: cdots], [eqn: {rmC}_n-1]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} {2 pi } over {n} sum _{k`=1} ^{n-1} {bar{rm B it rm _{k} rm C it rm _{k}}}^2]의 값은? ④ ① [eqn: {pi } over {6}] ② [eqn: {pi } over {3}] ③ [eqn: {pi } over {2}] ④ [eqn: {2 pi } over {3}] ⑤ [eqn: pi]

	적분법

개념6	✏ 치환적분 : 잘 한당.

016. 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 모든 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: int _{0} ^{1} {xf LEFT ( e ^{t} x RIGHT ) dx} =e ^{2t}]을 만족시킬 때, [eqn: f`' LEFT ( 4 RIGHT )]의 값은? ④ ① [eqn: 8] ② [eqn: 16] ③ [eqn: 24] ④ [eqn: 32] ⑤ [eqn: 40]

	적분법

017. 실수 전제의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 있다. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(2x)=2f(x)f`'(x)] 이고, [eqn: f(a)=0], [eqn: int _{2a} ^{4a} {{f(x)} over {x}} dx=k(a>0,```0<k<1)]일 때, [eqn: int _{ a} ^{2a } {{left{f(x) right}^2 }over x^2 }dx]의 값을 [eqn: k]로 나타낸 것은? ④ ① [eqn: k^2 over4] ② [eqn: k^2 over2] ③ [eqn: k^2] ④ [eqn: k] ⑤ [eqn: 2k]
018. 닫힌 구간 [eqn: [0,```1]]에서 증가하는 연속함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: int _{0} ^{1} f(x)dx=2], [eqn: int _{0} ^{1} |f(x)|dx=2 sqrt {2}] 를 만족시킨다. 함수 [eqn: F(x)]가 [eqn: F(x)=int _{0} ^{x} |f(t)|dt] [eqn: (0le x le1 )] 일 때, [eqn: int_0 ^1 f(x)F(x)dx]의 값은? ④ ① [eqn: 4- sqrt { 2}] ② [eqn: 2+ sqrt { 2}] ③ [eqn: 5- sqrt { 2}] ④ [eqn: 1+ 2sqrt {2}] ⑤ [eqn: 2+ 2sqrt { 2}]

	적분법

개념7	✏ 부분적분 : 잘 한당.

019. 연속함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 원점에 대하여 대칭이고, 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)= pi over2 int _{ 1} ^{x+1 } {f(t) dt}] 이다. [eqn: f(1)=1]일 때, [eqn: pi^2 int _{ 0} ^{ 1} { x f(x+1) dx}]의 값은? ① ① [eqn: 2 (pi -2)] ② [eqn: 2pi-3] ③ [eqn: 2 (pi -1)] ④ [eqn: 2pi -1] ⑤ [eqn: 2pi]

	적분법

020. 양의 실수 전체의 집합에서 미분가능한 두 함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]가 모든 양의 실수 [eqn: x`]에 대하여 다음 조건을 만족한다. [eqn: f(1) = 1 overe]일 때, [eqn: f(2) - g(2)]의 값은? (가) [eqn: LEFT ( {f(x)} over {x} RIGHT ) prime =x ^{2} e ^{-x ^{2}}] (나) [eqn: g(x) = 4 over e^4 int_1 ^x e^t^2 f(t) dt `] ③ ① [eqn: 16 over 3e^4] ② [eqn: 6 over e^4] ③ [eqn: 20 over 3e^4] ④ [eqn: 22 over 3e^4] ⑤ [eqn: 8 over e^4]
021. 이계도함수를 갖는 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 양수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f`'(lnx)lnx=g(x)+int_e ^x { f`''(lnt)lnt} over {t }dt] 를 만족시킨다. [eqn: g'(e)=1], [eqn: f(2)=g(e^2 )+e]일 때, [eqn: f(1)f`'(1)]의 값은? ④ ① [eqn: e] ② [eqn: e^2] ③ [eqn: 2e] ④ [eqn: 2e^2] ⑤ [eqn: 3e]

	적분법

개념8	✏ 조각정의된 함수의 적분 : 당연히 정의된 구간 안에서만 가능

022. 두 연속함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 [eqn: g left(e^x right) = cases{f(x)&(0 le x<1) # g`left(e^x-1 right)+5 &(1 le x le 2)] 를 만족시키고, [eqn: int_1 ^e^2 g(x)dx=6e^2 +4]이다. [eqn: int _{1} ^{e} {f(lnx)}dx =ae+b]일 때, [eqn: a^2 +b^2]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 정수이다.) [eqn: 17]

	적분법

023. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 상수 [eqn: a]([eqn: 0<a<2pi])와 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. 닫힌 구간 [eqn: left[0,`` { a} over {2 }right]]에서 두 실수 [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 (가) [eqn: f(x)=f(-x)] (나) [eqn: int_x ^x+a f(t)dt=sin left(x+ { pi} over {3 }right)] [eqn: f(x)=b cos(3x)+c cos (5x)] 일 때 [eqn: abc=- { q} over { p} pi]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하여라. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [eqn: 83]
024. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: a+b+c]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a]는 양의 실수이고, [eqn: b], [eqn: c]는 상수이다.) [eqn: 10] (가) 닫힌구간 [eqn: [0,```a]]에서 [eqn: f(x)=e ^{x ^{2} +b}]이다. (나) [eqn: f(-x)=f(x)] (다) [eqn: int _{-x} ^{x+2a} f(t)dt=x ^{3} +6x ^{2} +14x+c]

	적분법

개념9	✏ 그냥 적분 : 식 세우고 잘 적분한다.

025. 양의 실수 전체의 집합에서 감소하고 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 양의 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)>0]이다. (나) 임의의 양의 실수 [eqn: t]에 대하여 세 점 [eqn: (0,```0)], [eqn: (t,```f(t))], [eqn: (t+1,```f(t+1))]을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이가 [eqn: { t+1 } over {t }]이다. (다) [eqn: int_1 ^2 { f(x)} over {x }dx=2] [eqn: int_{ { 7} over {2 }}^ {{11 } over {2 }} { f(x)} over {x }dx= { q} over {p }]라 할 때, [eqn: { p+q}]의 값을 구하여라. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [eqn: 127]

	적분법

026. 구간 [eqn: (0,```3)]에서 정의되고 양의 함수값을 갖는 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]는 다음 조건을 만족한다. [eqn: int_1 ^2 f(x)dx]의 값을 [eqn: q overp]라 할 때, [eqn: p+q]의 값을 구하여라. (단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) (가) [eqn: f(2)= {3} over {4}], [eqn: f(1)=1] (나) 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 임의의 점 [eqn: rmC]와 원점을 연결하는 직선을 점 [eqn: rmC]를 중심으로 [eqn: -45DEG]만큼 회전시켜 얻은 직선은 점 [eqn: rmC]에서 곡선 [eqn: y=f(x)]에 접한다. [eqn: 121]
027. 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다. [eqn: int_0 ^1 x^2 f(x)dx=pe+ { q} over { e}]일 때, [eqn: 4(p^2 +q^2 )]의 값을 구하여라. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 유리수이다.) (가) [eqn: f(0)=1], [eqn: f(1)= { 1} over {2 }left(e+ { 1} over {e }right)] (나) 모든 양수 [eqn: t]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)]의 [eqn: x=0]에서 [eqn: x=t]까지 곡선의 길이는 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: x]축, 두 직선 [eqn: x=0], [eqn: x=t]으로 둘러싸인 영역의 넓이와 같다. (다) 열린구간 [eqn: (0,```1)]에서 [eqn: f'(x)>0]이다. [eqn: 26]

	적분법

개념10	✏ 정적분과 항등식 : ① 구간에 변수 [eqn: RARROW] 대충 하나 넣고 양변 미분. ② 구간에 변수 없음 [eqn: RARROW] 상수로 치환하고 치환한 식 풀기.

028. 구간 [eqn: LEFT [ 0,``` {pi } over {2} RIGHT ]]에서 연속인 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( {pi } over {4} RIGHT )]의 값은? ④ (가) [eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {f LEFT ( t RIGHT ) dt} =1] (나) [eqn: cos`x` int _{0} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) dt} =sinx` int _{x} ^{{pi } over {2}} {f LEFT ( t RIGHT ) dt}] (단, [eqn: 0 LEQ x LEQ {pi } over {2}]) ① [eqn: {1} over {5}] ② [eqn: {1} over {4}] ③ [eqn: {1} over {3}] ④ [eqn: {1} over {2}] ⑤ [eqn: 1]

	적분법

029. 연속함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(x) = e^x^2 + int_{0} ^{1}tf(t) dt]를 만족시킬 때, [eqn: int_{0} ^{1} xf(x)dx]의 값은? ④ ① [eqn: e-2] ② [eqn: e-1 over 2] ③ [eqn: e over 2] ④ [eqn: e-1] ⑤ [eqn: e+1 over 2]
030. 두 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} + int _{0} ^{1} {g LEFT ( t RIGHT ) dt}], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{2} - int _{0} ^{1} {f LEFT ( t RIGHT ) dt}]라 하자. 두 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프에 동시에 접하는 직선의 기울기를 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: m ^{2}]의 값은? ④ ① [eqn: {10} over {3}] ② [eqn: 4] ③ [eqn: {14} over {3}] ④ [eqn: {16} over {3}] ⑤ [eqn: 6]

	적분법

개념11	✏ 역함수의 적분 : 대충 잘 치환해본다. [eqn: cases{ g(a)=alpha# g(b)=beta }]일 때, [eqn: int_a ^b f(g(x))g'(x)dx=int_alpha ^beta f(t)dt] [eqn: RARROW] ① [eqn: 1-1`]대응관계 확인 ② [eqn: dx]와 [eqn: dt]간의 관계식 ③ 구간의 변화

※ 영의정리 : [eqn: int_a ^b f(x)dx+int_f(a) ^f(b) f^-1 (x)dx=bf(b)-af(a)]

※ [eqn: { 1} over { 2}int_{a^2 }^b^2 f`'( sqrt { x} )dx=int_f(a) ^f(b) f^-1 (x)dx]

031. 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다. (가) [eqn: f(1)=1], [eqn: f(4)=2] (나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f'(x)>0]이다. (다) 함수 [eqn: f(x)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 하면 [eqn: int _{1} ^{2} {} {g(x)} over {x ^{2}} dx=4]이다. 이때, [eqn: int _{1} ^{4} {{1} over {f(x)} dx}]의 값을 구하여라. [eqn: 5]

	적분법

032. 정의역이 [eqn: left{`x`left|`0le x le piover2 right}]인 함수 [eqn: f(x)=cosx]의 역함수를 [eqn: g(x)]라고 할 때, 다음 중 [eqn: int_-a^a sqrt1-x^2 dx`(0<a<1)] 와 같은 값을 갖는 것은? ① ① [eqn: piover2 +a sqrt1-a^2 -g(a)``] ② [eqn: piover2 +sqrt1-a^2 -g(a)``] ③ [eqn: piover2 +1-a^2 -g(a)``] ④ [eqn: piover2 +a(1-a)-g(a)``] ⑤ [eqn: piover2 +(1-a)^2 -g(a)``]
033. [eqn: left[- {pi} over {2} ,``` {pi} over {2} right]]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=x+cosx]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: int _{- {pi } over {2}} ^{{pi } over {2}} {} {1} over {g prime (x)} dx]의 값으로 옳은 것은? ③ ① [eqn: {1} over {2}pi] ② [eqn: pi] ③ [eqn: { 3} over 2{ }pi] ④ [eqn: 2pi] ⑤ [eqn: { 5} over { 2}pi]

	적분법

개념12	✔ 대칭성을 이용한 적분 : ([eqn: x=a]에 대칭 냄새) [eqn: +] [eqn: int_a-b ^a+b f(x)dx]이면 [eqn: int_a-b ^a f(x)dx+int_a ^a+b f(x)dx]로 만들고 뒤쪽 정적분을 [eqn: t=2a-x]로 치환한다.

034. 정적분 [eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {{cos`x} over {sin`x`+`cos`x} dx}]의 값은? ③ ① [eqn: {pi } over {6}] ② [eqn: {pi } over {5}] ③ [eqn: { pi} over {4 }] ④ [eqn: {pi } over {3}] ⑤ [eqn: { pi} over {2 }]

	적분법

035. 연속함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(x)f(-x)=4]를 만족시킬 때, 정적분 [eqn: int_-1 ^1 { 2} over {2+f(x) }dx]의 값은? ① (단, [eqn: f(x)!=-2]) ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5]
036. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g(x)>0]이다. (나) [eqn: f`'(x)g(x)=1+e^x] (다) [eqn: f(x)g'(x)=xe^x] [eqn: f(1)=1], [eqn: g(1)=e+1]일 때, [eqn: 27int_-2 ^2 { left{f(x)right}^2} over {g(x) }dx]의 값을 구하여라. [eqn: 72]

	적분법

개념13	✔ 탄젠트하고 시컨트는 서로 막 돌아서 귀찮다. ① [eqn: (tanx)'=sec ^{2} x] ② [eqn: (secx) prime =secx cdot tanx] ③ [eqn: 1+tan ^{2} x`=sec ^{2} x]

037. [eqn: - pi over 2 <x < pi over2]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]의 도함수 [eqn: f` prime (x)]가 [eqn: f`'(x)=tanx+tan^2 x +tan^3 x] 이다. [eqn: f(0) = pi over3]일 때, [eqn: f left( pi over 3 right)]의 값은? ⑤ ① [eqn: 1 over2] ② [eqn: 1 over 2 + sqrt3 over3] ③ [eqn: 1+ sqrt3 over3] ④ [eqn: 1+ sqrt3] ⑤ [eqn: {3} over {2}+sqrt {3}]

	적분법

038. 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(x)=inte^x (tanx+tan^2 x)dx], [eqn: f left( { pi} over { 4}right)=0] 을 만족시킬 때, [eqn: f(0)]의 값은? ② ① [eqn: -2] ② [eqn: -1] ③ [eqn: 0] ④ [eqn: 1] ⑤ [eqn: 2]
039. 함수 [eqn: f(x) = int from 0 to x {x-t}over{ cos^2 t} dt](단, [eqn: - pi over2 < x < pi over2])에 대하여, [eqn: x=0]에서 [eqn: x= pi over 6]까지 곡선 [eqn: y=f(x)]의 길이는? ④ ① [eqn: {1} over {3} rm ln2] ② [eqn: {1} over {2} rm ln2] ③ [eqn: rm ln3] ④ [eqn: {1} over {2} rm ln3] ⑤ [eqn: rm ln3]

	적분법

개념14	✏ [eqn: lim_x->a { int_a ^x f(t)dt} over { x-a}=f(a)] ✏ [eqn: int_a ^x f(t)dt]의 도함수는 [eqn: f(x)]이다. ✏ [eqn: f(a)-f(b)=int_a ^b f`'(x)dx]

040. [eqn: f`(x)= int _{a} ^{x} {} rm left{2+sin(t ^{2} )right}dt]에 대하여 [eqn: f` '' (a)= sqrt {3} a]일 때, [eqn: (f^{-1} )'(0)]의 값은? (단, [eqn: a`]는 [eqn: 0＜a＜ SQRT { {pi}over {2}}]인 상수이다.) ④ ① [eqn: {1}over {10}] ② [eqn: {1}over {5}] ③ [eqn: {3}over {10}] ④ [eqn: {2}over {5}] ⑤ [eqn: {1}over {2}]

	적분법

041. 함수 [eqn: f(x)=3(x-1)^2 +5]에 대하여 함수 [eqn: F(x)]를 [eqn: F(x)= int _{0} ^{x} {} f(t)dt] 라 하자. 미분가능한 함수 [eqn: g(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: F(g(x))= 1 over 2 F(x)]를 만족시킨다. [eqn: g'(2)=p]일 때, [eqn: 30p]의 값을 구하여라. [eqn: 24]
042. 사차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같다. [eqn: y=f(x)]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: int _{a} ^{c} {} |f` prime (x)|dx]의 값을 구하여라. [eqn: 7``] (가) [eqn: f` prime (a)=f` prime LEFT ( b RIGHT ) =f` prime (c)=0] (단, [eqn: a<b<c]) (나) [eqn: f(b)=3] (다) [eqn: f(a)+f(c)=13]

	적분법

개념15	✏ [eqn: g(x)=][eqn: int_a ^x f(t)dt]이면 [eqn: g(a)=0]이고 [eqn: g'(x)=f(x)]이다.

043. 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다. [eqn: int_0 ^6 f(x)dx= { q} over { p}]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하여라. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) (가) [eqn: x leb]일 때, [eqn: f(x)=a(x-b)^2 +c]이다. (단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 상수이다.) (나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)= int _{0} ^{x} { sqrt { 4-2f(t)} dt}]이다. [eqn: 35]

	적분법

044. 미분 가능한 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: g(x)=1-int_0 ^x |f`'(t)|dt] 라 하자. 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: int_{-ln2} ^5 g(x)dx= { q} over {p }]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하여라. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [eqn: 27] (가) [eqn: x le 0]일 때, [eqn: f(x)=a(e^x +e^-x )]([eqn: a!=0])이다. (나) [eqn: -ln2]보다 큰 모든 실수 [eqn: u]에 대하여 구간 [eqn: [-ln2,```u]]에서 곡선 [eqn: y=f(x)]의 길이는 [eqn: int_{- ln2 }^u g(x)dx]이다.
045. 함수 [eqn: f(x)]를 [eqn: f(x)= cases{ |sinx|-sinx&`````left(- { 7} over { 2} pi le x<0 right)# sinx-|sinx|& `````left(0 le x le{ 7} over {2 }pi right) }] 라 하자. 닫힌 구간 [eqn: left[- { 7} over {2 }pi,``` { 7} over {2 }piright]]에 속하는 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: int_a ^x f(t)dt ge0]이 되도록 하는 실수 [eqn: a]의 최솟값을 [eqn: alpha], 최댓값을 [eqn: beta]라 할 때, [eqn: beta-alpha]의 값은? (단, [eqn: -{ 7} over { 2}pi le a le { 7} over {2 }pi]) ① ① [eqn: piover2] ② [eqn: {3} over {2} pi] ③ [eqn: {5} over {2} pi] ④ [eqn: {7} over {2} pi] ⑤ [eqn: {9} over {2} pi]

	적분법

개념16	✔ 무한급수를 정적분으로 고치기 : 잘 한당.

046. 사차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같을 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} {1} over {n} sum _{k=1} ^{n} f LEFT ( m+ {k} over {n} RIGHT ) <0] 을 만족시키는 정수 [eqn: m]의 개수는? ⑤ ① [eqn: 3``] ② [eqn: 4``] ③ [eqn: 5``] ④ [eqn: 6``] ⑤ [eqn: 7``]

	적분법

047. 함수 [eqn: f(x) = x^3]에 대하여 구간 [eqn: [0,```1]]을 [eqn: n]등분하고 [eqn: A_n], [eqn: B_n]을 다음과 같이 정의할 때, [eqn: lim from{ n -> inf} (A_n + B_n )]의 값을 구하여라. [eqn: 1] [eqn: A_n = sum from { k=1} to n f left( k-1 over n right) 1 over n], [eqn: B_n = sum from { k=1} to n left{ 1 - f left( k over n right) right} 1 over n]
048. 그림과 같이 [eqn: rm ANGLE AOB= {pi } over {2}], [eqn: rmbarOA =1]인 부채꼴 [eqn: rmAOB]의 호 [eqn: rmAB]를 [eqn: n]등분 하는 점을 각각 [eqn: rmP_1], [eqn: rmP_2], [eqn: cdots], [eqn: {rmP}_n-1]이라 하고 점 [eqn: rmP _{itk}]에서 반지름 [eqn: rmOA]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmQ _{itk}]라 할 때, [eqn: lim _{n->inf} {} {1} over {n} sum _{k=1} ^{n} rmbar{AQ _{itk} }]의 값을 구하여라. (단, 점 [eqn: rmP _{itn}]은 점 [eqn: rmB]와 같은 점이고, 점 [eqn: rmQ _{itn}]은 점 [eqn: rmO]와 같은 점이다.) ③ ① [eqn: 1- {1} over {2pi }] ② [eqn: 1- {1} over {pi }] ③ [eqn: {1- {2} over {pi}] ④ [eqn: 1- {3} over {pi }] ⑤ [eqn: 1- {4} over {pi }]

	적분법

개념17	✏ 넓이 : 적분하면 대충 넓이야.

049. [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 곡선 [eqn: y=(lnx) ^{n} (x ge 1)]과 [eqn: x]축, [eqn: y]축 및 [eqn: y=1]로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: {S}_n]이라 하자. 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ⑤ ㄱ. [eqn: 1 le x lee]일 때, [eqn: (ln x )^n ge (ln x )^n+1]이다. ㄴ. [eqn: {S}_n < {S}_n+1] ㄷ. 함수 [eqn: f(x)= (ln x )^n (x ge1)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 하면 [eqn: {S}_n = int _{ 0} ^{ 1} {g(x) }dx]이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

	적분법

050. 그림과 같이 곡선 [eqn: y= sqrt { -x+1}]과 [eqn: x]축 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 곡선 [eqn: y= sqrt { kx}]가 이등분할 때, 양수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: 30k]의 값을 구하여라. [eqn: 10]
051. 포물선 [eqn: y=x ^{2}] 위에서 두 점 [eqn: rmP it LEFT ( a,```a ^{2} RIGHT )], [eqn: rmQ it LEFT ( b,```b ^{2} RIGHT )]가 조건 「선분 [eqn: rmPQ]와 포물선 [eqn: y=x ^{2}]으로 둘러싸인 도형의 넓이는 [eqn: 36]」을 만족하면서 움직이고 있다. [eqn: lim _{a-> INF } {{bar{rmPQ`}} over {a} }]의 값을 구하여라. [eqn: 12]

	적분법

개념18	✏ 부피 : 넓이 적분하면 부피야.

052. 그림과 같이 곡선 [eqn: y=lnx(1 LEQ x LEQ e)] 위의 한 점 [eqn: rm A( it x,```lnx)]에서 [eqn: y]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmB]라 하고, 선분 [eqn: rmAB]를 밑변으로 하는 직각 이등변 삼각형 [eqn: rmABC]를 좌표평면에 수직으로 세운다. 점 [eqn: rmA]가 곡선 [eqn: y=lnx(1 LEQ x LEQ e)] 위를 움직일 때, 이 직각이등변삼각형에 의하여 생기는 입체도형의 부피를 구하여라. (단, [eqn: rm{barAB} BOTrm{barBC}]) ④ ① [eqn: e ^{2} -1] ② [eqn: {e ^{2} -1} over {2}] ③ [eqn: {e ^{2} -1} over {3}] ④ [eqn: { e^{2}-1} over {4 }] ⑤ [eqn: {e ^{2} -1} over {5}]

	적분법

053. 그림과 같이 곡선 [eqn: y=2 sqrt { sinx}```(0 le x le pi)]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형이 밑면이고, [eqn: x]축에 수직인 평면으로 자른 단면이 항상 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피를 구하여라. [eqn: 8]
054. 밑면의 반지름의 길이가 [eqn: 4], 높이가 [eqn: 4]인 원기둥의 모양의 컵에 물이 가득 담겨 있다. 그림과 같이 이 컵을 [eqn: 45DEG]기울였을 때, 남아 있는 물의 부피 [eqn: V]는 [eqn: q overp]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하여라. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [eqn: 131]

	적분법

개념19	✏ [eqn: f(x)>g(x)]일 때, [eqn: x=a], [eqn: x=b], [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]로 둘러싸인 면적을 [eqn: x]축의 둘레로 회전시켜 만든 회전체의 부피는 [eqn: pi int _{a} ^{b} {} LEFT [ LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} - LEFT { g(x) RIGHT } ^{2} RIGHT ] dx]이다.

055. 두 곡선 [eqn: y= {1} over {sqrt {x}}], [eqn: y= sqrt {{ln`x} over {x}}]와 직선 [eqn: x=1]로 둘러싸인 부분을 [eqn: x]축의 둘레로 회전시킨 회전체의 부피는 [eqn: V`]이다. [eqn: { 100V} over { pi }]의 값을 구하여라. [eqn: 50``]

	적분법

056. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {a} over {3} x ^{3} -ax+a][eqn: LEFT ( a>0 RIGHT )]이 있다. 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =g`' LEFT ( x RIGHT )]를 만족시키고 [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) =a+1]이다. 두 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]와 두 직선 [eqn: x=-1`], [eqn: x=1]로 둘러싸인 부분을 [eqn: x]축 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피가 [eqn: 50pi]일 때, [eqn: a]의 값을 구하여라. [eqn: 12`]
057. 그림과 같이 직선 [eqn: l:x-y-1=0]과 한 초점이 점 [eqn: rm F it (c,```0)](단, [eqn: c<0])인 쌍곡선 [eqn: C:x ^{2} -2y ^{2} =1]이 있다. 직선 [eqn: l]과 쌍곡선 [eqn: C]로 둘러싸인 부분을 [eqn: y]축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피는? ③ ① [eqn: 5over3 pi] ② [eqn: 3over2 pi] ③ [eqn: 4over3 pi] ④ [eqn: 7over6 pi] ⑤ [eqn: pi]

	적분법

개념20	✔ 속도, 속력, 이동거리 등 : 알아서 잘 한다.

058. 양의 실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 함수 [eqn: f(t)]에 대하여 좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t(t ge 1)]에서의 위치 [eqn: (x,```y)]가 [eqn: cases{ x=2lnt # y=f(t) }] 이다. 점 [eqn: rmP]가 점 [eqn: (0,```f(1))]로부터 움직인 거리가 [eqn: s]가 될 때 시각 [eqn: t]는 [eqn: t= { s+ sqrt { s^2 +4} } over 2{ }]이고, [eqn: t=2]일 때 점 [eqn: rmP]의 속도는 [eqn: left(1,``` { 3} over { 4}right)]이다. 시각 [eqn: t=2]일 때 점 [eqn: rmP]의 가속도를 [eqn: left(- { 1} over {2 },```a right)]라 할 때, [eqn: 60a]의 값을 구하여라. [eqn: 15]

	적분법

059. [eqn: ln4leq x leqln8]에서 곡선 [eqn: y= int _{0} ^{x} {{LEFT ( e ^{t} +e ^{-t} RIGHT ) LEFT ( x-t RIGHT )} over {2} dt}]의 길이를 [eqn: l]이라 하면 [eqn: l= {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하여라. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [eqn: 49]
060. 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =e ^{x} +e ^{ -x}], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )=e ^{ x}-e ^{ -x}] 일 때, 다음 중 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ -2,```2 RIGHT ]]에서 곡선 [eqn: y= {1} over {2}f LEFT ( x RIGHT )]의 길이를 나타내는 것은? [eqn: ④] ① [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )] ② [eqn: 2f LEFT ( 2 RIGHT )] ③ [eqn: {1} over {2}g LEFT ( 2 RIGHT )] ④ [eqn: g LEFT ( 2 RIGHT )] ⑤ [eqn: 2g LEFT ( 2 RIGHT )]