			원포인트 개념주입 A 적분법

원포인트개념주입

개념1	✏ 삼각함수의 적분 ① [eqn: int`sinxdx=-cosx+C], ② [eqn: int`cosxdx=sinx+C], ③ [eqn: int`sec ^{2} xdx=tanx+C], ④ [eqn: int _{} ^{} {} `csc ^{2} x=-cotx+C] ✏ 지수로그함수의 적분 ① [eqn: inte ^{x} dx=e ^{x} +C], ② [eqn: int _{} ^{} {} a ^{x} dx= {a ^{x}} over {lna} +C], ③ [eqn: int { 1} over {x }dx=ln|x|+C]

적분법

001. 다음 부정적분을 구하여라. [적분법A] (1) [eqn: -cosx+sinx+C] (2) [eqn: -cosx+3sinx+C] (3) [eqn: x ^{2} +cosx+C] (4) [eqn: tanx-cosx+C] (5) [eqn: e ^{x} + {1} over {2} x ^{2} +C] (6) [eqn: e ^{x+2} +C] (7) [eqn: {2 ^{x}} over {ln2} + {4 ^{x}} over {ln4} +C] (1) [eqn: int`(sinx+cosx)dx] (2) [eqn: int`(sinx+3cosx)dx] (3) [eqn: int(2x-sinx)dx] (4) [eqn: int _{} ^{} {} (sec ^{2} x+sinx)dx] (5) [eqn: int _{} ^{} {} (e ^{x} +x)dx] (6) [eqn: int _{} ^{} {} e ^{x+2} dx] (7) [eqn: int _{} ^{} (2^x +4^x )dx]			002. 다음 부정적분을 구하여라. (1) [eqn: 2sinx-4tanx+C] (2) [eqn: -cosx-cotx+C] (3) [eqn: e ^{x} + {1} over {2} x ^{2} +C] (4) [eqn: {9 ^{x}} over {ln9} - {4cdot3 ^{x}} over {ln3} +4x+C] (1) [eqn: int { 2cos^3 x-4} over {cos^2 x }dx] (2) [eqn: int { sin^3 x+1} over {sin^2 x }dx] (3) [eqn: int _{} ^{} {} {e ^{2x} -x ^{2}} over {e ^{x} -x} dx] (4) [eqn: int _{} ^{} {} (3 ^{x} -2) ^{2} dx]

	적분법

개념2	✏ 치환적분법 : [eqn: int _{} ^{} {} `f(g(x))g'(x)dx= int _{} ^{} {} `f(t)dt] [eqn: RARROW] [eqn: {cases{g(x)`` -> ``t#g'(x)dx`` -> ``dt}}]인 것처럼 바꿔준다.

003. 다음 부정적분을 구하여라. (1) [eqn: {1} over {8} (2x+1) ^{4} +C] (2) [eqn: {1} over {15} (3x-1) ^{5} +C] (3) [eqn: - {1} over {20} (2-5x) ^{4} +C] (4) [eqn: - {1} over {2} (2x-3) ^{-1}+C] (5) [eqn: -{ 1} over {2 }{rmcos}2x+C] (6) [eqn: { 1} over { pi}{rmsin}(pix)+C] (7) [eqn: { 1} over {3 }e^3x+1 +C] (8) [eqn: -{ 1} over {2ln2 }2^-2x+4 +C] (1) [eqn: int(2x+1) ^{3} dx] (2) [eqn: int(3x-1) ^{4} dx] (3) [eqn: int(2-5x) ^{3} dx] (4) [eqn: int {1} over {(2x-3) ^{2}} dx] (5) [eqn: int (sin2x)dx] (6) [eqn: int _{} ^{} {} (cospix)dx] (7) [eqn: int _{} ^{} {} e ^{3x+1} dx] (8) [eqn: int _{} ^{} {} 2 ^{-2x+4} dx]			004. 다음 부정적분을 구하여라. (1) [eqn: { 1} over { 4}(x^2 +1)^4 +C] (2) [eqn: { 1} over { 2}e^x^2 +C] (3) [eqn: (x^2 +1)^{ { 1} over {2 }}+C] (4) [eqn: { 1} over { 4}{rmsin}^4 x+C] (5) [eqn: ln|x^2 -1|+C] (6) [eqn: ln|x^3 -x^2 +1|+C] (7) [eqn: ln|e^x +2|+C] (8) [eqn: -ln|cosx|+C] (1) [eqn: int2x(x ^{2} +1)^3 dx] (2) [eqn: int xe^x^2 dx] (3) [eqn: int { x} over { sqrt { x^2 +1} }dx] (4) [eqn: int sin^3 x cosxdx] (5) [eqn: int` {2x} over {x ^{2} -1} dx] (6) [eqn: int` {3x ^{2} -2x} over {x ^{3} -x ^{2} +1} dx] (7) [eqn: int {e ^{x}} over {e ^{x} +2} dx] (8) [eqn: int`tanxdx]

	적분법

개념3	✏ 부분적분법 : [eqn: int _{} ^{} {} f(x)g(x)dx=f(x)G(x)- int _{} ^{} {} f`'(x)G(x)dx] [eqn: RARROW] 도표적분법 : [eqn: int _{} ^{} {} f(x)g(x)dx=f(x)G _{1} (x)-f`'(x)G _{2} (x)+f` '' (x)G _{3} (x)- CDOTS]

005. 다음 부정적분을 구하여라. (1) [eqn: xe ^{x} -e ^{x}+C] (2) [eqn: -x`cosx+sinx+C] (3) [eqn: x`lnx-x+C] (4) [eqn: {1} over {2} xe ^{2x} - {1} over {4} e ^{2x} +C] (5) [eqn: (x+2)e ^{x} -e ^{x} +C] (6) [eqn: {1} over {3} (3x+1)sin3x+ {1} over {3} rm cos it 3x+C] (7) [eqn: { 1} over {2 }x^2 lnx- { 1} over {4 }x^2 +C] (8) [eqn: x(lnx) ^{2} -2x`lnx+2x+C] (1) [eqn: int xe^x dx] (2) [eqn: int x sinxdx] (3) [eqn: int lnx dx] (4) [eqn: int x e^2x dx] (5) [eqn: int (x+2)e^x dx] (6) [eqn: int (3x+1) cos 3x dx] (7) [eqn: int _{} ^{} {}x lnxdx] (8) [eqn: int (lnx )^2 dx]			006. 다음 부정적분을 구하여라. (1) [eqn: -x ^{2} cosx+2x sinx+2cosx+C] (2) [eqn: x^2 e^x -2xe^x +2e^x +C] (1) [eqn: int x^2 sinx dx] (2) [eqn: int x^2 e^x dx] 007. 부정적분 [eqn: int e^x sinxdx]을 구하여라. [eqn: { sinx cdot e^x -cosx cdote^x} over { 2}+C]

	적분법

개념4	✏ [eqn: int {1} over {x} dx=ln|x|+C], [eqn: int _{} ^{} {} {f` prime (x)} over {f(x)} dx=ln|f(x)|+C] ✔ 분모가 이차식일 때, 부분분수를 이용하면 분모가 일차식이 되게 할 수 있다. ✔ 삼각함수 반각의 공식을 이용하여 차수를 낮춰서 적분할 수 있다. ※ 배각, 반각이 교과과정에서 제외되었지만 그냥 해 두도록 하자.

008. 다음 부정적분을 구하여라. (1) [eqn: { 1} over {ln2 }{rmln}|2^x +2|+C] (2) [eqn: -ln|cosx|+C] (3) [eqn: -{ 1} over {2 }{rmln}|cos2x|+C] (4) [eqn: ln|x|-ln|x+1|+C] (5) [eqn: ln|x-1|-ln|x+1|+C] (6) [eqn: ln LEFT | (x-1) ^{2} (x-2) ^{3} RIGHT | +C] (7) [eqn: ln LEFT | (x+3) ^{2} (x+1) RIGHT | +C] (1) [eqn: int _{} ^{} {} ` {2 ^{x}} over {2 ^{x} +2} dx] (2) [eqn: int _{} ^{} {} `tanxdx] (3) [eqn: int _{} ^{} {} `tan2xdx] (4) [eqn: int {1} over {x(x+1)} dx] (5) [eqn: int _{} ^{} {} {2} over {x ^{2} -1} dx] (6) [eqn: int {5x-7} over {x ^{2} -3x+2} dx] (7) [eqn: int {3x+5} over {(x+1)(x+3)} dx]			009. 다음의 부정적분을 구하여라. (1) [eqn: {1} over {2} x- {1} over {2} {rmsin}x+C] (2) [eqn: {1} over {2} x+ {sin2x} over {4} +C] (3) [eqn: {1} over {4} x ^{2} + {1} over {4} x`sin2x+ {1} over {8} `cos2x+C] (4) [eqn: tanx+C] (1) [eqn: int`sin ^{2} {x} over {2} dx] (2) [eqn: int _{} ^{} {cos ^{2} xdx}] (3) [eqn: int _{} ^{} {x`cos ^{2} xdx}] (4) [eqn: int {2} over {1+cos2x} dx]

	적분법

개념5	✏ 구분구적법 : [eqn: int _{a} ^{b} {} f(x)dx= lim _{n -> INF } {} sum _{k=1} ^{n} left{f` LEFT ( a+ {b-a} over {n} k` RIGHT ) cdot {b-a} over {n} right}] ※ 넓이로서의 정적분의 의미 : (부호를 가진) 넓이

010. 함수 [eqn: f(x)=x^2]에 대하여 [eqn: y=f(x)], [eqn: x]축, [eqn: x=1]로 둘러싸인 도형의 넓이를 구분구적법을 이용하여 나타내고 그 값을 구하여라. [eqn: lim_n->inf sum_k=1 ^n left( { k} over {n }right)^2 { 1} over { n} = { 1} over {3 }] 011. 모든 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)>0]인 함수 [eqn: f(x)] 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)], [eqn: x]축, [eqn: x=a], [eqn: x=b]로 둘러싸인 도형의 넓이를 구분구적법을 이용하여 나타내어라. [eqn: lim _{n -> INF } {} sum _{k=1} ^{n} LEFT { f` LEFT ( a+ {b-a} over {n} k` RIGHT ) CDOT {b-a} over {n} RIGHT }]			012. 정적분의 정의를 이용하여 [eqn: lim from {n`->`inf }` sum from k=1 to n left( 2+ 3over n k right)^2 2over n`] 의 값을 구하여라. [eqn: 26``]

	적분법

개념6	✏ [eqn: int`f(x)dx=F(x)]라 할 때, [eqn: int _{a} ^{b} f(x)dx=[F(x)] _{a} ^{b} =F(b)-F(a)]

013. [eqn: int _{0} ^{2} {xe ^{x}} dx]의 값을 구하여라. [eqn: e ^{2} +1] 014. [eqn: int _{1} ^{e ^{2}} {{LEFT ( 2+3lnx RIGHT ) lnx} over {x}} dx]의 값은? ④ ① [eqn: 6] ② [eqn: 8] ③ [eqn: 10] ④ [eqn: 12] ⑤ [eqn: 14] 015. [eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {} sin ^{3} xdx]의 값을 구하여라. [eqn: {2} over {3}}]			016. 함수 [eqn: f(x)= {cases{e ^{-x} -1`&`(x LEQ 0)#`~sin`x&`(x>0)}} `]에 대하여 [eqn: int _{-1} ^{pi } {f(x)dx`}]의 값은? ② ① [eqn: e-2] ② [eqn: e] ③ [eqn: e+2] ④ [eqn: e+3] ⑤ [eqn: e ^{2} -1] 017. [eqn: int _{0} ^{pi} {x LEFT | cosx RIGHT | dx}]의 값은? ④ ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: {pi } over {2}] ④ [eqn: pi] ⑤ [eqn: 2pi]

	적분법

개념7	✏ 정적분과 극한 : [eqn: lim _{x->a} {1} over {x-a} int _{a} ^{x} {} f(t)dt=f(a)] ✏ 정적분으로 정의된 함수의 미분 : [eqn: { d} over {dx }int_a ^x f(t)dt=f(x)]

018. [eqn: lim _{x -> 1} {} {1} over {x ^{3} -1} int _{1} ^{x} {} (2 ^{t} +lnt)dt]의 값은? ② ① [eqn: {1} over {3}] ② [eqn: {2} over {3}] ③ [eqn: 1] ④ [eqn: {4} over {3}] ⑤ [eqn: {5} over {3}] 019. [eqn: lim _{h-> 0} { {1} over {h} int _{{pi} over {2} -h} ^{{pi} over {2} +h} {x sinxdx}}]의 값을 구하여라. [eqn: pi] 020. 함수 [eqn: f(x)=e ^{x} -cospix]일 때, [eqn: lim _{x-> 1} { {1} over {x ^{2} -1}} int _{1} ^{x ^{3}} {f(t)dt}]의 값을 구하여라. [eqn: {3} over {2} (e+1)]			021. [eqn: f(x)=lnx+ int _{1} ^{e} {f(t)dt}]를 만족시키는 함수 [eqn: f(x)`]를 구하여라. [eqn: f(x)=ln`x+ {1} over {2-e}] 022. [eqn: int _{0} ^{x} {f(t)dt=e ^{2x} +ae ^{x} }]을 만족시키는 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(ln2)]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수) ⑤ ① [eqn: 2] ② [eqn: 3] ③ [eqn: 4] ④ [eqn: 5] ⑤ [eqn: 6] 023. 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: xf(x)=x ^{2} lnx+ int _{1} ^{x} {f(t)dt}] 를 만족시킬 때, [eqn: f(e)]의 값을 구하여라. [eqn: e+1] (단, [eqn: x>0])

	적분법

개념8	✏ 함수 [eqn: g(x)=int_a ^x f(t)dt]에 대하여 ① [eqn: g(a)=0], ② [eqn: g'(x)=f(x)]

024. 함수 [eqn: f(x)= int _{0} ^{x} {(1-t)e ^{t}dt}]의 최댓값을 구하여라. [eqn: e-2] 025. [eqn: 0<x<pi]에서 함수 [eqn: f(x)= int _{0} ^{x} {sin`t(1+2cost)dt}]의 극댓값을 구하여라. [eqn: {9} over {4}]			026. 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 아래의 그림과 같다. 함수 [eqn: g(x)= int _{-2} ^{x} {} f(t)dt]일 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ④ ㄱ. [eqn: g'(2) =0] ㄴ. [eqn: g(x)]는 [eqn: x =1]에서 극댓값을 가진다. ㄷ. 닫힌구간 [eqn: [-2,~2]]에서 [eqn: g(x)]의 최솟값은 [eqn: g(0)]이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ

	적분법

개념9	✏ [eqn: lim_n->inf sum_k=1 ^n f left( { k} over {n } right) { 1} over {n } =int_0 ^1 f(x)dx] ① [eqn: lim_n->inf SUM_k=1 ^n]은 [eqn: int_0 ^1]로, ② [eqn: { k} over {n }]는 [eqn: x]로, ③ [eqn: { 1} over { n}]은 [eqn: dx]로

027. [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{2} over {n} LEFT ( root {n} of {e ^{2}} + root {n} of {e ^{4}} + root {n} of {e ^{6}} + CDOTS + root {n} of {e ^{2n}} RIGHT )}]의 값은? ② ① [eqn: e] ② [eqn: e ^{2} -1] ③ [eqn: e ^{2}] ④ [eqn: e ^{2} +e] ⑤ [eqn: 2e ^{2}] 028. [eqn: lim _{n -> INF } {} {1} over {sqrt {n}} sum _{k=1} ^{n} {1} over {sqrt {n+k}} `]의 값을 구하여라. [eqn: 2 sqrt {2} -2]			029. [eqn: lim _{n -> INF } {` LEFT ( {1} over {n+1} + {1} over {n+2} +` CDOTS `+ {1} over {2n} RIGHT ) `}]의 값을 구하여라. [eqn: {ln`2]

	적분법

개념10	✏ [eqn: y=f(x)]의 그래프와 [eqn: x]축, [eqn: x=a], [eqn: x=b]로 둘러싸인 부분의 넓이는 [eqn: int _{a} ^{b} |f(x)|dx]가 된다. ✏ [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의 그래프와 [eqn: x=a], [eqn: x=b]로 둘러싸인 부분의 넓이는 [eqn: int _{a} ^{b} {} |f(x)-g(x)|dx]가 된다.

030. 곡선 [eqn: y=e^{x}-1]과 [eqn: x]축 및 직선 [eqn: x=-1]로 둘러싸인 도형의 넓이는? ③ ① [eqn: e-2] ② [eqn: e-1] ③ [eqn: { 1} over {e }] ④ [eqn: {1} over {e} +1] ⑤ [eqn: {1} over {e} +2] 031. [eqn: 0 le x le { pi} over {2 }]에서 곡선 [eqn: y=a cosx]와 [eqn: x]축 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 도형의 넓이가 [eqn: 2]일 때, [eqn: a]의 값을 구하여라. [eqn: +-2]			032. 곡선 [eqn: y= {2 } over { x}(x>0)]와 [eqn: x]축 및 두 직선 [eqn: x=1], [eqn: x=e^{2}]으로 둘러싸인 도형의 넓이가 직선 [eqn: x=k]에 의하여 이등분될 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하여라. [eqn: e] 033. 곡선 [eqn: y=lnx]와 이 곡선 위의 점 [eqn: (e,```1)]에서의 접선 및 [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형의 넓이는? ① ① [eqn: { 1} over {2 }e-1] ② [eqn: {1} over {3} e+1] ③ [eqn: {1} over {2} e] ④ [eqn: {1} over {3} e] ⑤ [eqn: e+1]

	적분법

개념11	✏ 영의 정리 : [eqn: int_a ^b f(x)dx+int_f(a) ^f(b) f^-1 (x)dx=bf(b)-af(a)] ※ 이 공식을 외울 필요는 없고, 함수의 그래프에서부터 역함수의 그래프를 어떻게 찾을 수 있는지를 이해하면 된다.

034. 함수 [eqn: f(x)= sqrt {3x-2}]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, 두 곡선 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하여라. [eqn: {1} over {9}] 035. 함수 [eqn: f(x)=e ^{x} + {1} over {2}]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: int _{0} ^{1} {f(x)} dx+ int _{{3} over {2}} ^{e+ {1} over {2}} {g(x)} dx]의 값을 구하여라. [eqn: e+ {1} over {2}]			036. 그림은 함수 [eqn: f(x)=xe ^{x} (0 LEQ x LEQ 1)]의 그래프이다. 함수 [eqn: f(x)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: int _{0} ^{e} {g(x)} dx]의 값은? ② ① [eqn: 1] ② [eqn: e-1] ③ [eqn: e+1] ④ [eqn: {1} over {2} e-1] ⑤ [eqn: 2e+1]

	적분법

개념12	✏ [eqn: x=a]에서 [eqn: x=b] 사이에 존재하는 입체를 [eqn: x]축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가 [eqn: S(x)]일 때, 입체의 부피 [eqn: V]는 [eqn: V=int_a ^b S(x)dx]이다.

037. 높이가 [eqn: 3]인 입체도형을 밑면으로부터 높이가 [eqn: x]인 지점에서 밑면과 평행한 평면으로 자른 단면의 넓이가 [eqn: sqrt{3x}]이다. 이 입체도형의 부피를 구하여라. [eqn: 6]			038. 어떤 그릇에 물을 부으면 깊이가 [eqn: x rm cm]일 때, 수면은 한 변의 길이가 [eqn: sqrt{20-2x} rm cm]인 정사각형이라고 한다. 그릇의 높이가 [eqn: 8rm cm]일 때, 그릇에 가득 담긴 물의 부피를 구하여라. [eqn: 96`rmcm ^{3}]

	적분법

개념13	✏ 속력을 적분하면 이동거리이다. [eqn: L=int_a ^b |v(t)|dt=int_a ^b sqrt { (x'(t))^2 +(y'(t))^2}dt] ✏ 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 [eqn: x=a]에서 [eqn: x=b]까지 그리는 곡선의 길이는 [eqn: int_a ^b sqrt {1+ LEFT { f` prime (t) RIGHT } ^{2}} dt]

039. 좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: rm P it (x,```y)]의 시각 [eqn: t]에서의 위치가 [eqn: x=sint+2cost], [eqn: y=cost-2sint] 일 때, [eqn: t=0]에서 [eqn: t=2]까지 점 [eqn: rm P]가 움직인 거리는? ③ ① [eqn: sqrt {5}] ② [eqn: sqrt {10}] ③ [eqn: 2 sqrt {5}] ④ [eqn: 5] ⑤ [eqn: 10] 040. 좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: rm P it (x,```y)]의 시각 [eqn: t]에서의 위치가 [eqn: x= sqrt {2} e ^{t} cost], [eqn: y= sqrt {2} e ^{t} sint]일 때, [eqn: t=0]에서 [eqn: t= pi]까지 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리는? ⑤ ① [eqn: e ^{pi } -1] ② [eqn: e ^{2 pi } -1] ③ [eqn: sqrt {2} (e ^{pi } -1)] ④ [eqn: sqrt {2} (e ^{2 pi } -1)] ⑤ [eqn: 2(e ^{pi } -1)]			041. 구간 [eqn: 0 LEQ x LEQ {pi } over {6}]에서 곡선 [eqn: y=ln(cosx)]의 길이는? ② ① [eqn: {1} over {2} `ln`2] ② [eqn: {1} over {2} `ln`3] ③ [eqn: ln`3] ④ [eqn: {1} over {2} `ln`5] ⑤ [eqn: ln`5] 042. 구간 [eqn: 0 LEQ x LEQ ln2]에서 곡선 [eqn: y= {1} over {4} (e ^{2x} +e ^{-2x} )]의 길이는? ① ① [eqn: {15} over {16}] ② [eqn: {13} over {16}] ③ [eqn: {11} over {16}] ④ [eqn: {5} over {8}] ⑤ [eqn: {1} over {2}]