[여러 가지 적분법]

B32 | 초월함수의 부정적분

[eqn: x^a]의 적분

개념1

① [eqn: int _{} ^{} {x ^{a} dx= {1} over {a+1} x ^{a+1} +C}] ([eqn: a != -1])

② [eqn: int _{} ^{} {} x ^{-1} dx=ln|x|+C]

삼각함수의 적분

개념2

① [eqn: int _{} ^{} {} sinxdx=-cosx+C]	② [eqn: int _{} ^{} {} cosxdx=sinx+C]

③ [eqn: int _{} ^{} {} sec ^{2} xdx=tanx+C]	④ [eqn: int _{} ^{} {} csc ^{2} xdx=-cotx+C]

⑤ [eqn: int _{} ^{} {} secx`tanxdx=secx+C]	⑥ [eqn: int _{} ^{} {} cscx`cotxdx=-cscx+C]

지수함수의 적분

개념3

① [eqn: integrale ^{x} dx=e ^{x} +C]	② [eqn: integrala ^{x} dx= {a ^{x}} over {lna} +C]

다음 부정적분을 하여라.

예제1

(1) [eqn: int(x-1)(x^2 +1) dx]	(2) [eqn: int _{} ^{} {} left(- {1} over {x ^{2}} right)dx]

(3) [eqn: int _{} ^{} {} {2x+3x ^{2}} over {x ^{3}} dx]	(4) [eqn: int _{} ^{} {} {x+1} over {sqrt {x}}dx]

(5) [eqn: int _{} ^{} {} (4sinx+cosx)dx]	(6) [eqn: int _{} ^{} {} sec ^{2} xdx]

(7) [eqn: int _{} ^{} {} (2 ^{x} +3 ^{x} )dx]	(8) [eqn: int _{} ^{} {} {sin ^{2} x+3} over {sin ^{2} x} dx]

B32E1 | 미분방정식

다음을 만족시키는 함수 [eqn: f(x)]를 구하여라.

예제1

(1) [eqn: f(x)=f`'(x)], [eqn: f(0)=1]

(2) [eqn: f(x)+f`'(x)=x], [eqn: f(1)=0]

(3) [eqn: f(x)f`'(x)=e ^{x}], [eqn: f(0)=2]

(4) [eqn: LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} f` prime (x)=e ^{3x} -2e ^{2x} +e ^{x}], [eqn: f(0)=0]

(5) [eqn: f(x)=xf`'(x)-x^2 e^x](단, [eqn: x>0]), [eqn: f(1)=e]

B33 | 치환적분법

[eqn: x=g(t)]이면 [eqn: integralf(x)dx=integralf(g(t))g'(t)dt]

개념1

양변의 부정적분을 생각해보자.

증명

다음 부정적분을 하여라.

예제1

(1) [eqn: int _{} ^{} {} (4x-1) ^{3} dx]	(2) [eqn: int _{} ^{} {} cos(2x-1)dx]

(3) [eqn: int _{} ^{} {} {1} over {2x+1} dx]	(4) [eqn: int _{} ^{} {} 2x(x ^{2} +1) ^{2} dx]

(5) [eqn: int _{} ^{} {{lnx} over {x} dx}]	(6) [eqn: int _{} ^{} {} {e ^{x}} over {e ^{x} -1} dx]

(7) [eqn: int _{} ^{} {} sin ^{3} x cosxdx]	(8) [eqn: int _{} ^{} {} cscx`dx]

(9) [eqn: int _{} ^{} {} tanxdx]

B33E1 | 유리식의 적분

[eqn: {(다항식)} over {(다항식)}]을 적분하는 방법

개념1

① 분모의 차수보다 분자의 차수가 크면 나눠서 분자의 차수를 낮춘다.

② [eqn: {(상수)} over {(일차식)}]이 적분이 가능하므로 부분분수로 잘 쪼개본다.

다음 부정적분을 하여라.

예제1

(1) [eqn: int _{} ^{} {{1} over {x(x+1)} dx}]	(2) [eqn: int _{} ^{} {} {1} over {(x-2)(x-1)} dx]

(3) [eqn: int _{} ^{} {} {x+3} over {x ^{2} -1} dx]	(4) [eqn: int _{} ^{} {} {5x-7} over {x ^{2} -3x+2} dx]

(5) [eqn: int _{} ^{} {{x ^{2} -1} over {2x} dx}]	(6) [eqn: int _{} ^{} {{2x-1} over {x ^{2} -x-2} dx}]

B34 | 부분적분법

[eqn: int _{} ^{} {} f(x)g(x)dx=f(x)G(x)- int _{} ^{} {} f`'(x)G(x)dx]

개념1

※ 부분적분의 방향을 잡을 때는 결과(우변)의 부정적분이

적분이 되는 형태인지를 생각해 봐야 한다.

다음 부정적분을 하여라.

예제1

(1) [eqn: int x e^x `dx]	(2) [eqn: int _{} ^{} {} x cosxdx]

(3) [eqn: int _{} ^{} {} x ^{2} e ^{x} `dx]	(4) [eqn: int _{} ^{} {} x ^{2} `sinx`dx]

다음 부정적분을 하여라.

예제2

(1) [eqn: int _{} ^{} {} lnxdx]	(2) [eqn: int _{} ^{} {} x lnxdx]

(3) [eqn: int _{} ^{} {} e ^{x} sinxdx]	(4) [eqn: int _{} ^{} {} e ^{2x} cosxdx]

※ 로그가 나오면 로그쪽이 미분되는 부분적분을 때린다.

※ 삼각함수와 지수함수의 곱이면 부분적분을 두 번 시행한 후 넘겨서 정리한다.

※ 부분적분에서의 적분은 적분상수를 자유롭게 택할 수 있다.

eg) [eqn: int x ln(x+1)dx]

B34E1 | 도표적분법

[eqn: int _{} ^{} {} f(x)g(x)dx=f(x)G(x)-f` prime (x) LEFT ( int _{} ^{} {} G(x)dx RIGHT ) +f` prime prime (x) LEFT ( dint _{} ^{} {} G(x)dxdx RIGHT ) - CDOTS]

개념1

※ 개편하지만 로그함수가 나오거나, 삼각함수와 지수함수의 곱은 처리가 안 된다.

다음 부정적분을 하여라.

예제1

(1) [eqn: int _{} ^{} {} x ^{2} `sinx`dx]

(2) [eqn: int _{} ^{} {} (ax ^{2} +bx+c)e ^{x} `dx]

(3) [eqn: int _{} ^{} {} (ax ^{2} +bx+c)e ^{-x} `dx]

[정적분의 활용]

B35 | 구분구적법

[eqn: y=f(x)]와 ([eqn: f(x)>0]) [eqn: x=a], [eqn: x=b], [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형의 넓이는

개념1

[eqn: lim _{n->inf} sum _{k=1} ^{n} f(x _{k} )DELTAx]로 나타난다. ( [eqn: x _{k} =a+ {b-a} over {n} k], [eqn: DELTA x= {b-a} over {n}] )

✔ 구분구적법의 아이디어

① [eqn: k]번째 사각형의 넓이

② [eqn: sum _{k=1} ^{n}]

③ [eqn: lim _{n->inf}]

다음을 구분구적법을 이용하여 구하여라.

예제1

(1) [eqn: y=x ^{2}]의 그래프와 [eqn: x=1], [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형의 넓이

(2) [eqn: y=-x ^{2} +2x]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형의 넓이

(3) [eqn: y=2x]와 [eqn: x=1], [eqn: x=4]로 둘러싸인 도형의 넓이

B35E1 | 부피에 대한 구분구적법

밑면의 반지름의 길이가 [eqn: r]이고 높이가 [eqn: h]인 원뿔의 부피가

예제1

[eqn: {1} over {3} pi r^2 h]임을 구분구적법으로 보여라.

반지름의 길이가 [eqn: r]인 구의 부피가 [eqn: { 4} over {3 }pi r^3]임을 구분구적법으로 보여라.

예제2

B35E2 | 리만합

오른쪽합 [eqn: rm RHSS it = sum _{k=1} ^{n} f(x _{k} ) DELTA x]과 왼쪽합 [eqn: rm LHSS it = sum _{k=1} ^{n} f(x _{k-1} ) DELTA x][eqn: = sum _{k=0} ^{n-1} f(x _{k} ) DELTA x]

개념1

① 적분값으로 수렴한다.

② 증가함수이면 [eqn: rmLHSS<(적분값)<RHSS]

③ 일반적으로 크기비교는 불가능하다.

④ [eqn: rmRHSS-LHSS]을 하면 처음과 마지막 사각형의 차이가 나온다.

사다리꼴합 : [eqn: rm TS=][eqn: sum _{k=1} ^{n} {f(x _{k-1} )+f(x _{k} )} over {2} DELTAx]

개념2

① [eqn: rmTS]는 적분값으로 수렴한다.

② [eqn: rmTS= {LHSS+RHSS} over {2}]

③ 곡선의 볼록성에 따라 적분값과의 비교가 가능하다.

※ 가운데 그림은 중간점합 [eqn: sum _{k=1} ^{n} f left({x _{k-1} +x _{k}} over {2}right) DELTA x]이라고 잘 안 나오는 거야..

[eqn: n]등분과 [eqn: 2n]등분

개념3

※ [eqn: sum _{k=1} ^{n} f(x _{2k} )(2 DELTA x)]와 [eqn: sum _{k=1} ^{2n} f(x _{k} ) DELTA x]

① (대체로) 적분값에 가까워짐

② 증/감, [eqn: rmR]/[eqn: rmH]에 따라 크기비교 가능

[eqn: int _{0} ^{pi over2} {( sin2x + cos x )dx}]

B36 | 정적분의 기본정리

[eqn: F``'(x)=f(x)]일 때, [eqn: int_a ^b f(x)dx=[F(x)]_a ^b =F(b)-F(a)]이다.

개념1

다음을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: int _{1} ^{2} {{2x+1} over {x ^{2}}} dx]	(2) [eqn: int _{0} ^{1} {3 ^{2x+1} dx}]

(3)	(4) [eqn: int _{-1} ^{2} {1 over{x^2 -x-6} dx}]

B37 | 정적분의 연산

정적분의 성질

개념1

① [eqn: int _{a} ^{a} f(x)dx=0]

② [eqn: int _{b} ^{a} f(x)dx=-int _{a} ^{b} f(x)dx]

③ [eqn: int _{a} ^{b} f(x)dx=int _{a} ^{c} f(x)dx+int _{c} ^{b} f(x)dx]

④ [eqn: int _{a} ^{b} {} cf(x)dx=c int _{a} ^{b} {} f(x)dx]

⑤ [eqn: int _{a} ^{b} {} LEFT { f(x)+-g(x) RIGHT } dx= int _{a} ^{b} {} f(x)dx+- int _{a} ^{b} {} g(x)dx]

다음을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: int _{0} ^{pi}| sin2x|dx]

(2) [eqn: int _{0} ^{ln3} {{1} over {1-e ^{x}} dx+ int _{ln3} ^{0} {{e^3t } over{ 1-e^t }dt}}]

[eqn: {cases{###}}]	[eqn: sqrt { a^2 -x^2}]이 보이면 [eqn: x=a sintheta]
	[eqn: a^2 +x^2]이 보이면 [eqn: x=a tantheta]

[eqn: int _{0} ^{pi over2} { cosx over{1+2 sinx }dx}]

B38 | 정적분의 치환적분

[eqn: {cases{g(a)= alpha #g(b)= beta }}]이면 [eqn: int _{a} ^{b} f(g(x))g'(x)dx=int _{alpha} ^{beta} f(t)dt]

개념1

다음을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: int _{2} ^{3} { 2x over{x^2 -1} dx}]	(2)

(3) [eqn: int _{1} ^{e} {(lnx )^2} over{x }dx}]	(4) [eqn: int _{ln2} ^{1} {1 over{e^x - e^-x }dx}]

함수 [eqn: f(x)= int _{0} ^{x} {{1} over {1+t ^{6}}} dt]에 대하여 상수 [eqn: a]가 [eqn: f(a)= {1} over {2}]을 만족시킬 때,

예제2

[eqn: int _{0} ^{a} {{e ^{f(x)}} over {1+x ^{6}} dx}]의 값을 구하여라.

함수 [eqn: f(x)= {1} over {1+x}]에 대하여 [eqn: F(x)= int _{0} ^{x} {} tf(x-t)dt] ([eqn: x ge0])

예제3

일 때, [eqn: F`` prime (a)=ln10]을 만족시키는 상수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

B38E1 | 삼각치환법

대충	로 치환해보자.

개념1

[eqn: int _{0} ^{1 over 2} {1 over root{1 -x^2} dx}]

다음을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: int _{0} ^{1} {sqrt {1-x ^{2}} dx}]	(2) [eqn: int _{0} ^{1} {sqrt {4-x ^{2}} dx}]

(3)	(4) [eqn: int _{0} ^{2} {{1} over {x ^{2} +4}} dx]

B38E2 | 매개변수치환

[eqn: {cases{g(a)= alpha #g(b)= beta }}]이면 [eqn: int _{alpha } ^{beta } {} f(t)dt= int _{a} ^{b} {} f(g(x))g prime (x)dx]

개념1

[eqn: {cases{x=f(t)#y=g(t)}}], [eqn: {cases{a=f( alpha )#b=f( beta )}}]일 때, [eqn: int _{a} ^{b} {} phi (x,``y)dx= int _{alpha } ^{beta } {} phi (f(t),``g(t))f`'(t)dt]

개념2

※ 적분 인덱스가 어느 것에서 어느 것으로 바뀌는지에 주목한다.

함수 [eqn: f(x)=x^3 +x]에 대하여 [eqn: int_0 ^2 { f^-1 (x)} over { f`'(f^-1 (x))}dx]의 값을 구하여라.

예제1

닫힌 구간 [eqn: [0,```2pi]] 내의 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: {cases{x=theta-sintheta#y=1-costheta}}]로 주어진

예제2

점 [eqn: (x,```y)]가 그리는 곡선과 [eqn: x]축으로 둘러싸인 넓이를 구하여라.

B39 | 정적분의 부분적분

[eqn: int _{a} ^{b} {} f(x)g(x)dx=[f(x)G(x)]_a ^b -int_a ^b f` prime (x)G(x)dx]

개념1

※ 부분적분을 시행할 때는 우변의 부정적분의 피적분함수에 신경 쓴다.

[eqn: int _{1} ^{2} {x ^{3} e ^{x ^{2}} dx= {q} over {p} e ^{4}}]일 때, [eqn: p ^{2} +q ^{2}]의 값을 구하여라.

예제1

정의역이 [eqn: LEFT { `x`LEFT | `x>-1 RIGHT }]인 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f`'`(x)= 1 over {(1+x^3 )^2 }]이고,

예제2

함수 [eqn: g(x)= x^2]일 때, [eqn: int _{ 0} ^{1 } {f(x) g'(x) dx } = 1 over6]이다. [eqn: f(1)]의 값을 구하여라.

B40 | 정적분으로 정의된 함수

[eqn: int _{a} ^{x} f(t)dt=[F(t)] _{a} ^{x} =F(x)-F(a)]

개념1

[eqn: RARROW] [eqn: int _{a} ^{x} {} f(t)dt]를 [eqn: x]에 대하여 미분하면 [eqn: f(x)]이다. 즉, [eqn: {d} over {dx} int _{a} ^{x} {} f(t)dt=f(x)]

연속함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: int_0^x f(t) dt = e^x + ax + a]를

예제1

만족시킬 때, [eqn: f (ln2)]의 값을 구하여라.

양수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: f(x)=int_0 ^x (a-t)e^t dt]의 최댓값이 [eqn: 32]이다.

예제2

곡선 [eqn: y=3e^x]과 두 직선 [eqn: x=a], [eqn: y=3]으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라.

[eqn: int_a(x) ^b(x) f(t)dt]를 미분하면 [eqn: b'(x)f(b(x))-a'(x)f(a(x))]이다.

개념2

※ 다음을 미분하여라.

(1) [eqn: int_a ^2x f(t)dt]	(2) [eqn: int_a ^x f(2t)dt]	(3) [eqn: int_a ^2x tf(t)dt]

함수 [eqn: F`(x)= int _{e^x} ^{e^2x} {lnt dt}]가 [eqn: x= a]에서 극댓값을 가질 때,

예제3

상수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

[eqn: x>0]에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: int_a ^2x {f(t)dt}= 1 over10 x^2 - lnx]가

예제4

성립할 때, [eqn: int_1 ^e {f(t)dt}]를 구하여라.

B40E1 | 정적분과 극한값

[eqn: lim _{x->a} {1} over {x-a} int _{a} ^{x} f(t)dt=f(a)]

개념1

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =sin pi x+cos pi x]일 때, [eqn: lim _{h-> 0} {{1} over {h} int _{1} ^{1+2h} {f LEFT ( t RIGHT ) dt}}]의 값을 구하여라.

예제1

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x+n]에 대하여 [eqn: a _{n} = lim _{x -> 1} {{1} over {x ^{2} -1} int _{1} ^{x} {tf LEFT ( t RIGHT ) dt}}]일 때,

예제2

[eqn: sum_k=1 ^n a_k]의 값을 구하여라.

[eqn: f(x)=sinx+ int _{0} ^{pi over2} {f(t)dt}]

B40E2 | 정적분이 포함된 항등식

항등식에 [eqn: int _{a} ^{b} f(t)dt]가 있으면 [eqn: int _{a} ^{b} f(t)dt=k]라 놓고 “이 식을 푼다.”

개념1

항등식에 [eqn: int _{a} ^{x} f(t)dt]가 있으면

개념2

① [eqn: x=a]를 대입한다.

② 양변을 미분한다.

다음을 만족시키는 함수 [eqn: f(x)]를 구하여라.

예제1

(1)

(2) [eqn: f(x)=e ^{-x} + int _{0} ^{1} {x f(t) dt}]

함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: int _{a} ^{x} {} f(t)dt=e ^{2x} -3e ^{x} -4]일 때, [eqn: f(a)]의 값을 구하여라.

예제2

함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: int _{0} ^{x} {(x-t)f(t)dt} =e ^{2x} +a`sinx+b]일 때,

예제3

상수 [eqn: a], [eqn: b]의 값과 [eqn: f(x)]를 구하여라.

[eqn: lim _{n -> INF } {{1} over {n} LEFT ( e ^{{1} over {n}} +e ^{{2} over {n}} +e ^{{3} over {n}} + CDOTS +e ^{{n} over {n}} RIGHT )}][eqn: lim _{n -> INF } {LEFT ( ln` LEFT { (n+1)(n+2) CDOTS (2n) RIGHT } ^{{1} over {n}} -`lnn RIGHT )}]

B40E3 | 도함수의 넓이와 원함수의 차이

[eqn: g(x)=int _{a} ^{x} f(t)dt]이면

개념1

① [eqn: g(a)=0]      ② [eqn: g'(x)=f(x)]

도함수의 넓이는 원함수의 차이이다. 즉, [eqn: int _{a} ^{b} {} f` prime (x)dx=f(b)-f(a)]

개념2

그림과 같이 함수 [eqn: f(x)]의 그래프와 [eqn: x]축으로

예제1

둘러싸인 두 부분 [eqn: A], [eqn: B]의 넓이가 각각 [eqn: 5], [eqn: 10]일 때,

[eqn: y=int _{0} ^{x} f(t)dt]의 그래프를 그려라.

B41 | 정적분과 무한급수

[eqn: lim _{n -> INF } {} sum _{k=1} ^{n} f` LEFT ( a+ {b-a} over {n} k` RIGHT ) {b-a} over {n} = int _{a} ^{b} {} f(x)dx]

개념1

다음을 구하여라.

예제1

(1)

(2) [eqn: lim _{n -> INF } {{sqrt {n}} over {n ^{2}} sum _{k=1} ^{n} sqrt {2n+k}}]

(3) [eqn: lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} {k} over {n ^{2} +k ^{2}}}]

(4)

B42 | 정적분과 넓이

곡선 [eqn: y=f(x)]과 [eqn: x]축 및 두 직선 [eqn: x=a], [eqn: x=b]로

개념1

둘러싸인 도형의 넓이는 [eqn: int_a ^b |f(x)|dx]이다.

곡선 [eqn: x=g(y)]과 [eqn: y]축 및 두 직선 [eqn: y=a], [eqn: y=b]로

개념2

둘러싸인 도형의 넓이는 [eqn: int _{a} ^{b} {} |g(y)|dy]이다.

※ 곡선 [eqn: C:f(x,```y)=0]과 [eqn: x]축 및 두 직선 [eqn: x=a], [eqn: x=b]로

둘러싸인 도형의 넓이는 [eqn: int_a ^b |y|dx]이다.

다음을 구하여라.

예제1

(1) 곡선 [eqn: y= {1} over {x-1}]과 [eqn: x]축 및 두 직선 [eqn: x=2], [eqn: x=e ^{3} +1]로 둘러싸인 도형의 넓이

(2) 곡선 [eqn: y=e ^{x} -1]과 [eqn: x]축 및 직선 [eqn: x=-1]로 둘러싸인 도형의 넓이

(3) 구간 [eqn: [0,```2pi]]에서 곡선 [eqn: y=x sinx]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형의 넓이

(4) 곡선 [eqn: y^2 =x+1]과 [eqn: y]축 및 직선 [eqn: y=2]로 둘러싸인 도형의 넓이

B42E1 | 두 함수로 둘러싸인 도형의 넓이

두 곡선 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)] 및 두 직선 [eqn: x=a], [eqn: x=b]로

개념1

둘러싸인 도형의 넓이는 [eqn: int _{a} ^{b} {} |f(x)-g(x)|dx]이다.

다음을 구하여라.

예제2

(1) 곡선 [eqn: y=lnx]와 직선 [eqn: y= {1} over {e} x], [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형의 넓이

(2) 곡선 [eqn: x=y ^{2}]과 직선 [eqn: y=x]로 둘러싸인 도형의 넓이

B42E2 | 다항함수와 넓이

[eqn: y=a(x-alpha)(x-beta)]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 [eqn: LEFT | {a} over {6} ( beta - alpha ) ^{3} RIGHT |]이다.

개념1

※ 부분적분법을 이용하여 증명해보자.

※ 삼차함수가 [eqn: x]축과 접할 때 : [eqn: LEFT | {a} over {12} ( beta - alpha ) ^{4} RIGHT |]

곡선 [eqn: y=x^2]과 직선 [eqn: y=m(x-1) +5]로 둘러싸인 도형의 넓이가

예제1

최소일 때, 실수 [eqn: m]의 값을 구하여라.

[eqn: int _{0} ^{1} {f(x)} dx+ int _{{3} over {2}} ^{e+ {1} over {2}} {g(x)} dx]

포물선 [eqn: y = x^2] 위에서 두 점 [eqn: {rmP}(a , ```a^2 )], [eqn: {rmQ}(b, ```b^2 )]이 조건

예제2

"선분 [eqn: rmPQ]와 포물선 [eqn: y= x^2]으로 둘러싸인 도형의 넓이는 [eqn: 36]"

을 만족하면서 움직이고 있다. [eqn: lim from{ a -> inf} { bar {rmPQ} } over a]의 값을 구하여라.

꼭짓점에서 사각형 만들면 [eqn: 1:2] 같은 것도 은근히 쓸만하다.

개념2

두 함수 [eqn: y= sqrt {x}], [eqn: y= sqrt {12-2x}]의 그래프와 [eqn: x]축으로 둘러싸인

예제3

도형의 넓이를 구하여라.

B42E3 | 역함수와 넓이

[eqn: int _{a} ^{b} {} f(x)dx+ int _{f(a)} ^{f(b)} {} f ^{-1} (x)dx=bf(b)-af(a)]

개념1

※ 그래프에서 의미를 따져서 설명해보자.

※ [eqn: int _{f(a)} ^{f(b)} {} f ^{-1} (x)dx]에서 [eqn: f ^{-1} (x)=y]로 치환하여 증명해보자.

함수 [eqn: f(x)=e ^{x} + {1} over {2}]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때,

예제1

의 값을 구하여라.

[eqn: 0 LEQ x< {pi } over {2}]에서 함수 [eqn: f(x)=tanx]의 역함수를

예제2

[eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: int _1 ^{sqrt {3}} {} g(x)dx]의 값을 구하여라.

B43 | 입체도형의 부피

구간 [eqn: [a,```b]]에서 입체를 [eqn: x]축에 수직인 평면으로 자른

개념1

단면의 넓이가 [eqn: S(x)]일 때 입체의 부피는 [eqn: int _a ^b {S(x)}dx]이다.

곡선 [eqn: y= x^2 over 4]과 [eqn: x]축 및 직선 [eqn: x=4]로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하고,

예제1

[eqn: x]축에 수직인 평면으로 자른 단면이 정사각형인 입체의 부피를 구하여라.

직선 [eqn: x=t][eqn: (0 le x le pi )]를 포함하고 [eqn: x]축에 수직인 평면으로

예제2

어떤 입체도형을 자를 때 생기는 단면은 한 변의 길이가

[eqn: | cos t |]인 정삼각형이 된다. 이때 이 입체도형의 부피를 구하여라.

B43E1 | 회전체의 부피

구간 [eqn: [a,```b]]에서 곡선 [eqn: y=f(x)]를 [eqn: x]축의 둘레로 회전시킬 때

개념1

생기는 회전체의 부피는 [eqn: pi int _{a} ^{b} {LEFT { f(x) RIGHT } ^{2}} dx]이다.

※ 그냥 해두셔요.

곡선 [eqn: y=x ^{2}]과 [eqn: x]축, [eqn: x=1]로 둘러싸인 도형을 [eqn: x]축의 둘레로

예제1

회전시켜서 생기는 회전체의 부피를 구하여라.

곡선 [eqn: y=lnx]와 [eqn: x]축, [eqn: y]축 및 직선 [eqn: y=1]로 둘러싸인 도형을

예제2

[eqn: y]축의 둘레로 회전시켜서 생기는 회전체의 부피를 구하여라.

원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =4]을 직선 [eqn: x=1]로 자른 두 영역 중 넓이가 작은 쪽을

예제3

[eqn: x]축의 둘레로 회전시켜서 생기는 회전체의 부피를 구하여라.

B43E2 | 파푸스-굴딘의 법칙

[eqn: x]축 위쪽에 존재하는 도형의 넓이가 [eqn: S]이고

개념1

이 도형의 무게중심에서 [eqn: x]축까지 이르는 거리가 [eqn: l]일 때,

이 도형을 [eqn: x]축의 둘레로 회전시킬 때 생기는 회전체의 부피는 [eqn: 2pil timesS]이다.

부등식 [eqn: x ^{2} +(y-3) ^{2} le1]가 나타내는 영역을 [eqn: x]축의 둘레로

예제1

회전시켜서 생기는 회전체의 부피를 구하여라.

B44 | 속력과 이동거리

속력을 적분하면 점 [eqn: rmP]가 이동한 거리가 된다. 즉,

개념1

[eqn: L=int_a ^b |v(t)|dt=int_a ^b sqrt { (x'(t))^2 +(y'(t))^2}dt]

점 [eqn: rmP][eqn: ( pi +cos pi t,``` pi +sin pi t)]가 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=2]까지 움직인 거리를 구하여라.

예제1

실수 [eqn: t]에 대하여 점 [eqn: {rmP}(x,```y)]가 [eqn: cases{ x=2t-1 # y=e^t +e^-t }]를 만족시킬 때,

예제2

[eqn: 0 le t le2]에서 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리를 구하여라.

B45 | 곡선의 길이

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 [eqn: x=a]에서 [eqn: x=b]까지

개념1

그리는 곡선의 길이는 [eqn: int_a ^b sqrt {1+ LEFT { f` prime (t) RIGHT } ^{2}} dt]이다.

※ 곡선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]를 [eqn: {rmP}(t,```f(t))]라 잡고 움직인 거리를 구한 결과이다.

※ 구분구적에 의한 방법으로 도출할 수 있다.

※ [eqn: rmP]의 자취가 같다면 점이 움직인 거리는 속도의 영향을 받지 않는다.

일단 대충 [eqn: {rmP}(x(t),```y(t))]와 [eqn: rm Q it (x(s(t)),```y(s(t)))]로 확인 해보자.

다음을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: 0 LEQ x LEQ ln2]에서 곡선 [eqn: y= {1} over {4} (e ^{2x} +e ^{-2x} )]의 길이

(2) [eqn: 0 LEQ x LEQ {pi } over {6}]에서 곡선 [eqn: y=ln(cosx)]의 길이