[eqn: (1+f(x)) ^{{1} over {f(x)}}][eqn: lim from { x -> inf } left ( 1 + 1 over { x + 1 } right )^x`][eqn: lim _{x -> inf} {} LEFT ( 1+ {2} over {x} RIGHT ) ^{x}][eqn: lim _{x -> 0} {} LEFT ( 1+2x RIGHT ) ^{1overx}][eqn: lim _{x -> 0} {} LEFT ( 1-3x RIGHT ) ^{{1} over {2x}}][eqn: lim _{x-> 1}~`x^{1overx-1}``][eqn: lim _{x -> - INF } {} left(1- {1} over {x} right) ^{2x}]

[여러 가지 함수의 미분]

B10 | 자연대수의 정의

수열 [eqn: LEFT ( 1+ {1} over {n} RIGHT ) ^{n}]의 극한값을 [eqn: e]라 한다. (자연대수, 오일러상수)

개념1

[eqn: RARROW] [eqn: lim _{n -> INF } {} LEFT ( 1+ {1} over {n} RIGHT ) ^{n} =e]     [eqn: RARROW] [eqn: lim _{x -> 0} {} ( 1+x) ^{{1} over {x}}]

✔ [eqn: f(x)->0]이면             는 [eqn: e]로 수렴한다.

[eqn: log _{e} x=lnx]라 나타내고 ‘자연로그’라 한다.

개념2

다음 극한값을 구하여라.

예제1

(1)	(2)

(3)	(4)

(5)	(6)

(7) [eqn: lim _{x` -> ` INF } {LEFT ( {2x-1} over {2x+1} RIGHT ) ^{x}}]	(8) [eqn: lim _{x` -> ` INF } {LEFT ( {x+a} over {x-a} RIGHT ) ^{x}}]

B11 | 지수함수와 로그함수의 극한

지수/로그함수를 포함한 [eqn: 0over0]꼴의 극한값은 어떻게 되는가?

탐구

eg1) [eqn: lim_x->0 { 2^x -1} over {x }=?]        eg2) [eqn: lim _{x -> 0} {} {log(x+1)} over {x} =?]

[eqn: lim _{x->0} {e ^{x} -1} over {x} =1],   [eqn: lim _{x -> 0} {} {a ^{x} -1} over {x} =lna]

개념1

다음 극한값을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: lim _{x -> 0} {} {e ^{2x} -1} over {3x}]	(2) [eqn: lim_{x-> 0} ~{e^-x - 1} over x``]

(3) [eqn: lim _{x -> 0} {} ` {e ^{2x} -1} over {e ^{-3x} -1} ``]	(4) [eqn: lim _{x` -> `0} {{e ^{2x``} -1} over {x ^{2} -x}}]

(5) [eqn: lim _{x -> 0} {} {2 ^{x} -1} over {x}]	(6) [eqn: lim _{x -> 0} {} {2 ^{x} -1} over {3 ^{x} -1}]

(7) [eqn: lim _{x` -> `0} {{e ^{5x``} -e ^{3x}} over {x}}]	(8) [eqn: lim _{x -> 0} {} {e ^{7x} +e ^{3x} -2} over {x}]

(9) [eqn: lim_x->0 { e^x +e^-x -2} over {x^2 }]

[eqn: lim _{x -> 0} {} {ln(1+x)} over {x} =1],   [eqn: lim _{x -> 0} {} {log _{a} (1+x)} over {x} = {1} over {lna}]

개념2

다음 극한값을 구하여라.

예제2

(1) [eqn: lim _{x -> 0} {} {ln(3x+1)} over {2x}]	(2) [eqn: lim _{x -> 0} {} {ln(1+x ^{2} )} over {2x ^{2}}]

(3) [eqn: lim _{x -> 0} {} {log _{2} (x+1)} over {2 ^{x} -1}]	(4) [eqn: lim _{x -> 1} {} {logx} over {x-1}]

(5) [eqn: lim _{x -> 0} {} {ln(2+3x)-ln2} over {x}]	(6) [eqn: lim _{x -> 0} {} {ln(1+x)+ln(1-x)} over {x ^{2}}]

[eqn: f(x)= {cases{{e ^{x} -a} over {2x}&```(x != 0)#b&```(x=0)}}][eqn: lim _{x -> INF } {LEFT ( 2 ^{x} +3 ^{x} RIGHT ) ^{{1} over {x}}}][eqn: lim _{x -> INF } {LEFT ( 5 ^{x+1} -3 ^{x+2} RIGHT ) ^{{1} over {x}}}]

[eqn: lim _{x -> 0} {{e ^{ax} +b} over {ln LEFT ( 1+x RIGHT )} =4}]를 만족하는 두 실수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하여라.

예제3

[eqn: lim _{x -> 0} {{ln LEFT ( 1+ax RIGHT )} over {e ^{bx+c} -1} =3}]를 만족하는 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 [eqn: {a+c} over {b}]의 값을 구하여라.

예제4

함수                      가 [eqn: x=0]에서 연속이다. [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하여라.

예제5

B11E1 | 지수함수와 로그함수의 극한2

✔ 부정형이 아닌 모양은 대충 구하면 된다.

다음 극한값을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: lim _{x->2} (2 ^{x} +2)]	(2) [eqn: lim _{x->4} {2 ^{x} -3} over {log _{2} x}]

(3) [eqn: lim _{x -> INF } {} ` LEFT { LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) ^{x} + LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{x} RIGHT }]	(4) [eqn: lim _{x -> INF } {} ` LEFT { 1+ LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{x} RIGHT }]

(5) [eqn: lim _{x->-inf} (3 ^{x} -2)]	(6) [eqn: lim _{x -> 0+} {} `logx]

(7) [eqn: lim _{x -> 0+} {} ` {logx} over {x}]	(8) [eqn: lim _{x -> INF } {LEFT ( 2 ^{x} +3 ^{x} RIGHT ) ^{{1} over {x}}}][eqn: lim _{x -> INF } {LEFT ( 2 ^{x} +3 ^{x} RIGHT ) ^{{1} over {x}}}]

(9)

[eqn: lim _{x -> 0+} {} (2 ^{{1} over {x}} `logx)][eqn: lim _{x -> 0} {} {3 ^{{1} over {x}} +a} over {3 ^{{1} over {x}} +3 ^{x+1}}]

✔ 지수함수가 [eqn: {inf} over {inf}]꼴일 때는 밑의 크기가 중요하다.

다음 극한값을 구하여라.

예제2

(1) [eqn: lim _{x -> INF } {{5 ^{x+1} -3 ^{x}} over {5 ^{x} +3 ^{x}}}]	(2) [eqn: lim _{x -> - INF } {` {5 ^{x} +5 ^{-x}} over {5 ^{x} -5 ^{-x}}}]

(3) [eqn: lim _{x -> - INF } {` {3 ^{x} +2 ^{x}} over {3 ^{x+1} +2 ^{x+1}}}]	(4) [eqn: lim _{x -> inf} {} ` {log _{3} x+1} over {log _{2} x}]

(5) [eqn: lim _{x -> 0+} {} ` {log _{3} x+1} over {log _{5} x}]	(6) [eqn: lim _{x -> inf} {} ` {log _{3} (x+3)} over {log _{2} (3x)}]

[eqn: f(x)= { a cdot 3^x+1 +b cdot 2^x} over {3^x -2^x-1 }]에 대하여 [eqn: lim _{ x->inf} {f(x) }=12], [eqn: lim _{x -> -inf} {f(x)} =8]이다.

예제3

[eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하여라.

의 값이 존재할 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

예제4

✔ 지수함수가 무한대로 커지면 다항함수보다 개빠르다. (로그함수는 개느리다.)

다음 극한값을 구하여라.

예제5

(1) [eqn: lim _{x -> INF } {} {2 ^{x}} over {x ^{2}}]	(2) [eqn: lim _{x->inf} {3 ^{x} +x ^{2}} over {3 ^{x} +2 ^{x}}]

(3) [eqn: lim _{x -> INF } {} {log _{2} x} over {x}]	(4) [eqn: lim _{x -> - INF } {} (2 ^{x} x)]

(5) [eqn: lim _{x -> 0+} {} (x logx)]	(6)

B12 | 지수함수와 로그함수의 미분법

지수/로그함수의 미분법

개념1

① [eqn: (lnx) prime = {1} over {x}]	② [eqn: (log_a x) prime = { 1} over {x lna}]

③ [eqn: (e ^{x} ) prime =e ^{x}]	④ [eqn: (a ^{x} ) prime =lna cdota ^{x}]

①, ③은 정의에 의해 : [eqn: lim _{h -> 0} {} {ln(x+h)-lnx} over {h}], [eqn: lim _{h -> 0} {} {e ^{x+h} -e ^{x}} over {h}]

증명

②, ④는 지수/로그함수의 성질을 이용하여 적절하게

※ [eqn: left{ln(-x)right}'= { 1} over {x }]이므로 [eqn: (ln|x|)'= { 1} over { x}]

※ 뒤에 여러 가지 미분법 단원을 배우고 나서 다시 자세히 하자.

B13 | 삼각함수의 덧셈정리

삼각함수의 덧셈정리

개념1

① [eqn: sin( alpha ± beta )=sin alpha cosbeta+- cos alpha sin beta]

② [eqn: cos( alpha ± beta )=cos alpha cos beta -+sin alpha sin beta]

③ [eqn: tan( alpha ± beta )= { tanalpha+-tanbeta} over {1-+tanalphatanbeta }]

✔ 오른쪽 그림을 이용하여 증명해보자.

※ 식 하나에서 ① [eqn: beta]에 [eqn: -beta]를, ② [eqn: beta]에 [eqn: {pi } over {2} +- beta]를 대입하여 더 얻을 수 있다.

※ [eqn: tan(alpha+-beta)= { sin (alpha+-beta)} over {cos(alpha+-beta) }]로 탄젠트의 덧셈정리 공식을 얻을 수 있다.

✔ 다른 증명 방법

① [eqn: TRIANGLE rmABC]에서 [eqn: rmA]에서 [eqn: rmBC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 할 때, [eqn: bar{{rmAH}} =h], [eqn: angle{rmBAH=alpha],

[eqn: ANGLE rmCAH= beta]라 두면 삼각형의 넓이 [eqn: {1} over {2} bc`sin( alpha + beta )= { 1} over {2 }ch sinalpha+ { 1} over { 2}bh sinbeta]에서

② [eqn: rmA(cos alpha ,```sin alpha )], [eqn: rmB(cos beta ,```sin beta )]에 대하여 [eqn: vec{rmOA}]와 [eqn: vec{rmOB}]의 내적을 이용하여

③ ②의 [eqn: rmTRIANGLE AOB]에서 [eqn: rm bar{AB}]의 길이에 대한 코사인법칙에 의해서

※ ①, ③은 알아 놓도록 하자. ②는 내적을 배운 다음에 해보자.

[eqn: 0<alpha< { pi} over {2 }<beta<pi], [eqn: sinalpha= { 3} over {5 }], [eqn: cos beta=- { 1} over { 2}]일 때,

예제1

[eqn: sin (alpha+beta)]의 값을 구하여라.

[eqn: sin75DEG], [eqn: tan15DEG]의 값을 구하여라.

예제2

[eqn: sin`alpha+sin`beta= {1} over {2}], [eqn: cos alpha +cos beta = {3} over {2}]일 때, [eqn: cos LEFT ( alpha-beta RIGHT )]의 값을 구하여라.

예제3

[eqn: 0<x< {pi } over {2}]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=tanx]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 하자.

예제4

[eqn: g LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) +g LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) =theta]일 때, [eqn: costheta]의 값을 구하여라.

B13E1 | 탄젠트 덧셈정리의 활용

그림과 같이 두 정사각형을 이어 붙인

예제1

도형에서 [eqn: tan (alpha - beta)]의 값을 구하여라.

두 직선 [eqn: y= { 1} over {2 }x-1], [eqn: y=2x-1]이 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때,

예제2

[eqn: tantheta]의 값을 구하여라.

오른쪽 그림과 같이 직선 [eqn: y= { 1} over {2 }x]를

예제3

점 [eqn: (4,```2)]를 중심으로 반시계 방향으로

[eqn: 45DEG] 회전시킨 직선의 방정식을 구하여라.

어느 빌딩에 세로가 [eqn: 5rmm]인 대형 TV가

예제4

지면으로부터 [eqn: 20rmm]의 높이에 설치되어 있다.

지면에서 이 TV를 바라볼 때, 바라보는 각

[eqn: theta]의 크기가 최대인 지점에서 빌딩까지의

거리를 구하여라.

B13E2 | 배각공식과 반각공식

[eqn: 2]배각공식

개념1

① [eqn: sin2theta=2sin theta costheta]

② [eqn: cos2theta=cos^2 theta-sin^2 theta=2 cos^2 theta-1=1-2 sin^2 theta]

③ [eqn: tan 2theta= { 2tantheta} over {1-tan^2 theta }]

✔ [eqn: 3]배각공식

① [eqn: sin3theta=-4sin^3 theta+3sintheta]

② [eqn: cos3theta=4cos^3 theta-3costheta]

반각공식

개념1

① [eqn: sin^2 { alpha} over {2 }= { 1-cos alpha} over {2 }]

② [eqn: cos^2 { alpha} over {2 }= { 1+cosalpha} over {2 }]

③ [eqn: tan^2 { alpha} over {2 }= { 1-cosalpha} over {1+cos alpha }]

[eqn: theta]가 제[eqn: 2]사분면의 각이고 [eqn: sin theta= { 3} over { 5}]일 때, [eqn: sin2theta], [eqn: cos2theta], [eqn: tan2theta]의

예제1

값을 각각 구하여라.

[eqn: sin22.5DEG], [eqn: cos15DEG]의 값을 구하여라.

예제2

[eqn: sintheta= { sqrt { 5} } over {3 }], [eqn: theta]는 제[eqn: 1]사분면의 각이다. [eqn: sin { theta} over { 2}]의 값을 구하여라.

예제3

B14 | 삼각함수의 합성

[eqn: a sintheta+b cos theta= sqrt { a^2 +b^2 } {rmsin}(theta+alpha)]

개념1

(단, [eqn: cosalpha= { a} over { sqrt { a^2 +b^2} }], [eqn: sinalpha= { b} over { sqrt { a^2 +b^2} }])

[eqn: sin theta+ sqrt { 3} {rmcos}theta]을 [eqn: a sin(theta+alpha)]의 꼴로 나타내어라.

예제1

[eqn: 3sintheta+4 cos theta]의 최댓값/최솟값을 구하여라.

예제2

[eqn: 2 sin theta+ costheta]가 최대가 되는 [eqn: theta]값에 대하여 [eqn: tan theta]의 값을 구하여라.

예제3

함수 [eqn: y= sqrt { 2}{rmsin} LEFT ( x- { pi} over { 4} RIGHT )+4cosx]의 최솟값을 구하여라.

예제4

[eqn: y=1+sinx+cosx+ LEFT ( sinx+cosx RIGHT ) ^{2}]의 최댓값과 최솟값을 구하여라.

예제5

[eqn: lim _{x -> {pi} over {2}} {{1-sinx} over {cos ^{2} x}}][eqn: lim _{x-> {pi} over {2}} { {cosx} over {ax+b} = {1} over {2}}][eqn: lim _{x-> a} { {3 ^{x} -1} over {2sin LEFT ( x-a RIGHT )} =b ln3}][eqn: lim _{x-> 0} { {sin2x} over {sqrt {ax+b} -1} =3}][eqn: lim _{x-> {pi} over {4}} { {sinx-cosx} over {x- {pi} over {4}}}]

B15 | 삼각함수의 극한

[eqn: lim _{x -> 0} {} {sinx} over {x} =1],    [eqn: lim _{x -> 0} {} {tanx} over {x} =1]

개념1

✔ 부채꼴의 넓이를 이용한 증명

✔ 그래프에서 기울기로서의 의미

다음 극한값을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: lim _{x -> 0} {} {sin2x} over {x}]	(2) [eqn: lim _{x -> 0} {} {sin4x} over {tan3x}]

(3) [eqn: lim _{x -> 0} {} {sinx+sin2x} over {x}]	(4) [eqn: lim _{x -> 0} {} {sin(x ^{2} )} over {x tanx}]

(5) [eqn: lim _{n -> INF } {} n`sin LEFT ( {1} over {n+1} RIGHT )]	(6) [eqn: lim_x->0 { 1-cosx} over {x^2 }]

(7) [eqn: lim _{x -> 0} {{1-cos2x} over {x`tanx}}]	(8) [eqn: lim _{x -> pi} {{sinx} over {x-pi}}]

(9)	(10)

다음 물음에 답하여라.

예제2

(1) [eqn: lim _{x-> 0} { {a-3cosx} over {x tanx} =b}]일 때, [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하여라.

(2)               일 때, [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하여라.

(3)                       일 때, [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하여라.

(4)                   일 때, [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하여라.

B15E1 | 도형에서의 극한

✔ [eqn: sin]법칙 : [eqn: { a} over {sinA }= { b} over {sinB }= { c} over { sinC}=2R]

✔ [eqn: cos]법칙 : [eqn: a^2 =b^2 +c^2 -2bc cosA]

✔ 삼각형의 넓이 : [eqn: {1} over {2} ab sinC]

그림의 부채꼴 [eqn: rmOAB]에서

예제1

[eqn: lim _{theta -> 0} {} {(내접원의```둘레)} over {arch{rmAB}}]

의 값을 구하여라.

그림에서 [eqn: rmbarAB =barAC]이고 [eqn: S(theta)]는

예제2

색칠한 부분의 넓이이다.

[eqn: lim _{theta -> 0+} {} {S( theta ) } over {theta ^{3}}]의 값을 구하여라.

반지름의 길이가 [eqn: r]인 원에 내접하는 정[eqn: n]각형의

예제3

한 변을 [eqn: rmbarAB], 원의 중심을 [eqn: rmO]라 할 때, [eqn: TRIANGLE rmOAB]의

넓이를 [eqn: f LEFT ( n RIGHT )]이라 하자. [eqn: lim _{n -> INF } {nf LEFT ( n RIGHT )}]의 값을 구하여라.

B16 | 삼각함수의 미분법

삼각함수의 미분법

개념1

① [eqn: (sinx)'=cosx]	② [eqn: (cosx)'=-sinx]

③ [eqn: (tanx)'=sec ^{2} x]	④ [eqn: (secx) prime =secx tanx]

⑤ [eqn: (cscx) prime =-cscx`cotx]	⑥ [eqn: (cotx) prime =-csc ^{2} x]

①은 정의에 의해 : [eqn: lim _{h->0} {sin(x+h)-sinx} over {h}]

증명

②부터는 여러 가지 미분법을 다룬 후 삼각함수의 성질을 이용하여 적절하게

[eqn: f(x)=sinx]에 대하여 [eqn: lim_x->0 { f(pi+sin3x)-f(pi)} over { x}]의 값을 구하여라.

예제1

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{ax+b&``` LEFT ( -1<x<0 RIGHT )#sinx&``` LEFT ( 0 LEQ x<1 RIGHT )}}]가 [eqn: x=0`]에서 미분가능하게 하는

예제2

[eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하여라.

[여러 가지 미분법]

B17 | 몫의 미분법

[eqn: {d} over {dx} LEFT ( {g(x)} over {f(x)} RIGHT ) = {g` prime (x)f(x)-g(x)f` prime (x)} over {LEFT { f(x) RIGHT } ^{2}}]

개념1

[eqn: RARROW] [eqn: {d} over {dx} LEFT ( {1} over {f(x)} RIGHT ) =- {f` prime (x)} over {LEFT { f(x) RIGHT } ^{2}}]

① 정의에 의해,   ② 곱/합성함수의 미분법에 의해(사기)

증명

다음 함수를 미분하여라.

예제1

(1) [eqn: {x ^{3} -1} over {x ^{2}}]

(2) [eqn: {1} over {x ^{2} +x}]

(3) [eqn: x^n] ([eqn: n]은 음의 정수)

B18 | 합성함수의 미분법

[eqn: { d} over {dx }left{f(g(x))right}=f`'(g(x))g'(x)]

개념1

미분의 정의에서부터

증명

✔ 라이프니쯔식 표현 : [eqn: { dz} over {dx }= { dy} over {dx }cdot { dz} over {dy }]

※ [eqn: { d} over { dx}] : [eqn: x]에 대하여 미분하여라. [eqn: RARROW] [eqn: lim_DELTAx->0 { DELTAy} over { DELTAx} = { dy} over { dx}] (증분비/미분비)

[eqn: THEREFORE ``` {dz} over {dx} =2x cosy=2x cos ( {x ^{2}})][eqn: THEREFORE ``` {dz} over {dx} =2 CDOT 3y ^{2}][eqn: y=2x][eqn: { dy} over { dx}=2][eqn: y=x^2][eqn: {dy} over {dx} =2x][eqn: z=y ^{3}][eqn: {dz} over {dy} =3y ^{2}][eqn: z=sin {y}][eqn: {dz} over {dy} =cosy][eqn: { dy} over {dx }= { { dy} over {dt } } over { { dx} over {dt } }= { g'(t)} over { f`'(t)}]

eg1)  [eqn: x]                [eqn: y]                [eqn: z]

eg2)  [eqn: x]                [eqn: y]                [eqn: z]

B19 | 매개변수 미분법

[eqn: {cases{x=f(t)#y=g(t)}}]이면

개념1

[eqn: {cases{x=2t-1#y=t ^{2}}}] 일 때, [eqn: {dy} over {dx} right| _{t=2}]의 값을 구하여라.

예제1

[eqn: {cases{x=cos theta #y=sintheta}}]일 때, 곡선 위의 점 [eqn: left( { 1} over { 2},``` { sqrt { 3} } over {2 }right)]에서의 접선의 방정식을 구하여라.

예제2

B19E1 | 매개변수함수

점 [eqn: {rmP}(x,```y)]가 [eqn: {cases{x=f(t)#y=g(t)}}]를 만족하여 [eqn: t]에 따라 평면 위를 움직일 때,

개념1

점 [eqn: rmP]가 그리는 도형을 [eqn: rmP]의 자취라 하고 이때 [eqn: {rmP}(x,```y)]가 만족하는 방정식을

점 [eqn: rmP]의 자취의 방정식이라 한다. (일반적으로 [eqn: t]를 소거한 [eqn: x]와 [eqn: y]만의 관계식)

[eqn: { dy} over {dx }= { { dy} over {dt } } over { { dx} over {dt } }= { g'(t)} over { f`'(t)}][eqn: {d ^{2} y} over {dx ^{2}} = {d {dy} over {dx}} over {dx} = {{d {dy} over {dx}} over {dt}} over {{dx} over {dt}} = {{d} over {dt} LEFT ( {g prime (t)} over {f` prime (t)} RIGHT )} over {f` prime (t)}]

점 [eqn: {rmP}(x(t),```y(t))]가 [eqn: {cases{x(t)=t#y(t)=t^2}}]를 만족할 때,

예제1

(1) [eqn: t=0], [eqn: t=1], [eqn: t=2]일 때 점 [eqn: rmP]의 위치를 말하여라.

(2) 점 [eqn: rmP]가 그리는 자취의 방정식을 구하여라.

점 [eqn: {rmP}(x(t),```y(t))]가 [eqn: {cases{x(t)=cost#y(t)=sint}}]를 만족할 때,

예제2

(1) 점 [eqn: rmP]가 그리는 자취의 방정식을 구하여라.

(2) 점 [eqn: rmQ]가 [eqn: {rmQ}(cos2t,```sin2t)]일 때, [eqn: rmP]와 [eqn: rmQ]의 움직임을 설명하여라.

B19E2 | 매개변수로 나타난 곡선의 이계도함수

[eqn: {cases{x=f(t)#y=g(t)}}]이면                  이고,

개념1

실수 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: {cases{x=theta-sintheta#y=1-costheta}}]일 때, [eqn: {{d^2}y} overdx^2]를 구하여라.

예제1

실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: {cases{x=e ^{t} +e ^{-t}#y=e^t -e^-t}}]일 때, [eqn: {{d^2}y} overdx^2]를 구하여라.

예제2

B20 | 음함수의 미분법

✔ 변수 [eqn: x], [eqn: y]가 [eqn: f(x,```y)=0]의 등식을 만족할 때, [eqn: y]를 [eqn: x]의 음함수라 한다.

[eqn: f(y)]를 [eqn: x]에 대하여 미분하면 [eqn: f`'(y) cdot{ dy} over dx{ }]이다.

개념1

※ 합성함수의 미분법과 음함수의 미분법 : 같은 거다.

※ 편미분과 음함수의 미분법 비교 : 다른 거다.

곡선 [eqn: x^2 +y^2 =1] 위의 점 [eqn: left( { 1} over { 2},``` { sqrt { 3} } over {2 }right)]에서의 접선의 방정식을 구하여라.

예제1

곡선 [eqn: xy=6] 위의 점 [eqn: LEFT ( 2,```3 RIGHT )]에서의 접선의 방정식을 구하여라.

예제2

B21 | 역함수의 미분법

[eqn: f(x)]의 역함수가 [eqn: g(x)]이고, [eqn: f(a)=b]이면, [eqn: g`'(b)= { 1} over {f`'(a) }]이다.

개념1

세 가지 방법으로 해보자.

증명

① 기하학적 의미를 따져서

② [eqn: f(g(x))=x]에서부터

③ [eqn: x=f(y)]와 [eqn: y=g(x)]가 동치임에서부터

[eqn: f(x)=x ^{3} +x]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: g`'(2)]의 값을 구하여라.

예제1

[eqn: f(x)=sinx] ([eqn: 0le x le {pi} over {2}])의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때,

예제2

[eqn: g prime LEFT ( {1} over {2} RIGHT )]의 값을 구하여라.

[eqn: f(2)=f`'(2)=1]이고 역함수를 가지는 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 있다.

예제3

함수 [eqn: f(2x)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: g(1)]과 [eqn: g'(1)]의 값을 구하여라.

B22 | 이계도함수

[eqn: f(x)]를 [eqn: x]에 대하여 두 번 미분한 함수를 이계도함수라 한다.

개념1

[eqn: y=f(x)]의 이계도함수 : [eqn: f`''(x)],  [eqn: y''],  [eqn: {d ^{2}} over {dx ^{2}} f(x)],  [eqn: {d ^{2} y} over {dx ^{2}}]

Note

※ [eqn: n]계도함수를 [eqn: f ^{(n)} (x)]와 같이 나타내기도 한다.

※ 이계도함수의 정의는 보통 [eqn: lim _{h -> 0} {} {f` prime (x+h)-f`'(x)} over {h}]를 쓴다.

[eqn: RARROW] [eqn: lim _{h -> 0} {} {f(x+h)+f(x-h)-2f(x)} over {h ^{2}}]도 가끔 쓴다. 기억할 필요까지는 없지만.

B23 | 초월함수의 미분법

삼각함수의 미분법

개념1

① [eqn: (sinx)'=cosx]	② [eqn: (cosx)'=-sinx]

③ [eqn: (tanx)'=sec ^{2} x]	④ [eqn: (secx) prime =secx tanx]

⑤ [eqn: (cscx) prime =-cscx`cotx]	⑥ [eqn: (cotx) prime =-csc ^{2} x]

①은 정의에 의해 : [eqn: lim _{h->0} {sin(x+h)-sinx} over {h}]

증명

②부터는 여러 가지 미분법을 다룬 후 삼각함수의 성질을 이용하여 적절하게

지수/로그함수의 미분법

개념2

① [eqn: (lnx) prime = {1} over {x}]	② [eqn: (log_a x) prime = { 1} over {x lna}]

③ [eqn: (e ^{x} ) prime =e ^{x}]	④ [eqn: (a ^{x} ) prime =lna cdota ^{x}]

①, ③은 정의에 의해 : [eqn: lim _{h -> 0} {} {ln(x+h)-lnx} over {h}], [eqn: lim _{h -> 0} {} {e ^{x+h} -e ^{x}} over {h}]

증명

②, ④는 지수/로그함수의 성질을 이용하여 적절하게

※ [eqn: left{ln(-x)right}'= { 1} over {x }]이므로 [eqn: (ln|x|)'= { 1} over { x}]

다음 함수를 미분하여라.

예제1

(1) [eqn: sin ^{3} x cosx]	(2) [eqn: {tanx} over {1+secx}]

(3) [eqn: cos sqrt {1+x ^{2}}]	(4) [eqn: x ^{2} `e ^{x+1}]

(5) [eqn: {ln(x ^{2} )} over {x}]	(6) [eqn: y= {2^x -1} over{2^x +1}]

B23E1 | 로그를 이용한 미분법

양변에 로그 취해서 미분하면 좋을 때가 있다.

개념1

다음 함수를 미분하여라.

예제1

(1) [eqn: f(x)= { x(x+1)} over {(x+2)^2 }]	(2) [eqn: f(x)= sqrt {{(x+2)(x-3)} over {x-1}}]

(3) [eqn: f(x)=x^x]	(4) [eqn: f(x)=x ^{lnx}]

B24 | 0/0꼴 심화

✔ 선형근사 : 초월함수를 포함한 [eqn: { 0} over {0 }]꼴을 간단하게 처리하는 야매

✔ 테일러 급수 : 선형근사의 근거

✔ 로피탈의 정리 : 문제를 잘 풀어주는 야매

B24E1 | 무한소의 위치와 차수

다음 극한값을 생각해보자.

탐구

(1) [eqn: lim _{n->inf} {} {n+n ^{2} +n ^{3}} over {n+2n ^{2} +3n ^{3}}],     [eqn: lim _{x->0} {x+2x ^{2} +3x ^{3}} over {x+x ^{2} +x ^{3}}],     [eqn: lim _{x -> 0+} {} {[x]} over {x}]

(2) [eqn: lim _{x->0} {sinx} over {x}],     [eqn: lim _{x -> 0} {} {sin(x+2x ^{2} +3x ^{3} )} over {x+x ^{2} +x ^{3}}],     [eqn: lim _{x->0} {sinx+ln(1+x ^{2} )} over {x}]

(3) [eqn: lim _{x->0} {f(x)} over {x} =2]일 때, [eqn: lim _{x -> 0} {} {left{f(x)right} ^{2} +2f(x)} over {x ^{2} +x}]

B24E2 | 선형근사

[eqn: x->0]이면 ;

개념1

① [eqn: sinx`SIMx]	② [eqn: tanx`SIMx]

③ [eqn: 1-cosx SIM {1} over {2} x ^{2}]	④ [eqn: e ^{x} -1SIMx]

⑤ [eqn: ln(1+x)SIMx]

다음 극한값을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: lim _{x -> 0} {} {sin4x} over {tan3x}]	(2) [eqn: lim _{x -> 0} {} {sin(x ^{2} )} over {x tanx}]

(3) [eqn: lim _{x -> 0} {} {sinx+sin2x} over {x}]	(4) [eqn: lim_x->0 { 1-cosx} over {x^2 }]

(5) [eqn: lim _{x -> 0} {{1-cos2x} over {x`tanx}}]	(6) [eqn: lim _{x -> 0} {{1-cos(x ^{2} )} over {sin ^{2} (x ^{2} )}}]

(7) [eqn: lim _{x -> 0} {} ` {e ^{2x} -1} over {e ^{-3x} -1} ``]	(8) [eqn: lim _{x -> 0} {} {2 ^{x} -1} over {x}]

(9) [eqn: lim _{x -> 0} {} {ln(1+x ^{2} )} over {2x ^{2}}]	(10) [eqn: lim _{x -> 0} {} {ln(1+sinx)} over {e ^{tanx} -1}]

※ 기분 좋은 형태가 아니면 쓰다 털릴 수 있다. (고차 항이 필요하기 때문)

다음 극한값을 구하여라.

예제2

(1) [eqn: lim _{x -> 0} {{ln(1+3x)+ln(1-3x)} over {x ^{2}}}]	(2) [eqn: lim_x->0 { e^x +e^-x -2} over {x^2 }]

(3) [eqn: lim _{x -> 0} {{sin2x-2sinx} over {x ^{3}}}]	(4) [eqn: lim _{x -> 0} {{tanx-sinx} over {x ^{3}}}]

B24E3 | 테일러 급수

[eqn: f(x)=a+bx+cx ^{2} +dx ^{3} +cdots]라 놓고 계수비교를 잘 해보면,

개념1

[eqn: RARROW] [eqn: f(x)=f(0)+f`'(0)x+ {f`''(0)} over {2!} x ^{2} + {f`'''(0)} over {3!} x ^{3} +cdots]

✔ [eqn: e ^{x} =1+x+ {1} over {2} x ^{2} + {1} over {6} x ^{3} + {1} over {24} x ^{4} +cdots]

✔ [eqn: ln(1+x)=x- {1} over {2} x ^{2} + {1} over {3} x ^{3} - CDOTS]

✔ [eqn: sinx=x- {1} over {6} x ^{3} + {1} over {120} x ^{5} - CDOTS]

✔ [eqn: cosx=1- {1} over {2} x ^{2} + {1} over {24} x ^{4} + {1} over {720} x ^{6} - CDOTS]

다음 극한값을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: lim _{x -> 0} {} {e ^{x} -1} over {x}]	(2) [eqn: lim _{x -> 0} {} {1-cosx} over {(sinx) ^{2}}]

(3) [eqn: lim _{x -> 0} {} {1-cos(2x)} over {sin(x ^{2} )}]	(4) [eqn: lim _{x -> 0} {} {e ^{x} -1-x} over {x ^{2}}]

(5) [eqn: lim _{x -> 0} {} {x-sinx} over {x ^{3}}]	(6) [eqn: lim _{x -> 0} {} {x-sinx cosx} over {x ^{3}}]

B24E4 | 로피탈의 정리

두 번 미분가능한 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 [eqn: f(a)=g(a)=0]이면,

개념1

[eqn: lim _{x -> a} {} {f(x)} over {g(x)} = lim _{x -> a} {} {f`'(x)} over {g`'(x)}]이다.

※ 사실 도함수가 연속이면 되는데 어차피 증명 안 되는 거 대충 하자.

다음 극한값을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: lim _{x -> 2} {} {x ^{2} -4} over {x-2}]	(2) [eqn: lim _{x -> 1} {} {x-1} over {sqrt {x} -1}]

(3) [eqn: lim_x->0 { e^x -1} over { sinx}]	(4) [eqn: lim _{x -> 0} {} {e ^{x} -1-x} over {x ^{2}}]

다항함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: lim _{x -> 2} {} {f(x-1)-3} over {x-2} =-1]을 만족할 때,

예제2

[eqn: x=1]에서 [eqn: y=f(x)]에 접하는 직선의 방정식을 구하여라.

※ 미분가능성이 보장되지 않으면 로피탈은 쓸 수 없다.

eg) [eqn: f(x)=|x-1|]일 때, [eqn: lim_h->0 { f(1+h)-f(1-h)} over { 2h}]의 값을 구하여라.

※ [eqn: f`'(a)=g`'(a)=0]이 아닌 경우의 로피탈의 정리는 미분계수의 정의에 의해

간단하게 설명이 가능하므로 로피탈을 쓸 필요가 없다. [eqn: f`'(a)=g`'(a)=0]인

경우에 로피탈이 의미를 가지는 데 이 경우에는 증명이 쉽지 않다.

[도함수의 활용]

B25 | 접선의 방정식

곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (t,```f(t))]에서 [eqn: y=f(x)]에 접하는

개념1

직선의 방정식은 [eqn: y=f`'(t)(x-t)+f(t)]이다.

[eqn: RARROW] 기울기가 주어졌을 때?

[eqn: RARROW] 곡선 밖의 점을 지나는 접선일 때?

곡선 [eqn: y= {2x+1} over {x ^{2} +2}] 위의 점 [eqn: LEFT ( 0,``` {1} over {2} RIGHT )]에서의 법선의 방정식을 구하여라.

예제1

곡선 [eqn: y=e ^{-x}]에 접하며 기울기가 [eqn: -1]인 직선의 방정식을 구하여라.

예제2

원점을 지나고 곡선 [eqn: y=e ^{5x}]에 접하는 직선의 방정식을 구하여라.

예제3

두 곡선 [eqn: y=2lnx], [eqn: y=kx ^{2}]이 서로 접할 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하여라.

예제4

두 곡선 [eqn: y=a-2sin ^{2} x], [eqn: y=2cosx]가 서로 접할 때,

예제5

상수 [eqn: a]의 값을 구하여라. (단, [eqn: 0<x<pi])

점 [eqn: (a,```0)]에서 곡선 [eqn: y=e ^{-x ^{2}}]에 서로 다른 두 개의 접선을

예제6

그을 수 있을 때, [eqn: a]의 값의 범위를 구하여라.

B26 | 극대와 극소

도함수의 부호와 원함수의 증감

개념1

① [eqn: f`'(x)<0]이면 [eqn: f(x)]는 감소한다.

② [eqn: f`'(x)>0]이면 [eqn: f(x)]는 증가한다.

다음 함수의 그래프를 그려라.

예제1

(1) [eqn: f(x)= {x} over {x ^{2} +1}]	(2) [eqn: f(x)=x^2 e^-x]

(3) [eqn: f(x)=e ^{x} -x]	(4) [eqn: f(x)=x+ {1} over {x}]

(5) [eqn: f(x)=x^2 lnx]	(6) [eqn: f(x)=x sinx+cosx] ([eqn: 0<x<2pi])

함수 [eqn: f(x)=xe ^{ax+b}]이 [eqn: x=-2]에서 극솟값 [eqn: - {2} over {e}]를 가질 때,

예제2

상수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하여라.

함수 [eqn: f(x)=kx-2cosx]가 극값을 갖지 않도록 하는

예제3

[eqn: k]의 값의 범위를 구하여라.

함수 [eqn: f(x)=ax+ln(x ^{2} +4)]가 실수 전체에서 증가하게 되는

예제4

상수 [eqn: a]의 값의 범위를 구하여라.

함수 [eqn: f(x)=lnx+ {a} over {4x} -4x]가 극댓값과 극솟값을 모두 가지는

예제5

상수 [eqn: a]의 값의 범위를 구하여라.

B27 | 오목과 볼록

이계도함수의 부호와 원함수의 요철

개념1

① [eqn: f`''(x)>0]이면 [eqn: f(x)]는 아래로 볼록이다.

② [eqn: f`''(x)<0]이면 [eqn: f(x)]는 위로 볼록이다.

[eqn: x=a]의 좌우에서 볼록성이 바뀌면 [eqn: (a,```f(a))]를 변곡점이라 한다.

개념2

[eqn: RARROW] 두 번 미분 가능할 때, [eqn: (a,```f(a))]가 변곡점이면 [eqn: f`''(a)=0]이다.

다음 곡선의 오목, 볼록을 조사하고 변곡점을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: y=x ^{3} -3x ^{2} +5]	(2) [eqn: y=x`e ^{x}]

(3) [eqn: y= {1} over {x ^{2} +3}]	(4) [eqn: y=`ln(x ^{2} +1)]

곡선 [eqn: f(x)=x+2sinx] ([eqn: 0<x<2pi])의 변곡점에서의

예제2

접선의 방정식을 구하여라.

B27E1 | 변곡점에서 접하는 직선

점 [eqn: (a,``` 2 )]에서 곡선 [eqn: y= x^3 - 3 x^2 +2]에 그은 접선이 오직 한 개

예제1

존재하도록 하는 실수 [eqn: a]의 값의 범위를 구하여라.

점 [eqn: (a,```0)]에서 곡선 [eqn: y=xe ^{-x}]에 서로 다른 두 개의 접선을

예제2

그을 수 있을 때, 양의 정수 [eqn: a]의 최솟값을 구하여라.

B28 | 함수의 그래프

그래프를 그릴 때에는 다음 사항을 체크한다.

개념1

① 정의역	② 정의역 경곗값에서의 함숫값

③ 극점과 증감 (by 도함수)

다음 사항을 체크해보면 더 예쁜 그래프를 그릴 수 있다.

개념2

④ 절편	⑤ 오목과 볼록(변곡점)

⑥ 점근선	⑦ 대칭성

다음 함수의 그래프를 그려라.

예제1

(1) [eqn: y=xe^x]	(2) [eqn: y= { x} over {x^2 +1}]

(3) [eqn: y=x lnx]	(4) [eqn: y= {1} over {x(x-2)}]

(5) [eqn: y=e ^{-x ^{2}}]	(6) [eqn: y=x ^{x}]

(7) [eqn: y= {x ^{2}} over {(x-1) ^{2}}]	(8) [eqn: y= {x} over {sqrt {x ^{2} +1}}]

B28E1 | 연산된 함수의 그래프

[eqn: f(x)+-g(x)]나 [eqn: f(x)g(x)]의 그래프 등을 알 수 있다.

개념1

① [eqn: f(x)+-g(x)]의 도함수는 [eqn: f`'(x)+-g`'(x)]이다.

② [eqn: f(x)g(x)]의 그래프를 그릴 때는, [eqn: 0]이나 [eqn: 1]이 되는 점에 주목해 본다.

다음 함수의 그래프를 그려라.

예제1

(1) [eqn: y=x+ {1} over {x}]	(2) [eqn: y= sqrt { x}+ sqrt {10-x}]

(3) [eqn: y=x+sinx]	(4) [eqn: y=x+ sqrt {1-x ^{2}}]

(5) [eqn: y= {e ^{x} +e ^{-x}} over {2}]	(6) [eqn: y=sinx`cdotcosx]

(7) [eqn: y= {1} over {sinx}]	(8) [eqn: y= {1} over {x ^{2} +1}]

B28E2 | 지수함수와 다항함수의 곱

✔ 많이 나오므로 미분 없이도 대충의 개형을 잡을 수 있게 연습 해 두자.

[eqn: RARROW] [eqn: x=0] 근처에서는 다항함수 따라가고 [eqn: x->+-inf]일 때는 지수함수 따라간다.

다음 함수의 그래프를 그려라.

예제1

(1) [eqn: y=xe ^{x}]	(2) [eqn: y=x ^{2} e ^{-x}]

(3) [eqn: y=(x ^{2} -x)e ^{-x}]	(4) [eqn: y=x^2 (x-2)e^x]

B28E3 | 합성된 함수의 그래프

함숫값의 증감을 조사하는 것이 가능하다.

개념1

※ [eqn: {d } over {dx } f(g(x))=f'(g(x))g'(x)]이므로 미분가능한 [eqn: y=f(g(x))]의 극값은

① [eqn: f`'(g(x))=0]일 때, 혹은 ② [eqn: g'(x)=0]일 때 생긴다.

다음 함수의 그래프를 그려라.

예제1

(1) [eqn: y=e^-x^2]	(2) [eqn: y=ln(x^2 +1)]

(3) [eqn: y=sin(x ^{2} )]	(4) [eqn: y=sin {1} over {x}]

(5) [eqn: f(x)=2x ^{2} -1]일 때, [eqn: y= lim _{n -> INF } {} {1} over {1+ LEFT { f(x) RIGHT } ^{2n}}]

B29 | 함수의 최대최소

✔ 그래프만 잘 그리면 된다.

[eqn: x>0]일 때, 함수 [eqn: f(x)= {e ^{x+1}} over {x}]의 최솟값을 구하여라.

예제1

닫힌 구간 [eqn: [0,```1]]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=x+root{1-x ^{2} }]의

예제2

최댓값/최솟값을 구하여라.

함수 [eqn: f(x)=x lnx]가 범위 [eqn: {1} over {e ^{2}} LEQ x LEQ e]에서 가지는 최댓값/최솟값을 구하여라.

예제3

닫힌 구간 [eqn: LEFT [ 0,``` pi RIGHT ]]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =sin2x+2sinx]의 최댓값을 구하여라.

예제4

B30 | 방정식과 부등식

✔ 그래프만 잘 그리면 대충 된다.

[eqn: RARROW] 한 쪽 변으로 어디까지 넘길지, 접선으로 풀지를 먼저 고민해보자.

방정식 [eqn: 2 sqrt {x+1} -x=a]가 서로 다른 두 실근을 가질 때,

예제1

실수 [eqn: a]의 값의 범위를 구하여라.

방정식 [eqn: kx ^{2} e ^{-x} =1]이 오직 하나의 실근을 가질 때,

예제2

실수 [eqn: k]의 값의 범위를 구하여라.

방정식 [eqn: k e ^{x} -x+1=0]이 실근을 갖도록 하는

예제3

실수 [eqn: k]의 최댓값을 구하여라.

방정식 [eqn: x^2 -ln(1+2x^2 )=k]가 서로 다른 네 개의 실근을

예제4

갖도록 하는 실수 [eqn: k`]의 값의 범위를 구하여라.

모든 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: e ^{x} GEQ 2x+k]가 성립할 때,

예제5

실수 [eqn: k]의 값의 범위를 구하여라.

모든 양수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: sqrt {x} >k lnx]가 성립할 때,

예제6

양수 [eqn: k]의 값의 범위를 구하여라.

모든 양수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: cos`x>k- {1} over {2} x ^{2}]을 만족시키는

예제7

실수 [eqn: k]의 최댓값을 구하여라.

B31 | 속도와 가속도

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 위치가 [eqn: x(t)]일 때,

개념1

[eqn: RARROW] 점 [eqn: rmP]의 속도 [eqn: v(t)=x'(t)]

[eqn: RARROW] 점 [eqn: rmP]의 가속도 [eqn: a(t)=x'' (t)]

점 [eqn: {rmP}(x,```y)]가 시각 [eqn: t`]에 대하여 [eqn: {cases{x=f(t)#y=g(t)}}]를 만족할 때,

개념2

① 점 [eqn: rmP]의 속도 : [eqn: v(t)=(f`'(t),```g'(t))]

② 점 [eqn: rmP]의 속력 : [eqn: |v(t)|= sqrt {(f` prime (t)) ^{2} +(g prime (t)) ^{2}}]

③ 점 [eqn: rmP]의 가속도 : [eqn: a(t)=(f` ''(t),```g ''(t))]

※ 속도는 점 [eqn: rmP]가 그리는 곡선에 접하는 벡터이다. ( [eqn: because] [eqn: {dy} over {dx} = {dy} over {dt} / {dx} over {dt}] )

점 [eqn: rm P]의 시각 [eqn: t]에서의 위치 [eqn: (x,```y)]가 [eqn: x= 1over2 t^3 - lnt], [eqn: y=2t]이다.

예제1

점 [eqn: rm P]의 속력이 최소가 될 때, 점 [eqn: rm P]의 속도를 구하여라.