[수열의 극한]

B01 | 수열의 수렴과 발산

다음 수열을 계속 쓰면 어떻게 될지 말하여라.

탐구

(1) [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 5], [eqn: 7], [eqn: 9], [eqn: cdots] [eqn: ->] ?

(2) [eqn: { 1} over { 2}], [eqn: { 1} over { 4}], [eqn: { 1} over { 8}], [eqn: { 1} over {16 }], [eqn: { 1} over { 32}], [eqn: cdots] [eqn: ->] ?

(3) [eqn: { 1} over { 2}], [eqn: { 2} over { 3}], [eqn: { 3} over {4 }], [eqn: { 4} over {5 }], [eqn: {5} over {6}], [eqn: cdots] [eqn: ->] ?

수열 [eqn: a _{n}]이 [eqn: alpha]로 수렴한다.

개념1

[eqn: RARROW] [eqn: n]이 무한히 커질 때, [eqn: a _{n}]이 [eqn: alpha]에 한없이 가까워진다.

( 혹은 [eqn: a _{n} `` -> `` alpha] )

Note

eg1) [eqn: { 1} over { 2}], [eqn: { 2} over { 3}], [eqn: { 3} over {4 }], [eqn: { 4} over {5 }], [eqn: cdots], [eqn: {n} over {n+1}], [eqn: cdots] [eqn: RARROW] [eqn: lim _{n->inf} {n} over {n+1} =1]

eg2) [eqn: { 1} over { 2}], [eqn: {1} over {4}], [eqn: {1} over {8}], [eqn: {1} over {16}], [eqn: cdots], [eqn: {1} over {2 ^{n}}], [eqn: cdots] [eqn: RARROW] [eqn: lim _{n -> INF } {} {1} over {2 ^{n}} =0]

eg3) [eqn: 1], [eqn: 4], [eqn: 9], [eqn: 16], [eqn: cdots], [eqn: n ^{2}], [eqn: cdots] [eqn: RARROW] [eqn: lim _{n -> INF } {} n ^{2} =inf]

eg4) [eqn: -1], [eqn: 1], [eqn: -1], [eqn: 1], [eqn: cdots], [eqn: (-1) ^{n}], [eqn: cdots] [eqn: RARROW] [eqn: lim _{n -> INF } {} (-1) ^{n} =?]

eg5) [eqn: 1], [eqn: - {1} over {2}], [eqn: {1} over {3}], [eqn: - {1} over {4}], [eqn: cdots], [eqn: (-1) ^{n} {1} over {n}], [eqn: cdots] [eqn: RARROW] [eqn: lim _{n -> INF } {} (-1) ^{n} {1} over {n} =0]

[eqn: lim _{n->inf} a _{n} =alpha]

[eqn: {3n} over {n+ sqrt {n ^{2} +1}}][eqn: {3n ^{2} +n sqrt {n}} over {n ^{2} +n sqrt {n ^{2} +2n+3}}]

발산 ; 수렴하지 않는다.

개념2

① 양의 무한대로 발산,   ② 음의 무한대로 발산,   ③ 진동

cf) 진동하는 형태 :

B02 | 부정형의 극한값

부정형 : 어떻게 될지 모른다.

개념1

① [eqn: {inf} over {inf}], ② [eqn: {0} over {0}], ③ [eqn: 0cdotinf], ④ [eqn: inf-inf] 꼴 등이 존재한다.

cf) [eqn: inf+inf], [eqn: {k} over {inf}], [eqn: cdots]

[eqn: {inf} over {inf}] 꼴의 극한값 구하기 : 차수와 최고차항의 계수비교

개념2

다음 수열의 극한값을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: {n ^{2} -3} over {n ^{2} +3n}]	(2) [eqn: {6n ^{3} +n ^{2} -n+1} over {2n ^{3} -4n}]

(3) [eqn: {2n ^{2}} over {3n ^{2} +4n+1}]	(4) [eqn: {5n ^{3} +1} over {3n ^{2} -4n}]

(5) [eqn: {sqrt {2n+1}} over {sqrt {n+1} + sqrt {n-1}}]	(6)

(7)	(8) [eqn: {1+2+3+cdots+n} over {n ^{2}}]

(9) [eqn: {1 ^{2} +2 ^{2} +3 ^{2} +cdots+n ^{2}} over {n+2n+3n+cdots+n ^{2}}]

[eqn: lim_n->inf { an^3 +bn^2 +c} over { n^2 +2n}=4]일 때, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 값을 구하여라.

예제2

B02E1 | 무한대-무한대의 극한값

[eqn: inf-inf] 꼴의 극한값 구하기

개념1

① 차수가 다르거나 최고차항의 계수가 다르면 답을 그냥 알 수 있다.

② 차수와 최고차항의 계수가 같으면.. 일단 유리화해 보자.

다음 수열의 극한값을 구하여라.

예제3

(1) [eqn: n-n^2]	(2) [eqn: sqrt { n}-n]

(3) [eqn: sqrt { 2n+1}- sqrt { n}]	(4) [eqn: sqrt {n ^{2} +2n} -2n]

(5) [eqn: sqrt {n ^{2} +2n} -n]	(6) [eqn: {1} over {sqrt {n ^{2} +n} -n}]

(7) [eqn: sqrt { n+1} - sqrt { n-1}]	(8) [eqn: { n} over { sqrt { n^2 +n}- sqrt { n^2 -n} }]

[eqn: lim_n->inf left( sqrt { n^2 +6n} - sqrt { an^2 +bn+c }right) =2]일 때, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 값을 구하여라.

예제4

B03 | 극한값의 성질

두 수열이 수렴할 때는 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기가 가능하다.

개념1

eg1) [eqn: a _{n} -> ``3], [eqn: b _{n} ->``2]일 때, [eqn: lim _{n->inf} (a _{n} ^{```2} +2b _{n} )]의 값은?

eg2) 수렴하는 수열 [eqn: a _{n}]에 대하여 [eqn: lim _{n->inf} {a _{n} -2} over {a _{n} +3} =2]일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} a _{n}]의 값은?

eg3) [eqn: lim _{n->inf} na _{n} =2]일 때,

(1) [eqn: lim _{n->inf} (n+1)a _{n} =?]	(2) [eqn: lim _{n->inf} a _{n} =?]

eg4) [eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{n}} over {n} =3]일 때,

(1) [eqn: lim _{n -> INF } {} {n+1} over {n ^{2} +2n} a _{n} =?]	(2) [eqn: lim _{n->inf} a _{n} =?]

eg5) [eqn: lim _{n -> INF } {} (n ^{2} +2n)a _{n} =4]일 때,

(1) [eqn: lim _{n -> INF } {} n ^{2} a _{n} =?]	(2) [eqn: lim _{n -> INF } {} na _{n} =?]

[eqn: 0]으로 나누는 건 안 돼요.

개념2

eg1) [eqn: a_n]과 [eqn: a_n +b_n]이 수렴하면 [eqn: b_n]이 수렴한다.

eg2) [eqn: a_n]과 [eqn: a _{n} b _{n}]이 수렴하면 [eqn: b_n]이 수렴한다.

[eqn: RARROW] [eqn: a _{n}]이 [eqn: 0]이 아닌 값으로 수렴하고 [eqn: a _{n} b _{n}]이 수렴하면 [eqn: b _{n}]이 수렴한다.

[eqn: RARROW] [eqn: a _{n}]이 수렴하고 [eqn: a _{n} b _{n}]이 발산하면 [eqn: b _{n}]이 발산한다.

eg3) [eqn: a_n]과 [eqn: { b_n} over {a_n }]이 수렴하면 [eqn: b_n]이 수렴한다.

eg4) [eqn: a _{n} ^{```2}]이 수렴하면 [eqn: a_n]이 수렴한다.

eg5) [eqn: a_n]이 수렴하면 [eqn: { 1} over { a_n}]이 수렴한다.

[eqn: RARROW] [eqn: a_n]이 [eqn: 0]이 아닌 값으로 수렴하면 [eqn: { 1} over { a_n}]이 수렴한다.

수열의 조작과 수렴성

개념3

eg1) [eqn: a_n]이 수렴하면 [eqn: a_2n]이 수렴한다.

eg2) [eqn: a _{2n}]이 수렴하면 [eqn: a _{n}]이 수렴한다.

eg3) [eqn: a _{n+1}]이 수렴하면 [eqn: a _{n}]이 수렴한다.

eg4) [eqn: a _{n}]이 수렴할 때, [eqn: lim _{n->inf} {a _{n}} over {a _{2n+1} +3} =2]이다. [eqn: lim _{n -> INF } {} a _{2n}]의 값은?

eg5) [eqn: a_n]이 수렴하면 [eqn: |a _{n} |]이 수렴한다.

eg6) [eqn: |a _{n} |]이 수렴하면 [eqn: a_n]이 수렴한다.

eg7) [eqn: a_n b_n]이 수렴하면 [eqn: a_n], [eqn: b_n] 중 적어도 하나는 수렴한다.

B03E1 | 샌드위치 정리

모든 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{n} <b _{n}]이면 [eqn: lim _{n->inf} a _{n} le lim _{n->inf} b _{n}]이다. (등호 조심!)

개념1

모든 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{n} <b _{n} <c _{n}]이고 [eqn: lim _{n -> INF } {} a _{n} = lim _{n -> INF } {} c _{n} =alpha]이면 [eqn: lim _{n->inf} b _{n} =alpha]이다.

개념2

다음 물음에 답하여라.

예제1

(1) 모든 [eqn: n]에 대하여 [eqn: -1 lea _{n} le1]일 때, [eqn: {a _{n}} over {n}]의 극한값은?

(2) 모든 [eqn: n]에 대하여 [eqn: {2n} over {n+1} <a _{n} < {2n} over {n-1}]이 성립할 때, [eqn: lim _{n->inf} a _{n}]의 값은?

(3) 모든 [eqn: n]에 대하여 [eqn: n-1 le a _{n} le n+1]일 때, [eqn: {a _{n} +n} over {n}]의 극한값은?

(4) [eqn: lim_n->inf 1overn left[ n over10 right]]의 값은?

(5) 모든 [eqn: n]에 대하여 [eqn: n<a _{n} <n+1]이 성립할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{1} +a _{2} +cdots+a _{n}} over {n ^{2}}]의 값은?

B04 | 등비수열의 극한

[eqn: a _{n} =a _{1} r ^{n-1}] ([eqn: a _{1} >0]) 의 극한값은,

개념1

① [eqn: r>1]이면 [eqn: inf]로 발산

② [eqn: r=1]이면 [eqn: a]로 수렴

③ [eqn: -1<r<1]이면 [eqn: 0]으로 수렴

④ [eqn: r=-1]이면 진동

⑤ [eqn: r< -1]이면 진동

[eqn: left{a _{1} r ^{n-1} right}]은 [eqn: -1<r le 1]이거나 [eqn: a _{1} =0]이면 수렴한다.

개념2

수열 [eqn: left{x (x-3)^n-1 right}]이 수렴하는 정수 [eqn: x]의 개수를 구하여라.

예제1

B04E1 | 등비수열을 포함한 부정형

✔ 차수 대신 밑의 크기를 본다.

※ 무한대로 갈 때 다항함수에 비해서 빠르다는 것도 상식으로 알아두자.

eg) [eqn: lim_n->inf { n^2} over {2^n } =0]

[eqn: 2+ { 1} over { 2+ { 1} over {2+ { 1} over { cdots} } }]

다음 극한값을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: lim_n->inf (2^n -3^n )]	(2) [eqn: lim_n->inf {((-3)^n +4^n ) }]

(3) [eqn: lim_n->inf { 2^n+1} over {3^n }]	(4) [eqn: lim_n->inf { 2^n +3^n } over {2^n -3^n }]

(5) [eqn: lim_n->inf { 5^n+1 +4^n} over { 5^n +3^n}]	(6) [eqn: lim _{n -> INF } {} {3 ^{n+1}} over {3 ^{n-1} -2 ^{n}}]

(7) [eqn: lim _{n -> INF } {} {4 ^{n} +2 ^{2n+1} +1} over {4 ^{n} +3 ^{n}}]	(8) [eqn: lim _{n -> INF } {} {n ^{2}} over {2 ^{n}}]

[eqn: f(x)= lim _{n -> INF } {} {x ^{2n}} over {x ^{2n} +1}]일 때, [eqn: f(2)], [eqn: f(1)], [eqn: f(0.5)]의 값을 각각 구하여라.

예제2

[eqn: f(x)= lim _{n -> INF } {} {x ^{2n} +x} over {x ^{2n+1} +1}]일 때, [eqn: f(3)], [eqn: f(1)], [eqn: f(-0.1)]의 값을 각각 구하여라.

예제3

B05 | 점화식의 수렴

[eqn: lim _{n->inf} a _{n} =alpha]이면 [eqn: lim _{n->inf} a _{n+1} =alpha]이다.

개념1

[eqn: a _{n+1} = {1} over {3} a _{n} +6]일 때, [eqn: lim _{n->inf} a _{n}]의 값을 구하여라.

예제1

다음 식의 값을 구하여라.

예제2

(1) [eqn: sqrt {2+ sqrt {2+ sqrt {2+ sqrt {2+cdots}}}}]

(2)

B05E1 | 거미줄 그림

점화식 [eqn: a_n+1 = root { a_n +2 }]을 만족하는 수열의

예제1

극한값을 오른쪽 그림을 이용하여 찾으라.

[eqn: a_1 =1], [eqn: a _{n+1} =1+ {1} over {a _{n}}]을 만족하는 수열의 극한값을 구하여라.

예제2

[급수]

B06 | 무한급수의 뜻

[eqn: 1+ {1} over {2} + {1} over {4} + {1} over {8} + {1} over {16} +cdots]의 값은?

탐구1

[eqn: 1-1+1-1+1- CDOTS]의 값은?

탐구2

[eqn: a_1 +a_2 +a_3 +cdots+a_n +cdots=sum_n=1 ^inf a_n]

Note

[eqn: sum _{n=1} ^{inf} a _{n} =lim _{n->inf} S _{n} =lim _{n->inf} sum _{k=1} ^{n} a _{k}]

개념1

무한급수를 구할 때는 ① [eqn: S _{n}](부분합)을 구하고 ② 극한 때린다.

다음 무한급수의 값을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: {1} over {1 CDOT 2} + {1} over {2 CDOT 3} + {1} over {3 CDOT 4} + CDOTS]

(2) [eqn: {1} over {1} + {1} over {2} + {1} over {4} + {1} over {8} + CDOTS]

(3) [eqn: {1} over {1} - {1} over {2} + {1} over {4} - {1} over {8} + CDOTS]

(4) [eqn: 1-1+1-1+1-1+cdots]

(5) [eqn: {1} over {sqrt {2} + sqrt {1}} + {1} over {sqrt {3} + sqrt {2}} + {1} over {sqrt {4} + sqrt {3}} + CDOTS]

B07 | 급수의 수렴과 수열의 수렴성

[eqn: 3+1+ {1} over {3} + {1} over {9} + {1} over {27} +cdots= {9} over {2}]에서 수열 [eqn: 3], [eqn: 1], [eqn: 1over3], [eqn: 1over9], [eqn: cdots]은?

탐구

[eqn: sum _{n=1} ^{inf} a _{n}]이 수렴하면 [eqn: lim _{n->inf} a _{n} =0]이다.

개념1

[eqn: S _{n} -S _{n-1} =a _{n}]에서

증명1

대우 : 급수의 수렴가능성?

증명2

[eqn: sum _{n=1} ^{inf} left(a _{n} - {n} over {n+2} right)=3]일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} {2a _{n}} over {a _{n} +3}]의 값을 구하여라.

예제1

[eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} =S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n->inf} S _{n} =4]이다. [eqn: lim _{n -> INF } {} (S _{n} +a _{n} +3)]의 값을 구하여라.

예제2

역은 성립하지 않는다.

개념2

eg1) [eqn: a _{n`} = sqrt {n+1} - sqrt {n}]

eg2) [eqn: a _{n} = {1} over {n}]

B08 | 무한등비급수

[eqn: sum _{n=1} ^{inf} a _{1} r ^{n-1}] ([eqn: a _{1} >0]) 의 극한값은,

개념1

① [eqn: r>1]이면 [eqn: inf]로 발산

② [eqn: r=1]이면 [eqn: inf]로 발산

③ [eqn: -1<r<1]이면 [eqn: {a _{1}} over {1-r}]으로 수렴

④ [eqn: r=-1]이면 진동

⑤ [eqn: r< -1]이면 진동

[eqn: sum _{k=1} ^{ {INF }} a _{1} r ^{n-1}]은 [eqn: -1<r<1]이거나 [eqn: a _{1} =0]이면 [eqn: {a _{1}} over {1-r}]으로 수렴한다.

개념2

다음 무한급수의 값을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: 2+1+ { 1} over {2 }+ { 1} over {4 }+ { 1} over {8 }+cdots]

(2) [eqn: 1- {1} over {2} + {1} over {4} - {1} over {8} + {1} over {16} - {1} over {32} + CDOTS]

(3) [eqn: 2+ sqrt {2} +1+ {1} over {sqrt {2}} + {1} over {2} +cdots]

(4) [eqn: sum _{n=1} ^{inf} {2 ^{n} +1} over {4 ^{n}}]

(5) [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {2-(-1) ^{n}} over {4 ^{n}}]

(6) [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {(2-(-1) ^{n} ) ^{n}} over {4 ^{n}}]

B08E1 | 무한등비급수와 도형

첫 항 안 구해지면 빠른 포기 추천. 공비는 닮음비로 찾는다.

개념1

예제1

예제2

예제3

예제4

예제5

B09 | 등비수열과 등비급수의 수렴성

[eqn: a _{1} !=0]일 때,

개념1

① [eqn: lim _{n->inf} a _{1} r ^{n-1}]은 [eqn: -1<r le1]일 때 수렴하고

② [eqn: sum_n=1 ^inf{} a _{1} r ^{n-1}]은 [eqn: -1<r<1]일 때 수렴한다.

두 수열 [eqn: left{a_n right}], [eqn: left{b _{n} right}]이 등비수열일 때, 다음의 참거짓을 말하여라.

예제1

ㄱ. [eqn: a_n]이 수렴하면 [eqn: { a_n} over {2^n }]이 수렴한다.

ㄴ. [eqn: a_n]이 수렴하면 [eqn: 2 ^{n} a _{n}]이 수렴한다.

ㄷ. [eqn: a _{n}], [eqn: b _{n}]이 모두 수렴하면 [eqn: a _{n} b _{n}]이 수렴한다.

ㄹ. [eqn: a _{n}], [eqn: b _{n}]이 모두 수렴하면 [eqn: { b_n} over {a_n }]이 수렴한다.

ㅁ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}]이 수렴하면 [eqn: a _{n}]이 수렴한다.

ㅂ. [eqn: a _{n}]이 수렴하면 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}]이 수렴한다.

ㅅ. [eqn: a _{n}]이 수렴하면 [eqn: {1} over {a _{n}}]이 발산한다.

ㅇ. [eqn: a _{n}]이 수렴하면 [eqn: {(-1) ^{n}} over {a _{n}}]이 발산한다.

ㅈ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}]이 수렴하면 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1} over {a _{n}}]이 발산한다.