• 2교시 수학 영역 •

2012학년도 11월 고2 전국연합학력평가

정답 및 해설 (수리)

[A 형]

1	⑤	2	②	3	④	4	③	5	①
6	④	7	③	8	②	9	③	10	③
11	②	12	①	13	④	14	④	15	⑤
16	①	17	③	18	①	19	④	20	④
21	③	22	48	23	12	24	6	25	5
26	17	27	13	28	675	29	297	30	65

[출제의도] 지수의 성질을 알고 계산하기

(준식)[eqn: = LEFT ( 2 ^3 RIGHT ) ^{{2} over {3}} TIMES left(2 ^4right)^{1over4} =2 ^2} times2=8]

[출제의도] 행렬 연산하기

[eqn: A-2B```= {pmatrix{```````2`&-1`#-2`&``````4`}} -2 {pmatrix{-2`&```````3`#```````2`&```````2`}} `= {pmatrix{```````6`&-7`#-6`&```````0`}}]

[출제의도] 여러 가지 수열 이해하기

[eqn: sum _{n=1} ^{10} LEFT ( 2n-3 RIGHT ) =2 CDOT {10 CDOT 11} over {2} -3 CDOT 10=80]

[출제의도] 로그방정식 이해하기

[eqn: LEFT ( log _{3} x RIGHT ) ^{2} -4`log _{3} x+3=0], [eqn: left(log_3 x -1right)left(log_3 x -3right)=0]
[eqn: log_3 x =1] 또는 [eqn: log_3 x =3]이므로
[eqn: x=3] 또는 [eqn: x=27]이다.
따라서 [eqn: alpha+ beta=30]

[출제의도] 등차수열의 일반항 이해하기

첫째항이 [eqn: 1], 공차가 [eqn: 3]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 일반항은
[eqn: a_n =3n-2]이고,
첫째항이 [eqn: 1000], 공차가 [eqn: -6]인 등차수열 [eqn: LEFT { b_n right}]의 일반항은 [eqn: b _{n} =`-6n+1006]이다.
[eqn: a_k = b_k]이므로 [eqn: 3k-2=`-6k+1006]이다.
따라서 [eqn: `k=112]

[출제의도] 지수법칙 이해하기

[eqn: 2 ^{2a+b} =27]이고,
[eqn: 4 ^{a-3b} = {1} over {25}]에서 [eqn: 2^2(a-3b) = left({1} over {5}right)^2]이므로 [eqn: 2^a-3b = {1} over {5}]
이다.
따라서 [eqn: 2 ^{3a-2b}=2 ^{2a+b} CDOT2^a-3b = 27over5]

[출제의도] 등비수열의 합 이해하기

등비수열 [eqn: LEFT { a_n right}]의 첫째항이 [eqn: 3], 공비가 [eqn: 2]이므로 수열
[eqn: LEFT { a_2n-1 RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 3], 공비가 [eqn: 4]인 등비수열이다.
따라서 [eqn: a _{1} +a _{3} +a _{5} +a _{7} +a _{9} = {3left(4^5 -1right)}over{4-1}=1023]

[출제의도] 지수부등식 이해하기

[eqn: LEFT ( {1} over {sqrt {3}} RIGHT ) ^{2x+6} LEQ 27 ^{`2-x}]에서 [eqn: 3^-x-3 LEQ3^-3x+6]이므로
[eqn: x LEQ 9over2]이다.
따라서 주어진 부등식을 만족시키는 자연수는
[eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]이므로 [eqn: x]의 값의 합은 [eqn: 10]

[출제의도] 지수함수의 그래프 이해하기

지수함수 [eqn: y=a CDOT 3 ^{`x}]의 그래프를 원점에 대하여 대칭
이동시키면 함수 [eqn: y=`-a CDOT 3 ^{`-x}]의 그래프이고,
이 함수의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼,
[eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 3]만큼 평행이동시키면
함수 [eqn: y=`-a CDOT 3 ^{-x+2} +3]의 그래프이다.
함수 [eqn: y=`-a CDOT 3 ^{-x+2} +3]의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( 1,``-6 RIGHT )]을
지나므로 [eqn: -6=`-a CDOT 3 ^{-1+2} +3]

따라서 [eqn: a=3]

[출제의도] 등비중항을 활용하여 문제해결하기

점 [eqn: rm C]는 선분 [eqn: rm AB]를 [eqn: 1:2`]로 내분하는 점이므로
점 [eqn: rm C]의 좌표 [eqn: y={6+2x} over {3}]이다.
[eqn: x], [eqn: {6+2x} over {3}], [eqn: 6`]이 이 순서대로 등비수열을 이루므로
[eqn: LEFT ( {6+2x} over {3} RIGHT ) ^{2} =`6x]이다.
[eqn: 2x ^{2} -15x+18=0`]
따라서 [eqn: (2x-3)(x-6)=0`]이므로 [eqn: x= {3} over {2} `][eqn: LEFT ( BECAUSE `x<6 RIGHT ) `]

[출제의도] 로그의 성질 이해하기

[eqn: log _{`2} sqrt {7+4 sqrt {3}} `=log_{`2} sqrt {7+2 sqrt {12}}=log_2 left(2+root3 right)]
[eqn: 2<2+ sqrt {3} <4]이므로 [eqn: 1<log _{2} LEFT ( 2+ sqrt {3} RIGHT ) <2]이다.
[eqn: alpha =log _{`2} `` LEFT ( 2+ sqrt {3} RIGHT ) `-1=log _{`2} `` {2+ sqrt {3}} over {2} `]

따라서 [eqn: 2 ^{`- alpha } =2 ^{-log _{`2} `` {2+ sqrt {3}} over {2} `} = {2} over {2+ sqrt {3}} =4-2 sqrt {3}]

[출제의도] 수열의 귀납적 정의를 활용한 문제해결하기

[eqn: a _{n+1} =2a _{n} +1]에서 [eqn: a_n+1 +1=2left(a_n +1right)]
[eqn: a _{n} +1=b _{n}]이라고 하면, 수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]은 첫째항이
[eqn: a _{1} +1=2], 공비가 [eqn: 2]인 등비수열이므로
[eqn: b _{n} =a _{n} +1= LEFT ( a _{1} +1 RIGHT ) `2 ^{n-1} =2 ^{n}]
따라서 [eqn: log _{`4} ` LEFT ( a _{20} +1 RIGHT ) ``=log _{4} 2 ^{20} =log _{`4} `4 ^{10} =10]

[출제의도] 행렬과 그 성질 이해하기

[eqn: A ^{2} -2A+E=O`]에서 [eqn: A ^{2} =2A-E`]이고,
[eqn: A LEFT ( pile{`2`#`0`} RIGHT ) = LEFT ( pile{`1`#`2`} RIGHT )]이므로
[eqn: A LEFT ( pile{`1`#`2`} RIGHT ) =A ^{2} LEFT ( pile{`2`#`0`} RIGHT ) =(2A-E) LEFT ( pile{`2`#`0`} RIGHT ) =`2A LEFT ( pile{`2`#`0`} RIGHT ) - LEFT ( pile{`2`#`0`} RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( pile{`2`#`4} RIGHT ) - LEFT ( pile{`2`#`0`} RIGHT ) `= LEFT ( pile{`0`#`4`} RIGHT )]
따라서 [eqn: a=0], [eqn: b=4]이므로 [eqn: a+b=4]

[출제의도] 여러 가지 수열을 활용하여 문제해결하기

[eqn: n GEQ2]에 대하여
[eqn: a_n = a_n-1 + 2n-1]에서 [eqn: a_n - a_n-1 = 2n-1]이므로
[eqn: n GEQ1]에 대하여
[eqn: a_n+1 - a_n = 2(n+1)-1=2n+1]이다.
[eqn: a _{n} =1+ sum _{k=1} ^{n-1}(2k+1)]이므로 [eqn: f(k)=2k+1]이다.
[eqn: a_20 = 1+ sum _{k=1} ^{19}(2k+1) =400]이므로 [eqn: c=400]이다.
따라서 [eqn: f(10)+c=21+400=421]

[출제의도] 역행렬과 행렬 연산 이해하기

[eqn: A ^{-1} =} LEFT ( {matrix{````````1`&-2`#`-2`&````````5`}} RIGHT )], [eqn: A+E```=AB``]에서
[eqn: B=A ^{-1} (A+E)```=E+A ^{-1}]이므로
[eqn: B= LEFT ( {matrix{``1&````0``#``0&````1``}} RIGHT ) + {pmatrix{`````````1&-2`#`-2&````````5``}} = {pmatrix{```````2&```-2``#-2&``````````6``}}]이다.
따라서 행렬 [eqn: B]의 모든 성분의 합은 [eqn: 4]

[출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이해하여 추론하기

[eqn: f(n)= 5overn], [eqn: g(n) =(n-1)!]
따라서 [eqn: f LEFT ( 20 RIGHT ) TIMES g LEFT ( 7 RIGHT ) = {5} over {20} TIMES 6!][eqn: =180]

[출제의도] 로그를 활용하여 문제해결하기

[eqn: R_2]가 [eqn: R_1]의 [eqn: 2]배인 원통형 축전기의 전기용량이
[eqn: 5]([eqn: rmF])이므로
[eqn: 5= {2pikL} over{log ``2R_1 - log ``R_1 } = 2pikL over{log 2R_1 over R_1} = 2pikL over {log ``2}]이다.
[eqn: THEREFORE ``2 pi kL=5log``2]
따라서 [eqn: R_2]가 [eqn: R_1]의 [eqn: 8]배인 원통형 축전기의
전기용량([eqn: rmF])은
[eqn: {2 pi kL} over {log``8R _{1} -log``R _{1}} = {5log``2} over {log {8R _{1}} over {R _{1}}} = {5log``2} over {log``8} = {5log``2} over {3log``2} = {5} over {3}]

[출제의도] 등차수열을 활용하여 수열 추론하기

[eqn: n]행 [eqn: n]열의 수는 [eqn: LEFT ( 2n-1 RIGHT )]이고, [eqn: n]행의 모든 수들은
[eqn: 1]열부터 [eqn: LEFT ( 2n-1 RIGHT )]열까지 이 순서대로 공차가 [eqn: LEFT ( 2n-3 RIGHT )]인
등차수열을 이루므로
[eqn: a_n = (2n-1)+2(2n-3)=6n-7]이다.
따라서 [eqn: sum _{n=3} ^{10} a _{n} = {8 LEFT ( 2cdot11+7cdot6 RIGHT )} over {2} =256]

[출제의도] 행렬의 연산을 활용하여 추론하기

ㄱ. (반례) [eqn: A= {pmatrix{`0`&`1`#`1`&`0`}}] (거짓)

ㄴ. [eqn: LEFT ( A+2B` RIGHT ) ^{2} = LEFT ( A-2B` RIGHT ) ^{2}]에서
[eqn: A ^{2} +2AB+2BA+4B ^{2} =A ^{2} -2AB-2BA+4B ^{2}]
[eqn: 4AB+4BA=O`]
[eqn: THEREFORE ``AB+BA=O] (참)

ㄷ. [eqn: AB=A] [eqn: CDOTSCDOTS㉠], [eqn: BA=B`] [eqn: CDOTSCDOTS㉡]
㉠의 양변 오른쪽에 행렬 [eqn: A]를 곱하면 [eqn: ABA=A^2],
이 식에 ㉡을 대입하면 [eqn: A ^{2} =AB=A]이고,
㉡의 양변 오른쪽에 행렬 [eqn: B]를 곱하면 [eqn: BAB=B^2],
이 식에 ㉠을 대입하면 [eqn: B ^{2} ``=BA=B]이다.
[eqn: THEREFORE ``A ^{2} +B ^{2} ```=A+B`] (참)

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ

[출제의도] 지수함수의 그래프 이해하기

[eqn: 3CDOT2^x =4^x], [eqn: 2^x left(2^x -3right)=0], [eqn: x=log_2 3]([eqn: BECAUSE `2 ^{x} >0])이므로
점 [eqn: rmB]의 좌표는 [eqn: LEFT ( log _{`2} `3,``9) RIGHT .]이다.
세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmC], [eqn: rmD]의 좌표는 각각
[eqn: left(0,``3)], [eqn: LEFT ( log _{2} `3,``3) RIGHT .], [eqn: LEFT ( 2log _{`2} `3,``9) RIGHT .]이다.
그러므로 사각형 [eqn: rmACDB]는 밑변의 길이가 [eqn: log _{2} `3]이고
높이가 [eqn: 6]인 평행사변형이다.
따라서 사각형 [eqn: rmACDB]의 넓이는 [eqn: 6`log _{2} 3]

[출제의도] 로그함수의 그래프를 활용하여 문제해결하기

ㄱ. 곡선 [eqn: y=log _{`a} `x]가 직선 [eqn: y=x]와 점 [eqn: LEFT ( p,``p RIGHT )]에서
만나고 [eqn: p= {1} over {2}]이므로 [eqn: {1} over {2} =log _{a} {1} over {2}], [eqn: a ^{{1} over {2}} = {1} over {2}]
[eqn: THEREFORE ``a= {1} over {4}] (참)

ㄴ. 곡선 [eqn: y=log _{`a} `x]가 두 점 [eqn: LEFT ( b,``d RIGHT )], [eqn: LEFT ( c,``b RIGHT )]를 지나므로 [eqn: log_a b =d], [eqn: log_a c =b]
[eqn: a^d =b], [eqn: a^b =c]이므로 [eqn: a ^{b+d} =a ^{b} CDOT a ^{d`}=bc] (참)

ㄷ. [eqn: {p-b} over {p-a ^{c}]는 두 점 [eqn: left(p,``p right)], [eqn: LEFT ( a ^{c} ,``b RIGHT )]를 지나는 직선의
기울기이고, [eqn: {c-b} over {c-a ^{c}}]는 두 점 [eqn: left(c,``c right)], [eqn: LEFT ( a ^{c} ,``b RIGHT )]를
지나는 직선의 기울기이다. (거짓)

(반례)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ

[출제의도] [eqn: a _{n}]과 [eqn: S _{n}]사이의 관계 이해하기

[eqn: a _{5} =S _{5} -S _{4} =(3cdot2 ^{5} -3)-(3cdot2 ^{4} -3)=48]

[출제의도] 연립일차방정식과 행렬 이해하기

[eqn: {pmatrix{2a&```a-1#2&```a}} {pmatrix{x#y}} = {pmatrix{ax#10y}}]에서 [eqn: {pmatrix{a&```a-1#2&```a-10}} {pmatrix{x#y}} = {pmatrix{0#0}}]
이 연립방정식이 [eqn: x=0], [eqn: y=0] 이외의 해를 가지므로
[eqn: a(a-10)-2(a-1)=0], [eqn: a ^{2}-12a+2=0]
따라서 근과 계수의 관계에 의하여 모든 실수 [eqn: a]의
값의 합은 [eqn: 12]

[출제의도] 행렬의 뜻을 이해하여 문제해결하기

[eqn: a_11 =](원 [eqn: (x-1)^2 +y^2 =1]과 직선 [eqn: x=1]이 만나는
점의 개수)[eqn: =2]

[eqn: a_12 =](원 [eqn: (x-1)^2 +y^2 =1]과 직선 [eqn: x=2]가 만나는
점의 개수)[eqn: =1]

[eqn: a_21 =](원 [eqn: (x-2)^2 +y^2 =1]과 직선 [eqn: x=1]이 만나는
점의 개수)[eqn: =1]

[eqn: a_22 =](원 [eqn: (x-2)^2 +y^2 =1]과 직선 [eqn: x=2]가 만나는
점의 개수)[eqn: =2]

[eqn: THEREFORE ``A= {pmatrix{`2`&`1`#`1`&`2`}}]

따라서 행렬 [eqn: A]의 모든 성분의 합은 [eqn: 6]

[출제의도] 지수방정식 이해하기

[eqn: 3 ^{2x} -k CDOT3 ^{x} +4=0]에서 [eqn: 3^x =t]([eqn: t>0])라 하면
이차방정식 [eqn: t^2 -kt+4=0]이 서로 다른 두 양의 실근을
가져야 하므로
ⅰ) 판별식 [eqn: D=k^2 -16>0], [eqn: k< -4] 또는 [eqn: k>4]

ⅱ) (두 근의 합)[eqn: =k>0], (두 근의 곱)[eqn: =4>0]

[eqn: THEREFORE ``k>4]
따라서 자연수 [eqn: k]의 최솟값은 [eqn: 5]

[출제의도] 로그부등식을 활용하여 문제해결하기

[eqn: LEFT ( log _{`2} ` {x} over {a} RIGHT ) LEFT ( log _{`2} ` {x ^{2}} over {a} RIGHT ) +2 GEQ 0]에서
[eqn: left(log_2 x -log_2 a right)left(2log_2 x -log_2 a right)+2 GEQ0]
[eqn: LEFT . LEFT . 2 LEFT ( log _{2} x RIGHT ) ^{2} -3 LEFT ( log _{2} a` RIGHT ) LEFT ( log _{2} x` RIGHT ) + LEFT ( log _{2} a RIGHT ) ^{2} +2 GEQ 0]
[eqn: log_2 x =t]라 하면
[eqn: 2t^2 -3left(log_2 a right)t+left(log_2 a right)^2 +2 GEQ0]
주어진 부등식이 모든 양의 실수 [eqn: x]에 대하여 성립하려면
위 부등식이 모든 실수 [eqn: t]에 대하여 성립하여야 하므로 판별식 [eqn: D=9left(log_2 a right)^2 -8left{left(log_2 a right)^2 +2right} LEQ0]이다.

[eqn: left(log_2 a right)^2 -16 LEQ0], [eqn: -4 LEQlog_2 a LEQ4]
[eqn: 1over16 LEQa LEQ16]이므로 [eqn: M=16], [eqn: m= 1over16]이다.
따라서 [eqn: M+16m =17]

[출제의도] 알고리즘과 순서도 이해하여 추론하기

[eqn: n]	[eqn: a]
[eqn: 1]	[eqn: -3+~3=~0]
[eqn: 2]	[eqn: 0+~5=~5]
[eqn: 3]	[eqn: -5+~7=~2]
[eqn: 4]	[eqn: -2+~9=~7]
[eqn: 5]	[eqn: -7+11=~4]
[eqn: 6]	[eqn: -4+13=~9]
[eqn: 7]	[eqn: -9+15=~6]
[eqn: 8]	[eqn: -6+17=11]
[eqn: 9]	[eqn: -11+19=``8]
[eqn: 10]	[eqn: -8+21=13]

따라서 인쇄되는 [eqn: a]의 값은 [eqn: 13]

[출제의도] 여러 가지 수열 추론하기

[eqn: sum _{n=1} ^{50} n` LEFT ( sin {n} over {2} pi +cos {n} over {2} pi RIGHT ) ^{n}]

[eqn: =1+2-3+4+5+6-7+8]
[eqn: +` CDOTS `+41+42-43+44+45+46-47+48+49+50]
[eqn: =sum _{ n=1} ^{50 }n-2 sum _{ n=1} ^{12 }(4n-1)=1275-600=675]

29. [출제의도] 로그를 이해하여 문제해결하기

[eqn: rmP _{1} LEFT ( 0,``0 RIGHT )], [eqn: rmP _{3} LEFT ( 0,``log`3 RIGHT )], [eqn: rmP _{10} LEFT ( 1,``0 RIGHT )]이다.
[eqn: 10<m<100]이므로 [eqn: log`m]의 지표는 [eqn: 1]이고, 가수는
([eqn: log`m-1])이므로 점 [eqn: rm P_{it m}]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 1`,``log`m-1 RIGHT )]
이다.
(사각형 [eqn: rm P _{1 rm} P _{10} P _{itm} P _{3}]의 넓이)
[eqn: = 1over 2 left( log``3 + log` m -1 right) = 1 over 2 `log ``3m over 10]이므로
자연수 [eqn: m]이 최대일 때 사각형 [eqn: rm P _{1 rm} P _{10} P _{itm} P _{3}]의 넓이는 최대이다.
따라서 [eqn: m=99]일 때, [eqn: log ``M= 1 over 2 `log ``297 over 10]
[eqn: THEREFORE ``M= sqrt {{297} over {10}}]
따라서 [eqn: 10M ^{`2} =297]

30. [출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이해하여 추론하기

[eqn: a_1 =1], [eqn: a _{2n} =1+a _{n}]이므로
[eqn: a_2 =2], [eqn: a_4 =3], [eqn: a_8 = 4], [eqn: a_16 =5], [eqn: a_32 =6], [eqn: a_64 =7]이다.

그리고 [eqn: a _{2n+1} = {1} over {a _{2n}}]이므로 [eqn: a_65 = 1 over7]이다.

따라서 [eqn: k=65]

[B 형]

1	⑤	2	②	3	②	4	③	5	②
6	④	7	③	8	④	9	③	10	④
11	⑤	12	①	13	③	14	④	15	⑤
16	①	17	③	18	①	19	④	20	①
21	⑤	22	2	23	12	24	50	25	18
26	30	27	4	28	8	29	297	30	65

1. ‘A’형과 같음

2. ‘A’형과 같음

3. [출제의도] 삼각함수의 극한 이해하기

[eqn: lim _{x` -> `0} {{sin2x`tanx} over {x ^{2}}} = lim _{x` -> `0} {`2 CDOT {sin2x} over {2x} CDOT {tanx} over {x}} =2]

4. ‘A’형과 같음

5. [출제의도] 분수방정식 이해하기

[eqn: {a ^{2} +1} over {(x-2)(x+1)} + {1} over {x+1} = {1} over {2}]의 양변에 분모의
최소공배수 [eqn: 2(x-2)(x+1)]을 곱하면

[eqn: 2(a^2 +1)+2(x-2)=(x-2)(x+1)]

[eqn: x^2 -3x -2a^2 =0]

판별식 [eqn: D= 9+8a^2 >0]이므로 이 이차방정식은 항상 서로 다른 두 실근을 가진다.
따라서 주어진 분수방정식이 오직 하나의 실근을
가지려면 두 근 중 한 근이 무연근이 되어야 한다.

ⅰ) 무연근이 [eqn: 2]인 경우
[eqn: a ^{2} =`-1]이므로 조건을 만족시키는 실수 [eqn: a]는
존재하지 않는다.

ⅱ) 무연근이 [eqn: -1]인 경우
[eqn: a^2 = 2] [eqn: THEREFORE ``a= sqrt {2}] 또는 [eqn: a=`- sqrt {2}]
이때, 실근 [eqn: x=4]이다.

따라서 문제의 조건을 만족시키는 모든 실수 [eqn: a]의
값의 곱은 [eqn: sqrt {2} TIMES LEFT ( - sqrt {2} RIGHT ) =`-2]

6. [출제의도] 고차부등식 이해하기

[eqn: x^3 - x^2 -4x +4 >0]에서

[eqn: (x+2 )(x-1)(x-2) >0]이므로

[eqn: -2 <x <1] 또는 [eqn: x>2] [eqn: cdots cdots ㉠]

[eqn: (x+2)(x-a) <0]에서 [eqn: a le -2]이면
주어진 연립방정식의 해가 존재하지 않으므로 [eqn: a >-2]이고
[eqn: -2 < x <a] [eqn: cdots cdots ㉡]

㉠과 ㉡을 동시에 만족하는 정수 [eqn: x]의 개수가 [eqn: 3]이
되려면 [eqn: 3 <a le 4]이다.
따라서 [eqn: a]의 최댓값은 [eqn: 4]

7. ‘A’형과 같음

8. [출제의도] 삼각함수의 합성을 활용하여 문제해결하기

[eqn: y=sin2x`+sin`x+cos`x]에서
[eqn: sin x + cos x =t]라 하면 [eqn: t= root2 ` sin left( x + pi over 4 right)]이므로
[eqn: - sqrt {2} `` LEQ t LEQ sqrt {2}]이다.

또 [eqn: sin 2x = (sin x + cos x ) ^2 -1 = t^2 -1]이므로
[eqn: y= t^2 +t -1 = left( t + 1 over 2 right) ^2 - 5 over 4][eqn: LEFT ( - sqrt {2} LEQ t LEQ sqrt {2} RIGHT )]이다. 그러므로 [eqn: t=root2]일 때 함수의 최댓값은 [eqn: 1+root2],
[eqn: t=`- {1} over {2}]일 때 함수의 최솟값은 [eqn: - 5 over 4]이다.
따라서 최댓값과 최솟값의 합은 [eqn: root2 - 1 over 4]

9. ‘A’형과 같음

10. [출제의도] 분수부등식을 그래프를 이용하여 이해하기

[eqn: {g(x)} over {f(x)+3} - {g(x)} over {f(x)-3} LEQ 0]의 좌변의 분모를 통분하여
정리하면
[eqn: {-6 g(x)} over {left{ f(x) +3 right} left{ f(x) -3 right}} le 0]

[eqn: g(x) LEFT { f(x)+3 RIGHT } LEFT { f(x)-3 RIGHT } GEQ 0], [eqn: f(x) != 3],[eqn: f(x) != -3]

ⅰ) [eqn: g(x) ge 0], [eqn: LEFT { f(x)+3 RIGHT } LEFT { f(x)-3 RIGHT } > 0]의 해집합은
[eqn: left{ x `|` -3 le x le 3 right}][eqn: cap][eqn: left{ x `|`x< -1] 또는 [eqn: x>5 right}]

[eqn: = left{ x `|`-3 le x < -1 right}]

ⅱ) [eqn: g(x) le 0], [eqn: LEFT { f(x)+3 RIGHT } LEFT { f(x)-3 RIGHT } < 0]의 해집합은
[eqn: left{ x `|` x le -3] 또는 [eqn: x ge 3 right}][eqn: cap][eqn: left{ x `|`-1 < x <5 right}]
[eqn: =left{ x `|` 3 le x <5right}]

주어진 분수부등식의 해집합은
[eqn: LEFT { x` LEFT | `-3 LEQ x<`-1 RIGHT .] 또는 [eqn: 3 le x <5right}]이다.
따라서 주어진 식을 만족시키는 정수는 [eqn: -3], [eqn: -2], [eqn: 3], [eqn: 4]
이므로 모든 정수 [eqn: x]의 값의 곱은 [eqn: 72]

11. [출제의도] 삼각함수의 덧셈정리 이해하기

[eqn: 25x ^{2} -25x+4=0]의 두 근이 [eqn: 4 over 5], [eqn: 1 over 5]이고 주어진
조건에 의하여 [eqn: sin (a-b) < sin (a+b)]이므로
[eqn: sin (a+b) = 4 over 5], [eqn: sin (a-b) = 1 over 5]이다.
삼각함수의 덧셈정리에 의하여
[eqn: sin (a+ b ) = sin a cos b + cos a sin b = 4 over 5] [eqn: CDOTScdots ㉠]
[eqn: sin (a- b ) = sina cos b - cos a sin b = 1 over 5] [eqn: CDOTS cdots ㉡]
㉠, ㉡에 의하여
[eqn: sin a cos b = 1 over 2], [eqn: cos a sin b = 3 over 10]
따라서 [eqn: tana over tanb = {sin a cos b}over {cos a sin b} = 5 over 3]

12. ‘A’형과 같음

13. [출제의도] 무한급수 수렴조건 활용하여 추론하기

[eqn: rm P_{itn}]의 [eqn: y]좌표를 [eqn: y_n]이라 하면
[eqn: y _{n} =1+ {1} over {2} + LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} +` CDOTS `+ LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1} =2- {1} over {2 ^{n-1}}]이다.
[eqn: a_n = 1 over 2 left( y_n + y_n+1 right)]

[eqn: = {1} over {2} LEFT ( 4- {1} over {2 ^{n-1}} - {1} over {2 ^{n}} RIGHT ) = 2 - 3 over 2^n+1]이다.

무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( a _{n} -alpha RIGHT )]가 수렴하면

[eqn: lim _{n`->`inf} left( a_n - alpha right) =0]이고 [eqn: lim_{n`->`inf } a_n =2]이다.
따라서 [eqn: alpha = 2]

14. ‘A’형과 같음

15. ‘A’형과 같음

16. ‘A’형과 같음

17. ‘A’형과 같음

18. ‘A’형과 같음

19. ‘A’형과 같음

20. [출제의도] 무한급수를 활용하여 문제해결하기

그림과 같이 [eqn: n]번째 얻은 반원의 반지름의 길이를 [eqn: r_n], 선분 [eqn: rm A _{it n+1 rm} B _{it n+1 rm}]의 중점을 [eqn: rm M_{it n}]이라 하자.

[eqn: bar{rm OP _{it n+1 rm} it} = bar{rm OM _{it n+1 rm} it} + bar{rm M _{it n+1 rm} P _{it n rm +1} it}]

[eqn: = root3 r_n+1 + r_n+1 =2 r_n]

[eqn: THEREFORE ``r _{n+1} = {2} over {sqrt {3} +1} r _{n} = LEFT ( sqrt {3} -1 RIGHT ) r _{n}]

[eqn: r _{1} = sqrt {3} -1]이므로 [eqn: r _{n} = LEFT ( sqrt {3} -1 RIGHT ) ^{n}]이고
[eqn: l _{n} =6 pi LEFT ( sqrt {3} -1 RIGHT ) ^{n}]이다.

따라서 수열 [eqn: left{ l_n right}]은 첫째항이 [eqn: 6 LEFT ( sqrt {3} -1 RIGHT ) pi]이고 공비가 [eqn: left(root3 -1 right)]인 등비수열이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } l _{n} = {6 LEFT ( sqrt {3} -1 RIGHT ) pi } over {1- LEFT ( sqrt {3} -1 RIGHT )} =6 LEFT ( 1+ sqrt {3} RIGHT ) pi]이다.

21. [출제의도] 삼각함수와 삼각방정식을 활용하여 추론하기

[eqn: f(x)=2sin ^{2} LEFT ( {pi } over {6} x+ {pi } over {4} RIGHT ) =1-cos LEFT ( {pi } over {3} x+ {pi } over {2} RIGHT )]

[eqn: =1+sin {pi } over {3} x]

ㄱ. 함수 [eqn: f(x)]의 주기는 [eqn: 2pi over {pi over 3 } = 6]이다. (참)

ㄴ. [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) +f LEFT ( 2 RIGHT ) +f LEFT ( 3 RIGHT ) +`` CDOTS `+f LEFT ( 6 RIGHT ) =6]이고
함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 주기가 [eqn: 6]이므로
[eqn: sum _{n=1} ^{2012} f LEFT ( n RIGHT ) =6times335+ LEFT ( 1+ {sqrt {3}} over {2} RIGHT ) + LEFT ( 1+ {sqrt {3}} over {2} RIGHT )]
[eqn: =2012+ sqrt {3}] (참)

ㄷ. [eqn: f(x)-cos {2pi } over {3} x=0]
[eqn: 1+sin {pi } over {3} x- LEFT ( 1-2sin ^{2} {pi } over {3} x RIGHT ) =0]
[eqn: sin {pi } over {3} x LEFT ( 1+2sin {pi } over {3} x RIGHT ) =0]
[eqn: sin pi over 3 x =0] 또는 [eqn: sin {pi } over {3} x=`- {1} over {2}]
[eqn: 0<x<10]에서

ⅰ) [eqn: sin pi over 3 x = 0]일 때 [eqn: x=3] 또는 [eqn: x=6] 또는 [eqn: x=9]

ⅱ) [eqn: sin {pi } over {3} x=`- {1} over {2}]일 때 [eqn: x= {7} over {2}] 또는 [eqn: x= {11} over {2}]
또는 [eqn: x= {19} over {2}]

그러므로 모든 실근의 합은 [eqn: 73 over 2]이다. (참)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

22. [출제의도] 함수의 연속 이해하기

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{` {e ^{2x-2} -1} over {x-1} _{{} _{{} _{}}}&` LEFT ( x != 1 RIGHT )#```````````````a ^{{} ^{{} ^{}}}&` LEFT ( x=1 RIGHT )}}]

[eqn: f(x)]가 [eqn: x=1]에서 연속일 때, [eqn: lim_{x`->`1} {f(x)} =f(1)]이므로
[eqn: a= lim_{x`->`1} {e^2x-2 -1}over {x-1 }]

따라서 [eqn: x-1=t]라 하면

[eqn: a= lim _{t` -> `0} {} {e ^{2t} -1} over {t} = lim _{t` -> `0} {} `2 CDOT {e ^{2t} -1} over {2t} =2]

23. ‘A’형과 같음

24. [출제의도] 함수의 극한을 활용하여 문제해결하기

[eqn: y= 1 over n x^2]과 [eqn: x^2 +y^2 =1]에서 [eqn: y^2 +ny -1 =0]이고,
[eqn: y>0]이므로 [eqn: y = { -n + root{n^2 +4}} over { 2}]이다.

삼각형 [eqn: rmOAP _{itn}]의 넓이 [eqn: S _{n} = {-n+ sqrt {n ^{2} +4}} over {4}]이다.

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {`nS _{n}} = lim _{n` -> ` INF } {} {n LEFT ( -n+ sqrt {n ^{2} +4} RIGHT )} over {4}]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {{n} over {n+ sqrt {n ^{2} +4}}} `= {1} over {2}]이므로 [eqn: alpha= {1} over {2}]

따라서 [eqn: 100 alpha = 50]

25. [출제의도] 무한수열의 극한 이해하기

수열 [eqn: left{ a_n right}]은 첫째항이 [eqn: 1]이고 공차가 [eqn: 3]인 등차수열
이므로 [eqn: a_n = 3n-2]이다.

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{a _{n} a _{n+1}} over {1+2+3+` CDOTS `+`n}}][eqn: = lim _{ n->inf} { { (3n-2)(3n+1)} over {n(n+1) over 2 } }]

[eqn: = lim _{ n->inf} { {2 (3n-2)(3n+1)} over {n(n+1) } }]

[eqn: =18]

26. [출제의도] 삼각함수의 배각의 공식 이해하기

[eqn: bar{rm PB} = 2 cos theta]이므로

[eqn: TRIANGLE rm ABP it = {1} over {2} CDOT 2 CDOT 2cos theta CDOT sin theta]

[eqn: =2sin theta cos theta = sin 2theta]

[eqn: bar{rm QB} = 2 cos 2theta]이므로

[eqn: TRIANGLE rm AQB it = {1} over {2} CDOT 2 CDOT 2cos2 theta CDOT sin2 theta]

[eqn: =2sin2 theta cos2 theta]

[eqn: rm ` TRIANGLE ABP=4 TRIANGLE AQB]이므로

[eqn: sin 2theta = 4 cdot 2 sin 2theta cos 2theta]

[eqn: sin 2theta left( 1- 8 cos 2theta right)=0]

[eqn: sin 2theta !=0]이므로 [eqn: cos 2theta = 1 over 8]이다.

[eqn: cos 2theta = 2 cos ^2 theta -1 = 1 over 8]이므로

[eqn: cos ^2 theta = 9 over 16], [eqn: cos theta = 3 over 4]([eqn: because costheta >0])

따라서 [eqn: 40 cos theta = 30]

27. [출제의도] 삼각함수의 극한 이해하기

그림과 같이 원 [eqn: rmO_1]과 직선 [eqn: rm AP]와의 접점을 점 [eqn: rm Q],
원 [eqn: rmO_2]와 직선 [eqn: rm AB]와의 접점을 점 [eqn: rmR]라 하고, 원 [eqn: rmO _{1}]의
반지름을 [eqn: r _{1}], 원 [eqn: rmO _{2}]의 반지름을 [eqn: r _{2}]라 하자.

삼각형 [eqn: rm QAO]에서 [eqn: rm bar AQ = cos theta], [eqn: rm angle QAO_1 = theta over 2]이므로
[eqn: r_1 = cos theta tan theta over 2]이다.

[eqn: THEREFORE ``f( theta )= pi cos ^{2} ` theta `tan ^{2} ` {theta } over {2}]

부채꼴 [eqn: rm OBP]에서 [eqn: rm ANGLE O _{2} OR= theta]이므로

[eqn: rm bar OO_2 = r_2 over sintheta]이다.

[eqn: r_2 over sintheta + r_2 = 1]이므로 [eqn: r_2 = sintheta over{1+ sin theta}]이다.

[eqn: THEREFORE ``g( theta )= {pi `sin ^{2} theta } over {LEFT ( 1+sin theta RIGHT ) ^{2}}]

[eqn: lim _{theta ` -> ``+0} {{g LEFT ( theta RIGHT )} over {f LEFT ( theta RIGHT )}} = lim _{theta ` -> ``+0} {pi sin^2 theta } over {pi cos^2 theta tan^2 thetaover 2 left(1+sintheta right)^2 }]

[eqn: = lim _{theta ` -> ``+0} {} {sin ^{2} theta } over {theta ^{2}} CDOT {{theta ^{2}} over {4}} over {tan ^{2} {theta } over {2}} CDOT {4} over {cos ^{2} theta LEFT ( 1+sin theta RIGHT ) ^{2}}]

[eqn: =4]

28. [출제의도] 함수의 연속을 이해하여 문제해결하기

[eqn: f(x)= lim _{n` -> ` INF } {{x ^{2n+1} +1} over {x ^{2n} +1}}]에서

[eqn: f(x)= {cases{`x _{{} _{}}&````````(|``x`|>1)#`1 _{{} _{}}&````````(|``x`|<1)#`1 _{{} _{}}&````````(x=1)#`0&````````(x=`-1)}}]

이므로 함수 [eqn: f(x)g(x-a)]가 모든 실수 [eqn: x]에서
연속이려면 [eqn: x=`-1]에서 연속이어야 한다.

[eqn: lim _{x`->`-1-0} {f(x)g(x-a) }]

[eqn: = lim _{x`->`-1-0}{x left{(x-a)^2 + 10 (x-a ) right}}]

[eqn: =`-(a+1)(a-9)```` CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: lim _{x`->`-1+0} {f(x)g(x-a) }]

[eqn: = lim _{x`->`-1+0}{1 cdot left{(x-a)^2 + 10 (x-a ) right}}]

[eqn: =(a+1)(a-9)```` CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: f(-1)g(-1-a)=0 TIMES g(-1-a)=0```` CDOTS CDOTS ㉢]

㉠, ㉡, ㉢의 값이 모두 같아야 하므로
[eqn: a=`-1] 또는 [eqn: a=9]이다.
따라서 모든 상수 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: 8]

29. ‘A’형과 같음

30. ‘A’형과 같음