◦ 자신이 선택한 유형(‘   A   ’형    / ‘   B   ’형   )의 문제지인지 확인하시오.

◦ 문제지의 해당란에 성명과 수험번호를 정확히 기입하시오.

◦ 답안지의 해당란에 성명과 수험번호를 쓰고, 또 수험번호와 답을 정확히 표시하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면 그 ‘0’도 답란에 반드시 표시하시오.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

2012학년도 11월 고2 전국연합학력평가 문제지

수학 영역 (A형)

제 2 교시

성명			수험번호						2

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수학 영역(A형)

수학 영역(A형)

[eqn: 8 ^{{2} over {3}} TIMES 16 ^{{1} over {4}}]의 값은? [2점]

①  [eqn: 2]	② [eqn: 2 sqrt {2}]	③  [eqn: 4]

④ [eqn: 4 sqrt {2}]	⑤  [eqn: 8]

두 행렬 [eqn: A`= {pmatrix{```````2&````-1#-2&```````````4`}} `], [eqn: B``= {pmatrix{-2&`````3`#```````2&````2}} `]에 대하여 행렬 [eqn: A-2B`]는?

[2점]

① [eqn: {pmatrix{`6&````-7`#`6&```````````0`}} `]	② [eqn: {pmatrix{```````6&````-7`#-6&```````````0`}} `]	③ [eqn: {pmatrix{```````6&````7`#`-6`&````0`}} `]

④ [eqn: {pmatrix{-6&`````7`#-6&````0}} `]	⑤ [eqn: {pmatrix{-6&````-7`#```````6&```````````0`}} `]

12

[eqn: sum _{n=1} ^{10} LEFT ( 2n-3 RIGHT )]의 값은? [2점]

① [eqn: 65]	② [eqn: 70]	③ [eqn: 75]

④ [eqn: 80]	⑤ [eqn: 85]

로그방정식 [eqn: LEFT ( log _{`3} `x RIGHT ) ^{2} -4`log _{`3} `x+3=0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 할 때,
[eqn: alpha +beta]의 값은? [3점]

① [eqn: 24]	② [eqn: 27]	③ [eqn: 30]

④ [eqn: 33]	⑤ [eqn: 36]

수열 [eqn: LEFT { a_n right}]은 첫째항이 [eqn: 1], 공차가 [eqn: 3]인 등차수열이고,
수열 [eqn: LEFT { b_n right}]은 첫째항이 [eqn: 1000], 공차가 [eqn: -6]인 등차수열이다.
이때, [eqn: a_k = b_k]를 만족시키는 자연수 [eqn: k]의 값은? [3점]

① [eqn: 112]	② [eqn: 115]	③ [eqn: 118]

④ [eqn: 121]	⑤ [eqn: 124]

두 실수 [eqn: a], [eqn: b]가 [eqn: 2 ^{2a+b} =27], [eqn: 4 ^{a-3b} = {1} over {25}]을 만족시킬 때,
[eqn: 2 ^{3a-2b}]의 값은? [3점]

① [eqn: {18} over {5}]	② [eqn: {21} over {5}]	③ [eqn: {24} over {5}]

④ [eqn: {27} over {5}]	⑤  [eqn: 6]

첫째항이 [eqn: 3]이고 공비가 [eqn: 2]인 등비수열 [eqn: LEFT { a_n right}]에 대하여
[eqn: a _{1} +a _{3} +a _{5} +a _{7} +a _{9}]의 값은? [3점]

① [eqn: 1019]	② [eqn: 1021]	③ [eqn: 1023]

④ [eqn: 1025]	⑤ [eqn: 1027]

지수부등식 [eqn: LEFT ( {1} over {sqrt {3}} RIGHT ) ^{2x+6} LEQ 27 ^{`2-x}]을 만족시키는 모든 자연수
[eqn: x]의 값의 합은? [3점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 28]

좌표평면에서 지수함수 [eqn: y=a`․`3 ^{`x}]([eqn: a != 0])의 그래프를 원점에
대하여 대칭이동시킨 후, [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼, [eqn: y]축의 방향으로
[eqn: 3]만큼 평행이동시킨 그래프가 점 [eqn: LEFT ( 1,``-6 RIGHT )]을 지난다. 이때, 상수 [eqn: a]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

수직선 위의 두 점 [eqn: rmA(itx)], [eqn: rmB(6)]에 대하여 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 1:2]로
내분하는 점을 [eqn: rmC(ity)]라 하자. [eqn: x], [eqn: y], [eqn: 6]이 이 순서대로 등비수열을
이룰 때, [eqn: x]의 값은? (단, [eqn: x<6]) [3점]

① [eqn: {1} over {2} `]	②  [eqn: 1`]	③ [eqn: {3} over {2} `]

④  [eqn: 2`]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

[eqn: log _{`2} sqrt {7+4 sqrt {3}} =n+alpha](단, [eqn: n]은 자연수, [eqn: 0 LEQ alpha<1])일 때,
[eqn: 2 ^{`-alpha}]의 값은? [3점]

① [eqn: 2- sqrt {3}]	② [eqn: 4-2 sqrt {3}]	③ [eqn: 2+ sqrt {3}]

④ [eqn: 4+ sqrt {3}]	⑤ [eqn: 4+2 sqrt {3}]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 [eqn: a _{1} =1]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a _{n+1} =2a _{n} +1]
을 만족시킬 때, [eqn: log _{`4} ` LEFT ( a _{20} +1 RIGHT )]의 값은? [3점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

이차정사각행렬 [eqn: A]가 다음 조건을 만족시킨다.
(단, [eqn: E`]는 단위행렬이고, [eqn: O`]는 영행렬이다.)

(가) [eqn: A ^{2} -2A+E```=O]

(나) [eqn: A LEFT ( pile{`2`#`0`} RIGHT ) `= LEFT ( pile{`1`#`2`} RIGHT )]

[eqn: A LEFT ( pile{`1`#`2`} RIGHT ) `= LEFT ( pile{`a`#`b`} RIGHT )]를 만족시키는 두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은?

[4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

다음은 어느 포털 사이트에 게시된 질문과 답변이다.

[eqn: a _{20} `]의 값을 구하는 데 어디가 틀렸을까요?

저는 고등학교 2학년 학생입니다. 궁금한 것이 있어 글을 올립니다. 먼저 [문제]와 저의 [풀이]를 보시고 [질문]에 답해 주세요.

[문제]

수열 [eqn: left {a_n right}]이 [eqn: a_1 = 1]이고,
[eqn: a_n = a_n-1 + 2n-1]([eqn: n geq 2])
을 만족시킬 때, [eqn: a_20]의 값을 구하시오.

[풀이]

[eqn: n geq 2]일 때, [eqn: a _{n} =1+ sum _{k=1} ^{n-1} (2k-1)]

[eqn: therefore`` a_20 = 362]

[질문]

저는 잘 푼 것 같은데 정답이 [eqn: 362]가 아니라고 합니다. 제가
어디가 틀렸을까요?
틀린 부분과 정답을 알려주세요.

학생의 [풀이]에서

(가)

[eqn: a _{n} =1+ sum _{k=1} ^{n-1}]

[eqn: n geq 2]일 때,

로 식을 수정하여 [eqn: a _{20}]의 값을 계산하면

[eqn: a _{20} =]

(나)

입니다.

좋은 질문입니다.

위의 답변이 옳을 때, (가)에 알맞은 식을 [eqn: f(k)], (나)에 알맞은
수를 [eqn: c]라 하자. 이때, [eqn: f(10) +c]의 값은? [4점]

① [eqn: 415]	② [eqn: 417]	③ [eqn: 419]

④ [eqn: 421]	⑤ [eqn: 423]

행렬 [eqn: A= LEFT ( {matrix{`5&````2`#`2&````1`}} RIGHT )]에 대하여 [eqn: A+E```=AB``]를 만족시키는 행렬 [eqn: B`]의
모든 성분의 합은? (단, [eqn: E``]는 단위행렬이다.) [3점]

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③  [eqn: 0]

④    [eqn: 2]	⑤    [eqn: 4]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 [eqn: a _{1} =1], [eqn: a _{2} =5]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: (n+1)a _{n+2} +5a _{n} =(n+5)a _{n+1}]

을 만족시킨다.

다음은 일반항 [eqn: a _{n}]을 구하는 과정의 일부이다.

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: (n+1)a _{n+2} -5a _{n+1} =na _{n+1} -5a _{n}]

이다.
[eqn: n GEQ 2]에 대하여

[eqn: na _{n+1} -5a _{n} =`(n-1)a _{n} -5a _{n-1}]이고,
[eqn: a _{1} =1], [eqn: a _{2} =5]이므로

[eqn: a _{n+1} =]

[eqn: a _{n} ``(n` GEQ 1)`` CDOTS CDOTS ㉠]

(가)

이다.
[eqn: ㉠]의 [eqn: n]에 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: CDOTS], [eqn: n-1]을 차례로 대입하여 얻어진
[eqn: LEFT ( n-1 RIGHT )]개의 등식을 변끼리 곱하여 정리하면,

이고, [eqn: a _{1} =1]이므로

[eqn: a _{n} = {5 ^{n-1}} over {```````````````````````````````````} ` LEFT ( n GEQ 2 RIGHT )]

(나)

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 일반항은

[eqn: a _{n} = {5 ^{n-1}} over {```````````````````````````````````}]

(나)

이다.

위의 (가)에 알맞은 식을 [eqn: f(n)], (나)에 알맞은 식을 [eqn: g(n)]이라
할 때, [eqn: f LEFT ( 20 RIGHT ) TIMES g LEFT ( 7 RIGHT )]의 값은? [4점]

① [eqn: 180]	② [eqn: 190]	③ [eqn: 200]

④ [eqn: 210]	⑤ [eqn: 220]

그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 각각 [eqn: R _{1} LEFT ( rmm RIGHT )], [eqn: R _{2} LEFT (rm m RIGHT )]
[eqn: LEFT ( R _{1} <R _{2} RIGHT )]이고 높이가 [eqn: L LEFT ( rmm RIGHT )]인 두 원기둥 모양의 도체를 이용하여 밑면의 중심이 일치하도록 만든 원통형 축전기의 전기용량 [eqn: C``]([eqn: rmF])는 다음과 같이 계산된다고 한다.
[eqn: C```= {2 pi kL} over {log`R _{2} -log`R _{1}}] (단, [eqn: k]는 상수이다.)

[eqn: L]

[eqn: R _{1}]

[eqn: R _{2}]

높이 [eqn: L]이 일정할 때, [eqn: R _{2}]가 [eqn: R _{1}]의 [eqn: 2]배인 원통형 축전기의 전기용량이
[eqn: 5 LEFT ( rmF RIGHT )]이면, [eqn: R _{2}]가 [eqn: R _{1}]의 [eqn: 8]배인 원통형 축전기의 전기용량[eqn: ( rm F)]은?

[4점]

①  [eqn: 1]	② [eqn: {5} over {4}]	③ [eqn: {5} over {3}]

④ [eqn: {5} over {2}]	⑤  [eqn: 3]

그림과 같이 [eqn: 1]행에는 [eqn: 1]개, [eqn: 2]행에는 [eqn: 3]개, [eqn: 3]행에는 [eqn: 5]개, [eqn: cdots], [eqn: n]행
에는 [eqn: (2n-1)]개의 수가 다음과 같은 규칙으로 나열되어 있다.

(가) [eqn: n GEQ 1]일 때, [eqn: n]행 [eqn: n]열의 수는 [eqn: LEFT ( 2n-1 RIGHT )]이다.

(나) [eqn: n GEQ 2]일 때, [eqn: n]행의 모든 수들은 [eqn: 1]열부터 [eqn: LEFT ( 2n-1 RIGHT )]열까지이 순서대로 공차가 [eqn: LEFT ( 2n-3 RIGHT )]인 등차수열을 이룬다.

[eqn: 1]행

[eqn: 2]행

[eqn: 3]행

[eqn: 4]행

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: -1]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: 2]

[eqn: 5]

[eqn: -8]

[eqn: 8]

[eqn: -3]

[eqn: 2]

[eqn: 7]

[eqn: 11]

[eqn: 17]

[eqn: 12]

[eqn: 22]

[eqn: 1]열

[eqn: 2]열

[eqn: 3]열

[eqn: 4]열

[eqn: 5]열

[eqn: 6]열

[eqn: 7]열

[eqn: n]행 [eqn: (n+2)]열의 수를 [eqn: a _{n}][eqn: (n ge3)]이라 할 때, [eqn: sum _{n=3} ^{10} a _{n}]의 값은?

[4점]

① [eqn: 256]	② [eqn: 266]	③ [eqn: 276]

④ [eqn: 286]	⑤ [eqn: 296]

두 이차정사각행렬 [eqn: A`], [eqn: B`]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서
있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: E`]는 단위행렬이고, [eqn: O`]는 영행렬이다.)

[4점]

		보 기
ㄱ. [eqn: A ^{2} =E`]이면 [eqn: A=E`]이다. ㄴ. [eqn: LEFT ( A+2B` RIGHT ) ^{2} = LEFT ( A-2B` RIGHT ) ^{2}]이면 [eqn: AB``+BA=O`]이다. ㄷ. [eqn: AB```=A], [eqn: BA=B`]이면 [eqn: A ^{2} +B ^{`2} ``=A+B`]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

그림과 같이 함수 [eqn: y=3`․`2 ^{`x}]의 그래프가 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rmA],
함수 [eqn: y=4 ^{`x}]의 그래프와 만나는 점을 [eqn: RMB]라 하자.
점 [eqn: rmA]를 지나고 [eqn: x]축에 평행하게 그은 직선이 함수 [eqn: y=2 ^{x}]의
그래프와 만나는 점을 [eqn: rm C], 점 [eqn: rm B]를 지나고 [eqn: x]축에 평행하게 그은
직선이 함수 [eqn: y=2 ^{x}]의 그래프와 만나는 점을 [eqn: rm D]라 할 때,
사각형 [eqn: rm ACDB]의 넓이는? [4점]

[eqn: y]

[eqn: rm A]

[eqn: rm C]

[eqn: rm B]

[eqn: rm D]

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y=4 ^{x}]

[eqn: y=3`․`2 ^{x}]

[eqn: y=2 ^{x}]

① [eqn: 3`log _{`2} `3]	② [eqn: 4`log _{`2} `3]	③ [eqn: 5`log _{`2} `3]

④ [eqn: 6`log _{`2} `3]	⑤ [eqn: 7`log _{`2} `3]

그림과 같이 [eqn: 0<a<1]인 실수 [eqn: a]에 대하여 곡선 [eqn: y=log _{`a} `x]가 두 점[eqn: LEFT ( b,``d RIGHT )], [eqn: LEFT ( c,``b RIGHT )]를 지나고, 직선 [eqn: y=x]와 점 [eqn: LEFT ( p,``p RIGHT )]에서 만날 때, 옳은
것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
(단, [eqn: 0<b<p<c<1]) [4점]

[eqn: b]

[eqn: p]

[eqn: c]

[eqn: 1]

[eqn: p]

[eqn: d]

[eqn: b]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: y=x]

[eqn: y=log _{`a} `x]

[eqn: y]

		보 기
ㄱ. [eqn: p= {1} over {2}]이면 [eqn: a= {1} over {4}]이다. ㄴ. [eqn: a ^{b+d} =bc] ㄷ. [eqn: {p-b} over {p-a ^{c}} `< {c-b} over {c-a ^{c}}]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

단 답 형

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S _{n}]이 [eqn: S _{n} =3`․`2 ^{n} -3`]
일 때, [eqn: a _{5}]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: x], [eqn: y]에 대한 연립방정식 [eqn: {pmatrix{2a&```````a-1#2&```````a}} {pmatrix{`x`#`y`}} `= {pmatrix{ax#10y}}]가
[eqn: x=0], [eqn: y=0] 이외의 해를 갖도록 하는 모든 실수 [eqn: a]의 값의 합을
구하시오. [3점]

이차정사각행렬 [eqn: A]의 [eqn: (i`,``j)]성분 [eqn: a_ij]([eqn: i=1], [eqn: 2], [eqn: j=1], [eqn: 2])를
[eqn: a _{ij} =] [eqn: (]좌표평면에서 원 [eqn: (x-i) ^{2} +y ^{2} =1]과 직선 [eqn: x=j]가
만나는 점의 개수[eqn: )]
로 정의하자. 이때, 행렬 [eqn: A]의 모든 성분의 합을 구하시오. [3점]

지수방정식 [eqn: 3 ^{2x} -k`․`3 ^{x} +4=0]이 서로 다른 두 실근을 갖도록
하는 자연수 [eqn: k]의 최솟값을 구하시오. [3점]

[eqn: x]에 대한 로그부등식
[eqn: LEFT ( log _{`2} ` {x} over {a} RIGHT ) LEFT ( log _{`2} ` {x ^{2}} over {a} RIGHT ) +2 GEQ 0]
이 모든 양의 실수 [eqn: x]에 대하여 성립할 때, 양의 실수 [eqn: a`]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 하자. 이때, [eqn: M``+16m]의 값을 구하시오.

[4점]

다음 순서도에서 인쇄되는 [eqn: a]의 값을 구하시오. [4점]

시작

[eqn: a```` larrow ``3]

[eqn: n``` larrow ``1]

[eqn: a``` larrow ```-a+2n+1]

[eqn: n``` larrow ```n+1]

[eqn: n=10]?

예

아니오

[eqn: a]를 인쇄

끝

[eqn: sum _{n=1} ^{50} n` LEFT ( sin {n} over {2} pi +cos {n} over {2} pi RIGHT ) ^{n}]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: k]가 자연수일 때, [eqn: log`k]의 지표 [eqn: n]과 가수 [eqn: alpha]에 대하여 좌표평면
위의 점 [eqn: rm P _{it k rm}]를 [eqn: rm P _{it k rm} LEFT ( itn,`` alpha RIGHT )]라 하자.
[eqn: 10<m<100]인 자연수 [eqn: m]에 대하여 사각형 [eqn: rm P _{1 rm} P _{10} P _{itm} P _{3}]의 넓이의 최댓값을 [eqn: log`M`]이라 할 때, [eqn: 10M ^{`2}]의 값을 구하시오. [4점]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 [eqn: a _{1} =1]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a _{2n} =1+a _{n}] ,  [eqn: a _{2n+1} = {1} over {a _{2n}}]

을 만족시킨다. [eqn: a _{k} = {1} over {7}]일 때, 자연수 [eqn: k]의 값을 구하시오. [4점]

※ 확인사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.