◦ 문제지의 해당란에 성명과 수험번호를 정확히 기입하시오.

◦ 답안지의 해당란에 성명과 수험번호를 쓰고, 또 수험번호와 답을 정확히 표시하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면 그 ‘0’도 답란에 반드시 표시하시오.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

2012학년도 11월 고1 전국연합학력평가 문제지

수학 영역

제 2 교시

성명			수험번호						1

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수학 영역

수학 영역

두 다항식 [eqn: A], [eqn: B`]에 대하여
[eqn: A+B``=x ^{2} +3x+4], [eqn: A-B``=x ^{2} -x+2]
일 때, 다항식 [eqn: B`]는? [2점]

① [eqn: x+1]	② [eqn: x+2]	③ [eqn: 2x]

④ [eqn: 2x+1]	⑤ [eqn: 2x+2]

세 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여
[eqn: a+b+c=4], [eqn: ab+bc+ca=5]일 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2}]의 값은? [2점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

[eqn: z = {1-i} over {sqrt {2}}]일 때, [eqn: z ^{`8} +z ^{`12}]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}]) [3점]

① [eqn: -2i]	② [eqn: -2]	③    [eqn: 0]

④    [eqn: 2i]	⑤    [eqn: 2]

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} +ax+b=0]의 한 근이 [eqn: 1+i]일 때,
두 실수 [eqn: a], [eqn: b]의 곱 [eqn: ab]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}]) [3점]

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③    [eqn: 0]

④    [eqn: 2]	⑤    [eqn: 4]

12

임의의 두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 연산 [eqn: ◎]를
[eqn: a◎b=ab+a+b]
로 정의할 때, 연산 [eqn: ◎]에 대한 [eqn: 3]의 역원은? [3점]

① [eqn: - 5over 4]	② [eqn: - 3 over 4]	③ [eqn: - 1 over 4]

④    [eqn: 1 over 4]	⑤    [eqn: 3 over 4]

다항식 [eqn: P` LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: x-5]로 나눈 나머지가 [eqn: 10]이고, [eqn: x+3]으로 나눈 나머지가 [eqn: -6]이다. [eqn: P` LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: LEFT ( x-5 RIGHT ) LEFT ( x+3 RIGHT )]으로 나눈 나머지를 [eqn: R` LEFT ( x RIGHT )]라 할 때, [eqn: R` LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은? [3점]

① [eqn: -2]	②    [eqn: 0]	③    [eqn: 2]

④    [eqn: 4]	⑤    [eqn: 6]

직선 [eqn: y=root2 x +k]가 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =4]에 접할 때, 양의 실수 [eqn: k]의 값은?	[3점]

① [eqn: root2]	② [eqn: root3]	③ [eqn: 2root2]

④ [eqn: 2root3]	⑤ [eqn: 3 sqrt {2}]

집합 [eqn: A`= LEFT { 1,``2,``3,``4 RIGHT }]에 대하여 함수 [eqn: f``:A`` -> `A`]를
[eqn: f`(x)`= {cases{`x+1``````(x` LEQ `3) _{{} _{{} _{}}}#```````1~~~`(x``=``4) ^{{} ^{{} ^{}}}}}]
로 정의하자.
[eqn: f ^{`1} (x)`=f`(x)], [eqn: f ^{``n+1} LEFT ( x RIGHT ) `=f` LEFT ( `f ^{``n} LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT )][eqn: LEFT ( `n=1,``2,``3,` CDOTS RIGHT )]
이라 할 때, [eqn: f ^{``2012} (2)`+f ^{``2013} (3)]의 값은? [3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

좌표평면 위의 세 점 [eqn: rm O(0,``0)], [eqn: rm A(3,``0)], [eqn: rm B(0,``6)]을 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rm OAB]의 내부에 점 [eqn: rm P]가 있다.
이때, [eqn: rm {bar OP} ^{`2} + rm {barAP} ^{`2}} + rm {barBP} ^{`2}} `]의 최솟값은? [3점]

① [eqn: 18]	② [eqn: 21]	③ [eqn: 24]

④ [eqn: 27]	⑤ [eqn: 30]

그림은 무리함수 [eqn: f`(x)= sqrt {x+a} +b]의 그래프이다.

함수 [eqn: y=f`(x)]의 그래프와 그 역함수 [eqn: y=f ^{`-1} (x)]의 그래프의 교점이 [eqn: (`p,``q)]일 때, [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) [3점]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: 1]

[eqn: -4]

[eqn: 3]

[eqn: y=f(x)]

① [eqn: 3+root15]	② [eqn: 3+3root2]	③ [eqn: 3+root21]

④ [eqn: 3+2root6]	⑤ [eqn: 3+3root3]

[eqn: x]에 대한 연립부등식
[eqn: {cases{`x ^{2} +ax+b GEQ 0 _{{} _{{} _{}}}#`x ^{2} +cx+d LEQ 0 ^{{} ^{{} ^{{} ^{}}}}}}]
의 해가 [eqn: 1 LEQ x LEQ 3] 또는 [eqn: x=4]일 때, [eqn: a+b+c+d]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

사차방정식 [eqn: x ^{4} +3x ^{3} +3x ^{2} -x-6=0]의 두 허근을 [eqn: alpha], [eqn: beta `]라 할 때, [eqn: alpha ^{`2} + beta ^{``2}]의 값은? [3점]

① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

[eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: LEFT | `x ^{2} -2` RIGHT | `+x-k=0]이 서로 다른 세 실근을 가질 때, 모든 실수 [eqn: k]의 값의 곱은? [4점]

① [eqn: {9 sqrt {2}} over {4}]	② [eqn: {21 sqrt {2}} over {8}]	③ [eqn: 3 sqrt {2}]
④ [eqn: {27 sqrt {2}} over {8}]	⑤ [eqn: {15 sqrt {2}} over {4}]

전체집합 [eqn: U`]의 공집합이 아닌 세 부분집합 [eqn: P], [eqn: Q], [eqn: R`]가 각각 세 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]의 진리집합이고, 세 명제 [eqn: p`` -> `q], [eqn: SIM p`` -> `q], [eqn: sim r`` -> `p]가 모두 참일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

		보 기
ㄱ. [eqn: P ^{`C} ` SUBSET Q] ㄴ. [eqn: R-P ^{`C} ``= EMPTYSET] ㄷ. [eqn: `R ^{C} ` CUP P ^{`C} SUBSET Q]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

그림과 같이 [eqn: rm bar{AD} `:bar{DC} `=3:2]인 직사각형 [eqn: rm ABCD]가 있다.
변 [eqn: rm AD]를 삼등분한 점들 중 [eqn: rm A]에 가까운 점을 [eqn: rm P _{1}], [eqn: rmD]에 가까운 점을 [eqn: rm P _{2}]라 하고, 변 [eqn: rm DC]를 삼등분한 점들 중 [eqn: rm D]에 가까운 점을 [eqn: rm Q _{1}], [eqn: rmC]에 가까운 점을 [eqn: rm Q _{2}]라 하자.

세 삼각형 [eqn: rm A`Q _{1} `D], [eqn: rm P _{1} `Q _{2} `D], [eqn: rm P _{2} `C`D]의 넓이의 합이 [eqn: 10]일 때,
직사각형 [eqn: rm ABCD]의 둘레의 길이는? [4점]

[eqn: rmA]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm P _{1}]

[eqn: rm P _{2}]

[eqn: rm Q _{1}]

[eqn: rm Q _{2}]

① [eqn: 10 sqrt {2}]	② [eqn: 10 sqrt {3}]	③ [eqn: 20]
④ [eqn: 10 sqrt {5}]	⑤ [eqn: 10 sqrt {6}]

어느 컴퓨터 공장에서 노트북 컴퓨터와 데스크톱 컴퓨터를 생산하는 데 각각 조립과정과 검수과정이 모두 필요하다. 노트북 컴퓨터와 데스크톱 컴퓨터를 각각 한 대 생산하는 데 조립과정과 검수과정에 소요되는 시간 및 노트북 컴퓨터와 데스크톱 컴퓨터의 한 대당 판매이익은 표와 같다.

구분	조립과정(시간)	검수과정(시간)	판매이익(만원)
노트북 컴퓨터	[eqn: 1.5]	[eqn: 2]	[eqn: 10]
데스크톱 컴퓨터	[eqn: 1]	[eqn: 0.5]	[eqn: 5]

이 공장에서 하루 동안 조립과정과 검수과정에 소요되는 시간이 각각 [eqn: 13]시간, [eqn: 9]시간을 초과할 수 없을 때, 하루 동안 생산한 노트북 컴퓨터와 데스크톱 컴퓨터를 판매하여 얻을 수 있는 최대 이익(만원)은? [4점]

① [eqn: 70]	② [eqn: 72]	③ [eqn: 74]

④ [eqn: 76]	⑤ [eqn: 78]

그림과 같이 [eqn: △ rm ABC]에서 선분 [eqn: rm AB]를 [eqn: 2:3]으로 내분하는 점을 [eqn: rm D], 선분 [eqn: rm BC]를 [eqn: 5:2]로 외분하는 점을 [eqn: rm E]라 하고, 두 점 [eqn: rm D]와 [eqn: rm E]를 지나는 직선 [eqn: l]과 선분 [eqn: rm AC]가 만나는 점을 [eqn: rm F]라 하자.

다음은 [eqn: bar{rm AF it} `: bar{rm FC it} `=m:n]일 때, [eqn: mn]의 값을 구하는 과정의 일부이다. (단, [eqn: m], [eqn: n]은 서로소인 자연수이다.)

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rmD]

[eqn: rm E]

[eqn: rm F]

[eqn: l]

그림과 같이 점 [eqn: rm C]를 지나고 직선 [eqn: l]과 평행한 직선이 선분 [eqn: rm AB]와 만나는 점을 [eqn: rm G]라 하자.

[eqn: △ rm ADF]와 [eqn: △ rm AGC]는 서로 닮은 도형이므로

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rmD]

[eqn: rm E]

[eqn: rm F]

[eqn: l]

[eqn: rmG]

[eqn: {bar{rm AF it}} over {bar{rm FC it}} `= {bar{rm AD it}} over {bar{rm DG it}} `` CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: △ rm BCG]와 [eqn: △ rm BED]는 서로 닮은 도형이므로

[eqn: {bar{rm BE it}} over {bar{rm EC it}} `= {bar{rm BD it}} over {bar{rm DG it}} ` CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: ㉠]과 [eqn: ㉡]으로부터

[eqn: {bar{rm AD it}} over {bar{rm BD it}} `․` {bar{rm BE it}} over {bar{rm EC it}} `․` {bar{rm FC it}} over {bar{rm AF it}} =]

[eqn: CDOTS CDOTS ㉢]

(가)

한편, [eqn: {bar{rm AD it}} : {bar{rm BD it}} =2:3], [eqn: bar{rm BE it} : bar{rm EC it} =5:2], [eqn: bar{rm AF it} : bar{rm FC it} =m:n]이므로

[eqn: ㉢]으로부터 [eqn: {m} over {n} `=]

(나)

따라서 [eqn: mn=]

(다)

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]라 할 때, [eqn: a+bc]의 값은? [4점]

① [eqn: 17]	② [eqn: 26]	③ [eqn: 37]

④ [eqn: 50]	⑤ [eqn: 65]

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f]가
[eqn: f`(x)`= {cases{{2x+3} over {x-2 _{{} _{{} _{}}}} ``````````````````(`x```>3) _{{} _{{} _{}}}#sqrt {3-x} +a`````(`x LEQ 3) ^{{} ^{{} ^{}}}}} `]
일 때, 함수 [eqn: f`]는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: f]의 치역은 [eqn: LEFT { `y``|``y>2 RIGHT }]이다.

(나) 임의의 두 실수 [eqn: x _{1}], [eqn: x _{2}]에 대하여 [eqn: x _{1} != x _{2}]이면
[eqn: f`(x _{1} )` != f`(x _{2} )`]이다.

[eqn: f(2)f`(k)`=40]일 때, 상수 [eqn: k]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.) [4점]

①  [eqn: {3} over {2}]	②  [eqn: {5} over {2}]	③  [eqn: {7} over {2}]

④  [eqn: {9} over {2}]	⑤ [eqn: {11} over {2}]

그림과 같이 동서로 뻗어 있는 직선도로 [eqn: l]과 남서쪽에서 북동쪽으로 뻗어 있는 직선도로 [eqn: m]이 이루는 각은 [eqn: 45 DEG]이다.
두 직선도로 [eqn: l]과 [eqn: m]이 만나는 지점 [eqn: rm O]로부터 동쪽으로 [eqn: 3` rm km] 떨어진 지점에서 북쪽으로 [eqn: 1` rm km] 떨어진 지점에 정류소 [eqn: A]가 있다. 정류소 [eqn: A]를 출발해서 직선도로 [eqn: l] 위의 한 지점과 직선도로 [eqn: m] 위의 한 지점을 차례로 경유하여 정류소 [eqn: A]로 돌아오는 도로를 만들려고 한다.
만들려고 하는 도로의 길이가 최소가 되도록 직선도로 [eqn: l] 위의 한 지점에 정류소 [eqn: B], 직선도로 [eqn: m] 위의 한 지점에 정류소 [eqn: C`]를 만들 때, 두 정류소 [eqn: B`]와 [eqn: C] 사이의 거리([eqn: rmkm])는? (단, 도로의 폭은 무시하며 모든 지점과 도로는 동일평면 위에 있다.) [4점]

[eqn: l]

[eqn: 3rmkm]

[eqn: m]

[eqn: 1rmkm]

[eqn: rm O]

[eqn: C]

[eqn: B]

[eqn: A]

[eqn: 45 DEG]

남

북

동

서

①  [eqn: sqrt {5} over 2]	② [eqn: {7sqrt {5}} over {12}]	③ [eqn: {2sqrt {5}} over {3}]
④ [eqn: {3 sqrt {5}} over {4}]	⑤ [eqn: {5 sqrt {5}} over {6}]

음이 아닌 정수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f`]가 음이 아닌 정수 [eqn: n]과 [eqn: 0 LEQ k LEQ 9]인 정수 [eqn: k]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f(0)`=0]

(나) [eqn: f(10n+k)`=f(n)+k]

옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

		보 기
ㄱ. [eqn: f(100)`=1] ㄴ. [eqn: (`f CIRC f`)(999)=9] ㄷ. [eqn: f(n)]이 [eqn: 6]의 배수이면 [eqn: n]은 [eqn: 6]의 배수이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: 0]이 아닌 세 복소수 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma `]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: alpha + beta + gamma =0]

(나) [eqn: {1} over {alpha } + {1} over {beta } + {1} over {gamma } =0]

이때, [eqn: {gamma } over {alpha } + bar{LEFT ( {alpha } over {beta } RIGHT )}]의 값은? (단, [eqn: bar{LEFT ( {alpha } over {beta } RIGHT )}]는 [eqn: {alpha } over {beta }]의 켤레복소수이고, [eqn: i= sqrt {-1}]이다.) [4점]

① [eqn: -i]	② [eqn: -1]	③    [eqn: 0]

④    [eqn: i]	⑤    [eqn: 1]

단답형

전체집합 [eqn: U`]의 두 부분집합 [eqn: A], [eqn: B`]에 대하여
[eqn: A`= LEFT { 2,``3,``4,``5,``6 RIGHT }], [eqn: A-B``= LEFT { 2,``6 RIGHT }]
일 때, 집합 [eqn: A SMALLINTER B`]의 모든 원소의 합을 구하시오. [2점]

[eqn: x]에 대한 두 다항식 [eqn: x ^{3} +4x ^{2} +8x+a], [eqn: x ^{2} +3x-3+a]의
최소공배수가 [eqn: x]에 대한 사차식일 때, 실수 [eqn: a]의 값을 구하시오.                                                                                    [3점]

두 유리수 [eqn: p], [eqn: q]에 대하여
[eqn: {p} over {sqrt {3-2 sqrt {2}}} + {q} over {sqrt {3+2 sqrt {2}}} `=10+2 sqrt {2}]
가 성립할 때, [eqn: 2p-q]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} -(m-5)x+m+2=0]의 두 근 [eqn: alpha], [eqn: beta]가 모두 자연수일 때, 모든 정수 [eqn: m]의 값의 합을 구하시오. (단, [eqn: alpha < beta])	[3점]

그림과 같이 좌표평면 위에 마름모 [eqn: rm ABCD]가 있다. 두 점 [eqn: rm A], [eqn: rm C]의 좌표가 각각 [eqn: LEFT ( 1,``3 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 5,``1 RIGHT )]이고, 두 점 [eqn: rm B], [eqn: rm D]를 지나는 직선 [eqn: l]의 방정식이 [eqn: 2x+ay+b=0]일 때, [eqn: ab]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) [3점]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm A]

[eqn: rm O]

[eqn: 3]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

[eqn: 5]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: l]

그림과 같이 이차함수 [eqn: y=x ^{2} -3x+2]의 그래프가 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rm A], [eqn: x]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rm B], [eqn: rm C]라 하자.
점 [eqn: rm P it (a,``b)]가 점 [eqn: rm A]에서 이차함수 [eqn: y=x ^{2} -3x+2]의 그래프를 따라 점 [eqn: rm B]를 거쳐 점 [eqn: rm C]까지 움직일 때, [eqn: a+b+3]의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오. [4점]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: rm C]

[eqn: rm B]

[eqn: rmA]

[eqn: y=x ^{2} -3x+2]

[그림1]과 같이 세 모서리의 길이가 각각 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: 3]인 직육면체 모양의 나무토막이 있다.

[그림1]

[그림1]의 나무토막의 한 모퉁이에서 모서리의 길이가 [eqn: 1]인 정육면체 모양의 나무토막을 잘라내었더니 [그림2]와 같이 나무토막 [eqn: A]와 나무토막 [eqn: B`]로 나누어졌다.

[그림2]

[eqn: A]의 부피가 [eqn: 47]일 때, [eqn: A]의 겉넓이의 최솟값을 구하시오. (단, [eqn: x>1], [eqn: y>1]) [4점]

[eqn: 3]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: A]

[eqn: B]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

어느 학교에서 [eqn: 2011]년과 [eqn: 2012]년에 각각 구입한 책상 수와 의자 수의 비는 표와 같다.

구분	(책상 수) [eqn: :] (의자 수)
[eqn: 2011]년	[eqn: 1 : 2]
[eqn: 2012]년	[eqn: 5 : 4]

[eqn: 2011]년과 [eqn: 2012]년 [eqn: 2]년 동안 구입한 책상 수와 의자 수의 비가 [eqn: 8:7]이다. [eqn: 2011]년과 [eqn: 2012]년 [eqn: 2]년 동안 구입한 책상 수와 의자 수의 합이 [eqn: 100]보다 크고 [eqn: 150]보다 작을 때, [eqn: 2012]년에 구입한 책상 수와 의자 수의 합을 구하시오. [4점]

그림과 같이 직사각형 모양의 종이가 있다. 이 종이의 각 꼭짓점을 [eqn: rm A], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD]라 하면 [eqn: bar{rm AB it} `=4], [eqn: bar{rm BC it} `=2]이다. [eqn: ANGLE rm EBC=30 DEG]가 되도록 변 [eqn: rm CD] 위에 점 [eqn: rm E]를 정하고 선분 [eqn: rm BE]를 따라 이 종이를 접으면 점 [eqn: rm C]는 점 [eqn: rm C prime]으로 옮겨진다. 점 [eqn: rm C prime]과 대각선 [eqn: rm BD] 사이의 거리가 [eqn: a sqrt {5} -b sqrt {15}]일 때, [eqn: 100ab]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 유리수이다.) [4점]

[eqn: 30 DEG]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: 2]

[eqn: 4]

[eqn: rm C']

[eqn: rm E]

※ 확인사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.