• 수리 영역 •

2013학년도 대학수학능력시험 대비

2012학년도 10월 고3 전국연합학력평가 정답 및 해설

수리 가형 정답

1	③	2	⑤	3	②	4	④	5	①
6	③	7	③	8	⑤	9	①	10	③
11	②	12	②	13	③	14	①	15	④
16	①	17	④	18	②	19	⑤	20	④
21	⑤	22	[eqn: 21]	23	[eqn: 6]	24	[eqn: 19]	25	[eqn: 78]
26	[eqn: 16]	27	[eqn: 30]	28	[eqn: 52]	29	[eqn: 60]	30	[eqn: 294]

해 설

1. [출제의도] 로그의 밑을 같게 하여 주어진 식을 계산한다.

[eqn: log` _{sqrt {3}} `2+log ` _{3}` sqrt {3}over4 `][eqn: =log`_3 `sqrt3 = 1over2]

2. [출제의도] 행렬의 성질을 이용하여 행렬의 합과 차를 계산한다.

[eqn: (A+B) +(A-B)][eqn: = pmatrix {` 1&```````3 `#`2 &```````3 `}][eqn: + {pmatrix{`1&```-1#`2&````-1`}}][eqn: = pmatrix {` 2&```````2 `#`4 &```````2 `}]

[eqn: 2A= pmatrix {` 2&```````2 `#`4 &```````2 `}], [eqn: A= pmatrix {` 1&```````1 `#`2 &```````1 `}]

따라서 행렬 [eqn: A]의 모든 성분의 합은 [eqn: 1+1+2+1=5]

3. [출제의도] 여러 가지 함수의 극한값을 계산한다.

[eqn: lim _{x` -> `0`} {} ` {e ^{2x} -1 _{`}} over {sin`3x} `][eqn: =lim _{x` -> `0`} {} left(`{{e ^{2x} -1 }over2x _{`}} over {sin3x over 3x} ` cdot 2x over 3x right) ` = 2over3]

4. [출제의도] 여러 가지 함수의 미분법을 이해한다.

[eqn: f` prime (x)=2x`+lnx`+1]이므로

[eqn: lim _ h->0 {f(1+2h ) - f(1-h )}overh =lim _ h->0 {f(1+2h ) - f(1-h )}over 3h cdot 3]

[eqn: = 3f`'(1) = 9]

5. [출제의도] 쌍곡선의 접선의 방정식을 이해한다.

[eqn: 2x - 3y over 3 =1], [eqn: y=2x-1]

따라서 [eqn: y]축과 만나는 점의 [eqn: y]좌표는 [eqn: -1]

6. [출제의도] 삼각방정식을 이해한다.

[eqn: sinx +2sinx cos x =0], [eqn: sinx (1 + 2 cos x ) =0]

ⅰ) [eqn: sin x =0]에서 [eqn: x= 0] 또는 [eqn: x= pi]

ⅱ) [eqn: cos x = - 1 over 2]에서 [eqn: x= 2 over 3 pi] 또는 [eqn: x= 4 over 3 pi]

따라서 모든 근의 합은 [eqn: 0+ pi + {2} over {3} pi + {4} over {3} pi =3 pi]

7. [출제의도] 두 직선이 이루는 각을 이해한다.

모서리 [eqn: rmDE`]와 모서리 [eqn: rm CB]가 평행이므로 두 모서리 [eqn: rmAC`]와 [eqn: rmDE`]가 이루는 각은 두 모서리 [eqn: rmAC`]와 [eqn: rmCB`]가 이루는 각과 같다. 따라서 [eqn: theta = pi over 3]이므로 [eqn: cos theta = 1 over 2]

8. [출제의도] 조건부 확률을 이용하여 실생활 문제를 해결한다.

	남학생	여학생	계
전통문화 체험	[eqn: 130]	[eqn: 90]	[eqn: 220]
수학 체험	[eqn: 100]	[eqn: 80]	[eqn: 180]
계	[eqn: 230]	[eqn: 170]	[eqn: 400]

이 학교 학생 [eqn: 400`]명 중에서 임의로 한 학생을 선택하였을 때, 수학 체험을 희망한 학생일 사건을 [eqn: A`]라 하고, 여학생일 사건을 [eqn: B`]라 하면

[eqn: rm P( it B vert A)= {rm P( it A SMALLINTER B)} over {rm P( it A)} = {{80} over {400}} over {{180} over {400}} = {4} over {9}]

9. [출제의도] 치환적분을 이해한다.

[eqn: 2x=t]라 하면 [eqn: 2 = dt over dx]이므로

[eqn: int _{0} ^{2} {f(2x)dx} `= {1} over {2} int _{0} ^{4} {} f(t)dt][eqn: = {1} over {2} LEFT { int _{0} ^{3} {f(x)dx} + int _{3} ^{4} {f(x)dx} RIGHT }]

[eqn: = {1} over {2} LEFT { 6+(-2) RIGHT }` =2]

10. [출제의도] 분수부등식과 함수의 그래프 사이의 관계를 이해한다.

[eqn: g(x) over f(x) geq 1`]에서 [eqn: f(x)g(x)geq left{ f(x) right}^2]이고 [eqn: f(x) neq 0]

즉, [eqn: f(x) left{ f(x) - g(x) right} leq 0]이고 [eqn: f(x) neq 0]

ⅰ) [eqn: f(x) >0]이고 [eqn: f(x) leq g(x)]인 경우

[eqn: f(x) >0]이면 [eqn: -6< x < 0] 또는 [eqn: x>6]

[eqn: f(x) leq g(x)]이면 [eqn: x leq `-4] 또는 [eqn: 2 leq x leq 6]

∴ [eqn: -6 < x leq -4]

ⅱ) [eqn: f(x) <0]이고 [eqn: f(x) geq g(x)]인 경우

[eqn: f(x) <0]이면 [eqn: x < -6] 또는 [eqn: 0 < x < 6]

[eqn: f(x) geq g(x)]이면 [eqn: -4 leq x leq 2] 또는 [eqn: x geq 6]

∴ [eqn: 0 < x leq 2]

따라서 구하는 정수는 [eqn: -5 ,~ -4 ,~ 1,~2]의 [eqn: 4]개이다.

11. [출제의도] 이항분포와 정규분포 사이의 관계를 이해한다.

사과의 무게 [eqn: X`]는 정규분포 [eqn: N(400,`50 ^{2} )]을 따른다.

1등급 상품이 될 확률은

[eqn: rmP(it X GEQ 442)=rm P left(it Z ``GEQ {442-400} over {50} right)][eqn: rm=P(it Z GEQ 0.84)][eqn: =0.2]

사과 [eqn: 100]개 중 [eqn: 1]등급 상품의 개수 [eqn: Y`]는 이항분포 [eqn: B(100,`0.2)]를 따르고 근사적으로 [eqn: N(20,`4 ^{2} )]을 따른다.

[eqn: rmP it(Y GEQ 24)=rm P itleft(Z GEQ {24-20} over {4} right)][eqn: rm=P(it Z GEQ 1)][eqn: =0.16]

12. [출제의도] 로그함수와 관련된 실생활 문제를 해결한다.

[eqn: 10= C``log {10(30-6)} over {6(30-10)} `]에서 [eqn: C``= {10} over {log`2} `]

[eqn: T```= rm {10} over {log`2} ` CDOT log {15(30-6)} over {6(30-15)} `][eqn: =20`]

13. [출제의도] 포물선의 정의를 이용하여 도형과 관련된 문제를 해결한다.

[eqn: ANGLE rm EFB= {pi } over {3} `]이고 [eqn: bar{rm BF it} = bar{rm BE it}]이므로 [eqn: TRIANGLE rm BEF]는 정삼각형이다. [eqn: bar{rm FC it} `=6]이므로 [eqn: bar{rm FB it} = bar{rm FE it} =2bar{rm FC it}= 12]

[eqn: bar{rm AF it} = bar{rm AD it}]이고 [eqn: ANGLE rm DAE= {pi } over {3} `]이므로 [eqn: bar{rm AE it} =2 bar{rm AD it}=2 bar{rm AF it}]에서 [eqn: 3 bar{rm AF it} = 12] 즉, [eqn: bar{rm AF it} = 4]

∴ [eqn: TRIANGLE ` rm AFB][eqn: =][eqn: {1} over {2} CDOT 4 CDOT 12 CDOT {sqrt {3}} over {2} =12 sqrt {3}]

14. [출제의도] 수학적 귀납법을 이용하여 수열의 일반항을 구하는 과정을 설명한다.

[eqn: a _{n+1} =2a _{n} +n+1`]에서 [eqn: n`]에 [eqn: n+1`]을 대입하면

[eqn: a _{n+2} =2a _{n+1} +n+1+1`]이므로 [eqn: f(n)=n+2`]

[eqn: a_n][eqn: =1+ {4(2 ^{n-1} -1)} over {2-1} `-(n-1)][eqn: =2 ^{n+1} -n-2]이므로

[eqn: g(n)=`-n-2`] ∴ [eqn: f(5)-g(5)=7-(-7)`][eqn: =14`]

15. [출제의도] 함수와 정적분의 관계를 이해한다.

(나)에서 [eqn: int _{} ^{} {}_0 ^{pi over 2} f(t) dt =k]라 두면 [eqn: g(x) =k cos x +3]

(가)에서 [eqn: x=0]을 대입하면 [eqn: -k =(k+3+a)cdot0 -2]이므로 [eqn: k=2]이고, [eqn: x= pi over 2]를 대입하면 [eqn: 0=(3+a)cdot1 -2]이므로 [eqn: a=`-1]이다. 따라서 [eqn: g(x) = 2cos x +3]이므로

[eqn: int _ {piover2} ^x f(t) dt = (2cosx+2) sin x -2]

[eqn: f(x) =` -2 sin ^2 x + (2cos x +2 )cos x] ∴ [eqn: f(0) = 4]

16. [출제의도] 지수함수와 로그함수의 성질을 이용하여 도형과 관련된 문제를 해결한다.

두 사각형이 합동이고 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rm`Q]가 직선 [eqn: y=x`] 위의 점이므로 [eqn: rm P( it `k,~k)`], [eqn: rmQ(it`2k,~2k)`]이다.

따라서 [eqn: a ^{k} `=`k`], [eqn: a ^{2k`} =`2k`]이므로 [eqn: 2k=a ^{2k} `][eqn: =(a ^{k} ) ^{2} `][eqn: =k ^{2} `]에서 [eqn: k=2`]이다. [eqn: a ^{2} =2] ∴ [eqn: a= sqrt {2} `]

17. [출제의도] 행렬의 성질을 추론한다.

ㄱ. [eqn: A ^{2} B+AB ^{2} =A(A+B)B`][eqn: =E`]에서 [eqn: B`^-1 =A(A+B)`]

이므로 [eqn: B A(A+B)=E]

따라서 [eqn: (A+B) ^{-1} `=BA]로 존재한다. (참)

ㄴ. [eqn: A+B=E`]이므로 [eqn: A(A+B)B`=E`]에서 [eqn: AB=E]

[eqn: A(E-A)=E], [eqn: A ^{2} =A-E`]

[eqn: A ^{3} =AA ^{2} `][eqn: =A(A-E)`][eqn: =A ^{2} -A`][eqn: =-E`] (거짓)

ㄷ. [eqn: BA(A+B)=E`]에서 [eqn: BA ^{2} +BAB` =E`]이므로

[eqn: BA ^{2} +BAB` = A^2 B + AB^2], [eqn: BAB` = AB^2]

양변의 오른쪽에 [eqn: B ^{-1} `]을 곱하면 [eqn: AB=BA`] (참)

18. [출제의도] 삼수선의 정리를 이해한다.

직각삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: bar{rm AB it} =2 sqrt {3}]

점 [eqn: rmB]에서 [eqn: bar{rm AP it}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면 직각삼각형 [eqn: rm ABP]에서 [eqn: bar{rm BH it} = sqrt {3}]

삼수선의 정리에 의하여 [eqn: bar{rm CH it} BOT bar{rm AP it}]이다. 따라서 직각삼각형 [eqn: rm CBH]에서 [eqn: bar{rm BC it} `=2], [eqn: bar{rm BH it}` `= sqrt {3}]이므로 [eqn: bar{rm CH it} ``= sqrt {7}]

19. [출제의도] 주어진 조건에 맞는 함수의 성질을 추론한다.

함수 [eqn: f(x)]의 증감표는 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: -1]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 0]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 1]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f` prime (x)]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f(x)]	[eqn: SEARROW]		[eqn: NEARROW]		[eqn: NEARROW]		[eqn: SEARROW]

ㄱ. [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 극값을 갖지 않는다. (거짓)

ㄴ. [eqn: f(0)=0]이면 도함수 [eqn: f` prime (x)]는 [eqn: y]축에 대하여 대칭   이므로 함수 [eqn: f(x)]는 원점 대칭이다. 따라서 극댓   값 [eqn: f(1)], 극솟값 [eqn: f(-1)]에 대하여 [eqn: f(1)=`-f(-1)]   이므로 [eqn: f(1)+f(-1)=0]이다. (참)

ㄷ. 극댓값 [eqn: f(1)]이 [eqn: 0]보다 작으므로 방정식 [eqn: f(x)=0]은    [eqn: x<` -1]인 오직 하나의 실근을 갖는다. (참)

20. [출제의도] 여러 가지 함수의 극한을 이용하여 도형과 관련된 문제를 해결한다.

[eqn: bar {rm AB } `= 2 `]이고 [eqn: angle rm A PB = pi over 2]이므로 [eqn: rm bar{PB} = 2sin theta]

[eqn: ANGLE rm QBP= pi over 2 - angle rm PQB= it {pi } over {2} - theta - {pi } over {4} = {pi } over {4} - theta]

∴ [eqn: bar {rm PQ } = bar {rm P B }cdot tan left( pi over 4 - theta right) = 2sin theta cdot tan left( pi over 4 - theta right)]

[eqn: S ( theta ) = 1 over 2 cdot 2sin theta cdot 2sin theta cdot tan left( pi over 4 - theta right) = 2sin ^2 theta `` tan left( pi over 4 - theta right)]

[eqn: lim _{theta -> +0} {} {S( theta )} over {theta ^{`2}} = lim _{theta -> +0} {} {2sin ^{2} theta ``tan LEFT ( {pi } over {4} - theta RIGHT )} over {theta ^{`2}} = lim _{theta -> +0} {} 2`tan LEFT ( {pi } over {4} - theta RIGHT ) =2]

21. [출제의도] 도형에서 무한등비급수의 합을 이해한다.

직선 [eqn: y= {1} over {sqrt {3}} x`]와 [eqn: x`]축이 이루는 각의 크기는 [eqn: {pi } over {6} `]이다. [eqn: rmTRIANGLE OO _{1} A _{1} `]은 이등변삼각형이므로 [eqn: rmANGLE OO _{1} A _{1} = {2} over {3} pi `]

따라서 [eqn: l _{1} = {2} over {3} pi `]

[eqn: rm TRIANGLE OO _{{it`n}} A _{{it`n`}} `]은 이등변삼각형이므로 [eqn: rm ANGLE OO _{{it`n`}} A _{{it`n}} = {2} over {3} pi `]

따라서 [eqn: l _{{it`n}} = {2} over {3} pi `cdot`l _{{it`n-1}}] [eqn: (n geq 2 )]

수열 [eqn: left{ {1} over {l _{n}} `right}]은 첫째항이 [eqn: {3} over {2pi} `]이고 공비가 [eqn: {3} over {2pi} `]인 등비수열이므로 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1} over {l _{n}} `][eqn: = {{3} over {2 pi }} over {1- {3} over {2pi }} `][eqn: = {3} over {2 pi -3} `]

22. [출제의도] 등차수열의 성질을 이해한다.

[eqn: a _{n} =1+(n-1) CDOT 3`][eqn: =3n-2`]에서

[eqn: a _{3} =7], [eqn: a _{5} =13]이므로 [eqn: a _{1} +a _{3} +a _{5} =21]

23. [출제의도] 무리방정식의 근을 구한다.

[eqn: 2x-3`=(x-3)^2], [eqn: x^2 - 8x +12 =0], [eqn: (x-6)(x-2)=0]

∴ [eqn: x=6] 또는 [eqn: x=2]

[eqn: x=2]가 무연근이므로 실근은 [eqn: x=6]

24. [출제의도] 이산확률분포를 이해한다.

[eqn: a+2a+3a+4a=1]에서 [eqn: a=`1 over10]

[eqn: rm P( it X=x)= {1} over {10} x], [eqn: rm E it(X)= sum _{k=1} ^{4} k CDOT {k} over {10} = 1over10 cdot {4cdot5 cdot9}over6 =3]

∴ [eqn: rm E( it 4X+7) = rm 4E (itX)+7 = 12+7 =19]

25. [출제의도] 일차변환과 역변환의 뜻을 이해한다.

일차변환 [eqn: f]를 나타내는 행렬을 [eqn: A]라 하면

[eqn: A {pmatrix{1#0}} = {pmatrix{1#2}}], [eqn: A ^{-1} {pmatrix{1#0}} = {pmatrix{0#1}}]이므로 [eqn: A {pmatrix{1#0}} = {pmatrix{1#2}}], [eqn: A {pmatrix{0#1}} = {pmatrix{1#0}}]

[eqn: A {pmatrix{1&0 #0&1}} = {pmatrix{1&1#2&0}}]이므로 [eqn: A= {pmatrix{1&1#2&0}}]

[eqn: A {pmatrix{4#3}} = {pmatrix{1&1#2&0}} {pmatrix{4#3}} = {pmatrix{7#8}}]에서 [eqn: a=7`,~`b=8]이므로 [eqn: 10a`+b`=78]

26. [출제의도] 포물선의 그래프를 이용하여 회전체의 부피를 구하는 문제를 해결한다.

두 곡선의 교점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 8(x-2)=4x]에서 [eqn: x=4]

[eqn: V= pi int _{0} ^{4} {4xdx} - pi int _{2} ^{4} {8(x-2)dx}][eqn: = pi LEFT [ 2x ^{2} RIGHT ] _{0} ^{4} - pi LEFT [ 4x ^{2} -16x RIGHT ] _{2} ^{4}][eqn: =32 pi -16 pi =16 pi] ∴ [eqn: {V} over {pi } =16]

27. [출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 도형과 관련된 문제를 해결한다.

원의 중심을 [eqn: rm`O]라 하면 [eqn: rm ANGLE POB=2 theta]

직선 [eqn: rmOP]와 선분 [eqn: rm AC]가 만나는 점을 [eqn: rm R], [eqn: rm ANGLE BAC= alpha]라 하면 [eqn: rm ANGLE PRQ= alpha +2 theta `]이고 [eqn: tan alpha`=` { 1} over { 3}]

[eqn: rm ANGLE QPR=`pi over 2 ,~][eqn: ANGLE rm PQA= {pi } over {4}`]이므로 [eqn: rm ANGLE PRQ= alpha +2 theta = {pi } over {4}]

[eqn: tan 2 theta = tan left( pi over 4 - alpha right) = {1- tan alpha}over{1+ 1 cdot tan alpha} ={ 2over3 }over{4over3 } = 1 over 2]

따라서 [eqn: 60tan2 theta =30]

28. [출제의도] 평면과 구의 위치관계를 이용하여 벡터의 내적과 관련된 문제를 해결한다.

[eqn: rm vec{BA} ` CDOT ` vec{BP} = rm vec{BA`} CDOT ( vec{BC`} + vec{CP} )][eqn: = rm vec{BA`} CDOT vec{BC`} + vec{BA`} CDOT vec{CP} ``]

[eqn: rm =6 CDOT 5 CDOT {36+25-9} over {2 CDOT 6 CDOT 5} + vec{BA`} CDOT vec{CP} =26+ vec{BA`} CDOT vec{CP}]

그런데 최대일 때의 점 [eqn: rm P]를 [eqn: rm`P _{M}], 최소일 때의 점 [eqn: rm P]를 [eqn: rm`P _{m}]이라 하면 [eqn: vec{rm `CP _{M}}], [eqn: vec{rm `CP _{m} it}]은 [eqn: vec{rm `BA it}]와 평행하고 방향이 반대이므로 [eqn: rmvec{BA`} CDOT vec{CP_M} `+ rmvec{BA`} CDOT vec{CP_m} `=0]

[eqn: rm vec{BA} ` CDOT ` vec{BP}]의 최댓값과 최솟값의 합은 [eqn: 26+26=52]

29. [출제의도] 입체도형의 형태를 추론하고 중복조합을 이용하여 경우의 수를 구한다.

[eqn: 1]층에 [eqn: 6]개를 모두 쌓은 후 남은 [eqn: 6]개를 쌓는 방법은 다음과 같다.

ⅰ) [eqn: 2]층 앞줄에 모두 [eqn: 1]개씩 쌓는 경우

[eqn: rm`_4 C_1 times _3 C_1 = 12]

ⅱ) [eqn: 2]층 앞줄 두 곳 중 한 곳에만 [eqn: 1]개를 쌓는 경우

뒷줄 네 곳 중 한 곳에 [eqn: 3]개를 쌓고 나머지 세      곳에 중복을 허락하여 [eqn: 2]개를 쌓으면 되므로

[eqn: rm` _{2} C _{1} TIMES _{4} C _{1} TIMES _{3} rm H _{2} =48]

따라서 [eqn: 12 + 48 =60]

30. [출제의도] 평면과 평면의 위치관계와 정사영을 이용하여 도형과 관련된 문제를 해결한다.

평면 [eqn: x`+`y`+`2z`=6]에 의하여 정육면체가 잘린 단면은 그림과 같다.

두 평면 [eqn: x`+`y`+`2z`=6], [eqn: z=0]의 법선벡터가 각각 [eqn: (1,~1,~2)`], [eqn: (`0,~0,~1)]이므로 두 평면이 이루는 각 [eqn: theta`]에 대하여 [eqn: root6` CDOT 1` CDOT `cos` theta `=`2], [eqn: cos`theta`=`2overroot6]

오각형 [eqn: rm`HIJKL]의 정사영이 오각형 [eqn: rm` OAJKC`]이므로

[eqn: S`cos` theta `= 14]

따라서 [eqn: S= 7root6]이므로 [eqn: S``^2 =294]

수리 나형 정답

1	③	2	⑤	3	③	4	⑤	5	③
6	①	7	②	8	③	9	④	10	①
11	②	12	②	13	④	14	①	15	②
16	①	17	④	18	③	19	④	20	⑤
21	⑤	22	[eqn: 21]	23	[eqn: 12]	24	[eqn: 19]	25	[eqn: 16]
26	[eqn: 2]	27	[eqn: 56]	28	[eqn: 3]	29	[eqn: 4]	30	[eqn: 420]

해 설

1~2. ‘가’형과 동일

3. [출제의도] 수열의 극한의 성질을 이해한다.

[eqn: lim _{n -> INF } {{3n-1} over {sqrt {n ^{2} +1}}} `][eqn: = lim _{n -> INF } {{3- {1} over {n}} over {sqrt {1+ {1} over {n ^{2}}}}} `][eqn: =3`]

4. [출제의도] 정적분의 값을 계산한다.

[eqn: int_0 ^2 ( x^{`2} +1) `dx-int_0 ^2 x^2 `dx][eqn: = int_0 ^2 1 `dx][eqn: = 2]

5. [출제의도] 로그부등식의 성질을 이해한다.

로그의 정의에 의하여 [eqn: x-1>0`]이고, 로그부등식의 밑을 같게 하면 [eqn: x-1le 8] ∴ [eqn: 1<x le 9]

따라서 구하는 정수의 개수는 [eqn: 8`]이다.

6. [출제의도] 이항정리를 이용하여 이항계수를 계산한다.

[eqn: (x ^{2} +1) ^{5} `]의 전개식에서 [eqn: {} _{5} rm C _{it r rm} ( it x ^{2} ) ^{5-r} 1 ^{r} `][eqn: = _{5} rm C _{it r rm} ` it x ^{10-2r} `]이므로 [eqn: x ^{2} `]의 계수는 [eqn: r=4`]일 때 [eqn: {} _{5} rm C _{it 4 rm} `][eqn: =5]

7. [출제의도] 독립사건의 성질과 조건부 확률을 이해한다.

두 사건 [eqn: A`], [eqn: B`]가 서로 독립이므로

[eqn: rm P (it A cap B)][eqn: = rm P (it A) cdot rm P (it B)][eqn: = 1over2 rm P (it B)]이다.

[eqn: rm P (it A cup B)][eqn: = rm P (it A) + rmP (it B) -rm P (it A cap B)]

[eqn: 2over3][eqn: = rm 1over2 + P (it B) - 1over2 rmP (it B)] [eqn: therefore] [eqn: rmP (it B) = 1over3]

8. [출제의도] 연속확률변수의 확률을 계산한다.

[eqn: rm P(0 le it X le 1)][eqn: = int_0 ^{`1} 1over2 x dx][eqn: = 1over4]

9. [출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 로그의 계산 문제를 해결한다.

[eqn: log _{a} b+log _{b} a`][eqn: = {log` _{} b} over {log` _{} a} + {log` _{} a} over {log` _{} b} `][eqn: = {(log`a`+log` _{} b) ^{2} -2log`a CDOT log`b} over {log` _{} a CDOT log`b} `]

[eqn: = {16-2 TIMES 2} over {2} `][eqn: =6`]

10. [출제의도] 정적분의 기본 정리를 이용하여 도함수의 정적분 문제를 해결한다.

[eqn: int _{0} ^{2} {f prime `(x)dx} `][eqn: =[f(x)] _{0} ^{2} `][eqn: =f(2)-f(0)`][eqn: =0-2`][eqn: =`-2`]

11. [출제의도] 미분가능성을 이해한다.

함수 [eqn: f(x)]가 연속이므로 [eqn: f(0)=a+b=1] [eqn: CDOTS] ㉠

[eqn: f`(x)]는 [eqn: x=0`]에서 미분가능하므로

[eqn: f`'`(0)][eqn: = lim _{h -> +0} {{f` `(0+h)-f`(0)} over {h}} `][eqn: = lim _{h -> -0} {{f``(0+h)-f` (0)} over {h}} `]

그런데 [eqn: lim _{h -> -0} {{f` `(0+h)-f` (0)} over {h}} `][eqn: =`-1`],

[eqn: lim _{h -> +0} {{f` `(0+h)-f` (0)} over {h}}][eqn: =2a(0-1)`][eqn: =`-2a`]이므로

[eqn: -1=`-2a`] [eqn: CDOTS] ㉡

㉡을 ㉠에 대입하여 [eqn: b= {1} over {2} `] ∴ [eqn: f(1)`][eqn: =b`][eqn: = {1} over {2} `]이다.

12. ‘가’형과 동일

13. [출제의도] 조건부 확률을 이용하여 실생활 문제를 해결한다.

	[eqn: rmA]역	[eqn: rmB]역
	승차	하차	승차
남자	[eqn: 90]	[eqn: 18`]	[eqn: 60`]
여자	[eqn: 60`]	[eqn: 12`]	[eqn: 60`]

[eqn: rmB`]역에서 [eqn: rmC`]역으로 가는 도중 기차에 타고 있는 승객의 수는 남자 [eqn: 90-18+60=132`], 여자 [eqn: 60-12+60=108`]이므로 전체 승객은 [eqn: 240`]이다.

여자 승객이 선택될 확률은 [eqn: {108} over {240}]이고, [eqn: rmA`]역에서 승차한 여자 승객이 선택될 확률은 [eqn: {60-12} over {240} = {48} over {240} `]이므로구하는 확률은 [eqn: {{ 48} over {240 }} over { { 108} over {240 }} = {4} over {9}]

14. ‘가’형과 동일

15. [출제의도] 접선의 기울기를 이해한다.

[eqn: f` prime `(x)=2x ^{2} +a`]에서 [eqn: f`'`(0)=a`], [eqn: f` prime `(1)`=`2`+`a`]

그러므로 [eqn: a(2+a)=`-1], [eqn: (a+1) ^{2} =0`]

따라서 [eqn: a=`-1`]

16~17. ‘가’형과 동일

18. [출제의도] 함수의 극한을 이해한다.

ㄱ.[eqn: lim _{x -> -1-0} {f(x)=1} `]이고 [eqn: f(-1)=1]이므로 (참)

ㄴ. [eqn: lim _{x-> 1`+0} {f(x)g(x)= lim _{x-> 1+0} {f(x)} lim _{x-> 1+0} {g(x)=1 CDOT 0=0}}]

[eqn: lim _{x -> 1`-0} {f(x)g(x)= lim _{x -> 1-0} {f(x)} lim _{x -> 1-0} {g(x)=0}} `] (참)

ㄷ. ㄴ에서 [eqn: lim _{x -> 1`} {f(x)g(x)=0} `], [eqn: f(1)g(1)=1 CDOT 1=1`](거짓)

19. [출제의도] 정적분을 이용하여 넓이를 추론한다.

[eqn: rmS _{1} `], [eqn: rmS _{2} `], [eqn: rmS _{3} `]이 등차수열을 이루므로 [eqn: rm 2S _{2} = {S _{1} +S _{3}}]이다.

[eqn: rm3S_2][eqn: rm =S _{1} +S _{2} +S _{3} `][eqn: = it int _{-1} ^{2} {f(x)dx} `]

[eqn: =left[- {1} over {3} x ^{3} + {1} over {2} x ^{2} +2x right] _{-1} ^{2}]

[eqn: = {9} over {2}]     ∴ [eqn: rmS _{2} = {3} over {2}]

20. [출제의도] 도형에서 함수의 극한을 이해한다.

기울기가 [eqn: -2`]인 직선 [eqn: l]의 [eqn: y`]절편을 [eqn: b`]라 하면

직선 [eqn: l`]의 방정식은 [eqn: 2x+y-b=0`]

점 [eqn: rmC(2,~0)`]에서 직선 [eqn: l] : [eqn: 2x+y-b=0`]에 이르는 거리

[eqn: r= {|`2 CDOT 2-b`|} over {sqrt {5}} `][eqn: = {|`4-b`|} over {sqrt {5}} `]에서 [eqn: b=4± sqrt {5} r`] [eqn: CDOTS] ㉠

점 [eqn: rmC``'`(`3,3`)]에서 직선 [eqn: l] : [eqn: 2x+y-b=0`]에 이르는 거리

[eqn: f(r)= {|`9-b`|} over {sqrt {5}} `]에 ㉠을 대입하여 극한을 취하면

[eqn: lim _{r -> +0} {} `f(r)`][eqn: = lim _{r -> +0} {{|`5± sqrt {5} r`|} over {sqrt {5}}} `][eqn: = sqrt {5} `]

21~22. ‘가’형과 동일

23. [출제의도] 그래프와 행렬의 관계를 이해한다.

그래프의 연결관계를 나타내는 행렬의 모든 성분의 합은 변의 개수의 두 배와 같으므로 [eqn: 6 CDOT 2=12`]

24. [출제의도] 이산확률분포를 이해한다.

[eqn: rmE(itX)=1 CDOT {3} over {10} +2 CDOT {1} over {2} +3 CDOT {1} over {5} `= {19} over {10}]이므로

[eqn: rmE(it10X)=10rmE(itX)`][eqn: =10 CDOT {19} over {10} `][eqn: =19`]

25. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 수열의 합에 관한 문제를 해결한다.

[eqn: 64=2 ^{6} `]이므로 [eqn: [log _{2} ``64]=6`]

[eqn: 3 ^{3} =27<64<3 ^{4} =81`]이므로 [eqn: [log _{3} ```64]=3`]

[eqn: 4 ^{3} =64]이므로 [eqn: [log _{4} ``64]=3`]

[eqn: 5 ^{2} =25<64<5 ^{3} =125`]이므로 [eqn: [log _{5} ``64]=2`]

[eqn: 6 ^{2} =36<64<6 ^{3} =216`]이므로 [eqn: [log _{6} ``64]=2`]

그러므로 [eqn: sum _{n=2} ^{6} [log _{n} ``64]`][eqn: =16`]

26. [출제의도] 정적분의 성질을 이해한다.

[eqn: F(x)= int _{2} ^{x} {} ` LEFT ( `t ^{`2} +3`t-2` RIGHT ) `dt`]라 하면 [eqn: F`` prime (x)=x ^{2} +3x-2`]

(준식)[eqn: = lim _{x` -> `2} {} `` {F(x)-F(2)} over {x ^{`2} -4} `][eqn: = lim _{x` -> `2} {} `` {1} over {x+2} CDOT {F(x)-F(2)} over {x ^{`} -2} `]

[eqn: =`` {1} over {4} F``'`(2)][eqn: =`` {1} over {4} (2 ^{2} +3 CDOT 2-2)`][eqn: =2]

27. [출제의도] 중복조합을 이용하여 규칙을 추론한다.

쌓는 순서가 정해져 있으므로 세 개의 원판을 택하면 쌓는 방법은 한가지로 정해진다. 그러므로 구하는 방법의 수는 서로 다른 [eqn: 6`]개에서 [eqn: 3`]개를 택하는 중복조합의 수이므로 [eqn: rm{}_6+3-1 C_3 ={}_8 C_3 `][eqn: =56`]

28. [출제의도] 극한의 성질을 이용하여 도형에 응용된 극한 문제를 해결한다.

선분 [eqn: rmCP _{0}]의 길이를 [eqn: a`]([eqn: 0<a<1])이라 하면

[eqn: rmbar{P _{0} P _{1}} = bar{P _{2} P _{3}} `][eqn: rm= bar{P _{4} P _{5}} `][eqn: = ``CDOTS `][eqn: =a`]

[eqn: rmbar{P _{1} P _{2}} = bar{P _{3} P _{4}} `][eqn: rm= bar{P _{5} P _{6}} `][eqn: = ``CDOTS `][eqn: =1-`a]

이므로 [eqn: l _{2n} =`n`]이다.

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} {l` _{2n}} over {2n+1} = lim _{n` -> ` INF }{n} over {2n+1} `][eqn: = {1} over {2} `] ∴ [eqn: a+b=3`]

29. [출제의도] 도함수의 성질을 이용하여 극값을 구하는 문제를 해결한다.

[eqn: f(x)=x ^{3} +ax ^{2} +bx+c`]라 하면 [eqn: f`'`(x)=3x ^{2} +2ax+b]

조건 (가)에 의하여 [eqn: y=f` prime `(x)`]의 그래프는 [eqn: y`]축에 대칭이므로 [eqn: a=0`]

따라서 [eqn: f`'`(x)=`3x ^{2} +b`]이고, 조건 (나)에서 [eqn: f`'`(1)=0`]이고 [eqn: f(1)=0`]이므로 [eqn: b=`-3`], [eqn: c=2`]

따라서 [eqn: f(x)]의 극댓값 [eqn: f(-1)=4`]

30. [출제의도] 수열의 규칙성을 이용하여 여러 가지 수열 문제를 해결한다.

[eqn: a _{n}]의 경우, 마지막 상태에서는 [eqn: 4n`]개의 동전 중 [eqn: 2n]개의 동전이 이므로 적어도 [eqn: 2n]번의 시행을 해야 한다. 그런데 [eqn: 4n`]개 동전을 [eqn: 4`]개씩 [eqn: n`]개의 묶음으로 나누면 각 묶음마다 [eqn: 2`]회씩을 시행하여 총 [eqn: 2n`]회의 시행 후 마지막 상태를 만들 수 있다. 즉,   ...  ⇨   ...  ⇨   ...  ⇨   ...  ⇨   ...  ⇨ ... ⇨   ...  와 같이 [eqn: 2n]번의 시행으로 마지막 상태를 만들 수 있으므로 [eqn: a _{n} =2n`]이다.

따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{20} a _{n}][eqn: = sum _{n=1} ^{20} 2n][eqn: =2 sum _{n=1} ^{20} n][eqn: =2 TIMES {20 CDOT 21} over {2}][eqn: =420]