수리 영역(나 형)

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수리 영역(나 형)

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2012학년도 10월 고3 전국연합학력평가 문제지

수리 영역(나 형)

제 2 교시

5지선다형

1. [eqn: log` _{sqrt{3}} `2+log ` _{3}` sqrt {3}over4 `]의 값은? [2점]

① [eqn: 1over4]	② [eqn: 1over3]	③ [eqn: 1over2`]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3over2]

12

2. 두 이차정사각행렬 [eqn: A`], [eqn: B`]에 대하여

[eqn: A+B= pmatrix {` 1&```````3 `#`2 &```````3 `}`], [eqn: A-B``= {pmatrix{`1&```-1#`2&````-1`}}`]

이 성립할 때, 행렬 [eqn: A]의 모든 성분의 합은? [2점]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

3. [eqn: lim_{n -> inf} {3n-1}over{ sqrt{n^{`2} +1}`]의 값은? [2점]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

4. [eqn: int_0 ^2 ( x^{`2} +1) `dx-int_0 ^2 x^2 `dx `]의 값은? [3점]

① [eqn: -2`]	② [eqn: -1`]	③ [eqn: 0`]	④ [eqn: 1`]	⑤ [eqn: 2`]

5. 로그부등식 [eqn: log _{` 2} ``(x-1)` LEQ 3 `]을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: x `]의 개수는?

[3점]

① [eqn: 2`]	② [eqn: 5 `]	③ [eqn: 8`]	④ [eqn: 11 `]	⑤ [eqn: 14`]

6. 다항식 [eqn: (`x^{`2}+1`)^{`5} `]의 전개식에서 [eqn: x^{`2} `]의 계수는? [3점]

① [eqn: 5 `]	② [eqn: 6 `]	③ [eqn: 7 `]	④ [eqn: 8 `]	⑤ [eqn: 9`]

7. 두 사건 [eqn: A`], [eqn: B`]가 서로 독립이고

[eqn: rm boldP (it A ) = 1over 2 `], [eqn: rm boldP (it A cup B`) = 2 over 3 `]

일 때, [eqn: rm boldP (it B```|` A ) `]의 값은? [3점]

① [eqn: 1 over 6 `]	② [eqn: 1over 3 `]	③ [eqn: 1over2 `]	④ [eqn: 2over3 `]	⑤ [eqn: 5over6 `]

8. 연속확률변수 [eqn: X`]의 확률밀도함수가 [eqn: f(`x)= 1over 2 x] ([eqn: 0le x le 2`])

일 때, [eqn: rm P(0 le it X le 1)`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1over16 `]	② [eqn: 1over8`]	③ [eqn: 1 over {4} `]	④ [eqn: 1over3`]	⑤ [eqn: 1over2`]

9. 이차방정식 [eqn: x^{`2} -4x+2=0`]의 두 근을 [eqn: log`{a}], [eqn: log`{b}`]라 할 때,

[eqn: log`_{a}`b + log`_{b}`a `]의 값은? [3점]

① [eqn: 0]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 8]

10. 그림과 같이 삼차함수 [eqn: y=f(x)`]가

[eqn: f(-1)=f(1)=f(2)=0], [eqn: f(0)=2]

를 만족시킬 때, [eqn: int_0 ^2 f` prime (x) `dx`]의 값은? [3점]

[eqn: y=f(x)`]

[eqn: y]

[eqn: x]

① [eqn: -2`]	② [eqn: -1`]	③ [eqn: 0`]	④ [eqn: 1`]	⑤ [eqn: 2`]

11. 미분가능한 함수

[eqn: f`(`x`)= {cases{``-x`+`1~~~~~~~&(`x < `0`)#``a`(x-1)` ^{2} +`b&(`x ge 0`)}} `]

에 대하여 [eqn: f(`1)`]의 값은? (단, [eqn: a,~b`]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: 1over4`]	② [eqn: 1over2`]	③ [eqn: 1`]	④ [eqn: 3over 2`]	⑤ [eqn: 2`]

12. 어느 도시의 인구가 [eqn: P _{0}`]명에서 [eqn: P`]명이 될 때까지 걸리는 시간 [eqn: T`](년)은 다음 식을 만족시킨다고 한다.

[eqn: T=C```log `{ P``(K- P_{`0})}over{ P_{`0}(K- P`)} `]

(단, [eqn: C``]는 상수, [eqn: K``]는 최대 인구 수용 능력이다.)

이 도시의 최대 인구 수용 능력이 [eqn: 30`]만 명이고, 인구가 [eqn: 6`]만 명에서 [eqn: 10`]만 명이 될 때까지 [eqn: 10`]년이 걸렸다고 한다. 인구가 처음으로 [eqn: 15`]만 명 이상이 되는 것은 인구가 [eqn: 6`]만 명일 때부터 몇 년 후인가? [3점]

① [eqn: 18`]년 후	② [eqn: 20`]년 후	③ [eqn: 22`]년 후

④ [eqn: 24`]년 후	⑤ [eqn: 26`]년 후

13. [eqn: rm A`]역에서 출발하여 다른 역을 거치지 않고 [eqn: rmB `]역만을 거쳐 [eqn: rm C `]역으로 가는 기차가 있다. [eqn: rm A `]역에서 비어 있는 기차에 남자 [eqn: 90]명, 여자 [eqn: 60]명의 승객이 승차하였다. [eqn: rm B `]역에서는 남자 [eqn: 18]명, 여자 [eqn: 12]명의 승객이 하차하고 남자 [eqn: 60]명, 여자 [eqn: 60]명의 승객이 승차하여 [eqn: rm C`]역으로 이동하였다. [eqn: rm B `]역에서 [eqn: rm C `]역으로 가는 도중에 임의로 선택된 한 승객이 여자였을 때, 이 승객이 [eqn: rm A `]역에서 승차한 승객일 확률은? (단, 하차한 승객이 하차한 역에서 다시 승차하는 경우는 없다.) [4점]

① [eqn: 1 over 9 `]	② [eqn: 2over 9 `]	③ [eqn: 1over 3`]	④ [eqn: 4 over 9 `]	⑤ [eqn: 5 over 9 `]

14. 수열 [eqn: left{a _{n} `right}]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: a`_1 = `1], [eqn: a _{`n+1} =2`a _{`n} +n+1]

을 만족시킬 때, 다음은 수열 [eqn: left{a _{n} `right}`]의 일반항을 구하는 과정이다.

[eqn: n GEQ 1]일 때,

[eqn: a _{`n+1} =2`a _{`n} +n+1]             [eqn: cdots cdots] ㉠

[eqn: a _{`n+2} =2`a _{`n+1} +]        [eqn: cdots cdots] ㉡

(가)

이고, ㉡에서 ㉠을 뺀 식으로부터

[eqn: a _{`n+2} -`a _{`n+1} `=2(a _{`n+1} -`a _{`n} )+1]

을 얻는다. [eqn: b _{`n} = a _{`n+1} -`a _{`n}]이라 하면

[eqn: b _{`n+1} =2`b _{`n} +1`]

이므로

[eqn: b _{`n} =2^{`n+1} -1]

[eqn: a _{`n} =a _{`1} + sum _{k=1} ^{n-1} left( `2^{``k+1} -1` right) `] ([eqn: n GEQ 2])

[eqn: =`2^{`n+1}+]

(나)

이다.

위의 (가), (나)에 들어갈 식을 각각 [eqn: f(n),~g(n)`]이라 할 때,

[eqn: f(5)-g(5) `]의 값은? [4점]

① [eqn: 14`]	② [eqn: 16`]	③ [eqn: 18`]	④ [eqn: 20`]	⑤ [eqn: 22`]

15. 곡선 [eqn: f(x)= 2over 3 x^{`3} +ax `] 위의 두 점 [eqn: (0`, ``f(0))], [eqn: (1`,``f(1))`]에서의 접선이 서로 수직일 때, 상수 [eqn: a`]의 값은? [4점]

① [eqn: -2`]	② [eqn: -1`]	③ [eqn: 0`]	④ [eqn: 1`]	⑤ [eqn: 2`]

16. 그림과 같이 지수함수 [eqn: y`=`a` ^{x}`]과 로그함수 [eqn: y=log` _{a} `x `]가 두 점 [eqn: rm P`], [eqn: RM Q`]에서 만날 때, 점 [eqn: rm P`]에서 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`]라 하자.

점 [eqn: RM Q`]를 지나고 [eqn: x`]축과 평행한 직선이 직선 [eqn: rm AP`]와 만나는 점을 [eqn: rm D`],

점 [eqn: rm Q`]를 지나고 [eqn: y`]축과 평행한 직선이 직선 [eqn: rm BP]와 만나는 점을 [eqn: rm C`]라 할 때, 두 사각형 [eqn: rm OAPB `]와 [eqn: RM PCQD `]는 합동이다. [eqn: a`]의 값은? (단, [eqn: rm O`]는 원점이다.) [4점]

[eqn: y=a^x]

[eqn: y=log`_a x]

[eqn: y]

[eqn: x]

① [eqn: root2]	② [eqn: root3]	③ [eqn: {sqrt {5 } } over {2 }]	④ [eqn: {sqrt {6 } } over {2 }]	⑤ [eqn: 2]

17. 두 이차정사각행렬 [eqn: A], [eqn: B``]가

[eqn: A ^{2} B+AB ^{`2} =E`]

를 만족시킬 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.) [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: (A+B`) ^{`-1}`]이 존재한다. ㄴ. [eqn: A+B=E``]이면 [eqn: A ^{3} =E``]이다. ㄷ. [eqn: A ^{2} B=BA ^{2}`]이면 [eqn: AB=BA`]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

18. 두 함수 [eqn: y=f(x)`]와 [eqn: y=g(x)`]의 그래프가 그림과 같을 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: y=f(x)`]

[eqn: y=g(x)`]

[eqn: y]

[eqn: x]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: lim _{x`-> -1-0} {f(x)=f(-1)}] ㄴ. [eqn: lim _{x` -> 1+0} {f(x)`g(x)= lim _{x` -> 1-0} {f(x)`g(x)}] ㄷ. [eqn: lim _{x` -> 1}` `{f(x)`g(x)=f(1)`g(1)}]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

19. 함수 [eqn: f(x)=-x ^{`2} +x+2]에 대하여 그림과 같이 곡선 [eqn: y=f(x)`]와 [eqn: x`]축으로 둘러싸인 부분을 [eqn: y`]축과 직선 [eqn: x=k`] ([eqn: 0<k<2])로 나눈 세 부분의 넓이를 각각 [eqn: rm S ` _{1}`], [eqn: rm S ` _{2}`], [eqn: rm S ` _{3}`]이라 하자. [eqn: rm S ` _{1}`], [eqn: rm S ` _{2}`], [eqn: rm S ` _{3}`]이 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, [eqn: rm`S _{`2}`]의 값은? [4점]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: y=f(x)`]

[eqn: x=k]

① [eqn: 1]	② [eqn: {5} over {4}]	③ [eqn: {4} over {3}]	④ [eqn: {3} over {2}]	⑤ [eqn: 2]

20. 그림과 같이 중심이 [eqn: rm C(2,``0`)`]이고 반지름의 길이가 [eqn: r`] ([eqn: r<root5`])인 원 [eqn: rmC]가 있다. 기울기가 [eqn: -2`]이고 원 [eqn: rmC]에 접하는 직선을 [eqn: l`]이라 하자. 직선 [eqn: l`]에 접하고 중심이 [eqn: rm C prime(3,``3`)`]인 원 [eqn: rm C prime]의 반지름을 [eqn: f`(`r`)`]라 할 때, [eqn: lim _{r `-> `+0}`{ f`(`r`)} `]의 값은? [4점]

12

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: r]

[eqn: f(r)]

[eqn: l]

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt { 2}]	③ [eqn: sqrt { 3}]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: sqrt { 5}]

21. 그림과 같이 중심이 [eqn: (1,``0`)`]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 원 [eqn: rm O_1`]이 있다. 원 [eqn: rm O_1`]이 직선 [eqn: y= 1over sqrt3 x `]와 만나는 점 중에서 원점이 아닌 점을 [eqn: rm A _{1}`]이라 하고 직선 [eqn: y= 1over sqrt3 x `]의 윗 쪽에 있는 호 [eqn: rm OA _{1}`]의 길이를 [eqn: l _{`1}]이라 하자.

중심이 [eqn: (`l_{`1}`,``0`)`]이고 반지름의 길이가 [eqn: l _{`1} `]인 원 [eqn: rm O _{2``}`]를 그린다.   원 [eqn: rm O _{2`}`]가 직선 [eqn: y= 1over sqrt3 x `]와 만나는 점 중에서 원점이 아닌 점을 [eqn: rm A ` _{2}`]라 하고 직선 [eqn: y= 1over sqrt3 x `]의 윗 쪽에 있는 호 [eqn: rm OA _{`2}`]의 길이를 [eqn: l _{`2}`]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 호의 길이를 [eqn: l`_n `]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } `{1} over {l _{`n}} `]의 값은? [4점]

[eqn: y= { 1} over {sqrt { 3} }x]

[eqn: y]

[eqn: x]

① [eqn: 1 over { pi-3} `]	② [eqn: 2 over { pi-3} `]	③ [eqn: 1 over { 2 pi-3} `]

④ [eqn: 2 over { 2 pi-3} `]	⑤ [eqn: 3 over { 2 pi-3} `]

단답형

22. 수열 [eqn: LEFT { a` _{n} RIGHT }`]이 [eqn: a` _{1} =1`]이고 공차가 [eqn: 3`]인 등차수열일 때,

[eqn: a`_1 + a`_3 + a`_5`]의 값을 구하시오. [3점]

23. 다음 그래프에서 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는

행렬의 모든 성분의 합을 구하시오. [3점]

24. 확률변수 [eqn: X`]의 확률분포표가 다음과 같을 때, 확률변수 [eqn: 10`X`]의 평균 [eqn: rm{bold E}` (10itX)`]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: X`]	[eqn: 1]	[eqn: 2`]	[eqn: 3`]	계
[eqn: rmboldP (itX=x)]	[eqn: 3 over 10 `]	[eqn: 1 over 2 `]	[eqn: 1 over 5 `]	[eqn: 1`]

25. [eqn: sum _{ n=2} ^{ 6}` [ ``log`_n ``64 ``]`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: [`x`]`]는 [eqn: x`]보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [3점]

12

26. [eqn: lim_{x`->`2}`` 1 over {x^{`2} -4} int_2 ^x `left(` t^{`2} +3`t-2` right) `dt`]의 값을 구하시오. [3점]

27. 반지름의 길이가 서로 다른 여섯 종류의 원판이 각각 [eqn: 3]개씩 [eqn: 18`]개가 있다. 원판을 다음과 같은 규칙으로 쌓으려고 한다.

(가) 원판 [eqn: 3`]개를 택하여 원판의 중심이 일치하도록 쌓는다.

(나) 반지름의 길이가 작은 원판은 반지름의 길이가 큰 원판 위에 쌓는다.

(다) 반지름의 길이가 같은 원판은 구별하지 않으면서 쌓는다.

그림은 반지름의 길이가 같은 두 개의 원판과 반지름의 길이가 작은 한 개의 원판을 규칙에 따라 쌓은 예이다.

이와 같이 쌓는 방법의 수를 구하시오. [4점]

28. 한 변의 길이가 [eqn: 1`]인 정삼각형 [eqn: rmABC`]가 있다. 변 [eqn: rm BC`]위에 양 끝점이 아닌 한 점 [eqn: rm P_0 `]을 잡는다. 그림과 같이 [eqn: rm P_0 `]을 지나고 변 [eqn: rm AB`]와 평행한 직선을 그어 변 [eqn: rm AC`]와 만나는 점을 [eqn: rm P_1 `], 점 [eqn: rm P_1`]을 지나고 변 [eqn: rm BC`]와 평행한 직선을 그어 변 [eqn: rm AB `]와 만나는 점을 [eqn: rm P_2 `], 점 [eqn: rm P_2`]를 지나고 변 [eqn: rm AC`]와 평행한 직선을 그어 변 [eqn: rm BC`]와 만나는 점을 [eqn: rm P_3`]이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 점을 [eqn: rm P_ {it n `}]이라 하고, 점 [eqn: rm P_0`]을 출발하여 점 [eqn: rm P_{it n`}]까지 이동한 거리 [eqn: l`_n`]을

[eqn: l_n `=` bar {rm P_0 P_1}`+`bar {rm P_1 P_2}`+bar {rm P_2 P_3}`+` CDOTS`+bar {rm P_{itn-1} P_{itn}}`] ([eqn: n=1,~2,~3,` CDOTS`])

이라 하자.

[eqn: lim _{n `-> ` INF } `{}{l ` _{2`n}} over {2`n+1} ``= b over a`]일 때, [eqn: a+b`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

29. 최고차항의 계수가 [eqn: 1``]인 삼차함수 [eqn: f`(`x`)`]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f`(`x`)`]의 극댓값을 구하시오. [4점]

(가) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f` prime` (`x`)`=f` prime` (`-x`)`]이다.

(나) 함수 [eqn: f`(`x`)`]는 [eqn: x=1`]에서 극솟값 [eqn: 0`]을 갖는다.

30. 동전의 앞면과 뒷면은 다음과 같다.

앞

뒤

동전 [eqn: 4`n`]개 ([eqn: n`]은 자연수)가 앞면이 보이도록 일렬로 나열되어 있다. 이웃한 동전 한 쌍을 뒤집는 시행을 반복하여 <그림>과 같이 앞면과 뒷면이 앞면부터 교대로 나열되도록 만들려고 한다.

<그림>

수열 [eqn: left{`a _{n} right}`]의 일반항은

[eqn: a_n `=]	[eqn: left( ##}]	앞면이 보이도록 나열된 [eqn: 4`n`]개의 동전을 <그림> 처럼 만드는데 필요한 최소의 시행 횟수	[eqn: left. ## right)]

이다. 예를 들어, 앞면이 보이도록 나열된 [eqn: 4`]개의 동전을

와 같이 두 번의 시행으로 <그림>처럼 만들 수 있으므로 [eqn: a _{`1} =2`]이다.

[eqn: sum _{n=1} ^{20} `a _{n}`]의 값을 구하시오. [4점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.