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2013학년도 대학수학능력시험 대비

2012학년도 10월 고3 전국연합학력평가 정답 및 해설

수리 가형 정답

1	③	2	⑤	3	②	4	④	5	①
6	③	7	③	8	⑤	9	①	10	③
11	②	12	②	13	③	14	①	15	④
16	①	17	④	18	②	19	⑤	20	④
21	⑤	22	[eqn: 21]	23	[eqn: 6]	24	[eqn: 19]	25	[eqn: 78]
26	[eqn: 16]	27	[eqn: 30]	28	[eqn: 52]	29	[eqn: 60]	30	[eqn: 294]

해 설

1. [출제의도] 로그의 밑을 같게 하여 주어진 식을 계산한다.

[eqn: log` _{sqrt {3}} `2+log ` _{3}` sqrt {3}over4 `][eqn: =log`_3 `sqrt3 = 1over2]

2. [출제의도] 행렬의 성질을 이용하여 행렬의 합과 차를 계산한다.

[eqn: (A+B) +(A-B)][eqn: = pmatrix {` 1&```````3 `#`2 &```````3 `}][eqn: + {pmatrix{`1&```-1#`2&````-1`}}][eqn: = pmatrix {` 2&```````2 `#`4 &```````2 `}]

[eqn: 2A= pmatrix {` 2&```````2 `#`4 &```````2 `}], [eqn: A= pmatrix {` 1&```````1 `#`2 &```````1 `}]

따라서 행렬 [eqn: A]의 모든 성분의 합은 [eqn: 1+1+2+1=5]

3. [출제의도] 여러 가지 함수의 극한값을 계산한다.

[eqn: lim _{x` -> `0`} {} ` {e ^{2x} -1 _{`}} over {sin`3x} `][eqn: =lim _{x` -> `0`} {} left(`{{e ^{2x} -1 }over2x _{`}} over {sin3x over 3x} ` cdot 2x over 3x right) ` = 2over3]

4. [출제의도] 여러 가지 함수의 미분법을 이해한다.

[eqn: f` prime (x)=2x`+lnx`+1]이므로

[eqn: lim _ h->0 {f(1+2h ) - f(1-h )}overh =lim _ h->0 {f(1+2h ) - f(1-h )}over 3h cdot 3]

[eqn: = 3f`'(1) = 9]

5. [출제의도] 쌍곡선의 접선의 방정식을 이해한다.

[eqn: 2x - 3y over 3 =1], [eqn: y=2x-1]

따라서 [eqn: y]축과 만나는 점의 [eqn: y]좌표는 [eqn: -1]

6. [출제의도] 삼각방정식을 이해한다.

[eqn: sinx +2sinx cos x =0], [eqn: sinx (1 + 2 cos x ) =0]

ⅰ) [eqn: sin x =0]에서 [eqn: x= 0] 또는 [eqn: x= pi]

ⅱ) [eqn: cos x = - 1 over 2]에서 [eqn: x= 2 over 3 pi] 또는 [eqn: x= 4 over 3 pi]

따라서 모든 근의 합은 [eqn: 0+ pi + {2} over {3} pi + {4} over {3} pi =3 pi]

7. [출제의도] 두 직선이 이루는 각을 이해한다.

모서리 [eqn: rmDE`]와 모서리 [eqn: rm CB]가 평행이므로 두 모서리 [eqn: rmAC`]와 [eqn: rmDE`]가 이루는 각은 두 모서리 [eqn: rmAC`]와 [eqn: rmCB`]가 이루는 각과 같다. 따라서 [eqn: theta = pi over 3]이므로 [eqn: cos theta = 1 over 2]

8. [출제의도] 조건부 확률을 이용하여 실생활 문제를 해결한다.

	남학생	여학생	계
전통문화 체험	[eqn: 130]	[eqn: 90]	[eqn: 220]
수학 체험	[eqn: 100]	[eqn: 80]	[eqn: 180]
계	[eqn: 230]	[eqn: 170]	[eqn: 400]

이 학교 학생 [eqn: 400`]명 중에서 임의로 한 학생을 선택하였을 때, 수학 체험을 희망한 학생일 사건을 [eqn: A`]라 하고, 여학생일 사건을 [eqn: B`]라 하면

[eqn: rm P( it B vert A)= {rm P( it A SMALLINTER B)} over {rm P( it A)} = {{80} over {400}} over {{180} over {400}} = {4} over {9}]

9. [출제의도] 치환적분을 이해한다.

[eqn: 2x=t]라 하면 [eqn: 2 = dt over dx]이므로

[eqn: int _{0} ^{2} {f(2x)dx} `= {1} over {2} int _{0} ^{4} {} f(t)dt][eqn: = {1} over {2} LEFT { int _{0} ^{3} {f(x)dx} + int _{3} ^{4} {f(x)dx} RIGHT }]

[eqn: = {1} over {2} LEFT { 6+(-2) RIGHT }` =2]

10. [출제의도] 분수부등식과 함수의 그래프 사이의 관계를 이해한다.

[eqn: g(x) over f(x) geq 1`]에서 [eqn: f(x)g(x)geq left{ f(x) right}^2]이고 [eqn: f(x) neq 0]

즉, [eqn: f(x) left{ f(x) - g(x) right} leq 0]이고 [eqn: f(x) neq 0]

ⅰ) [eqn: f(x) >0]이고 [eqn: f(x) leq g(x)]인 경우

[eqn: f(x) >0]이면 [eqn: -6< x < 0] 또는 [eqn: x>6]

[eqn: f(x) leq g(x)]이면 [eqn: x leq `-4] 또는 [eqn: 2 leq x leq 6]

∴ [eqn: -6 < x leq -4]

ⅱ) [eqn: f(x) <0]이고 [eqn: f(x) geq g(x)]인 경우

[eqn: f(x) <0]이면 [eqn: x < -6] 또는 [eqn: 0 < x < 6]

[eqn: f(x) geq g(x)]이면 [eqn: -4 leq x leq 2] 또는 [eqn: x geq 6]

∴ [eqn: 0 < x leq 2]

따라서 구하는 정수는 [eqn: -5 ,~ -4 ,~ 1,~2]의 [eqn: 4]개이다.

11. [출제의도] 이항분포와 정규분포 사이의 관계를 이해한다.

사과의 무게 [eqn: X`]는 정규분포 [eqn: N(400,`50 ^{2} )]을 따른다.

1등급 상품이 될 확률은

[eqn: rmP(it X GEQ 442)=rm P left(it Z ``GEQ {442-400} over {50} right)][eqn: rm=P(it Z GEQ 0.84)][eqn: =0.2]

사과 [eqn: 100]개 중 [eqn: 1]등급 상품의 개수 [eqn: Y`]는 이항분포 [eqn: B(100,`0.2)]를 따르고 근사적으로 [eqn: N(20,`4 ^{2} )]을 따른다.

[eqn: rmP it(Y GEQ 24)=rm P itleft(Z GEQ {24-20} over {4} right)][eqn: rm=P(it Z GEQ 1)][eqn: =0.16]

12. [출제의도] 로그함수와 관련된 실생활 문제를 해결한다.

[eqn: 10= C``log {10(30-6)} over {6(30-10)} `]에서 [eqn: C``= {10} over {log`2} `]

[eqn: T```= rm {10} over {log`2} ` CDOT log {15(30-6)} over {6(30-15)} `][eqn: =20`]

13. [출제의도] 포물선의 정의를 이용하여 도형과 관련된 문제를 해결한다.

[eqn: ANGLE rm EFB= {pi } over {3} `]이고 [eqn: bar{rm BF it} = bar{rm BE it}]이므로 [eqn: TRIANGLE rm BEF]는 정삼각형이다. [eqn: bar{rm FC it} `=6]이므로 [eqn: bar{rm FB it} = bar{rm FE it} =2bar{rm FC it}= 12]

[eqn: bar{rm AF it} = bar{rm AD it}]이고 [eqn: ANGLE rm DAE= {pi } over {3} `]이므로 [eqn: bar{rm AE it} =2 bar{rm AD it}=2 bar{rm AF it}]에서 [eqn: 3 bar{rm AF it} = 12] 즉, [eqn: bar{rm AF it} = 4]

∴ [eqn: TRIANGLE ` rm AFB][eqn: =][eqn: {1} over {2} CDOT 4 CDOT 12 CDOT {sqrt {3}} over {2} =12 sqrt {3}]

14. [출제의도] 수학적 귀납법을 이용하여 수열의 일반항을 구하는 과정을 설명한다.

[eqn: a _{n+1} =2a _{n} +n+1`]에서 [eqn: n`]에 [eqn: n+1`]을 대입하면

[eqn: a _{n+2} =2a _{n+1} +n+1+1`]이므로 [eqn: f(n)=n+2`]

[eqn: a_n][eqn: =1+ {4(2 ^{n-1} -1)} over {2-1} `-(n-1)][eqn: =2 ^{n+1} -n-2]이므로

[eqn: g(n)=`-n-2`] ∴ [eqn: f(5)-g(5)=7-(-7)`][eqn: =14`]

15. [출제의도] 함수와 정적분의 관계를 이해한다.

(나)에서 [eqn: int _{} ^{} {}_0 ^{pi over 2} f(t) dt =k]라 두면 [eqn: g(x) =k cos x +3]

(가)에서 [eqn: x=0]을 대입하면 [eqn: -k =(k+3+a)cdot0 -2]이므로 [eqn: k=2]이고, [eqn: x= pi over 2]를 대입하면 [eqn: 0=(3+a)cdot1 -2]이므로 [eqn: a=`-1]이다. 따라서 [eqn: g(x) = 2cos x +3]이므로

[eqn: int _ {piover2} ^x f(t) dt = (2cosx+2) sin x -2]

[eqn: f(x) =` -2 sin ^2 x + (2cos x +2 )cos x] ∴ [eqn: f(0) = 4]

16. [출제의도] 지수함수와 로그함수의 성질을 이용하여 도형과 관련된 문제를 해결한다.

두 사각형이 합동이고 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rm`Q]가 직선 [eqn: y=x`] 위의 점이므로 [eqn: rm P( it `k,~k)`], [eqn: rmQ(it`2k,~2k)`]이다.

따라서 [eqn: a ^{k} `=`k`], [eqn: a ^{2k`} =`2k`]이므로 [eqn: 2k=a ^{2k} `][eqn: =(a ^{k} ) ^{2} `][eqn: =k ^{2} `]에서 [eqn: k=2`]이다. [eqn: a ^{2} =2] ∴ [eqn: a= sqrt {2} `]

17. [출제의도] 행렬의 성질을 추론한다.

ㄱ. [eqn: A ^{2} B+AB ^{2} =A(A+B)B`][eqn: =E`]에서 [eqn: B`^-1 =A(A+B)`]

이므로 [eqn: B A(A+B)=E]

따라서 [eqn: (A+B) ^{-1} `=BA]로 존재한다. (참)

ㄴ. [eqn: A+B=E`]이므로 [eqn: A(A+B)B`=E`]에서 [eqn: AB=E]

[eqn: A(E-A)=E], [eqn: A ^{2} =A-E`]

[eqn: A ^{3} =AA ^{2} `][eqn: =A(A-E)`][eqn: =A ^{2} -A`][eqn: =-E`] (거짓)

ㄷ. [eqn: BA(A+B)=E`]에서 [eqn: BA ^{2} +BAB` =E`]이므로

[eqn: BA ^{2} +BAB` = A^2 B + AB^2], [eqn: BAB` = AB^2]

양변의 오른쪽에 [eqn: B ^{-1} `]을 곱하면 [eqn: AB=BA`] (참)

18. [출제의도] 삼수선의 정리를 이해한다.

직각삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: bar{rm AB it} =2 sqrt {3}]

점 [eqn: rmB]에서 [eqn: bar{rm AP it}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면 직각삼각형 [eqn: rm ABP]에서 [eqn: bar{rm BH it} = sqrt {3}]

삼수선의 정리에 의하여 [eqn: bar{rm CH it} BOT bar{rm AP it}]이다. 따라서 직각삼각형 [eqn: rm CBH]에서 [eqn: bar{rm BC it} `=2], [eqn: bar{rm BH it}` `= sqrt {3}]이므로 [eqn: bar{rm CH it} ``= sqrt {7}]

19. [출제의도] 주어진 조건에 맞는 함수의 성질을 추론한다.

함수 [eqn: f(x)]의 증감표는 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: -1]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 0]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 1]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f` prime (x)]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f(x)]	[eqn: SEARROW]		[eqn: NEARROW]		[eqn: NEARROW]		[eqn: SEARROW]

ㄱ. [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 극값을 갖지 않는다. (거짓)

ㄴ. [eqn: f(0)=0]이면 도함수 [eqn: f` prime (x)]는 [eqn: y]축에 대하여 대칭   이므로 함수 [eqn: f(x)]는 원점 대칭이다. 따라서 극댓   값 [eqn: f(1)], 극솟값 [eqn: f(-1)]에 대하여 [eqn: f(1)=`-f(-1)]   이므로 [eqn: f(1)+f(-1)=0]이다. (참)

ㄷ. 극댓값 [eqn: f(1)]이 [eqn: 0]보다 작으므로 방정식 [eqn: f(x)=0]은    [eqn: x<` -1]인 오직 하나의 실근을 갖는다. (참)

20. [출제의도] 여러 가지 함수의 극한을 이용하여 도형과 관련된 문제를 해결한다.

[eqn: bar {rm AB } `= 2 `]이고 [eqn: angle rm A PB = pi over 2]이므로 [eqn: rm bar{PB} = 2sin theta]

[eqn: ANGLE rm QBP= pi over 2 - angle rm PQB= it {pi } over {2} - theta - {pi } over {4} = {pi } over {4} - theta]

∴ [eqn: bar {rm PQ } = bar {rm P B }cdot tan left( pi over 4 - theta right) = 2sin theta cdot tan left( pi over 4 - theta right)]

[eqn: S ( theta ) = 1 over 2 cdot 2sin theta cdot 2sin theta cdot tan left( pi over 4 - theta right) = 2sin ^2 theta `` tan left( pi over 4 - theta right)]

[eqn: lim _{theta -> +0} {} {S( theta )} over {theta ^{`2}} = lim _{theta -> +0} {} {2sin ^{2} theta ``tan LEFT ( {pi } over {4} - theta RIGHT )} over {theta ^{`2}} = lim _{theta -> +0} {} 2`tan LEFT ( {pi } over {4} - theta RIGHT ) =2]

21. [출제의도] 도형에서 무한등비급수의 합을 이해한다.

직선 [eqn: y= {1} over {sqrt {3}} x`]와 [eqn: x`]축이 이루는 각의 크기는 [eqn: {pi } over {6} `]이다. [eqn: rmTRIANGLE OO _{1} A _{1} `]은 이등변삼각형이므로 [eqn: rmANGLE OO _{1} A _{1} = {2} over {3} pi `]

따라서 [eqn: l _{1} = {2} over {3} pi `]

[eqn: rm TRIANGLE OO _{{it`n}} A _{{it`n`}} `]은 이등변삼각형이므로 [eqn: rm ANGLE OO _{{it`n`}} A _{{it`n}} = {2} over {3} pi `]

따라서 [eqn: l _{{it`n}} = {2} over {3} pi `cdot`l _{{it`n-1}}] [eqn: (n geq 2 )]

수열 [eqn: left{ {1} over {l _{n}} `right}]은 첫째항이 [eqn: {3} over {2pi} `]이고 공비가 [eqn: {3} over {2pi} `]인 등비수열이므로 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1} over {l _{n}} `][eqn: = {{3} over {2 pi }} over {1- {3} over {2pi }} `][eqn: = {3} over {2 pi -3} `]

22. [출제의도] 등차수열의 성질을 이해한다.

[eqn: a _{n} =1+(n-1) CDOT 3`][eqn: =3n-2`]에서

[eqn: a _{3} =7], [eqn: a _{5} =13]이므로 [eqn: a _{1} +a _{3} +a _{5} =21]

23. [출제의도] 무리방정식의 근을 구한다.

[eqn: 2x-3`=(x-3)^2], [eqn: x^2 - 8x +12 =0], [eqn: (x-6)(x-2)=0]

∴ [eqn: x=6] 또는 [eqn: x=2]

[eqn: x=2]가 무연근이므로 실근은 [eqn: x=6]

24. [출제의도] 이산확률분포를 이해한다.

[eqn: a+2a+3a+4a=1]에서 [eqn: a=`1 over10]

[eqn: rm P( it X=x)= {1} over {10} x], [eqn: rm E it(X)= sum _{k=1} ^{4} k CDOT {k} over {10} = 1over10 cdot {4cdot5 cdot9}over6 =3]

∴ [eqn: rm E( it 4X+7) = rm 4E (itX)+7 = 12+7 =19]

25. [출제의도] 일차변환과 역변환의 뜻을 이해한다.

일차변환 [eqn: f]를 나타내는 행렬을 [eqn: A]라 하면

[eqn: A {pmatrix{1#0}} = {pmatrix{1#2}}], [eqn: A ^{-1} {pmatrix{1#0}} = {pmatrix{0#1}}]이므로 [eqn: A {pmatrix{1#0}} = {pmatrix{1#2}}], [eqn: A {pmatrix{0#1}} = {pmatrix{1#0}}]

[eqn: A {pmatrix{1&0 #0&1}} = {pmatrix{1&1#2&0}}]이므로 [eqn: A= {pmatrix{1&1#2&0}}]

[eqn: A {pmatrix{4#3}} = {pmatrix{1&1#2&0}} {pmatrix{4#3}} = {pmatrix{7#8}}]에서 [eqn: a=7`,~`b=8]이므로 [eqn: 10a`+b`=78]

26. [출제의도] 포물선의 그래프를 이용하여 회전체의 부피를 구하는 문제를 해결한다.

두 곡선의 교점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 8(x-2)=4x]에서 [eqn: x=4]

[eqn: V= pi int _{0} ^{4} {4xdx} - pi int _{2} ^{4} {8(x-2)dx}][eqn: = pi LEFT [ 2x ^{2} RIGHT ] _{0} ^{4} - pi LEFT [ 4x ^{2} -16x RIGHT ] _{2} ^{4}][eqn: =32 pi -16 pi =16 pi] ∴ [eqn: {V} over {pi } =16]

27. [출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 도형과 관련된 문제를 해결한다.

원의 중심을 [eqn: rm`O]라 하면 [eqn: rm ANGLE POB=2 theta]

직선 [eqn: rmOP]와 선분 [eqn: rm AC]가 만나는 점을 [eqn: rm R], [eqn: rm ANGLE BAC= alpha]라 하면 [eqn: rm ANGLE PRQ= alpha +2 theta `]이고 [eqn: tan alpha`=` { 1} over { 3}]

[eqn: rm ANGLE QPR=`pi over 2 ,~][eqn: ANGLE rm PQA= {pi } over {4}`]이므로 [eqn: rm ANGLE PRQ= alpha +2 theta = {pi } over {4}]

[eqn: tan 2 theta = tan left( pi over 4 - alpha right) = {1- tan alpha}over{1+ 1 cdot tan alpha} ={ 2over3 }over{4over3 } = 1 over 2]

따라서 [eqn: 60tan2 theta =30]

28. [출제의도] 평면과 구의 위치관계를 이용하여 벡터의 내적과 관련된 문제를 해결한다.

[eqn: rm vec{BA} ` CDOT ` vec{BP} = rm vec{BA`} CDOT ( vec{BC`} + vec{CP} )][eqn: = rm vec{BA`} CDOT vec{BC`} + vec{BA`} CDOT vec{CP} ``]

[eqn: rm =6 CDOT 5 CDOT {36+25-9} over {2 CDOT 6 CDOT 5} + vec{BA`} CDOT vec{CP} =26+ vec{BA`} CDOT vec{CP}]

그런데 최대일 때의 점 [eqn: rm P]를 [eqn: rm`P _{M}], 최소일 때의 점 [eqn: rm P]를 [eqn: rm`P _{m}]이라 하면 [eqn: vec{rm `CP _{M}}], [eqn: vec{rm `CP _{m} it}]은 [eqn: vec{rm `BA it}]와 평행하고 방향이 반대이므로 [eqn: rmvec{BA`} CDOT vec{CP_M} `+ rmvec{BA`} CDOT vec{CP_m} `=0]

[eqn: rm vec{BA} ` CDOT ` vec{BP}]의 최댓값과 최솟값의 합은 [eqn: 26+26=52]

29. [출제의도] 입체도형의 형태를 추론하고 중복조합을 이용하여 경우의 수를 구한다.

[eqn: 1]층에 [eqn: 6]개를 모두 쌓은 후 남은 [eqn: 6]개를 쌓는 방법은 다음과 같다.

ⅰ) [eqn: 2]층 앞줄에 모두 [eqn: 1]개씩 쌓는 경우

[eqn: rm`_4 C_1 times _3 C_1 = 12]

ⅱ) [eqn: 2]층 앞줄 두 곳 중 한 곳에만 [eqn: 1]개를 쌓는 경우

뒷줄 네 곳 중 한 곳에 [eqn: 3]개를 쌓고 나머지 세      곳에 중복을 허락하여 [eqn: 2]개를 쌓으면 되므로

[eqn: rm` _{2} C _{1} TIMES _{4} C _{1} TIMES _{3} rm H _{2} =48]

따라서 [eqn: 12 + 48 =60]

30. [출제의도] 평면과 평면의 위치관계와 정사영을 이용하여 도형과 관련된 문제를 해결한다.

평면 [eqn: x`+`y`+`2z`=6]에 의하여 정육면체가 잘린 단면은 그림과 같다.

두 평면 [eqn: x`+`y`+`2z`=6], [eqn: z=0]의 법선벡터가 각각 [eqn: (1,~1,~2)`], [eqn: (`0,~0,~1)]이므로 두 평면이 이루는 각 [eqn: theta`]에 대하여 [eqn: root6` CDOT 1` CDOT `cos` theta `=`2], [eqn: cos`theta`=`2overroot6]

오각형 [eqn: rm`HIJKL]의 정사영이 오각형 [eqn: rm` OAJKC`]이므로

[eqn: S`cos` theta `= 14]

따라서 [eqn: S= 7root6]이므로 [eqn: S``^2 =294]