2012학년도 10월 고2 학업성취도평가

정답 및 해설(수학B)

고 2	정답 및 해설(수학)	2012학년도 10월 학업성취도평가

2012학년도 10월 학업성취도평가	정답 및 해설(수학)	고 2

23

수학 영역(B형)

정답

1	④	2	②	3	⑤	4	④	5	②
6	②	7	①	8	③	9	④	10	④
11	③	12	③	13	③	14	①	15	⑤
16	①	17	⑤	18	④	19	②	20	③
21	③	22	[eqn: 19]	23	[eqn: 8]	24	[eqn: 10]	25	[eqn: 3]
26	[eqn: 12]	27	[eqn: 20]	28	[eqn: 24]	29	[eqn: 16]	30	[eqn: 40]

해설

1. [출제의도] 지수 계산하기

[eqn: root {3} of {2} ` TIMES root {3} of {sqrt {2}} `=2 ^{{1} over {3}} TIMES 2 ^{{1} over {6}}][eqn: =2 ^{{1} over {3} + {1} over {6}} =2 ^{{1} over {2}}]         [eqn: ` THEREFORE `` sqrt {2}]

2. [출제의도] 행렬 계산하기

양변을 더하면

[eqn: 2A= {pmatrix{````````4``&````2``#-2&```6`}}]

[eqn: THEREFORE `] 행렬 [eqn: A`]의 모든 성분의 합은 [eqn: 5]

3. [출제의도] 등차수열의 등차중항 계산하기

등차수열의 등차중항의 성질을 이용하면

[eqn: a _{1} +a _{9} =2a _{5}]이므로

[eqn: a _{5} `= {9+21} over {2}]

[eqn: THEREFORE ``15`]

4. [출제의도] 삼각함수의 덧셈정리 계산하기

[eqn: (sin`165 DEG -cos`165 DEG )(sin`105 DEG +cos`105 DEG )]   [eqn: =sin165 DEG cos105 DEG -cos165 DEG sin105 DEG]

[eqn: +sin165 DEG sin105 DEG -cos165 DEG cos105 DEG]

[eqn: =sin(165 DEG -105 DEG )-cos(165 DEG +105 DEG )]

[eqn: =sin60 DEG -cos270 DEG]

[eqn: THEREFORE `` {sqrt {3}} over {2}]

5. [출제의도] 행렬과 그래프를 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

[eqn: M ^{`2} `]의 [eqn: LEFT ( i,~j RIGHT )]성분은 [eqn: i]번째 행에 해당하는 꼭짓점에서 한 개의 꼭짓점만을 지나 [eqn: j`]열에 해당하는 꼭짓점으로 가는 방법의 수이다. 따라서 [eqn: M ^{`2} `]의 [eqn: LEFT ( i,~i RIGHT )`]성분의 합은 모든 변의 개수의 [eqn: 2]배이다.

[eqn: a _{11} +a _{22} +a _{33} +a _{44} +a _{55} +a _{66`}][eqn: =2 TIMES 7]

[eqn: THEREFORE ``14]

[다른 풀이]

주어진 그래프의 점에 알파벳 순서를 부여하여 그래프의 연결 관계를 행렬로 나타내면

[eqn: rmA] [eqn: rm B] [eqn: rm C] [eqn: rm D] [eqn: rm E] [eqn: rm F]	[eqn: ``````````rm`A``B```C```D``E```F#{matrix{rm A#rm B#rm C#rm D#rm E#rm F}} it `` {pmatrix{`0`&`1``&`1``&`0``&`0``&`0`#1&0&1&0&0&0#1&1&0&1&0&1#0&0&1&0&1&0#0&0&0&1&0&1#0&0&1&0&1&0}}]
그래프	행렬 [eqn: M`]

[eqn: M ^{`2} `]에서

[eqn: a _{11} +a _{22} +a _{33} +a _{44} +a _{55} +a _{66`}]

[eqn: =2+2+4+2+2+2]

[eqn: THEREFORE ``14]

6. [출제의도] 로그부등식 이해하기

[eqn: log _{{1} over {6} `} (x-8)(x-3)`>`log _{{1} over {6}} LEFT ( {1} over {6} RIGHT ) ^{-2}]

[eqn: (x-8)(x-3)`<`36]

[eqn: (x-12)(x+1)`<`0]

[eqn: THEREFORE -1<x<12]

단, 진수조건으로부터 [eqn: x>8`]이므로

[eqn: 8<x<12]인 정수 [eqn: x]는 [eqn: 9,```10,```11]이다.

[eqn: THEREFORE ``x]의 개수는 [eqn: 3]

7. [출제의도] 분수부등식 이해하기

[eqn: -2]

[eqn: -1]

[eqn: 0]

[eqn: 4]

[eqn: 3`]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: y=g(x)]

[eqn: y=g(x-1)]

[eqn: 1]

[eqn: y=g(x)]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동하여 [eqn: f(x)`g(x-1) GEQ 0`],

[eqn: g(x-1) != 0`]을 만족시키는 해를 구하면,

[eqn: -2 LEQ x<1`]이므로 주어진 부등식을 만족시키는 정수 [eqn: x`]는 [eqn: -2,``-1,```0]이다.

[eqn: THEREFORE ``x]의 개수는 [eqn: 3]

8. [출제의도] 행렬의 성질 추론하기

ㄱ. [eqn: A(A+2E)=-E] 이므로

[eqn: A ^{-1} `=-A-2E]   [eqn: THEREFORE `]참

ㄴ. [eqn: A ^{2} -2AB-A=O`]의 양변에

[eqn: `A ^{-1} `]를 곱하면

[eqn: A-2B-E=O]

[eqn: A=2B+E] 이므로

[eqn: AB=(2B+E)B=2B ^{2} +B=B(2B+E)]

[eqn: =BA`]  [eqn: THEREFORE `]참

ㄷ. ㄴ에서 [eqn: A=2B+E`]이므로 [eqn: B= {1} over {2} (A-E)`]

[eqn: B ^{`2`} = {1} over {4} (A-E)(A-E)`]

[eqn: = {1} over {4} (A ^{2} -2A+E)`][eqn: =-A`]   [eqn: THEREFORE `]거짓

9. [출제의도] 로그함수를 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

[eqn: C _{`1} `= {1} over {5} `log _{`k} `4`= {2} over {5} `log _{`k} `2``],

[eqn: C` _{2`} = {1} over {10} `log` _{k} `2`] 이므로 [eqn: C _{`1} `=4C` _{`2} `]

[eqn: THEREFORE `a=4`]

10. [출제의도] 행렬과 그래프 이해하기

[eqn: G _{3} `]의 변의 개수는 모두 [eqn: 18`]개이므로 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의 모든 성분의 합은 [eqn: 36`]이다.

[eqn: THEREFORE `36`]

11. [출제의도] 주어진 규칙을 이용하여 수열의 일반항 추론하기

[eqn: a _{1} =4`]

[eqn: a _{2} =a _{1} +4]
[eqn: a _{3} =a _{2} +5]
[eqn: VDOTS]
[eqn: a _{n+1} =a _{n} +(n+3)]이므로
[eqn: a _{n} =a _{1} + sum _{k=1} ^{n-1} (k+3)]                              [eqn: =4+ {(n-1)n} over {2} +3(n-1)]

[eqn: = {n^2 +5n +2 } over2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a _{10`}][eqn: =76`]

12. [출제의도] 로그방정식을 이용하여 수학  내적 문제 해결하기

[eqn: a=10 ^{m} ,```b=10 ^{n} `]이라 하면,

주어진 방정식으로부터

[eqn: mn+m+n=1]

[eqn: (m+1)(n+1)=2]

[eqn: m,``n]이 정수이므로 방정식을 만족시키는

[eqn: m,``n]을 순서쌍으로 표현하면 [eqn: (m`,`n`)]은

[eqn: (1,`0),``(0,``1),``(-2,``-3`)`,``(-3,`-2)]이다.

[eqn: m+n`]의 값이 최대일 때

[eqn: ab=10 ^{m} `10 ^{n`} `=10 ^{m+n}]의 값이 최대가 된다.

[eqn: THEREFORE ``]최댓값은 [eqn: 10]

13. [출제의도] 순서도 이해하기

[eqn: S= sum _{k=1} ^{15} {1} over {sqrt {k} + sqrt {k+1}}]

[eqn: = sum _{k=1} ^{15} LEFT ( - sqrt {k} + sqrt {k+1} RIGHT )]

[eqn: =`- sqrt {1} + sqrt {16}][eqn: =-1+4`]

[eqn: THEREFORE ``3]

14. [출제의도] 여러 가지 수열 연역적 추론하기

[eqn: a _{1} +a _{2} + CDOTS +a _{n} =S _{n}]이라 하면

[eqn: 3S _{n} =(n+2)a _{n} `]                [eqn: CDOTS CDOTS `]㉠

[eqn: 3S _{n+1} =(`n+3`)a _{n+1} `]          [eqn: CDOTS CDOTS `]㉡

㉡-㉠에서

[eqn: 3(S` _{n+1} `-S _{n} )=3`a _{n+1} ``]이므로

[eqn: 3`a _{n+1} `=(n+3)a _{n+1} `-(n+2)`a _{n} `]

[eqn: 0=`na _{n+1} `-(n+2)a _{n}]

[eqn: {a _{n+1}} over {n+2} `= {a _{n}} over {BOX{``n``}} `]이므로 [eqn: f(n)=n`]

양변을 [eqn: n+1]로 나누면

[eqn: {a _{n+1}} over {(n+1)(n+2) _{}} `= {a _{n}} over {BOX{``n(n+1)``}} ``]이므로

[eqn: g(n)=n(n+1)`]

[eqn: b _{n} = {a _{n}} over {n(n+1)} `]이라 하면

[eqn: b _{n+1} =b _{n} `]

이므로 [eqn: b _{n} =b _{n-1} =` CDOTS `=b _{1} `]이다.

따라서 [eqn: {a _{n}} over {n(n+1)} `= {a _{1}} over {1․2} `]이므로

[eqn: h(n)=` {n(n+1)} over {2} `]

[eqn: THEREFORE ``f(1)+g(2)+h(3)=13`]

15. [출제의도] 로그함수 이해하기

[eqn: `a,``3,```b`]는 공차가 [eqn: d`]인 등차수열이므로

[eqn: a+b=6`] [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: S _{1} = {1} over {2} d LEFT (log _{`2`} a+log` _{2`} 3 RIGHT )]

[eqn: S _{2} = {1} over {2} d LEFT( log _{`2`} b+log _{`2`} 3 RIGHT ) `]

[eqn: S` _{2} `-S _{`1} =d`]이므로

[eqn: log` _{2} b`-log _{`2`} a=2]

[eqn: {b} over {a} =4] [eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉠과 ㉡을 연립하면 [eqn: `a= {6} over {5} ,~b= {24} over {5} `]

∴ [eqn: `d= {9} over {5} `]

16. [출제의도] 등비수열을 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

현악기의 현의 개수를 [eqn: n]이라 하면

모든 현의 길이의 합이 [eqn: 36]이하이므로

[eqn: 10+10․ {3} over {4} + CDOTS +10 LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{n-1} ` LEQ 36]

[eqn: {10 LEFT { 1- LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{n} RIGHT }} over {1- {3} over {4}} LEQ 36]

[eqn: 1- LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{n} LEQ {9} over {10}]

[eqn: n`log LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ` GEQ log`10 ^{-1}]

[eqn: n LEQ {-1} over {log`3-2`log`2} =8]

[eqn: n]의 최댓값은 [eqn: 8]이다.

[eqn: THEREFORE ``][eqn: x=3 TIMES (8-1)=21]

17. [출제의도] 수열의 극한 추론하기

[eqn: S _{n} = {n LEFT { 4+(n-1)2 RIGHT }} over {2}][eqn: =n(n+1)`]

[eqn: S _{2n} = {2n LEFT { 4+(2n-1)2 RIGHT }} over {2}][eqn: =2n(2n+1)`]

[eqn: T _{n} =][eqn: {4n+2} over {n+1}][eqn: =4- {2} over {n+1} `]

ㄱ. [eqn: T _{1} = {4+2} over {1+1} =3`]   [eqn: THEREFORE `]참

ㄴ. [eqn: T _{n+1} -T _{n}][eqn: = {2} over {n+1} - {2} over {n+2} `>0] 이므로
[eqn: T _{n} <T _{n+1} `]   [eqn: THEREFORE `]참

ㄷ. [eqn: lim _{n -> INF } {T _{n} = lim _{n` -> ` INF } {`} LEFT ( 4- {2} over {n+1} RIGHT ) `=4``}]   [eqn: THEREFORE `]참

18. [출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: a _{1} =5`], [eqn: a _{n+1} = {1} over {2} a _{n} +2`]이므로

[eqn: a _{n+1} -4= {1} over {2} (a _{n} -4)`], [eqn: a _{1} -4=1`]

[eqn: a _{n} -4= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1}]

[eqn: log` {1} over {a _{n} -4} =log``2 ^{n-1}]

[eqn: n=1`,``2`,``3`,``4`]일 때

[eqn: LEFT [ log`1 RIGHT ] =` CDOTS `= LEFT [ log`8 RIGHT ] =0]

[eqn: n=5`,``6`,``7`]일 때

[eqn: LEFT [ log`16 RIGHT ] =` CDOTS `= LEFT [ log`64 RIGHT ] =1`]

[eqn: n=8`,``9`,``10`]일 때

[eqn: LEFT [ log`128 RIGHT ] =` CDOTS `= LEFT [ log`512 RIGHT ] =2]

[eqn: THEREFORE ``3+6=9]

19. [출제의도] 수열의 합의 성질 추론하기

[eqn: 10`]개의 [eqn: a _{1} ,``a _{2} ,`` CDOTS ,`a _{10} `]중에 [eqn: 1`]의 개수를 [eqn: p], [eqn: -1`]의 개수를 [eqn: q]라 하면 (가)에 의해

[eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k} = sum _{k=1} ^{10} a _{k} ^{```3} =p-q`], [eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k} ^{```2} = sum _{k=1} ^{10} a _{k} ^{```4} =p+q]

(나)에 의해 [eqn: p-q+p+q=10]이므로 [eqn: p=5]

(다)에 의해 [eqn: (p-q)(p+q)=16]이므로 [eqn: q=3]

따라서, [eqn: sum _{k=1} ^{10} {a _{k}} over {3 ^{k}} `]이 최대가 되는 수열은

[eqn: 1,~1,~1,~1,~1,~0,~0,~-1,~-1,~-1`]이므로

홀수 번째 항들의 합은

[eqn: THEREFORE ``1+1+1+0+(-1)`=2]

20. [출제의도] 수열의 극한을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: 6 ^{`n} =2 ^{n`} 3 ^{`n} ``]이므로

전체 약수의 개수는 [eqn: (n+1) ^{2}]

전체 약수 중 홀수는 [eqn: 3 ^{`n`}]의 약수이므로 [eqn: g(n)=n+1]

전체 약수 중 짝수의 개수는 [eqn: 2 ^{n} 3 ^{n}]의 전체 약수의 개수에서 홀수의 개수를 빼면 되므로

[eqn: f(n)=(n+1) ^{2} -(n+1)=n(n+1)]

[eqn: a _{n} `=f(n)-g(n)`][eqn: =n(n+1)-(n+1)][eqn: =n ^{2} -1`]

[eqn: sum _{n=2} ^{INF } ` {1} over {a _{n}} `][eqn: = lim _{n -> INF } {} sum _{k=2} ^{n} {1} over {k ^{2} -1}]                     [eqn: = lim _{n -> INF } {} sum _{k=2} ^{n} {1} over {2} LEFT ( {1} over {k-1} - {1} over {k+1} RIGHT )][eqn: = {1} over {2} lim _{n -> INF } {} LEFT ( 1+ {1} over {2} - {1} over {n} - {1} over {n+1} RIGHT )]

[eqn: THEREFORE `` sum _{n=2} ^{INF } ` {1} over {a _{n}} ` _{`} `= {3} over {4} `]

21. [출제의도] 수열의 합을 이용하여 수학 내적 문제해결하기

[eqn: S _{`2} =3`]

[eqn: S _{`3} =3+3=3`․`2`]

[eqn: S _{`4} =3+6+3=3`․`2 ^{2} ``]

[eqn: VDOTS]

[eqn: S _{n} =3`․`2 ^{n-2}] 이므로

[eqn: sum _{n=2} ^{11} S _{n} `= sum _{n=2} ^{11} 3`․`2 ^{n-2} `]

[eqn: = {3(2 ^{10} -1)} over {2-1}]

[eqn: THEREFORE `` sum _{n=2} ^{11} S _{n} `=3069`]

22. [출제의도] 무한급수와 일반항 사이의 관계를 이용하여 계산하기

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } (a _{n} -19)=2012`]로 수렴하므로

[eqn: lim _{n`-> ` INF } {(a _{n} -19)=0`}]

[eqn: THEREFORE `` lim _{n` -> ` INF } {`a _{n} =19`}]

23. [출제의도] 지수방정식 이해하기

[eqn: a ^{2x} -9a ^{x} +8=0`]에서 [eqn: a ^{x} =t(t>0)`]로 놓으면 [eqn: t ^{2} -9t+8=0`]

[eqn: a ^{2x} -9a ^{x} +8=0`]의 두 근을 [eqn: alpha ,`` beta `]라 하면

이차방정식 [eqn: t ^{2} -9t+8=0`]의 두 근은 [eqn: a ^{alpha } ,```a ^{beta } `]

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: a ^{alpha } a ^{beta } =8], 즉 [eqn: a^{alpha +beta} =8]이고 [eqn: alpha + beta =2`]이므로 [eqn: a^2 =8]

[eqn: THEREFORE ``8]

24. [출제의도] 무리방정식 이해하기

[eqn: sqrt {x ^{2} +2x-2} =t`] ([eqn: t GEQ 0`])라 하면,

[eqn: x ^{2} +2x=t ^{2} +2`]이므로

주어진 식은 [eqn: t ^{2} +2+t=4`]이다.

[eqn: t ^{2} +t-2=0`]

[eqn: t=-2,~1``]에서

[eqn: t=1`]이므로

[eqn: x ^{2} +2x-3 =0`]에서 [eqn: alpha+ beta=-2,`` alpha beta= -3]

[eqn: THEREFORE ``alpha ^{2} + beta ^{`2} =10]

25. [출제의도] 역행렬과 연립일차방정식의 관계 이해하기

[eqn: {pmatrix{```````a&```a#-2&```a}} {pmatrix{x#y}} `= {pmatrix{0&`-1#1&``````7}} {pmatrix{x#y}} + {pmatrix{2a-3#3}} `]

[eqn: {pmatrix{```````a&```a#-2&```a}} {pmatrix{x#y}} - {pmatrix{0&`-1#1&``````7}} {pmatrix{x#y}} `= {pmatrix{2a-3#3}} `]

[eqn: {pmatrix{```````a&```a+1#-3&```a-7}} {pmatrix{x#y}} `= {pmatrix{2a-3#3}} `]의 해가 존재하지

않으려면 [eqn: {pmatrix{```````a&```a+1#-3&```a-7}} `]의 역행렬이 존재하지 않아야 한다.

[eqn: a(a-7)+3(a+1)=0]

[eqn: a=1] 또는 [eqn: a=3`]

[eqn: a=1`]인 경우, [eqn: {pmatrix{```````1&``````````2#-3&```-6}} {pmatrix{x#y}} = {pmatrix{-1#```````3}} `]이 되어 해가 무수히 많다.

[eqn: a=3`]인 경우, [eqn: {pmatrix{```````3&``````````4#-3&```-4}} {pmatrix{x#y}} = {pmatrix{3#3}} `]이 되어 해가   없다.

[eqn: THEREFORE ```a=3`]

26. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수 이해하기

[eqn: log` {5 ^{10}} over {2 ^{30}} =`(-3)+0.96`]이므로 [eqn: n=3]

[eqn: log``9=0.9542`]이므로 [eqn: log`9`<0.96<`log``10]

[eqn: m=9]

[eqn: THEREFORE `m+n=12`]

27. [출제의도] 합의 기호의 성질 이해하기

[eqn: sum _{k=1} ^{30} a _{k} = sum _{k=1} ^{10} a _{3k} + sum _{k=1} ^{10} a _{3k-1} + sum _{k=1} ^{10} a _{3k-2}]이고

[eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{3k-2} =a _{1} + sum _{k=1} ^{9} a _{3k+1}]을 만족한다.

따라서, [eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{3k} =21-`a _{1} `]

[eqn: THEREFORE ``20`]

28. [출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: ANGLE rmOLM= ANGLE rmPLN``][eqn: ( BECAUSE `]맞꼭짓각[eqn: )]

[eqn: TRIANGLE rmLNP]와 [eqn: TRIANGLE rm LMO]는 닮음이므로 [eqn: ANGLE rmLOM``= alpha `]

피타고라스 정리에 의해 [eqn: bar{rmOL} =2 sqrt {5} `] 이고,

[eqn: TRIANGLE rmLOM`]과 [eqn: TRIANGLE rmNOQ]의 닮음비가 [eqn: 2:3`]이므로

[eqn: bar{rmLN} `= sqrt {5}]

[eqn: TRIANGLE rmLNP]와 [eqn: TRIANGLE rmLMO]는 닮음이므로 [eqn: bar{rmPN} `=2 sqrt {5}]

[eqn: tan` alpha = {1} over {2} `,```tan` beta = {2} over {3} `]이므로

[eqn: tan( beta - alpha )= {tan beta -tan alpha } over {1+tan` beta `tan alpha } = {1} over {8}]

[eqn: THEREFORE `` {3} over {tan( beta - alpha )} `=24]

29. [출제의도] 지수함수를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: bar{rm AB it} `=4 ^{n} -2 ^{n} `]

직선 [eqn: y=x`]가 [eqn: x`]축과 이루는 각의 크기가 [eqn: {pi } over {4} `]이므로 [eqn: bar{rm CD it} = {4 ^{n} -2 ^{n}} over {sqrt {2}} `],

점과 직선사이의 거리 공식에 의해

[eqn: rm bar{BD} =`][eqn: {2 ^{n} -n} over {sqrt {2}} `],  [eqn: bar{rm AC it} `][eqn: =][eqn: {4 ^{n} -n} over {sqrt {2}} `]

[eqn: S _{n} = {1} over {2} {4 ^{n} -2 ^{n}} over {sqrt {2}} LEFT ( {2 ^{n} -n} over {sqrt {2}} + {4 ^{n} -n} over {sqrt {2}} RIGHT ) `]

[eqn: S _{n} = {LEFT ( 4 ^{n} -2 ^{n} RIGHT ) (4 ^{n} +2 ^{n} -2n)} over {4}]이다.

[eqn: THEREFORE `` lim _{n -> INF } {{S _{n+1}} over {S _{n}}} =16]

30. [출제의도] 무한급수를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: r _{1} `]

[eqn: r` _{1}]

그림으로부터 [eqn: R _{1} `]의 한 원의 반지름의 길이를 [eqn: r _{1} ``]이라 하면, [eqn: r _{1} + sqrt {2} r _{1} =1`]이므로

[eqn: r _{1} = sqrt {2} -1`]이다.

아래 그림은 [eqn: R _{n+1`}]의 일부이다.

[eqn: a _{n} `]

[eqn: a _{n+1} `]

[eqn: r _{n} `]

[eqn: {a _{n}} over {sqrt {2}} `]

[eqn: R _{n}]에서 생긴 사각형의 한 변의 길이를 [eqn: a _{n`}]이라 하고, [eqn: R _{n+1} `]에서 생긴 사각형의 한 변의 길이를 [eqn: a _{n+1}], [eqn: R _{n} `]에서 생긴 원의 반지름의 길이를 [eqn: r _{n} `]이라 하자.

[eqn: (]빗변의 길이가 [eqn: a _{n`}]인 삼각형의 넓이[eqn: )][eqn: =]

[eqn: {1} over {2} r _{n} LEFT ( a _{n} + {a _{n}} over {sqrt {2}} + {a _{n}} over {sqrt {2}} RIGHT ) = {1} over {2} ․ {a _{n}} over {sqrt {2}} ․ {a _{n}} over {sqrt {2}}]

[eqn: r _{n} LEFT ( a _{n} + sqrt {2} a _{n} RIGHT ) = {a _{n} ^{```2}} over {2}]

[eqn: r _{n} = {a _{n}} over {2(1+ sqrt {2} )}]

[eqn: 2r _{n} ^{````2} =a _{n+1} ^{```2}]이므로

[eqn: 2 LEFT ( {a _{n}} over {2(1+ sqrt {2} )} RIGHT ) ^{2} =a _{n+1} ^{``2}]

[eqn: a _{n+1} = {LEFT ( 2- sqrt {2} RIGHT )} over {2} `a _{n} `]이다.

그러므로, [eqn: R _{n} `]에서 생긴 사각형과 [eqn: R _{`n+1}]에서 생긴 사각형의 닮음비는 [eqn: 1: {2- sqrt {2}} over {2} `]이므로

[eqn: R _{n} `]에서 생긴 한 개의 원과 [eqn: R _{`n+1}]에서 생긴 한 개의 원의 닮음비도 [eqn: 1: {2- sqrt {2}} over {2} `]이고,

넓이의 비는 [eqn: 1: {3-2 sqrt {2}} over {2} `]이다.

한번 시행할 때마다 원의 개수가 [eqn: 2`]배씩 늘어나므로 [eqn: S _{n} `]은 처음 두 개의 원의 넓이의 합

[eqn: 2 pi ( sqrt {2} -1) ^{2} `]을 첫째항으로 하고, [eqn: 2 TIMES {3-2 sqrt {2}} over {2} `]를 공비로 하는 등비수열의 합이다.

[eqn: lim _{n` -> INF } {S _{n} `= {2 pi ( sqrt {2} -1) ^{2`}} over {1-(3-2 sqrt {2} )} `= LEFT ( -1+ sqrt {2} RIGHT ) pi }]

[eqn: THEREFORE ``20(q-p)=40`]