◦ 자신이 선택한 유형(‘A’형 / ‘B’형)의 문제지인지 확인하시오.

◦ 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 정확히 쓰시오.

◦ 답안지의 해당란에 성명과 수험 번호를 쓰고, 또 수험 번호와 답을 정확히 표시하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면, 그 ‘0’ 도 답란에 반드시 표시하시오.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

2012학년도 10월 고2 학업성취도평가 문제지

수학 영역 (B형)

성명			수험 번호						2

제 2 교시

고 2	수학 영역 (B형)

	수학 영역 (B형)	고 2

12

12

1. [eqn: root {3} of {2`} TIMES root {3} of {sqrt {2}} `]의 값은? [[eqn: 2`]점]

① [eqn: root {6} of {2}]     ② [eqn: root {4} of {2}]     ③ [eqn: root {3} of {2}]     ④ [eqn: sqrt {2}]     ⑤ [eqn: 2 sqrt {2}]

2. 두 행렬 [eqn: A`], [eqn: B`]에 대하여

[eqn: A`+B`= {pmatrix{``````3&```1``#-1`&```4``}} `], [eqn: A`-B`= {pmatrix{````````1&`````1``#`-1&````2``}} `]

가 성립할 때, 행렬 [eqn: A`]의 모든 성분의 합은? [[eqn: 2`]점]

①	[eqn: 4]	②	[eqn: 5]	③	[eqn: 6]	④	[eqn: 7]	⑤	[eqn: 8]

3. 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여 [eqn: a _{1} =9`], [eqn: a _{9} =21`]일 때, [eqn: a _{5} `]의 값은?

[[eqn: 2`]점]

①	[eqn: 11`]	②	[eqn: 12`]	③	[eqn: 13`]	④	[eqn: 14`]	⑤	[eqn: 15`]

4. [eqn: (sin`165°-cos`165°)(sin`105°+cos`105°)`]의 값은? [[eqn: 3`]점]

① [eqn: 0]       ② [eqn: {1} over {2}]       ③ [eqn: {sqrt {2}} over {2}]       ④ [eqn: {sqrt {3}} over {2}]       ⑤ [eqn: 1]

5. 그림은 [eqn: 10`]월에 대한민국의 남서쪽 하늘에서 볼 수 있는 별자리인 거문고자리를 단순화시켜 [eqn: 6`]개의 별을 꼭짓점으로 하고, 각 꼭짓점을 그림과 같이 연결한 선을 변으로 하여 나타낸 그래프이다. 이 그래프의 연결 관계를 나타내는 행렬 [eqn: M`]에 대하여 행렬 [eqn: M ^{2} `]의 [eqn: (i,~j)`]성분을 [eqn: a _{ij} `]라 할 때, [eqn: a _{11} +a _{22} +a _{33} +a _{44} +a _{55} +a _{66`} `]의 값은? [[eqn: 3`]점]

①	[eqn: 12]	②	[eqn: 14]	③	[eqn: 16]	④	[eqn: 18]	⑤	[eqn: 20]

6. 로그부등식

[eqn: log _{{1} over {6}} (x-8)+log _{{1} over {6}} (x-3)`>-2`]

를 만족시키는 정수 [eqn: x`]의 개수는? [[eqn: 3`]점]

①	[eqn: 1]	②	[eqn: 3]	③	[eqn: 5]	④	[eqn: 7]	⑤	[eqn: 9]

7. 두 이차함수 [eqn: y=f(x)`]와 [eqn: y=g(x)`]의 그래프가 그림과 같을 때, 분수부등식 [eqn: {f(x)} over {g(x-1)} GEQ 0`]을 만족시키는 정수 [eqn: x`]의 개수는?

[[eqn: 3`]점]

[eqn: rmO]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: -2]

[eqn: 3]

[eqn: y=g(x)`]

[eqn: y=f(x)`]

[eqn: 4]

①	[eqn: 3`]	②	[eqn: 4`]	③	[eqn: 5`]	④	[eqn: 6`]	⑤	[eqn: 7`]

8. 두 이차정사각행렬 [eqn: A`], [eqn: B`]가 다음 두 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: A ^{2} +2A+E=O`]

(나) [eqn: A ^{2} -2AB-A=O`]

이때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: O`]는 영행렬, [eqn: E`]는 단위행렬이다.) [[eqn: 3`]점]

	<보 기>
ㄱ. 행렬 [eqn: A`]의 역행렬이 존재한다. ㄴ. [eqn: AB``=BA`] ㄷ. [eqn: B `` ^{2} `=A`]

	①	ㄱ	②	ㄷ	③	ㄱ, ㄴ
	④	ㄴ, ㄷ	⑤	ㄱ, ㄴ, ㄷ

9. 연기 속을 투과하는 빛의 양을 측정하여 연기의 농도를 표시하는 연기감광계수 [eqn: C`]는 광원으로부터 측정기계까지의 거리를 [eqn: L`], 연기가 없을 때 광원으로부터 측정기계까지 도착한 빛의 세기를 [eqn: I _{0}`], 연기가 있을 때 광원으로부터 측정기계까지 도착한 빛의 세기를 [eqn: I`]라 할 때, 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.

[eqn: C`= {1} over {L} `log ` _{k} ` {I _{0}} over {I} `]  ([eqn: k>1`]인 상수)

[eqn: L=5`], [eqn: I= {1} over {4} I _{0}`]일 때의 연기감광계수를 [eqn: C _{1} `]이라 하고, [eqn: L=10`], [eqn: I= {1} over {2} I _{0}`]일 때의 연기감광계수를 [eqn: C _{2} `]라 할 때, [eqn: C _{1} `]은 [eqn: C` _{2} `]의 [eqn: a`]배이다. 상수 [eqn: a`]의 값은? [[eqn: 3`]점]

①	[eqn: 1]	②	[eqn: 2]	③	[eqn: 3]	④	[eqn: 4]	⑤	[eqn: 5]

[10～11] 자연수 [eqn: boldn`]에 대하여 그림과 같이 [eqn: boldn`]층 계단 모양으로 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 그린 그래프를 [eqn: boldG _{n} `]이라 하자. 10번과 11번의 두 물음에 답하시오.

			[eqn: CDOTS]
[eqn: G _{1}]	[eqn: G _{2}]	[eqn: G _{3}]	[eqn: CDOTS]

10. [eqn: G _{3} `]의 연결 관계를 나타내는 행렬의 모든 성분의 합은?

[[eqn: 3`]점]

①	[eqn: 30`]	②	[eqn: 32`]	③	[eqn: 34`]	④	[eqn: 36`]	⑤	[eqn: 38`]

11. 수열 [eqn: LEFT { `a _{`n} ` RIGHT } `]을

[eqn: a _{n} =`][eqn: (] [eqn: G _{it `n rm } `]의 꼭짓점의 개수 [eqn: )]

로 정의할 때, [eqn: a _{`10} `]의 값은? [[eqn: 3`]점]

①	[eqn: 72`]	②	[eqn: 74`]	③	[eqn: 76`]	④	[eqn: 78`]	⑤	[eqn: 80`]

12. 함수 [eqn: y=10 ^{x} `]의 그래프 위에 [eqn: x`]좌표가 정수인 두 점 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`]가 있다. 두 점 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`]의 [eqn: y`]좌표를 각각 [eqn: a`], [eqn: b`]라 하자.

[eqn: LEFT ( log`a RIGHT ) ` LEFT ( log`b RIGHT ) +log`a+log`b=1`]

을 만족시키는 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: ab`]의 최댓값은? [[eqn: 3`]점]

① [eqn: 10 ^{-5}]     ② [eqn: 10 ^{-1}]     ③ [eqn: 10]     ④ [eqn: 10 ^{3}]     ⑤ [eqn: 10 ^{5}]

13. 다음 순서도에서 인쇄되는 [eqn: S`]의 값은? [[eqn: 3`]점]

예

시작

[eqn: S`` larrow ``S`+ {1} over {sqrt {n} + sqrt {n+1}}]

[eqn: n=15?]

[eqn: S`]를 인쇄

끝

[eqn: n`` larrow ``n+1]

[eqn: n`` larrow `1# S`` larrow `0]

아니오

①	[eqn: 1]	②	[eqn: 2]	③	[eqn: 3]	④	[eqn: 4]	⑤	[eqn: 5]

14. 첫째항이 [eqn: 1`]인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]이

[eqn: 3(a _{1} +a _{2} + CDOTS +a _{n} )=(n+2)a _{n`} ````(n=1`,```2`,```3`,` CDOTS )`]

을 만족시킬 때, 다음은 일반항 [eqn: a _{`n} `]을 구하는 과정이다.

	[eqn: a _{1} +a _{2} + CDOTS +a _{n} =S _{n}]이라 하면 [eqn: 3S _{n} =(n+2)a _{n} `] [eqn: CDOTS CDOTS `㉠] [eqn: 3S _{n+1} =(`n+3`)a _{n+1} `] [eqn: CDOTS CDOTS `㉡] 이고, [eqn: ㉡`]에서 [eqn: ㉠`]을 뺀 식으로부터 [eqn: {a _{n+1}} over {n+2} = {a _{n}} over {BOX{````(가)````}}] 양변을 [eqn: n+1]로 나누면 [eqn: {a _{n+1}} over {(n+1)(n+2)} = {a _{n}} over {BOX{````(나)````}}] 이다. [eqn: b _{n} = {a _{n}} over {BOX{```(나)```}} `]이라 하면 [eqn: b _{n+1} =b _{n} `] 이므로 [eqn: b _{n} =b _{n-1} =` CDOTS `=b _{1} `]이다. 따라서, [eqn: a _{n} = BOX{```(다)````}]이다.

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)`], [eqn: g(n)`], [eqn: h(n)`]이라 할 때,  [eqn: f(1)+g(2)+h(3)`]의 값은? [[eqn: 4`]점]

①	[eqn: 13`]	②	[eqn: 15`]	③	[eqn: 17`]	④	[eqn: 19`]	⑤	[eqn: 21`]

15. 세 직선 [eqn: x=a`], [eqn: x=3`], [eqn: x=b`]가 곡선 [eqn: y=log _{2} `x`] 및 [eqn: x`]축과 만나는 점을 꼭짓점으로 하는 두 개의 사각형을 그림과 같이 만들고 이들 사각형의 넓이를 왼쪽부터 차례로 [eqn: S _{1} `], [eqn: S _{2} `]라 하자. [eqn: a`], [eqn: 3`], [eqn: b`]가 이 순서대로 공차가 [eqn: d`]인 등차수열을 이루고 [eqn: S _{2} -S _{1} =d`]일 때, [eqn: d`]의 값은? (단, [eqn: 1<a<3<b`]) [[eqn: 4`]점]

[eqn: rmO]

[eqn: a]

[eqn: 3]

[eqn: b]

[eqn: y=log` _{2} `x]

[eqn: y`]

[eqn: S _{1}]

[eqn: S _{2}]

[eqn: x`]

① [eqn: {7} over {5}]       ② [eqn: {3} over {2}]       ③ [eqn: {8} over {5}]       ④ [eqn: {17} over {10}]       ⑤ [eqn: {9} over {5}]

16. 현악기의 현은 두 현의 길이의 비가 [eqn: 4`:`3`]이면 짧은 현이 내는 음은 긴 현이 내는 음보다 [eqn: 3`]도 높다고 한다.
길이가 [eqn: 36`]인 줄을 잘라 그림과 같은 현악기를 만들려고 한다.
가장 긴 현의 길이가 [eqn: 10`]이고 각 현들의 길이는 차례대로 공비가 [eqn: { 3} over {4 }`]인 등비수열을 이루며 현의 개수가 가장 많도록 현악기를 만들 때, 가장 짧은 현이 내는 음은 가장 긴 현이 내는 음보다 [eqn: x`]도 높다. [eqn: x`]의 값은? (단, [eqn: log`2=0.301`], [eqn: log`3=0.477`]로 계산하고, 줄을 고정시키는 길이는 무시한다.) [[eqn: 4`]점]

①	[eqn: 21`]	②	[eqn: 27`]	③	[eqn: 33`]	④	[eqn: 39`]	⑤	[eqn: 45`]

17. 첫째항이 [eqn: 2`], 공차가 [eqn: 2`]인 등차수열의 첫째항부터 제[eqn: n`]항까지의 합 [eqn: S _{n} `]에 대하여 수열 [eqn: "{"T _{n} "}"]을 [eqn: T _{n} = {S _{2n}} over {S _{n}} `]이라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [[eqn: 4`]점]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: T _{1} =3`] ㄴ. [eqn: T _{n} <T _{n+1} `] ㄷ. [eqn: lim _{n` -> ` INF } {T _{n} =4`}]

	①	ㄱ	②	ㄷ	③	ㄱ, ㄴ
	④	ㄴ, ㄷ	⑤	ㄱ, ㄴ, ㄷ

18. [eqn: a _{1} =5`], [eqn: a _{n+1} = {1} over {2} a _{n} +2````(n=1,``2,``3,``` CDOTS )`]으로 정의된 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{10} LEFT [ log {1} over {a _{n} -4} RIGHT ] `]의 값은? (단, [eqn: LEFT [ x RIGHT ] `]는 [eqn: x`]보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [[eqn: 4`]점]

①	[eqn: 3]	②	[eqn: 5]	③	[eqn: 7]	④	[eqn: 9]	⑤	[eqn: 11]

19. 유한수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]은 다음 세 조건을 만족한다.

(가) [eqn: a _{i} ` IN LEFT { -1,~0,~1 RIGHT } `] ([eqn: i=1`,~2`,~3`,` CDOTS ,`10`])

(나) [eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k} + sum _{k=1} ^{10} a _{k} ^{````2} =10`]

(다) [eqn: LEFT ( sum _{k=1} ^{10} a _{k} ^{````3} RIGHT ) LEFT ( sum _{k=1} ^{10} a _{k} ^{````4} RIGHT ) `=16`]

이때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} {a _{k}} over {3 ^{k}} `]의 값을 최대가 되게 하는 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 모든 홀수 번째 항들의 합은? [[eqn: 4`]점]

①	[eqn: 1]	②	[eqn: 2]	③	[eqn: 3]	④	[eqn: 4]	⑤	[eqn: 5]

20. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: 6 ^{n`} `]의 모든 양의 약수 중 짝수의 개수를 [eqn: f(n)`], 홀수의 개수를 [eqn: g(n)`]이라 할 때, 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]을

[eqn: a _{n} `=f(n)-g(n)`]

으로 정의하자. [eqn: sum _{n=2} ^{INF } ` {1} over {a _{n}} `]의 값은? [[eqn: 4`]점]

① [eqn: {1} over {4}]       ② [eqn: {1} over {2}]       ③ [eqn: {3} over {4}]       ④ [eqn: 1]       ⑤ [eqn: {5} over {4}]

21. 모든 자연수 [eqn: i`], [eqn: j`]에 대하여 제[eqn: i`]행과 제[eqn: j`]열이 만나는 위치에 있는 수를 [eqn: a _{ij} `]라 할 때, 다음과 같은 규칙으로 수를 나열한다.

[규칙[eqn: 1]] [eqn: i=1`]또는 [eqn: j=1`]이면 [eqn: a _{ij} =3`]

[규칙[eqn: 2]] [eqn: i != 1`]이고 [eqn: j != 1`]이면 [eqn: a _{ij} =a _{i(j-1)} `+`a _{(i-1)j} `]

	제[eqn: 1]열 제[eqn: 2]열 제[eqn: 3]열 제[eqn: 4]열 제[eqn: 5]열 제[eqn: 6]열 [eqn: CDOTS]
제[eqn: 1]행
제[eqn: 2]행
제[eqn: 3]행
제[eqn: 4]행
[eqn: VDOTS]

[eqn: 2`] 이상인 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: i+j=n`]을 만족시키는 모든 [eqn: a _{ij} `]의 합을 [eqn: S _{n} `]이라 하자. 예를 들어, [eqn: S _{2} =3`], [eqn: S _{3} =3+3`], [eqn: S _{4} =3+6+3`]이다. [eqn: sum _{n=2} ^{11} S _{n} `]의 값은? [[eqn: 4`]점]

	①	[eqn: 2889`]	②	[eqn: 2979`]	③	[eqn: 3069`]
	④	[eqn: 3159`]	⑤	[eqn: 3249`]

단답형(22～30)

22. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (a _{n} -19)=2012`]일 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {a _{n} `}]의 값을 구하시오. [[eqn: 3`]점]

23. 지수방정식 [eqn: a ^{2x} -9a ^{x} +8=0`]의 두 실근의 합이 [eqn: 2`]일 때, [eqn: a ^{2} `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a`]는 [eqn: 1`]이 아닌 양수이다.) [[eqn: 3`]점]

24. 무리방정식 [eqn: x ^{2} +2x+ sqrt {x ^{2} +2x-2} =4`]의 두 근을 [eqn: alpha `], [eqn: beta `]라 할 때, [eqn: alpha ^{2} + beta ` ^{2} `]의 값을 구하시오. [[eqn: 3`]점]

25. [eqn: x`], [eqn: y`]에 대한 연립방정식 [eqn: {pmatrix{```````a&```a#-2&```a}} {pmatrix{x#y}} = {pmatrix{0&`-1#1&``````7}} {pmatrix{x#y}} + {pmatrix{2a-3#3}} `]의 해가 존재하지 않도록 하는 상수 [eqn: a`]의 값을 구하시오. [[eqn: 3`]점]

26. [eqn: {5 ^{10}} over {2 ^{30}} `]은 소수점 아래 [eqn: n`]번째 자리에서 처음으로 [eqn: 0`]이 아닌 숫자 [eqn: m`]이 나타난다. 이때, [eqn: m+n`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: log`2=0.3010`], [eqn: log`3=0.4771`]로 계산한다.) [[eqn: 4`]점]

27. [eqn: a _{1} =1`]인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]이

[eqn: sum _{k=1} ^{30} a _{k} = sum _{k=1} ^{10} a _{3k-1} + sum _{k=1} ^{9} a _{3k+1} +21`]

을 만족시킨다. [eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{3k} `]의 값을 구하시오. [[eqn: 4`]점]

28. 그림과 같이 서로 다른 세 반직선 [eqn: rm OX`], [eqn: rm OA`], [eqn: rm OB`]가 있다. 반직선 [eqn: rm OB`] 위의 점 [eqn: rmP`]에서 두 반직선 [eqn: rmOX`], [eqn: rm OA`] 위로 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmM`], [eqn: rmN`]이라 하고 [eqn: rmN`]에서 반직선 [eqn: rm OX`] 위에 내린 수선의 발을 [eqn: rmQ`], 선분 [eqn: rmPM`]과 선분 [eqn: rmON`]의 교점을 [eqn: rmL`]이라 하자.

[eqn: bar{rm OM it} =4`], [eqn: rm bar{MQ} =2`], [eqn: bar{rm LM it} =2`]이고 [eqn: ANGLE rm LPN= alpha `], [eqn: ANGLE rm LOP= beta `]라 할 때, [eqn: {3} over {tan( beta - alpha )} `]의 값을 구하시오.

[eqn: LEFT ( eqalign{`# `} RIGHT .]	단, [eqn: 0< ANGLE rm XOA< ANGLE rm XOB`< {pi } over {2}]	[eqn: LEFT . eqalign{`# `} RIGHT )]	[[eqn: 4`]점]

[eqn: rm `M]

[eqn: rm `N]

[eqn: rm `Q`]

[eqn: rm `B`]

[eqn: rm `L`]

[eqn: rm `P`]

[eqn: rm ` alpha `]

[eqn: rm ` beta `]

[eqn: rm`A`]

[eqn: rm `O`]

[eqn: rmX`]

29. 그림과 같이 자연수 [eqn: n`]에 대하여 직선 [eqn: x`=n`]이 두 곡선 [eqn: y=4 ^{x} `], [eqn: y=2 ^{x} `]과 만나는 점을 각각 [eqn: rm A`], [eqn: RMB`]라 하고, 두 점 [eqn: rm A`], [eqn: RMB`]에서 직선 [eqn: y=x`] 위에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm C`], [eqn: rm D`]라 하자. 사각형 [eqn: rm ABDC`]의 넓이를 [eqn: S _{n} `]이라 할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{S _{n+1}} over {S _{n}}} `]의 값을 구하시오. [[eqn: 4`]점]

[eqn: rm`A`]

[eqn: rm `B`]

[eqn: rm `C`]

[eqn: rm `O`]

[eqn: x=n`]

[eqn: y=4 ^{x} `]

[eqn: rm`D`]

[eqn: x`]

[eqn: y`]

[eqn: y=2 ^{x} `]

[eqn: y=x`]

30. 한 변의 길이가 [eqn: 2`]인 정사각형이 있다. 그림과 같이 정사각형의 한 변과 두 대각선에 접하는 원 [eqn: 4`]개를 그리고 그 중 [eqn: 2`]개의 원 내부를 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1} `]이라 하자.

그림 [eqn: R _{1} `]에서 색칠하지 않은 [eqn: 2`]개의 원에 각각 내접하는 정사각형 [eqn: 2`]개를 그린다. 새로 그려진 [eqn: 2`]개의 정사각형 각각에 그림 [eqn: R _{1} `]을 얻은 것과 같은 방법으로 원을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2} `]라 하자.

그림 [eqn: R _{2} `]에서 색칠하지 않은 [eqn: 4`]개의 원에 각각 내접하는 정사각형 [eqn: 4`]개를 그린다. 새로 그려진 [eqn: 4`]개의 정사각형 각각에 그림 [eqn: R _{1} `]을 얻은 것과 같은 방법으로 원을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{3} `]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n} `]에서 색칠된 부분의 넓이를 [eqn: S _{n} `]이라 할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} ``S _{n} = LEFT ( p+q` sqrt {2} RIGHT ) pi `]이다. 이때, [eqn: 20(q-p)`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 유리수이다.) [[eqn: 4`]점]

			[eqn: CDOTS]
[eqn: R _{1} `]	[eqn: R _{2} `]	[eqn: R _{3} `]	[eqn: CDOTS]

* 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.