2012학년도 10월 고2 학업성취도평가

정답 및 해설(수학A)

고 2	정답 및 해설(수학)	2012학년도 10월 학업성취도평가

2012학년도 10월 학업성취도평가	정답 및 해설(수학)	고 2

23

수학 영역(A형)

정답

1	④	2	①	3	②	4	④	5	②
6	①	7	③	8	②	9	⑤	10	②
11	①	12	④	13	②	14	③	15	⑤
16	①	17	③	18	③	19	⑤	20	④
21	⑤	22	[eqn: 24]	23	[eqn: 55]	24	[eqn: 16]	25	[eqn: 12]
26	[eqn: 30]	27	[eqn: 42]	28	[eqn: 50]	29	[eqn: 7]	30	[eqn: 26]

해설

1. [출제의도] 행렬 계산하기

[eqn: 2A`+B= LEFT ( {matrix{`4&````1``#`2&``2}} RIGHT )]

[eqn: THEREFORE `]모든 성분의 합은 [eqn: 9]

2. [출제의도] 로그 계산하기

[eqn: log _{`4} `2`+ {log _{`3} `8} over {log` _{3} `4} =log _{``4`} 2+log _{``4} 8=log _{``4} 16=2]

[eqn: THEREFORE `][eqn: 2`]

3. [출제의도] 지수방정식을 이용하여 수학  내적 문제 해결하기

[eqn: 3 ^{x} =t(t>0)]라 하면

[eqn: 9t ^{2} -10t+1=0`]

[eqn: t=1,~ {1} over {9}]에서 [eqn: x=`0,`-2]

[eqn: THEREFORE ``]두 실근의 합은 [eqn: -2]

4. [출제의도] 등비수열 계산하기

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 공비를 [eqn: r`]이라 하면

[eqn: a _{2} +a _{4} +a _{6} =r LEFT ( a _{1} +a _{3} +a _{5} RIGHT ) `]이므로 [eqn: r=2]

이때, [eqn: a _{1} +a _{3} +a _{5} =a+4a+16a=63`]이므로

[eqn: `a=3`]

[eqn: THEREFORE ``][eqn: a _{8} =3 TIMES 2 ^{7} =384`]

5. [출제의도] 행렬과 그래프를 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

[eqn: M ^{`2} `]의 [eqn: LEFT ( i,~j RIGHT )]성분은 [eqn: i]번째 행에 해당하는 꼭짓점에서 한 개의 꼭짓점만을 지나 [eqn: j`]열에 해당하는 꼭짓점으로 가는 방법의 수이다. 따라서 [eqn: M ^{`2} `]의 [eqn: LEFT ( i,~i RIGHT )`]성분의 합은 모든 변의 개수의 [eqn: 2]배이다.

[eqn: a _{11} +a _{22} +a _{33} +a _{44} +a _{55} +a _{66`}][eqn: =2 TIMES 7]

[eqn: THEREFORE ``14]

[다른 풀이]

주어진 그래프의 점에 알파벳 순서를 부여하여 그래프의 연결 관계를 행렬로 나타내면

[eqn: rmA] [eqn: rm B] [eqn: rm C] [eqn: rm D] [eqn: rm E] [eqn: rm F]	[eqn: ``````````rm`A``B```C```D``E```F#{matrix{rm A#rm B#rm C#rm D#rm E#rm F}} it `` {pmatrix{`0`&`1``&`1``&`0``&`0``&`0`#1&0&1&0&0&0#1&1&0&1&0&1#0&0&1&0&1&0#0&0&0&1&0&1#0&0&1&0&1&0}}]
그래프	행렬 [eqn: M`]

[eqn: M ^{`2} `]에서

[eqn: a _{11} +a _{22} +a _{33} +a _{44} +a _{55} +a _{66`}]

[eqn: =2+2+4+2+2+2]

[eqn: THEREFORE ``14]

6. [출제의도] 등차수열의 합 이해하기

[eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} + CDOTS +a _{20} = {20(2d+19d)} over {2} =420`]

[eqn: THEREFORE d=2]

7. [출제의도] 지수함수와 로그함수 그래프  이해하기

[eqn: y=3 ^{x}]

[eqn: y=x]

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: 4]

[eqn: rm O]

[eqn: 4]

[eqn: b]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=log _{2} x]

위 그래프에서 [eqn: 3 ^{a} =4`]이므로

[eqn: a=log `_{3} `4], [eqn: b=log _{`2} `4=2]

[eqn: THEREFORE ``a+b=2+2log _{3} 2]

8. [출제의도] 로그의 정의 이해하기

i) (밑조건) [eqn: p != 1,``p>0]

ii) (진수조건)

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x ^{2} -px+4>0`]이려면

[eqn: D=p ^{2} `-16`<0]이므로 [eqn: -4<p<4]이다.

i)와 ii)에 의해, 정수 [eqn: p`]는 [eqn: 2,~3`]

[eqn: THEREFORE ``]만족시키는 정수의 개수는 [eqn: 2`]

9. [출제의도] 역행렬과 연립일차방정식의 해

이해하기

점 [eqn: A _{n`} (`t _{n} `,~n)`]에서 [eqn: log _{``2`} `x=n`]이 되는 [eqn: x`]좌표는 [eqn: 2 ^{n} `]

[eqn: {pmatrix{```t _{n} ` ^{2} +32&```````-12``#t _{n}&``````-1`}} {pmatrix{``x``#`y`}} = {pmatrix{`0`#```0```}}]에서 [eqn: x=0,~y=0]

이외의 해를 가지려면 역행렬이 존재하지 않아야 하므로 [eqn: t _{n} `^{2} -12t _{n} +32=0]

[eqn: `t _{n} =4,~8]

[eqn: t _{n} =2 ^{n} `]이므로 [eqn: n=2,~3]

[eqn: THEREFORE ``][eqn: n`]의 값의 합은 [eqn: 5]

10. [출제의도] 등비수열을 이용하여 추론하기

[eqn: b _{n} =3 ^{n}]이므로 [eqn: S _{5} = {3(3 ^{5} -1)} over {3-1}]

[eqn: THEREFORE `S _{5} `=363]

11. [출제의도] 지수방정식을 이용한 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: rm A it (k,``2 ^{k} ), rm ``B it LEFT ( -k,``2 ^{k} RIGHT ) ,``` rm C it LEFT ( k,`` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{k} RIGHT ) , rm ``D it (0,``1)]

[eqn: P _{k} = {1} over {2} `․`2k(2 ^{k} -1)], [eqn: Q _{k} = {1} over {2} k LEFT ( 2 ^{k} - LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{k} RIGHT )]에서

[eqn: {1} over {2} `․`2k(2 ^{k} -1)= {3} over {2} `․` {1} over {2} k LEFT ( 2 ^{k} - LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{k} RIGHT )]

[eqn: 2 ^{k} =t(t>0)]라 하고 양변에 [eqn: t`]를 곱하여 정리하면

[eqn: t ^{2} -4t+3=0], [eqn: t=1,``3]

[eqn: THEREFORE k=log _{2} 3``(k>0)]

12. [출제의도] 로그방정식을 활용한 수학

외적 문제 해결하기

처음 부피를 [eqn: V _{0}], 처음 압력을 [eqn: P _{0}]라 하면

[eqn: log`V _{0} =C``- {2} over {3} `log`P _{0}] [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: log`4V _{0} =C``- {2} over {3} `log`kP` _{0}] [eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉡ - ㉠을 풀면

[eqn: log`4=- {2} over {3} `log``k]

[eqn: THEREFORE `k= {1} over {8}]

13. [출제의도] 행렬을 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

[eqn: A`]제과점에서 빵과 과자를 갑이 [eqn: x`]번, 을이 [eqn: y`]번 구입한 후 갑이 지불한 금액과 을이 지불한 금액의 합은 [eqn: 22400`]원이므로

[eqn: (`700x+2 TIMES 500x`)+(`3 TIMES 700y+500y`)=22400]

[eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: B`]제과점에서 빵과 과자를 갑이 [eqn: x`]번, 을이 [eqn: y`]번 구입한 후 갑이 지불한 금액과 을이 지불한 금액의 합은 [eqn: 23200`]원이므로

[eqn: (`800x+2 TIMES 400x`)+(`3 TIMES 800y+400y`)=23200]

[eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉠, ㉡을 행렬을 이용하여 나타내면

[eqn: {pmatrix{``700 TIMES 1+500 TIMES 2``&```````700 TIMES 3+500 TIMES 1```#``800 TIMES 1+400 TIMES 2``&````800 TIMES 3+400 TIMES 1}} {pmatrix{x#y}}]

[eqn: = {pmatrix{````22400````#23200}}]

[eqn: THEREFORE ``](가)에 알맞은 행렬은 [eqn: PR`]

14. [출제의도] 로그방정식의 근의 개수

추론하기

[eqn: log`x`]의 지표를 [eqn: n`], 가수를 [eqn: alpha `]라 하면

[eqn: (log {`x}) ^{2} - LEFT [ (log {`x}) ^{2} RIGHT ] =(n+ alpha ) ^{2} - LEFT [ (n+ alpha ) ^{2} RIGHT ]`]             [eqn: = BOX{``````2n``````} ``` TIMES alpha + alpha ^{2} - LEFT [ 2n alpha + alpha ^{2} RIGHT ] `]

이고 [eqn: (log {`x}- LEFT [ log {`x} RIGHT ] ) ^{2} = alpha ^{2}`]이다.

방정식 (★)은 [eqn: BOX{``````2n``````} ``` TIMES alpha = LEFT [ 2n alpha + alpha ^{2} RIGHT ] `]이므로

[eqn: 2n alpha `]는 정수이고, [eqn: log`x`]의 가수 [eqn: alpha `]는

[eqn: {0} over {2n} `], [eqn: {1} over {2n} `], [eqn: ` CDOTS `], [eqn: {2n-1} over {2n} `]이다.

[eqn: 10 LEQ x<10 ^{7}`]에서 [eqn: 1 LEQ log {`x}<7`]이므로

[eqn: log`x`]의 지표 [eqn: n`]의 범위는 [eqn: 1 LEQ n LEQ 6`]이다.

[eqn: 1 LEQ n LEQ 6`]인 각각의 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: log`x=n+ {k} over {2n} ``] ([eqn: k=0,`1,`2,`` CDOTS `,`2n-1`])이다.

자연수 [eqn: n=1,`2,`3,`4,`5,`6`]에 대하여 방정식 (★)의 근의 개수는 각각 [eqn: 2n`]개이다.

따라서 방정식 (★)의 근의 개수는

[eqn: 2+4+6+8+10+12=42]이다.

방정식 (★)의 근의 개수는 [eqn: BOX{``````42``````} `]개이다.

위의 과정에서

[eqn: f(n)=2n`], [eqn: p=42`]

[eqn: THEREFORE ``f(p)=f(42)=84`]

15. [출제의도] 로그함수 이해하기

[eqn: `a,``3,```b`]는 공차가 [eqn: d`]인 등차수열이므로

[eqn: a+b=6`] [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: S _{1} = {1} over {2} d LEFT (log _{`2`} a+log` _{2`} 3 RIGHT )]

[eqn: S _{2} = {1} over {2} d LEFT( log _{`2`} b+log _{`2`} 3 RIGHT ) `]

[eqn: S` _{2} `-S _{`1} =d`]이므로

[eqn: log` _{2} b`-log _{`2`} a=2]

[eqn: {b} over {a} =4] [eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉠과 ㉡을 연립하면 [eqn: `a= {6} over {5} ,~b= {24} over {5} `]

∴ [eqn: `d= {9} over {5} `]

16. [출제의도] 등비수열을 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

현악기의 현의 개수를 [eqn: n]이라 하면

모든 현의 길이의 합이 [eqn: 36]이하이므로

[eqn: 10+10․ {3} over {4} + CDOTS +10 LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{n-1} ` LEQ 36]

[eqn: {10 LEFT { 1- LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{n} RIGHT }} over {1- {3} over {4}} LEQ 36]

[eqn: 1- LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{n} LEQ {9} over {10}]

[eqn: n`log LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ` GEQ log`10 ^{-1}]

[eqn: n LEQ {-1} over {log`3-2`log`2} =8]

[eqn: n]의 최댓값은 [eqn: 8]이다.

[eqn: THEREFORE ``][eqn: x=3 TIMES (8-1)=21]

17. [출제의도] 거듭제곱근의 대소 관계 이해하기

[eqn: 0< {a} over {b} <1]이므로 [eqn: A= LEFT ( {a} over {b} RIGHT ) ^{{9} over {12}} < LEFT ( {a} over {b} RIGHT ) ^{{8} over {12}} =C]

[eqn: {a} over {b} - {b} over {a ^{2}} = {a ^{3} -b ^{2}} over {a ^{2} b} <0]이므로 [eqn: {a} over {b} < {b} over {a ^{2}} <1]이다.

[eqn: C= LEFT ( {a} over {b} RIGHT ) ^{{2} over {3}} < LEFT ( {b} over {a ^{2}} RIGHT ) ^{{2} over {3}} =B]

[eqn: THEREFORE ``] [eqn: A<C<B]

18. [출제의도] 행렬의 성질 추론하기

[eqn: A IN M,``B` IN M]이므로

ㄱ. [eqn: A= {pmatrix{a&``b#a&``b}} IN M]이므로

[eqn: A ^{2} `= {pmatrix{````a ^{2} +ab`````&``ab+b ^{2} ```#a ^{2} +ab&ab+b ^{2`}}} `]

[eqn: = {pmatrix{```a(a+b)`````&``b(a+b)```#```a(a+b)`````&b(a+b)`}} `= {pmatrix{``a``&b``#a&b``}}][eqn: IN `M`]

[eqn: THEREFORE] 참

ㄴ. [eqn: A= {pmatrix{a&``b#a&``b}} IN M], [eqn: B= {pmatrix{c&```d#c&``d}} IN M]이므로

[eqn: AB= {pmatrix{`a&``b``#`a&`b`}} {pmatrix{``c``&d``#c&d`}} = {pmatrix{``c(a+b)&```d(a+b)``#``c(a+b)&`d(a+b)}}]

[eqn: = {pmatrix{``c```&d``#c``&d``}} `=B]

[eqn: BA= {pmatrix{`c`&```d``#c&`d}} {pmatrix{`a`&```b``#a&`b}} `= {pmatrix{`a`&```b``#a&`b}}][eqn: =A]

[eqn: THEREFORE]거짓

ㄷ. [eqn: (A+B) ^{2} =2(A+B)]이므로
[eqn: (A+B) ^{10} = LEFT ( A+B RIGHT ) ^{2} (A+B) ^{8} `]

[eqn: =2 LEFT ( A+B RIGHT ) ^{9}]
[eqn: =2 ^{2} (A+B) ^{8}]
[eqn: VDOTS]
[eqn: =2 ^{9} LEFT ( A+B RIGHT )]         [eqn: THEREFORE]참

19. [출제의도] 역행렬을 이용하여 추론하기

[eqn: {pmatrix{`2~&-3`#`1~&-1`}} `][eqn: {pmatrix{``a~&{3} over {2} `#``a~&b`}} `][eqn: = {1} over {2} E`]에서

[eqn: {pmatrix{``a~&{3} over {2} `#``a~&b`}} `][eqn: = {1} over {2} {pmatrix{``-1``&`3``#-1&2`}} `]이므로

[eqn: a=- {1} over {2} ,```b=1]이다.

[eqn: y= {1} over {2} x]

[eqn: rmP]

[eqn: rm Q]

[eqn: rmO]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm R]

[eqn: rm R]는 직선 [eqn: y= {1} over {2} x`]위의 점이고

선분 [eqn: rm PQ]는 [eqn: y= {1} over {2} x]와 평행하므로

밑변은 선분 [eqn: rm PQ`]의 길이 [eqn: sqrt {5} `]이고

높이는 [eqn: {LEFT | {3} over {2} -4 RIGHT |} over {sqrt {5}} = {sqrt {5}} over {2}]이다.

따라서 삼각형 [eqn: rm PQR]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} ․ sqrt {5} ․ {sqrt {5}} over {2} = {5} over {4}]이다.

[eqn: THEREFORE `]넓이는 [eqn: {5} over {4}]

20. [출제의도] 상용로그의 지표의 성질 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: 100]이하의 자연수 [eqn: x,``y]에 대하여

i)[eqn: LEFT [ log _{} x]=0 RIGHT .], [eqn: LEFT [ log _{} y]=2 RIGHT .]일 때,

[eqn: 1 LEQ x<10], [eqn: y=100]

[eqn: THEREFORE (x,``y)]의 개수는 [eqn: 9]

ii)[eqn: LEFT [ log _{} x]=1 RIGHT .], [eqn: LEFT [ log _{} y]=1 RIGHT .]일 때,

[eqn: 10 LEQ x<100], [eqn: 10 LEQ `y<100]

[eqn: THEREFORE (x,``y)]의 개수는 [eqn: 8100]

iii)[eqn: LEFT [ log _{} x]=2 RIGHT .], [eqn: LEFT [ log _{} y]=0 RIGHT .]일 때,

[eqn: x=100], [eqn: 1 LEQ y<10]

[eqn: THEREFORE (x,``y)]의 개수는 [eqn: 9]

[eqn: THEREFORE ``]순서쌍 [eqn: (x,``y)]의 개수는 [eqn: 8118]

21. [출제의도] 수열 추론하기

ㄱ. [eqn: 2 ^{a _{n}} =2 ^{a+(n-1)d}][eqn: =2 ^{a} ·2 ^{(n-1)d}]

[eqn: =2 ^{a} · LEFT ( 2 ^{d} RIGHT ) ^{(n-1)}]이므로

수열 [eqn: LEFT { 2 ^{a _{n}} RIGHT } `]는 공비가 [eqn: 2 ^{d} `]인 등비수열  [eqn: THEREFORE `]참

ㄴ. [eqn: S _{2n} -S _{2n-1} =a _{2n}][eqn: =a+(2n-1)d`]

[eqn: =a+d+(n-1)·(2d)]이므로

수열 [eqn: LEFT { S _{2n} -S _{2n-1} RIGHT } `]는 공차가 [eqn: 2d`]인 등차수열

[eqn: THEREFORE `]참

ㄷ. [eqn: {2 ^{a _{n+1}}} over {4 ^{a _{n}}} =2 ^{(-a+d)+(n-1)(-d)}]

[eqn: =2 ^{(-a+d)} · LEFT ( 2 ^{-d} RIGHT ) ^{(n-1)} `]이므로

수열 [eqn: LEFT { {2 ^{a _{n+1}}} over {4 ^{a _{n}}} RIGHT } `]는 공비가 [eqn: 2 ^{-d} `]인 등비수열

[eqn: THEREFORE `]참

22. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 계산하기

[eqn: {root {3} of {6 sqrt {4}}} over {root {6} of {6}} = {root {6} of {36`․`4}} over {root {6} of {6}} = root {6} of {24}]

[eqn: THEREFORE ``a=24]

23. [출제의도] 일반항과 합의 관계 이해하기

[eqn: a _{n} =S _{n} -S _{n-1} (n GEQ 2)]이므로

[eqn: a _{n} =6n-5]

[eqn: THEREFORE ``a _{`10} =55]

24. [출제의도] 행렬 계산하기

[eqn: A` ^{2} -A`B+BA-B ^{2} ```][eqn: =(A+B)(A-B)`]이므로

[eqn: {pmatrix{``````2&````1``#-2`&```3``}}][eqn: {pmatrix{``3&```-1``#`2&~~```2``}} `][eqn: =][eqn: {pmatrix{```8&````0``#```0&```8`}} `]

[eqn: THEREFORE ``]행렬의 모든 성분의 합은 [eqn: 16`]

25. [출제의도] 지수부등식 이해하기

[eqn: 3 ^{11} `․``3 ^{-x ^{2}} <`3 ^{-10x}]에서

[eqn: 11`-x ^{2} ``<`-10x]

[eqn: (x-11)(x+1)>0]

[eqn: x<`-1``]또는[eqn: ``x>11]

[eqn: THEREFORE ``]부등식을 만족시키는 자연수 [eqn: x]의 최솟값은 [eqn: 12]

26. [출제의도] 로그방정식 이해하기

[eqn: log _{3} x=t]라 하면

[eqn: t`(t-log _{3} 2)-log _{3} {81} over {2} t+3=0`]

[eqn: t ^{`2} -4t+3=0]

[eqn: t=log _{3} x=1,~3]이므로 [eqn: x=3,~27]

[eqn: THEREFORE ``]방정식을 만족시키는 두 근의 합은 [eqn: 30`]

27. [출제의도] 로그부등식 이해하기

i) [eqn: 7-x>0], [eqn: y-5>0]

ii) [eqn: log _{2} 30`<`log _{2} LEFT ( 7-x RIGHT ) LEFT ( y-5 RIGHT ) <log _{2} 32]에서

[eqn: LEFT ( 7-x RIGHT ) LEFT ( y-5 RIGHT ) =31]([eqn: BECAUSE ``x,~y]는 자연수)

i), ii)에 의해 [eqn: 7-x=1,```y-5=31]이므로

[eqn: x=6,~y=36`]

[eqn: THEREFORE ``x+y=42]

28. [출제의도] 지수함수를 이용하여 수학

내적 문제 해결하기

점 [eqn: rm A`]의 좌표 [eqn: rm ( alpha ,~2 ^{alpha -1} )]에서

점 [eqn: rm`B`]의 [eqn: y`]좌표는 [eqn: it 4 ^{beta } =2 ^{alpha -1}]이므로 [eqn: beta= { alpha-1 over {2 }`]

점 [eqn: rm `D`]의 [eqn: y`]좌표는 [eqn: it 2 ^{gamma -1} =4 ^{alpha }] 이므로 [eqn: gamma =2alpha+1]

[eqn: alpha ,~{alpha -1} over {2} ,~2 alpha +1`]이 등비수열을 이루므로

[eqn: LEFT ( {alpha -1} over {2} RIGHT ) ^{2} =2 alpha ^{2} + alpha]를 풀면

[eqn: alpha = {1} over {7}] [eqn: LEFT ( alpha >0 RIGHT )]

[eqn: THEREFORE ``p ^{2} +q ^{2} =50]

29. [출제의도] 행렬과 그래프를 이용하여

수학 내적 문제 해결하기

그래프 [eqn: G]에는 한 꼭짓점에서 자기 자신으로 가는 변이 없고, 두 꼭짓점 사이에 많아야 한 개의 변이 존재하며, 모두 [eqn: 5]개의 꼭짓점이 있으므로

[eqn: 0 LEQ x LEQ 4,~0 LEQ y LEQ 4`]이다. 변이 [eqn: 1]개만 연결된꼭짓점이 있으므로 [eqn: x`]와 [eqn: y`]는 동시에 [eqn: 4`]가 될 수 없다. 세 꼭짓점에 연결된 변의 개수가 [eqn: 1,~3,~3]이므로 [eqn: x+y`]는 [eqn: 0`]과 [eqn: 1`]이 될 수 없다.

따라서 [eqn: 2 LEQ x+y LEQ 7`]이다.

또한, 꼭짓점에 연결된 변의 개수의 합은 변의 개수의 [eqn: 2]배이므로 [eqn: 1+3+3+x+y]가 짝수이다.

[eqn: x+y]는 [eqn: 3,~5,~7]이다.

[eqn: THEREFORE ``][eqn: x+y]의 최댓값은 [eqn: 7]

[참고]

[eqn: rm B]

[eqn: rm D]

[eqn: rm E]

[eqn: rm B]

[eqn: rmD]

[eqn: rm E]

[eqn: rm C]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm E]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm A]

[eqn: rm A]

[eqn: rm A]

30. [출제의도] 등비중항을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: 2x=2 LEFT ( {1} over {2} TIMES 1 ^{2} TIMES {pi } over {3} TIMES 3 RIGHT ) = pi]

[eqn: r]를 [eqn: O _{1} `]의 반지름의 길이라 하면

[eqn: y= pi r ^{2}]

[eqn: z= pi LEFT ( r+1 RIGHT ) ^{2}]이고 [eqn: 2x,``y,``z]가 이 순서대로 등비   수열을 이루므로 [eqn: pi ^{2} r ^{4} = pi ^{2} (r+1) ^{2}]이다.

[eqn: r ^{2} =r+1]이므로 [eqn: r= {1+ sqrt {5}} over {2} `(r>0)]

[eqn: p=1,~q=5]

[eqn: THEREFORE ``p ^{2} +q ^{2} =26]