◦ 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 정확히 쓰시오.

◦ 답안지의 해당란에 성명과 수험 번호를 쓰고, 또 수험 번호와 답을 정확히 표시하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면, 그 ‘0’도 답란에 반드시 표시하시오.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

2012학년도 10월 고1 학업성취도평가 문제지

수학 영역

성명			수험 번호						1

제 2 교시

고 1	수학 영역

	수학 영역	고 1

12

12

1. 집합 [eqn: A= LEFT { ``x``|```x` RIGHT .]는 [eqn: 6`]의 양의 약수[eqn: `right}`]와 서로소인 집합은?

[[eqn: 2`]점]

① [eqn: left{ 2`,```3 right}]                       ② [eqn: left{ 4`,```6 right}]

③ [eqn: left{ 1`,```3`,```5 right}]                    ④ [eqn: LEFT { `x``|```x` RIGHT .]는 [eqn: 4`]의 배수[eqn: `right}`]

⑤ [eqn: LEFT { `x``|```x` RIGHT .]는 [eqn: 7`]보다 작은 소수[eqn: `right}`]

2. 등식 [eqn: (x-1`)+(y+2)i = 2-5i`]를 만족시키는 실수 [eqn: x`,```y`]에 대하여 [eqn: xy`]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt-1 `]) [[eqn: 2`]점]

① [eqn: -21]	② [eqn: -20]	③ [eqn: -18]

④ [eqn: -16]	⑤ [eqn: -15]

3. 실수 전체의 집합에서 [eqn: 3+2sqrt2 `]의 덧셈에 대한 역원을 [eqn: x`], 곱셈에 대한 역원을 [eqn: y`]라 할 때, [eqn: x+y`]의 값은? [[eqn: 2`]점]

① [eqn: -6]               ② [eqn: -4sqrt2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 4sqrt2]              ⑤ [eqn: 6]

4. 조건 [eqn: p`], [eqn: q`], [eqn: r`]에 대하여 두 명제 [eqn: p` -> `q`], [eqn: q`` -> SIM r`] 가 모두 참일 때, 항상 참인 명제는? [[eqn: 3`]점]

① [eqn: q ``rarrow`` p]	② [eqn: p ``rarrow`` r]	③ [eqn: r ``rarrow`` SIM p]

④ [eqn: SIM r ``rarrow`` p]	⑤ [eqn: SIM q ``rarrow`` SIM r]

5. 분수식

[eqn: {1} over {(`x-2`)(`x-1`)} + {2} over {(`x-1`)(`x+1`)} + {1} over {(`x+1`)(`x+2`)} `]

을 간단히 하면 [eqn: {c} over {(x+a)(x+b)``} `]이다. 이때 [eqn: a+b+c`]의 값은?

(단, [eqn: a`,```b`,```c`]는 상수이다.) [[eqn: 3`]점]

① [eqn: 4]        ② [eqn: 5]        ③ [eqn: 6]         ④ [eqn: 7]        ⑤ [eqn: 8]

6. [eqn: rmA`]공장에서 서쪽으로 [eqn: 2 rm km`]떨어진 지점에 [eqn: rmB`]공장이 있고, [eqn: rmA`]공장에서 동쪽으로 [eqn: 2 rm km`], 남쪽으로 [eqn: 4 rm km`]떨어진 지점에 [eqn: rmC`]공장이 있다. [eqn: rmA`,```B`,```C`] 세 공장으로부터 거리가 같은 지점에 물류창고를 지을 때, 각 공장에서 물류창고까지의 거리([eqn: rm km])는? (단, 세 공장 [eqn: rmA`,```B`,```C`]와 물류창고는 동일 평면 위에 위치하며, 공장 사이의 거리는 직선으로 연결한 평면상의 거리이다.) [[eqn: 3`]점]

① [eqn: sqrt {10}]               ② [eqn: sqrt {11}]	③ [eqn: 2 sqrt {3}]

④ [eqn: sqrt {13}]                ⑤ [eqn: sqrt {14}]

7. 이차방정식 [eqn: x ^{2} -6x+7=0`]의 두 근을 [eqn: alpha`], [eqn: beta`]라고 할 때, [eqn: LEFT ( sqrt {alpha } - sqrt {beta } RIGHT ) ^{`2} `]의 값은? [[eqn: 3`]점]

① [eqn: -6-2 sqrt {7} `]       ② [eqn: -4`]	③ [eqn: 6-2 sqrt {7} `]

④ [eqn: 8`]                ⑤ [eqn: 6+2 sqrt {7}]

8. 실수 [eqn: x`]에 대하여 조건 [eqn: p`,```q`] 를 각각

[eqn: p```:` LEFT | ``x-1` RIGHT | `<a`],  [eqn: q```:` LEFT | ``x+1`` RIGHT | `<5]

라 하자. 조건 [eqn: p] 가 조건 [eqn: q] 이기 위한 필요조건이지만 충분조건은 아닐 때, [eqn: a] 의 최솟값은? [[eqn: 3`]점]

① [eqn: 3]         ② [eqn: 4]        ③ [eqn: 5]        ④ [eqn: 6]        ⑤ [eqn: 7]

9. 그림과 같이 중심각의 크기가 [eqn: 90 DEG]인 부채꼴 [eqn: rm OAB`]가 있다.  두 선분 [eqn: rmOA`], [eqn: rmOB`] 위에 각각 점 [eqn: rmP`,```Q`]를 잡고 호 [eqn: rmAB`] 위에 점 [eqn: rmR`]를 잡아 정사각형 [eqn: rmOPRQ`]를 만든다. 이 정사각형의 넓이가 [eqn: 4-2 sqrt {3} `]일 때, 호 [eqn: rmAB`]의 길이는? [[eqn: 4`]점]

[eqn: rmA]

[eqn: rm O]

[eqn: rm P]

[eqn: rm B]

[eqn: rm R]

[eqn: rm Q]

[eqn: rm R]

① [eqn: {sqrt {6} -2} over {4} pi]          ② [eqn: {sqrt {6} -2} over {2} pi]	③ [eqn: {sqrt {6} - sqrt {2}} over {4} pi]

④ [eqn: {sqrt {6} - sqrt {2}} over {2} pi]        ⑤ [eqn: {sqrt {6} -1} over {2} pi]

10. 그림과 같이 좌표평면 위에 두 직사각형 [eqn: rm OABC`], [eqn: rm FADE`]가 있다. 직선 [eqn: l`]이 두 직사각형 [eqn: rm OABC`]와 [eqn: rm FADE`]의 넓이를 모두 이등분할 때, 직선 [eqn: l`]의 기울기는? [[eqn: 3`]점]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: y]

[eqn: l]

[eqn: rmB]

[eqn: rm A` it (`6,`0)]

[eqn: rm D]

[eqn: rm E]

[eqn: rm F` it (4`,`0)]

[eqn: 3]

[eqn: rm C` it (`0,`5)]

① [eqn: -1]                 ② [eqn: - 2 over 3]	③ [eqn: - 1 over 2]

④ [eqn: - 1 over 3]                 ⑤ [eqn: - 1 over 4]

11. 세 실수 [eqn: a`,```b`,```c`] 가 다음 세 조건을 동시에 만족시킬 때, [eqn: a`,```b`,```c`]의 대소 관계를 옳게 나타낸 것은? [[eqn: 3`]점]

	(가) [eqn: a+b=0`] (나) [eqn: abc>0] (다) [eqn: a-2b=c]

①	[eqn: a<b`<c]          ② [eqn: a<c`<b]         ③ [eqn: b<a`<c]

④ [eqn: b<c`<a]          ⑤ [eqn: c<a`<b]

12. 좌표평면 위의 세 점 [eqn: rm O(`0`,```0)`], [eqn: rm A(`1`,```1)`], [eqn: rm B( it `a`,``b)`]를 꼭짓점으로 하는 정삼각형 [eqn: rmOAB`]가 있다. 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1`]을 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: a+b`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: a+b`]만큼 평행이동한 원이 선분 [eqn: rm OA`]와 만나는 점을 [eqn: rmP`]라 하자. 이때 선분 [eqn: rm {OP}]의 길이는?

[[eqn: 3`]점]

① [eqn: {-1+ sqrt {2}} over {2}]         ② [eqn: rm -1+ {3 sqrt {2}} over {4}]        ③ [eqn: -1+ sqrt { 2}]

④ [eqn: 2- sqrt { 2}]           ⑤ [eqn: {1+ sqrt {2}} over {2}]

13. 다음은 [eqn: x>1`]에 대하여 [eqn: {x` ^{2} -`x+4} over {x-1} `] 의 최솟값을 구하는 과정이다.

	[eqn: x>1] 이므로 [eqn: x-1>0] 이고 [eqn: {x` ^{2} -`x+4} over {x-1} `][eqn: = BOX{```(가)```} ``+ {4} over {x-1} +1] 이므로 [eqn: {x` ^{2} -`x+4} over {x-1} `][eqn: GEQ `2 sqrt {` BOX{```(가)```} `` TIMES {4} over {x-1}} `+1] [eqn: =BOX{```(나)```}] 단, [eqn: BOX{```(가)```} ``= {4} over {x-1}] 일 때, 등호가 성립한다. 따라서 [eqn: {x` ^{2} -`x+4} over {x-1} `] 는 [eqn: x=`][eqn: box{```(다)```}`]일 때, 최솟값 [eqn: box{```(나)```}`]를 갖는다.

위의 과정에서 (가)에 알맞은 식을 [eqn: f(`x`)`]라 하고, (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p`], [eqn: q`]라 할 때, [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) +p+q`]의 값은? [[eqn: 4`]점]

①	[eqn: 8]        ② [eqn: 9]        ③ [eqn: 10]        ④ [eqn: 11]        ⑤ [eqn: 12]

[14～15] 좌표평면 위에 세 직선

[eqn: bold{l:`5x-2y+7=0`} `]

[eqn: bold{m:`x-y+2=0`} `]

[eqn: bold{n:`ax-y+3=0`} `]

이 있다. 14번과 15번의 두 물음에 답하시오.

14. 세 직선 [eqn: l`], [eqn: m`], [eqn: n`]으로 삼각형을 만들지 못하도록 하는 모든 상수 [eqn: a`]의 값의 곱은? [[eqn: 4`]점]

① [eqn: {2} over {5}]        ② [eqn: 1]       ③ [eqn: {5} over {2}]       ④ [eqn: 5]       ⑤ [eqn: 10]

15. [eqn: a=0`]일 때, 세 직선 [eqn: l`,```m`,``n`]으로 만들어지는 삼각형의 무게중심의 좌표는? [[eqn: 3`]점]

① [eqn: LEFT ( `- {1} over {15} `,``` {5} over {3} RIGHT )]        ② [eqn: LEFT ( `- {1} over {15} `,```2 RIGHT )]        ③ [eqn: LEFT ( `- {1} over {15} `,``` {7} over {3} RIGHT )]

④ [eqn: LEFT ( ` {1} over {15} `,```2 RIGHT )]           ⑤ [eqn: LEFT ( ` {1} over {15} `,``` {7} over {3} RIGHT )]

16. 두 영양제 [eqn: A`]와 [eqn: B`]의 한 알에 함유되어 있는 비타민과 철분의 양과 한 알의 가격이 표와 같다.

구분	비타민([eqn: rmmg`])	철분([eqn: rmmg`])	한 알의 가격(원)
[eqn: A]	[eqn: 1 rm]	[eqn: 4 rm]	[eqn: 200`]
[eqn: B`]	[eqn: 3 rm]	[eqn: 1 rm]	[eqn: 300`]

두 영양제 [eqn: A`,```B`]만을 이용하여 하루에 비타민 [eqn: rm10mg`]이상, 철분 [eqn: rm18mg`]이상 섭취하고자 할 때, 필요한 최소비용은? [[eqn: 3`]점]

① [eqn: 1200`]원          ② [eqn: 1400`]원	③ [eqn: 1600`]원

④ [eqn: 1800`]원          ⑤ [eqn: 2000`]원

17. 그림과 같이 직사각형 [eqn: rm ABCD`]의 내부의 한 점 [eqn: rmP`]를 지나고 각 변에 평행한 두 직선이 직사각형의 네 변과 만나는 점을 각각 [eqn: rm E`,```F`,```G`,```H`]라 하자. 직사각형 [eqn: rm AEPH`], [eqn: rm HPGD`], [eqn: rm EBFP`], [eqn: rm PFCG`]의 넓이를 각각 [eqn: a`,```b`,```c`,```d`]라 할 때, 항상 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [[eqn: 4`]점]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rmF]

[eqn: rmA]

[eqn: rm D]

[eqn: rm P]

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: c]

[eqn: d]

[eqn: rmE]

[eqn: rm G]

[eqn: rm H]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: {a-b} over {b} ``=` {c-d} over {d}] ㄴ. [eqn: {c+d} over {a+b} ``=` {b+d} over {a+c}] ㄷ. 임의의 양의 실수 [eqn: k`]에 대하여 [eqn: {b+d} over {a+c} ``= {b+kd} over {a+kc}]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

18. 그림과 같이 [eqn: rm bar{AB} `=8`,] [eqn: rm bar{AC} `=6`]인 삼각형 [eqn: rmABC`]가 있다. 선분 [eqn: rmBC`]를 [eqn: 3``:`1`]로 내분하는 점 [eqn: rmD`]에 대하여 [eqn: rm bar{AD} `=5]일 때, 선분 [eqn: rmBC`]의 길이는? [[eqn: 4`]점]

[eqn: rmA]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: 8]

[eqn: 6]

[eqn: rm 5]

① [eqn: 5 sqrt {3}]               ② [eqn: 9]              ③ [eqn: 3 sqrt {10}]

④ [eqn: 4 sqrt {6}]               ⑤ [eqn: 10]

19. 삼차방정식 [eqn: x ^{3} +ax ^{2} -ax-1=0`]이 두 개의 음의 실근과 한 개의 양의 실근을 갖도록 [eqn: a`]의 값을 정할 때, [eqn: a`]의 최솟값은?

[[eqn: 4`]점]

① [eqn: -3]      ② [eqn: -2]      ③ [eqn: -`1]      ④ [eqn: 0]      ⑤ [eqn: 1]

20. 실수 [eqn: x`], [eqn: y`]([eqn: y GEQ 0])에 대하여 등식

[eqn: sqrt {`y-2x-6`} sqrt {y+2x} `=`- sqrt {(`y-2x-6`)(`y+2x`)}]

를 만족시키는 순서쌍 [eqn: (`x`,```y)`] 전체의 집합을 [eqn: M`]이라 하자.

임의의 실수 [eqn: k`]에 대하여 집합 [eqn: N_k`]를

[eqn: N _{k} =` LEFT { (`x+k`,```y)`|``(`x`,```y)` IN M` RIGHT } `]

이라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [[eqn: 4`]점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: (`-1`,```1)` IN `M`] ㄴ. [eqn: (`-1`,```1)` IN `M`` SMALLINTER `N _{1} `] ㄷ. 집합 [eqn: M` SMALLINTER N _{k} =emptyset`]이 되도록 하는 [eqn: k`]의 값의 범위는 [eqn: LEFT | ``k`` RIGHT | ``>3`]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

21. 원 [eqn: (`x-4`) ^{`2} +(`y-4`) ^{`2} =16`]위를 움직이는 점 [eqn: rm P( it `x`,``` it y)`]를 직선 [eqn: y=x `]에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rm Q`]라 하자. 점 [eqn: rmP`,```Q`]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm P prime], [eqn: rm Q'`]라 할 때, [eqn: rm LEFT | `` bar{PP'} - bar{QQ prime } ` RIGHT | `]의 최댓값은? [[eqn: 4`]점]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: y]

[eqn: y=x]

① [eqn: 3 sqrt {3}]              ② [eqn: 4 sqrt {2}]	③ [eqn: 4 sqrt {3}]

④ [eqn: 5 sqrt {2}]              ⑤ [eqn: 3 sqrt {6}]

단답형(22～30)

22. [eqn: a-b=2`], [eqn: ab=1`]일 때, [eqn: a ^{`3} -`b ^{`3} `]의 값을 구하시오. [[eqn: 3`]점]

23. 이차방정식 [eqn: 2x ^{2} +(k-1)x+18=0`]이 중근을 갖도록 하는 자연수 [eqn: k`]의 값을 구하시오. [[eqn: 3`]점]

24. 실수가 아닌 복소수 [eqn: z`]에 대하여 [eqn: z``+ {2} over {z} `]가 실수일 때, [eqn: 5z barz`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: bar{z} `]는 [eqn: z`]의 켤레복소수이다.) [[eqn: 3`]점]

25. [eqn: x`]에 대한 다항식 [eqn: f(`x`)`]를 이차식 [eqn: x ^{2} `-7x+12`]로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: 4x+5`]이다. 이때 다항식 [eqn: f(`2x-1`)`]을 [eqn: x-2`]로 나눈 나머지를 구하시오. [[eqn: 3`]점]

26. 실수 전체의 집합 [eqn: R`]의 세 부분집합 [eqn: A`,```B`,```C`]가

[eqn: A`= LEFT { `x``|``0<x<1` RIGHT } `]

[eqn: B`= LEFT { `x``|``x+(a-2)>0 RIGHT } `]

[eqn: C`= LEFT { `x``|``x ^{2} +ax+a<0 RIGHT } `]

이다. [eqn: A subsetB`]가 되도록 하는 실수 [eqn: a`]의 집합을 [eqn: M`], 집합 [eqn: C`]가 공집합이 되도록 하는 실수 [eqn: a`]의 집합을 [eqn: N`]이라 할 때, 집합 [eqn: M` SMALLINTER N``=` LEFT { `a```|`` alpha ` LEQ a` LEQ ` beta `` RIGHT } `]이다. 이때 [eqn: 2alpha`beta`]의 값을 구하시오.

[[eqn: 4`]점]

27. 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 두 다항식 [eqn: f(`x`)`,```g(`x`)`]가 다음 조건을 모두 만족한다.

	(가) [eqn: f(`x`)`]와 [eqn: g(`x`)`]의 최소공배수는 [eqn: (x ^{2} -x-2)(x ^{2} +1)`]이다. (나) [eqn: f(`x`)+g(`x`)`=(x+1)(x ^{2} +x-1)`]

이때 [eqn: f(`3`)``g(`3`)`]의 값을 구하시오. [[eqn: 4`]점]

28. 좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm A(`1`,```5`)`], [eqn: rm B( it `a`,``` it b`)`]를 이은 선분 [eqn: rm AB`]가 직선 [eqn: y=x+1 `]과 수직으로 만나는 점을 [eqn: rm P`]라 하자.

[eqn: rm bar{AP} `: bar{PB} `=1:`2`]일 때, [eqn: 4ab`]의 값을 구하시오. [[eqn: 4`]점]

29. 좌표평면 위의 제[eqn: 1`]사분면에 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 원 [eqn: C _{1} `,```C _{2} `]가 있다. 원 [eqn: C_1`]은 [eqn: x`]축에 접하면서 움직이고, 원 [eqn: C_2`]는 [eqn: y`]축에 접하는 동시에 원 [eqn: C_1`]에 외접하면서 움직인다. 두 원이 외접하는 접점을 [eqn: rmP`]라 할 때, 점 [eqn: rmP`]가 나타내는 도형의 길이는 [eqn: a` pi `]이다. 이때 [eqn: 30a`]의 값을 구하시오. [[eqn: 4`]점]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: rmP]

[eqn: C _{1}]

[eqn: C _{2}]

30. 건물을 지을 때에는 쾌적한 환경을 조성하기 위해 법으로 정한 건폐율과 용적률의 기준을 적용하여야 한다. 건폐율과 용적률은 다음과 같이 계산한다.

[eqn: (`건폐율`)= {(`건물의```1층```바닥의```넓이`)} over {(`대지의```넓이`)} ` TIMES `100`(`]%[eqn: )]

[eqn: (`용적률`)= {(`건물의```각```층의```바닥```넓이의```합`)} over {(`대지의```넓이`)} ` TIMES `100`(]%[eqn: )]

일반 주거지역에 따른 건폐율과 용적률의 기준표는 다음과 같다.

구분	건폐율	용적률
제[eqn: 1]종 일반주거지역	[eqn: 60`]% 이하	[eqn: 100`]% 이상 [eqn: 200`]% 이하
제[eqn: 2]종 일반주거지역	[eqn: 60`]% 이하	[eqn: 150`]% 이상 [eqn: 250`]% 이하
제[eqn: 3]종 일반주거지역	[eqn: 50`]% 이하	[eqn: 200`]% 이상 [eqn: 300`]% 이하

제[eqn: 2]종 일반주거지역에 가로의 길이가 [eqn: 25` rm ``m`,] 세로의 길이가 [eqn: 16` rm ``m`]인 직사각형 모양의 대지가 있다. 위의 기준표를 적용하여 이 대지에 가로의 길이가 [eqn: (5x-10)``` rm m`,```]세로의 길이가 [eqn: 2x``` rm m`]인 직육면체 모양의 [eqn: 4`]층 건물을 지으려고 할 때, 건물의 가로의 길이[eqn: ( rm m)`]의 최댓값을 구하시오. (단, 건물의 각 층의 바닥 넓이는 동일하다.) [[eqn: 4`]점]

* 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.