2012학년도 9월 고2 전국연합학력평가

정답 및 해설(1~3교시)

고 2	정답 및 해설	2012학년도 9월 전국연합학력평가

2012학년도 9월 전국연합학력평가	정답 및 해설	고 2

12

수학 영역

A형 정답

1	⑤	2	①	3	⑤	4	④	5	④
6	③	7	③	8	④	9	④	10	②
11	②	12	②	13	③	14	①	15	②
16	⑤	17	①	18	③	19	①	20	③
21	②	22	[eqn: 48]	23	[eqn: 100]	24	[eqn: 36]	25	[eqn: 6]
26	[eqn: 14]	27	[eqn: 10]	28	[eqn: 125]	29	[eqn: 15]	30	[eqn: 5]

해설

1. [출제의도] 지수 계산하기

[eqn: sqrt {5} TIMES root {3} of {5 sqrt {5}} `=`5 ^{{1} over {2} `+` {1} over {3} `+` {1} over {6} `} =5]

2. [출제의도] 행렬 계산하기

[eqn: {pmatrix{``2&``````-3``#``4&`````````````1``}} `][eqn: -2` {pmatrix{`````````1&`````0``#``-2&`````1``}} `][eqn: = {pmatrix{``0&``````-3``#``8&``````-1``}} `]

3. [출제의도] 지수방정식 계산하기

[eqn: LEFT ( `2 ^{`x} -2` RIGHT ) LEFT ( `2 ^{`x} +2` RIGHT ) `=4`]

[eqn: LEFT ( `2 ^{`x} ` RIGHT ) ^{2} `=8`]이므로 [eqn: 2 ^{`2x} `=2 ^{`3} `]  [eqn: THEREFORE `x= {3} over {2}]

4. [출제의도] 지수법칙 이해하기

[eqn: 2 ^{x} = sqrt {2} +1`,~2 ^{`-x} = sqrt {2} -1] 이므로

[eqn: 2 ^{x} +2 ^{-x} =2 sqrt {2} `]이고 [eqn: 2 ^{x} -2 ^{-x} =2`]

[eqn: {2 ^{x} -2 ^{-x}} over {4 ^{x} +2+4 ^{-x}} `=` {2 ^{x} -2 ^{-x}} over {(2 ^{x} +2 ^{-x} ) ^{2}} `=` {2} over {(2 sqrt {2} ) ^{2}} `=` {1} over {4}]

5. [출제의도] 그래프와 행렬의 관계 이해하기

[eqn: a=1`,~b=0`,~c=1`]이므로 변의 개수는 모두 [eqn: 7`]개이다. 다섯 개의 꼭짓점에 연결된 변의 개수는 각각 [eqn: 3`,~2`,~4`,~2`,~3`]

6. [출제의도] 행렬과 연립일차방정식의 관계 이해하기

[eqn: x`], [eqn: y`]에 대한 연립방정식
[eqn: {pmatrix{``1-k`````&```2``#2``&``4-k``}} {pmatrix{`x`#`y`}} `= {pmatrix{``2`#`4`}}]의 해가 없으므로

행렬[eqn: {pmatrix{``1-k`````&```2``#2``&``4-k``}} `]의 역행렬이 존재하지 않는다.

[eqn: (1-k)(4-k)-4=0], [eqn: k=0`] 또는 [eqn: k=5]

(ⅰ) [eqn: k=0`]

[eqn: {pmatrix{``1`````&```2``#2``&``4``}} {pmatrix{`x`#`y`}} `= {pmatrix{``2`#`4`}}]의 해가 무수히 많다.

(ⅱ) [eqn: k=5`]

[eqn: {pmatrix{``-4`````&```2``#2``&``-1``}} {pmatrix{`x`#`y`}} `= {pmatrix{``2`#`4`}}]의 해가 없다.

따라서 [eqn: k=5`]

[eqn: {pmatrix{`4&``````````a``#``a&`````````4``}} {pmatrix{x#y}} = {pmatrix{0#0}}]이 [eqn: x=0`,~y=0`] 이외의 해를

가지므로 [eqn: a ^{2} -16=0] ([eqn: a>0`])

[eqn: THEREFORE] [eqn: a=4`]

7. [출제의도] 행렬의 성질을 이용하여 추론하기

ㄱ. [eqn: A IN T _{1}]이므로 [eqn: A ^{2} =E],

[eqn: A ^{2} =E]이면

[eqn: A ^{6} = LEFT ( A ^{`2} RIGHT ) ^{3} =E]이므로 [eqn: A IN T _{3}]  (참)

ㄴ. (반례) [eqn: A= {pmatrix{``0&~~-1``#``1&~~```````0``}} `]

[eqn: A ^{2} ` != E`]이므로 [eqn: A NOTIN T _{1} `]

[eqn: A ^{4} =`E`]이므로 [eqn: A` IN T _{2} `]  (거짓)

ㄷ. [eqn: A IN T _{2} CUP T _{3} `]이면 [eqn: A ^{4} `=E`] 또는 [eqn: A ^{6} `=E`]

[eqn: THEREFORE A ^{12} =E] 즉, [eqn: A IN T _{6}]   (참)

8. [출제의도] 로그부등식을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: 3 LEQ LEFT [ log _{`3} `n RIGHT ] LEQ 4] 에서

[eqn: 3 LEQ log _{`3} `n<5`]이므로 [eqn: 3 ^{3} LEQ n<3 ^{5} `]

[eqn: THEREFORE]자연수 [eqn: n`]의 개수는 [eqn: 216`]

9.  [출제의도] 로그방정식 이해하기

[eqn: (log`` _{4} ``x) ^{2} -3log`` _{4} ``x-1=0`]에서

[eqn: log`` _{4} ``x=t`]라 하면 [eqn: t ^{2} -3`t-1=0`]…… ㉠

[eqn: t`]에 대한 이차방정식 ㉠의 두 근은

[eqn: log` _{4} `` alpha `,````log` _{4} `` beta `]이므로 근과 계수와의 관계에 의해

[eqn: log``_4`` alpha+log``_4`` beta`=3] [eqn: THEREFORE ~alpha beta =4 ^{3} =64]

10. [출제의도] 로그를 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

[eqn: M _{1} & =`-2.81 TIMES log`50`-`1.43]

[eqn: M _{2} =`-2.81 TIMES log`5`-`1.43]

[eqn: THEREFORE M _{2} -M _{1} =2.81]

11. [출제의도] 행렬을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=-x+1`]의 교점의 개수는 [eqn: 1]개이므로 [eqn: a_11 = 1`]

곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=-x+2`]의 교점의 개수는 [eqn: 2]개이므로 [eqn: a _{12} =2`]

곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=-2x+1`]의 교점의 개수는 [eqn: 1]개이므로 [eqn: a _{21} =1`]

곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=-2x+2`]의 교점의 개수는 [eqn: 1]개이므로 [eqn: a _{22} =1`]

[eqn: THEREFORE]행렬 [eqn: A`]의 모든 성분의 합은 [eqn: 5`]

12.  [출제의도] 로그함수 이해하기

[eqn: a+b=c+d]은 [eqn: {d-b} over {c-a} =``-1]이므로 점 [eqn: rm`P], [eqn: rm`Q`]는 [eqn: y=x`]에 대하여 대칭이므로 [eqn: a=d`], [eqn: b=c`]이고 [eqn: 0<a LEQ 1`]이다.

[eqn: b+c=2c=2 sqrt {2} `]

[eqn: c= sqrt {2} `]이므로 [eqn: d=log _{2} sqrt {2} `]이다.

[eqn: THEREFORE][eqn: d= {1} over {2} `]

13. [출제의도] 그래프와 행렬을 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

행렬 [eqn: M ^{`2} `]의 [eqn: LEFT ( `i,~i` RIGHT ) `]성분은 첫째 날 각 팀의 끝난 경기의 수이다.

(행렬 [eqn: M ^{`2} `]의 모든 [eqn: LEFT ( `i,~i` RIGHT ) `]성분의 합)

[eqn: =](첫째 날 끝난 모든 경기의 수)×[eqn: 2`]

(첫째 날 끝난 모든 경기의 수)

(행렬 [eqn: M ^{`2} `]의 모든 [eqn: LEFT ( `i,~i` RIGHT ) `]성분의 합)

[eqn: = {```````````````````````````````````````````` ``````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````} over {2}]

[eqn: = {`2+3+3+3+3`} over {2} `=7]

총 경기의 수는 [eqn: rm _{5} rm C _{2} =10`]이므로 둘째 날 해야 할 경기의 경우의 수는 [eqn: 10-7=3`]이다.

(참고)

14. [출제의도] 지수를 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

기온이 [eqn: 20`][eqn: ( CENTIGRADE )`]에서 포화수증기압은 [eqn: K`][eqn: LEFT ( ` rm hPa` RIGHT ) `]이므로 [eqn: K=6.11 TIMES 10 ^{{`7.5 TIMES 20`} over {`280+20`}}]	[eqn: CDOTS][eqn: CDOTS] ㉠

기온이 [eqn: x`][eqn: ( CENTIGRADE )`]에서 포화수증기압은 [eqn: {K} over {`10`} `][eqn: LEFT ( ` rm hPa` RIGHT ) `]이므로 [eqn: {K} over {`10`} `=6.11 TIMES 10 ^{{7.5`x} over {`280+x`}}]	[eqn: CDOTS][eqn: CDOTS] ㉡

㉠ [eqn: ÷] ㉡ 에서 [eqn: 10=10 ^{{`150`} over {`300`} `-` {7.5x} over {`280+x`}} `]

[eqn: {150} over {`300`} `-` {7.5`x} over {`280+x`} `=1`]  [eqn: THEREFORE ````x=`-17.5`]

15. [출제의도] 역행렬을 이용하여 추론하기

<증명>

[eqn: A ^{2} +A+E=O`]에서 [eqn: A LEFT ( A+E RIGHT ) =-E`]이므로
[eqn: A ^{-1} =` BOX{-1} (A+E)]

[eqn: B ^{-1} =A+kE`]이므로
[eqn: (A+kE)B=E=B(A+kE)`]이다.
따라서 [eqn: AB=BA`]
[eqn: LEFT ( A ^{2} B ^{2} RIGHT ) ^{-1} = LEFT ( A ^{-1} RIGHT ) ^{2} LEFT ( B ^{-1} RIGHT ) ^{2} = LEFT ( A ^{-1} B ^{-1} RIGHT ) ^{2} `]
[eqn: = LEFT { (-A-E)(A+kE) RIGHT } ^{2} `]
[eqn: = LEFT { `kA+left(` BOX{k-1}"`" right)E` RIGHT } ^{`2}]

[eqn: =LEFT ( `box{k ^{`2} -2k}` RIGHT ) A+(1-2k)E`]

[eqn: f LEFT ( `k` RIGHT ) =k ^{`2} `-2k`,~g LEFT ( `k` RIGHT ) =k-1`]이고 [eqn: p=-1]

[eqn: THEREFORE ````f LEFT ( `-1` RIGHT ) TIMES ``g LEFT ( -1` RIGHT ) `=`-6]

16. [출제의도] 상용로그를 이용하여 추론하기

[eqn: x ^{2} - LEFT ( 3n+ {1} over {3n} RIGHT ) x+1=0`]의 두 근은 [eqn: 3n`]과 [eqn: {1} over {`3n`} `]이므로, [eqn: logA ^{3}]의 지표는 [eqn: 3n`]이고 [eqn: logA ^{2}]의 가수는 [eqn: {1} over {`3n`} `]이다.

[eqn: logA ^{3}][eqn: =3n+ alpha ``] ([eqn: 0 LEQ alpha <1`])라 하자.

[eqn: logA ^{2} =2n+ {2} over {3} alpha `]이고 [eqn: 0 LEQ {2} over {3} alpha `< {2} over {3} ``]이므로

[eqn: logA ^{2} `]의 가수는 [eqn: {2} over {3} alpha`]이다.

[eqn: {2} over {3} alpha= {1} over {3n} `]이므로 [eqn: alpha= {1} over {2n} `]

[eqn: logA=n+ {`1} over {6n} `]

ㄱ. [eqn: n=1`]일 때 [eqn: logA ^{3} `]의 지표는 [eqn: 3`]  (참)

ㄴ. [eqn: log`A`]의 가수는 [eqn: {`1} over {6n} `] (참)

ㄷ. [eqn: log`A ^{12} =12log`A`=12n+ {2} over {n}]이므로

[eqn: n=`1`] 또는 [eqn: n=2`]일 때 [eqn: A ^{12} `]은 자연수이다.  (참)

17. [출제의도] 지수방정식 이해하기

방정식 [eqn: 3 ^{2x} `-`k`․`3 ^{x+1} `+3k+15=0`]의 두 실근을 [eqn: alpha `,~2 alpha `]라 하자.

[eqn: 3 ^{x} =t``(`t>0`)`]라 하면

[eqn: t ^{2} -3`k`t+3k+15=0`]의 두 실근은 [eqn: 3 ^{alpha } `,~3 ^{2 alpha } `]

따라서 근과 계수와의 관계에 의해서

[eqn: {cases{##}}]	[eqn: 3 ^{alpha } `+`3 ^{2 alpha } =`3k`]	…… ㉠
	[eqn: 3 ^{alpha } `․`3 ^{2 alpha } `=3k+15]	…… ㉡

㉠과 ㉡에 의하여

[eqn: LEFT ( `3 ^{` alpha } ` RIGHT ) ^{3} =3 ^{` alpha } + LEFT ( `3 ^{` alpha } ` RIGHT ) ` ^{2} +15]

[eqn: 3 ^{` alpha } =s``(`s>0`)`]라 하면 [eqn: s ^{3} -s ^{2} -s-15=0]

[eqn: LEFT ( `s-3` RIGHT ) LEFT ( `s ^{2} `+`2s`+`5 RIGHT ) =0]이므로 [eqn: s=3 ^{` alpha } =3]

[eqn: 3k & =3 ^{` alpha } + LEFT ( 3 ^{` alpha } RIGHT ) ^{2} =3+3 ^{2} =12]  [eqn: THEREFORE ~k=4]

18. [출제의도] 로그부등식 이해하기

(가)에서 진수가 양수이므로 [eqn: y>x]…… ㉠

[eqn: log` _{2} (y-x)<log` _{2} 1`]이므로 [eqn: y<x+1`]…… ㉡

(나)에서 진수가 양수이므로

[eqn: -2<x<2`]이고 [eqn: y>0`]…… ㉢

[eqn: log` _{2} `y< rm log` _{4} (4- it x ^{2} )`]이므로

[eqn: 2`log` _{2} `y< rm log` _{2} (4- it x ^{2} )]

따라서 [eqn: x ^{`2} +y ^{`2} <4]…… ㉣

㉠, ㉡, ㉢, ㉣을 모두 만족하는 영역을 어두운 부분으로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

19. [출제의도] 지수방정식을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: 2 ^{x} =X`,````2 ^{y} =Y`]라 하면 [eqn: X>0`,~Y>0`]

[eqn: 4 ^{x} +4 ^{y} =2]이므로 [eqn: X ^{2} +Y ^{2} =2`]

[eqn: 2 ^{x} +2 ^{y+1} =X+2Y`]

[eqn: X+2Y`=k`]라 하면, 직선 [eqn: X+2Y-k=0]과 사분원 [eqn: X ^{2} +Y ^{2} =2`]이 제 [eqn: 1]사분면에서 접할 때, [eqn: k`]가 최댓값을 갖는다.

[eqn: LEFT ( `0`,~0` RIGHT ) `]에서 직선 [eqn: X+2Y-k=0`]까지의 거리가 [eqn: sqrt {2`} `]이므로 [eqn: {□``-k``□} over {sqrt {1 ^{`2} +2 ^{`2}}} ` LEQ ` sqrt {2`} `]

[eqn: THEREFORE] [eqn: LEFT | `k` RIGHT | ` LEQ sqrt {10} `]이므로 최댓값은 [eqn: sqrt {10}]

20. [출제의도] 지수함수와 로그함수의 성질을 이용하여 추론하기

ㄱ. [eqn: 0<x _{1} <x _{2} `]이면 [eqn: f(`x _{1} )<f(`x _{2} )`]이므로

[eqn: 2 ^{`f(x _{1} )} <2 ^{`f(x _{2} )} `]  (참)

ㄴ. [eqn: x _{1} <x _{2} <0`]이면 [eqn: f(x _{1} )>f(x _{2} )>1`]이므로

[eqn: log _{2} f(x _{1} )>log _{2} f(x _{2} )``]  (참)

ㄷ. (반례) [eqn: x _{`1} =-2`,~x _{`2} =3`]이면

[eqn: log _{{1} over {2}} `f` LEFT ( `-2` RIGHT ) ``>log _{{1} over {2}} it f` LEFT ( `3` RIGHT )]  (거짓)

21. [출제의도] 지수함수를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: rm P`]

[eqn: rm A`]

[eqn: rm O`]

[eqn: rm 3]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: y=a ^{x} `]

[eqn: y= LEFT ( root {10} of {3} RIGHT ) ^{x} `]

[eqn: rmB`]

점 [eqn: rm`A]의 [eqn: y`]좌표가 [eqn: 3`]이므로 [eqn: x`]좌표는 [eqn: 10`]

[eqn: rm `A`(`10`,`3`)`]

점 [eqn: rm`A]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발 [eqn: rm`B`(`10`,`0`)`]

점 [eqn: rm`P`]는 [eqn: y=a ^{x`} `]과 [eqn: y=3`]의 교점이므로

[eqn: rm`P`(`log` _{a} 3`,`3`)`]

삼각형 [eqn: rm `BAP`]는 [eqn: ANGLE rm`A`=`90°`]인 직각삼각형이고

선분 [eqn: RM`BP`]는 원의 지름이다.

직선 [eqn: RM`OP`]와 직선 [eqn: RM`BP`]는 수직이므로 기울기의 곱은 [eqn: -1`]이다.

[eqn: {3} over {log` _{a`} 3} TIMES {3} over {log _{a} 3-10} =-1`]

[eqn: LEFT ( log _{a} 3 RIGHT ) ^{2} -10`log` _{a} 3`+9=0`]

[eqn: log _{a} 3=1`]또는 [eqn: log _{a} 3=9`]

[eqn: a=3`]또는 [eqn: a=3 ^{{1} over {9} `}]

[eqn: THEREFORE]모든 실수 [eqn: a]의 값의 곱은 [eqn: 3 ^{{10} over {9}} `]

22. [출제의도] 로그함수 계산하기

함수 [eqn: y=`log _{`7} ` LEFT ( `x+a` RIGHT ) `]의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( `1`,~2` RIGHT ) `]을 지나므로 [eqn: 2=log _{`7} ` LEFT ( `1+a` RIGHT ) `] [eqn: THEREFORE `a=48`]

23. [출제의도] 로그방정식 계산하기

[eqn: `x ^{`log``x} = LEFT ( {x} over {`10`} RIGHT ) ^{`4} `]의 양변에 로그를 취하면

[eqn: LEFT ( `log``x` RIGHT ) ^{2} `=4`log``x``-4`] 즉, [eqn: LEFT ( `log`x``-2` RIGHT ) ^{`2} =0`]

[eqn: log``x=2`] [eqn: THEREFORE] [eqn: x=100`]

24. [출제의도] 로그방정식 이해하기

준식에서

[eqn: {cases{##}}]	[eqn: log _{2`} `x```+`log _{2} `y=7]
	[eqn: 2log _{2} `x-log _{2} ``y=`-1]

연립하면 [eqn: log _{`2`} x=2`], [eqn: log _{`2} y=5]

따라서 [eqn: x=alpha =4], [eqn: y=beta =32`] [eqn: THEREFORE][eqn: alpha + beta =36`]

25. [출제의도] 지수부등식 이해하기

[eqn: f(x)=`x ^{`2} -2 ^{`a+1} `x+9``‧``2 ^{`a} `]라 하면

[eqn: f`(x) GEQ 0]이므로 방정식 [eqn: f(x)=0`]에서

[eqn: D/4= LEFT ( 2 ^{`a} RIGHT ) ^{2} -9`․`2 ^{`a} LEQ 0`]

[eqn: 2 ^{a} =t`` LEFT ( `t>0` RIGHT ) `]라 하면 [eqn: t ^{2} -9t LEQ 0`]

[eqn: 0<`t LEQ 9] 이므로 [eqn: 0<2 ^{a} LEQ 9`]…… ㉠

㉠을 만족시키는 자연수 [eqn: a`]는 [eqn: 1`,~2`,~3`]

[eqn: THEREFORE] 모든 자연수 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: 6]

26. [출제의도] 거듭제곱근을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: 1]

[eqn: -8]

[eqn: 3]

[eqn: -2]

[eqn: 9]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: THEREFORE `x ^{`2} +y ^{`2} `+z ^{2} = LEFT ( `-2` RIGHT ) ^{`2} +3 ^{`2} `+`1 ^{`2} =14]

27. [출제의도] 역행렬을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

집합 [eqn: X= LEFT { `a`,`b`,`c`,`d` RIGHT } `]에서 집합 [eqn: Y= LEFT { `1`,~2` RIGHT } `]로의 함수 [eqn: f`:`X` -> `Y`]의 개수는 [eqn: 2 TIMES 2 TIMES 2 TIMES 2=16`]

[eqn: LEFT ( {matrix{``f` LEFT ( `a` RIGHT )&`````f` LEFT ( `b` RIGHT )#``f` LEFT ( `c` RIGHT )&`````f` LEFT ( `d` RIGHT )}} `` RIGHT ) `]의 역행렬이 존재하지 않으려면 [eqn: f` LEFT ( `a` RIGHT ) `f` LEFT ( `d` RIGHT ) `=f` LEFT ( `b` RIGHT ) `f` LEFT ( `c` RIGHT ) `]

이를 만족하는 [eqn: LEFT ( `f` LEFT ( `a` RIGHT ) `,~`f` LEFT ( `d` RIGHT ) `,~`f` LEFT ( `b` RIGHT ) `,~`f` LEFT ( `c` RIGHT ) ` RIGHT ) `]는 다음과 같다.

[eqn: f(a)]	[eqn: f(d)]	[eqn: f(b)]	[eqn: f(c)]
[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 1]
[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 1]	[eqn: 2]
[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 2]	[eqn: 1]
[eqn: 2]	[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 2]
[eqn: 2]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 1]
[eqn: 2]	[eqn: 2]	[eqn: 2]	[eqn: 2]

[eqn: THEREFORE] 역행렬이 존재하는 함수의 개수는

[eqn: 16-6=10``]

28. [출제의도] 행렬을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: A= {pmatrix{``3&``````1``#``5&``````2``}} `,~B= {pmatrix{``20&``````10``#``30&``````20``}} `]에 대하여

[eqn: AX=B`]이므로 [eqn: X= {pmatrix{````````10&``````0``#`-10&``````10``}} `]

[eqn: LEFT ( `10`,~0` RIGHT ) `,~ LEFT ( `-10`,~10` RIGHT ) `]을 지름의 양 끝점으로 하는 원의 반지름은 [eqn: 5 sqrt {`5`} `]  [eqn: THEREFORE ~ {1} over {` pi `} `S` LEFT ( X` RIGHT ) =125`]

29. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수 이해하기

[eqn: f(a)=n`]이라 하자.

[eqn: 6 LEFT { `g` LEFT ( `a` RIGHT ) RIGHT } ^{`2} `-5`g` LEFT ( `a` RIGHT ) `+`1=0]

[eqn: LEFT { `3`g` LEFT ( `a` RIGHT ) `-1` RIGHT } ` LEFT { `2`g` LEFT ( `a` RIGHT ) `-1` RIGHT } `=0`]

[eqn: THEREFORE ``g` LEFT ( `a` RIGHT ) = {1} over {`3`} `] 또는 [eqn: {1} over {`2`} `]

(ⅰ) [eqn: g` LEFT ( `a` RIGHT ) = {1} over {`3`} `]

[eqn: log``a`=n`+` {1} over {`3`}]

[eqn: log``a ^{`2} `=2``log``a`=2n`+` {2} over {`3`}]

[eqn: log``a ^{`3} `=3``log``a`=3n`+`1]

따라서 [eqn: f` LEFT ( `a` RIGHT ) `+`f` LEFT ( `a ^{`2} ` RIGHT ) `+`f` LEFT ( `a ^{`3} ` RIGHT ) `=6n+1``]

그런데 [eqn: 6n+1=14`]를 만족하는 정수 [eqn: n`]이 존재하지 않으므로 [eqn: g(a)]는 [eqn: {1} over {`3`} `]이 아니다.

(ⅱ) [eqn: g` LEFT ( `a` RIGHT ) = {1} over {`2`} `]

[eqn: log``a`=n`+` {1} over {`2`}]

[eqn: log``a ^{`2} `=2``log``a`=2n`+`1]

[eqn: log``a ^{`3} `=3``log``a`=3n`+` {3} over {2}]

따라서 [eqn: f` LEFT ( `a` RIGHT ) `+`f` LEFT ( `a ^{`2} ` RIGHT ) `+`f` LEFT ( `a ^{`3} ` RIGHT ) `=6n+2``]

[eqn: 6n+2=14`]를 만족하는 정수 [eqn: n`]은 [eqn: 2`]이다.

따라서 [eqn: log``a`=2`+` {1} over {2} `]

[eqn: `log``a ^{`6} `=6`log``a=6 TIMES LEFT ( `2`+` {1} over {2} ` RIGHT ) `=15][eqn: THEREFORE ``f(a ^{6} )=15`]

30. [출제의도] 로그함수와 역함수의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: f(x)=2^ x-2 +1]는 [eqn: g(x)=log `_2 (x-1) +2]의

역함수이므로 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이다.

함수 [eqn: f(x)]의 그래프와 [eqn: x`]축과 두 직선 [eqn: x=2`],[eqn: x=3`]으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S _{2} `]라 할 때, [eqn: S _{2} `]는 함수 [eqn: g(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=2], [eqn: y=3], [eqn: y`]축으로 둘러싸인 부분의 넓이와 같다.

그러므로 [eqn: S_ 1 +2S_2]는 네 개의 직선 [eqn: x]축, [eqn: y]축, [eqn: x=3,~y=3]으로 둘러싸인 정사각형의 넓이와 네 개의 직선 [eqn: x]축, [eqn: y]축, [eqn: x=2], [eqn: y=2`]로 둘러싸인 정사각형의 넓이의 차와 같다.

[eqn: THEREFORE ~S _{1} +2S _{2} =9-4=5]

[eqn: 3]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: boldS _{1}]

[eqn: S _{2}]

[eqn: 2]

[eqn: S _{2}]

[eqn: rm {A} `]

[eqn: rm B`]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: y=x]

B형 정답

1	②	2	③	3	①	4	④	5	④
6	③	7	①	8	②	9	②	10	④
11	④	12	⑤	13	③	14	④	15	⑤
16	⑤	17	②	18	③	19	①	20	⑤
21	⑤	22	[eqn: 880]	23	[eqn: 15`]	24	[eqn: 30]	25	[eqn: 16]
26	[eqn: 64]	27	[eqn: 670]	28	[eqn: 13]	29	[eqn: 95]	30	[eqn: 12]

해설

1. [출제의도] 지수 계산하기

[eqn: sqrt {2} ÷ root {5} of {4 sqrt {2}} =2 ^{{1} over {2}} ÷2 ^{{2} over {5}+ 1 over 10} =2 ^{{1} over {2} - {1} over {2}} =1]

2. [출제의도] 행렬 계산하기

[eqn: BA-A ^{2``} =][eqn: (B-A)A=][eqn: {pmatrix{```5`&```4`#```2&````1`}} `]

3.  [출제의도] 지수방정식 계산하기

[eqn: (2 ^{x} ) ^{2} -12`․`2 ^{`x} +32=0`]의 근을 [eqn: alpha ,```` beta `]라 하면

근과 계수의 관계에서 [eqn: 2 ^{alpha } 2 ^{beta } =2 ^{alpha + beta } =32`]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: alpha + beta =5]

4. [출제의도] 등차수열 계산하기

첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d``]라 하면

[eqn: a _{2} =a+d=-1`], [eqn: a _{4} +a _{6} +a _{8} =3a+15d=33`]

에서 [eqn: a=-4], [eqn: d=3``]이다.

[eqn: THEREFORE][eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k} = {10 LEFT { 2 TIMES (-4)+(10-1) TIMES 3 RIGHT }} over {2} =95`]

5. [출제의도] 그래프와 행렬의 관계 이해하기

[eqn: a=1`,~b=0`,~c=1`]이므로 변의 개수는 모두 [eqn: 7`]개이다. 다섯 개의 꼭짓점에 연결된 변의 개수는 각각 [eqn: 3`,~2`,~4`,~2`,~3`]

6. [출제의도] 지수법칙 이해하기

[eqn: 2^x =3^y =5^ z =k``]라 하면

[eqn: 2=k ^{{1} over {x}}], [eqn: 3=k ^{{1} over {y}}], [eqn: 5=k ^{1 overz}]이다.

[eqn: 2 TIMES 3 TIMES 5=k ^{{1} over {x} + {1} over {y} + {1} over {z}} =k ^{{1} over {2}}]

[eqn: k=(2 TIMES 3 TIMES 5) ^{2} =900][eqn: THEREFORE~` 2^x +3^y +5^ z =3k=2700]

7. [출제의도] 등비수열의 합을 이용하여 수학외적 문제 해결하기

[eqn: LEFT . LEFT . LEFT . 10 ^{5} ` LEFT ( 1.004 RIGHT ) ^{24} +10 ^{5} ` LEFT ( 1.004 RIGHT ) ^{23} +` CDOTS `+`10 ^{5} ` LEFT ( 1.004 RIGHT ) RIGHT . RIGHT . RIGHT .]

[eqn: = {10 ^{5} (1.004) LEFT { LEFT ( 1.004 RIGHT ) ^{24} -1 RIGHT }} over {1.004-1}# = {10 ^{5} (1.004)`(1.1-1)} over {0.004}]

[eqn: =251]만 원

8. [출제의도] 연립일차방정식과 행렬의 관계 이해하기

모든 실수 [eqn: t`]에 대하여 [eqn: t ^{2} -kt+1 != 0]이므로

[eqn: D=k^2 -4=(k-2)(k+2)<0]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: -2<k<2] [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: x=0,~y=0]이외의 해를 갖기 위해서는

[eqn: k^2 (k-1)-k(k+3)=0]이다.

[eqn: k(k-3)(k+1)=0] [eqn: THEREFORE~k=-1,~0,~3] [eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉠과 ㉡을 동시에 만족하는 [eqn: k`=`-1,~0]이다.

[eqn: THEREFORE] 모든 실수 [eqn: k]의 합은 [eqn: -1]

9. [출제의도] 지수부등식 이해하기

방정식 [eqn: x ^{2} -2(3 ^{a} +1)x+10(3 ^{a} +1)=0`]에서

[eqn: D/4=(3 ^{a} +1) ^{2} -10(3 ^{a} +1)]

[eqn: ``=(3 ^{a} ) ^{2} -8·3 ^{a} -9=(3 ^{a} +1)(3 ^{a} -9) LEQ 0][eqn: -1 LEQ 3 ^{a} LEQ 9]이고, [eqn: 3 ^{a}>0]이므로 [eqn: 0<3 ^{a} LEQ 3 ^{2}]

[eqn: a LEQ 2]  [eqn: THEREFORE] [eqn: a]의 최댓값은 [eqn: 2`]

10. [출제의도] 로그방정식을 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

[eqn: ``L _{2} -L _{1} =][eqn: `0.46`log` {8K} over {r} +0.05]                                      [eqn: - LEFT ( 0.46`log` {K} over {r} +0.05 RIGHT ) ``]
[eqn: & =0.46 TIMES log`8=0.46 TIMES 0.9=0.414]

11. [출제의도] 등비수열 이해하기

[eqn: log` _{{1} over {2}} d=a`], [eqn: d= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{a} `]  [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: 2 ^{c} =d`]  [eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉠과 ㉡에 의하여 [eqn: c=-a`] [eqn: CDOTS CDOTS]㉢

[eqn: log _{{1} over {2}} b=c`], [eqn: b= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{c} `] [eqn: CDOTS CDOTS]㉣

㉠과 ㉣에 의하여 [eqn: bd= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{a+c} =1`] [eqn: CDOTS CDOTS]㉤

[eqn: b`,``2c`,``5d]가 이 순서대로 등비수열이므로 [eqn: 4c ^{2} =5bd=5`]

㉢에 의하여 [eqn: a ^{2} =c ^{2} = {5} over {4} `] [eqn: LEFT ( a<0 RIGHT ) `]

[eqn: THEREFORE][eqn: a=- {sqrt {5}} over {2} `]

12. [출제의도] 로그함수를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: S]

[eqn: S``']

[eqn: S``'']

[eqn: T]

[eqn: S``'']

[eqn: S]

[eqn: rm `O]

[eqn: rm `O]

[eqn: x]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y]

[eqn: a=-3`], [eqn: d=8], [eqn: c=3]

두 곡선 [eqn: y=log _{{1} over {2}} x`]와 [eqn: y=log _{2} x`]는 [eqn: x`]축 대칭이므로 [eqn: S=S```']

두 곡선 [eqn: y=log _{2} x`]와 [eqn: y=2 ^{x`}]는 직선 [eqn: y=x`]에

대하여 대칭이므로 [eqn: S```'=S``'']

[eqn: THEREFORE][eqn: S+T=S``''+T=cd=24`]

13. [출제의도] 무한등비급수의 성질 추론하기

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ``]의 공비를 [eqn: r``(r != 0)``]라 하면

ㄱ. [eqn: a _{101} =a _{1} r ^{100} <0``(`BECAUSE~ a _{1} <0,~`r ^{100} >0`)] (참)

ㄴ. (반례) [eqn: a _{n} =2 ^{n-3} `]이면 [eqn: a _{1} <a _{2} <1]이지만  [eqn: lim _{ n->inf}` { a_n}=inf]이다. (거짓)

ㄷ. [eqn: a _{1} <a _{1} r<0]이다.

[eqn: a_1 <0]이고 [eqn: 0<r<1]이므로 [eqn: {1} over {1-r} >1``]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} = {a _{1}} over {1-r} ``]이므로 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} <a _{1} ``]이다. (참)

14. [출제의도] 연립일차방정식과 행렬을 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

상품 [eqn: P]의 개수를 [eqn: x], 상품 [eqn: Q]의 개수를 [eqn: y]라 하면 판매한 상품의 총 판매이익금은 [eqn: 5000x+4500y]

이를 행렬로 표현하면

[eqn: ( 5000~~4500 ) ` {pmatrix{x#y}]

또한 상품 [eqn: P`,~Q`]에 사용된 사탕과 초콜릿의 개수를 식으로 나타내면 [eqn: {cases{15x+18y=1260&#16x+12y=1020&}}]

[eqn: {cases{5x+6y=420&#4x+3y=255&}}]이므로 [eqn: {pmatrix{x#y}} = {pmatrix{5&````6#4&````3}} ^{-1} ` {pmatrix{`420#`255`}}]

총 판매이익금을 행렬로 표현하면

[eqn: & LEFT ( 5000~~4500 RIGHT ) ` {pmatrix{x#y}} = LEFT ( 5000~~4500 RIGHT ) ` {pmatrix{5&````6#4&````3}} ^{-1} ` {pmatrix{420#255}}]

[eqn: = & LEFT ( 5000~~4500 RIGHT ) ` {1} over {-9} ` {pmatrix{``````3&````-6`#-4&```````````5}} ` {pmatrix{420#255}}]

[eqn: = & {1} over {9} ` LEFT ( 5000~~4500 RIGHT ) ` {pmatrix{-3&````````````6`#``````4&````-5}} ` {pmatrix{420#255}}]

[eqn: THEREFORE ```a=`4`]

15. [출제의도] 수학적 귀납법을 이용하여 추론하기

	<증 명> (1) [eqn: n=1]일 때, (좌변)[eqn: = sum _{k=1} ^{1} {2k+3} over {k(k+1)} ․ {1} over {3 ^{k}} =][eqn: BOX {{5} over {6}][eqn: =](우변) 이므로 (★)이 성립한다. (2) [eqn: n=m`]일 때, (★)이 성립한다고 가정하면 [eqn: sum _{k=1} ^{m} {2k+3} over {k(k+1)} ․ {1} over {3 ^{k}} =1- {1} over {(m+1)3 ^{m}}]이다. [eqn: n=m+1]일 때, (★)이 성립함을 보이자. [eqn: sum _{k=1} ^{m+1} {2k+3} over {k(k+1)} ․ {1} over {3 ^{k}}] [eqn: = sum _{k=1} ^{m} {2k+3} over {k(k+1)} ․ {1} over {3 ^{k}} + box{`2m+5`} over {(m+1)(m+2)} ․ {1} over box{`3 ^{m+1`}] [eqn: =1- {1} over {(m+1)3 ^{m}} + {2m+5} over {(m+1)(m+2)} ․ {1} over {3 ^{m+1}}] [eqn: =1- {BOX{`3(m+2)`}} over {(m+1)(m+2) BOX{3 ^{m+1}}}# ~~+ {2m+5} over {(m+1)(m+2)} ․ {1} over {3 ^{m+1}}] [eqn: =1- {3m+6-2m-5} over {(m+1)(m+2)3 ^{m+1}}] [eqn: =1- {1} over {(m+2)3 ^{m+1}}] 그러므로 [eqn: n=m+1]일 때도 (★)이 성립한다. 따라서 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 (★)이 성립한다.

[eqn: p= {5} over {6}], [eqn: f(m)= {2m+5} over {3 ^{m+1}}], [eqn: g(m)= {3(m+2)} over {3 ^{m+1}}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: p TIMES f LEFT ( 1 RIGHT ) TIMES g(1)= {5} over {6} TIMES {7} over {9} TIMES 1= {35} over {54}]

16. [출제의도] 상용로그를 이용하여 추론하기

[eqn: x ^{2} - LEFT ( 3n+ {1} over {3n} RIGHT ) x+1=0`]의 두 근은 [eqn: 3n`]과 [eqn: {1} over {`3n`} `]이므로, [eqn: logA ^{3}]의 지표는 [eqn: 3n`]이고 [eqn: logA ^{2}]의 가수는 [eqn: {1} over {`3n`} `]이다.

[eqn: logA ^{3}][eqn: =3n+ alpha ``] ([eqn: 0 LEQ alpha <1`])라 하자.

[eqn: logA ^{2} =2n+ {2} over {3} alpha `]이고 [eqn: 0 LEQ {2} over {3} alpha `< {2} over {3} ``]이므로

[eqn: logA ^{2} `]의 가수는 [eqn: {2} over {3} alpha`]이다.

[eqn: {2} over {3} alpha= {1} over {3n} `]이므로 [eqn: alpha= {1} over {2n} `]

[eqn: logA=n+ {`1} over {6n} `]

ㄱ. [eqn: n=1`]일 때 [eqn: logA ^{3} `]의 지표 [eqn: 3`]  (참)

ㄴ. [eqn: log`A`]의 가수는 [eqn: {`1} over {6n} `] (참)

ㄷ. [eqn: log`A ^{12} =12log`A`=12n+ {2} over {n}]이므로

[eqn: n=`1`] 또는 [eqn: n=2`]일 때 [eqn: A ^{12} `]은 자연수이다.  (참)

17. [출제의도] 순서도를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: a`], [eqn: S`]의 값의 변화과정을 표로 나타내면

[eqn: a]	[eqn: S]
[eqn: 2012`]	[eqn: 0]
[eqn: 2012]	[eqn: 0+2012]
[eqn: 201]	[eqn: 0+2012+201]
[eqn: 20]	[eqn: 0+2012+201+20]
[eqn: 2]	[eqn: 0+2012+201+20+2]
[eqn: 0]	[eqn: 0+2012+201+20+2+0]

따라서 인쇄되는 [eqn: S]의 값은 [eqn: 2235]

18. [출제의도] 로그부등식 이해하기

(가)에서 진수가 양수이므로 [eqn: y>x]…… ㉠

[eqn: log` _{2} (y-x)<log` _{2} 1`]이므로 [eqn: y<x+1`]…… ㉡

(나)에서 진수가 양수이므로

[eqn: -2<x<2`]이고 [eqn: y>0`]…… ㉢

[eqn: log` _{2} `y< rm log` _{4} (4- it x ^{2} )`]이므로

[eqn: 2`log` _{2} `y< rm log` _{2} (4- it x ^{2} )]

따라서 [eqn: x ^{`2} +y ^{`2} <4]…… ㉣

㉠, ㉡, ㉢, ㉣을 모두 만족하는 영역을 어두운 부분으로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

19. [출제의도] 지수함수의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: rm P it `(`a,~2 ^{-a+3} +4`),~ rm Q it `(`a,~-2 ^{a-5} -3)]이므로

[eqn: bar{rm PQ it} =7+2 ^{-a+3} +2 ^{a-5} `]이다.

[eqn: 2 ^{-a+3} `>0], [eqn: 2 ^{a-5} `>0] 이므로

산술․기하평균의 관계에 의해

[eqn: bar{rm PQ it} & =7+2 ^{-a+3} +2 ^{a-5}][eqn: GEQ `7+2 sqrt {2 ^{-a+3} 2 ^{a-5}}]

[eqn: =7+2 sqrt {2 ^{-2}} =8] (등호는 [eqn: a=4`]일 때 성립)

따라서 선분 [eqn: rm PQ it] 길이의 최솟값은 [eqn: 8`]이다.

선분 [eqn: rm PQ it]를 대각선으로 하는 정사각형의 한 변의 길이는 [eqn: 4 sqrt {2}] 이다.

[eqn: THEREFORE] 정사각형 넓이의 최솟값은 [eqn: 32`]

20. [출제의도] 행렬의 성질을 이용하여 추론하기

ㄱ. [eqn: {pmatrix{``a _{2} ``#b _{2}}} `= {pmatrix{2&1#0&2}} ` {pmatrix{1&1#0&1}} {pmatrix{0#1}} = {pmatrix{2&1#0&2}} {pmatrix{1#1}} = {pmatrix{3#2}}]이므로

[eqn: a_2 over b_2 = 3 over 2]이다. (참)

ㄴ. [eqn: {pmatrix{``a _{n+1} ``#b _{n+1}}} =A _{n+1} A _{n} CDOTS A _{2} A _{1} ` {pmatrix{0#1}}]

[eqn: =A _{n+1} ` {pmatrix{``a _{n} ``#b _{n}}}] (참)

ㄷ. [eqn: {pmatrix{``a _{n+1} ``#b _{n+1}}} ` & =` {pmatrix{n+1&1#0&n+1}} ` {pmatrix{a _{n}#b _{n}}} & =` {pmatrix{` LEFT ( n+1 RIGHT ) a _{n} +b _{n`}#LEFT ( n+1 RIGHT ) b _{n}}}]

[eqn: {a _{n+1}} over {b _{n+1}} = {LEFT ( n+1 RIGHT ) a _{n} +b _{n}} over {LEFT ( n+1 RIGHT ) b _{n}} = {a _{n}} over {b _{n}} + {1} over {n+1}]
[eqn: {a _{n}} over {b _{n}} =1+ {1} over {2} + {1} over {3} + CDOTS + {1} over {n}= sum _{ k=1} ^{n }1 overk]

[eqn: THEREFORE `][eqn: {a _{n}} over {b _{n}} = sum _{k=1} ^{n} {1} over {k}] (참)

21. [출제의도] 극한의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: rm C _{itn}]

[eqn: rmA]

[eqn: rm C _{itn+1}]

[eqn: rm B _{it n rm}]

[eqn: rm B _{it n+1 rm}]

[eqn: rm P _{it n+1 rm}]

[eqn: a _{n}]

[eqn: na _{n}]

[eqn: (n+1)a _{n+1} `]

[eqn: a _{n+1}]

[eqn: rm P _{it n rm}]

[eqn: TRIANGLE rm C _{itn} AB _{it n rm}]□[eqn: TRIANGLE rm P _{it n rm +1} B _{it n+1 rm} B _{it n rm} `]이므로

[eqn: ` bar{rm AB it rm _{n} rm } `:` bar{rm C it rm _{n} rmA rm } =` bar{rm B it rm _{n+1} rm B it rm _{n} it} `:` bar{rm P it rm _{n+1} rm B it rm _{n+1} it}]

[eqn: na _{n} `:`a _{n} ="{"na _{n} -(n+1)a _{n+1} "}":a _{n+1} `]

[eqn: na _{n} =(2n+1)`a _{n+1}]

[eqn: {a _{n+1}} over {a _{n}} = {n} over {2n+1} `]  [eqn: THEREFORE ``` lim _{n -> INF } {{a _{n+1}} over {a _{n}}} = {1} over {2} `]

22. [출제의도] 수열의 합 계산하기

[eqn: sum _{k=1} ^{10} 2k(k+1)`][eqn: = sum _{k=1} ^{10} LEFT ( 2k ^{2} +2k RIGHT ) ``]

[eqn: =2 sum _{k=1} ^{10} k ^{2} +2 sum _{k=1} ^{10} k```]

[eqn: =2 TIMES {10․11․21} over {6} +2 TIMES {10․11} over {2} `]

[eqn: =770+110=880`]

23. [출제의도] 무한등비급수의 수렴조건 이해하기

공비가 [eqn: {2x-5} over {7}]이므로 주어진 무한등비급수가 수렴하기 위해서는 [eqn: -1< {2x-5} over {7} <1] 이다.

[eqn: -7<2x-5<7] 이므로 [eqn: -1<x<6]

[eqn: THEREFORE] 정수 [eqn: x]는 [eqn: 0,~1,~2,~3,~4,~5]이므로 합은 [eqn: 15]

24. [출제의도] 합의 기호를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: a _{n} =32 LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1}]이므로

[eqn: log _{`2`} a _{k} =log _{`2`} 32․ LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{k-1} =6-k`]

[eqn: sum _{k=1} ^{11} LEFT | ``log`a _{k`} ` RIGHT | `= sum _{k=1} ^{11} LEFT | `6-k` RIGHT | =30]

25. [출제의도] 무한수열의 극한 이해하기

[eqn: a _{1} =2`], [eqn: a _{n+1} =2a _{n} `]이므로 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 등비수열이고 일반항 [eqn: a _{n} =2 ^{n} `]이다.

[eqn: lim _{n -> INF } {{a _{3n+2} +a _{8}} over {a _{3n-2} +a _{2}} `} = lim _{n -> INF } {{2 ^{3n+2} +2 ^{8}} over {2 ^{3n-2} +2 ^{2}} =2 ^{4} =16`}]

26. [출제의도] 행렬의 성질 이해하기

[eqn: A ^{2} -A+E=O``]이므로 [eqn: A ^{3} =-E``]

[eqn: B ^{2} +2B=O`]에서 [eqn: B ^{2}=-2B]

[eqn: A ^{7} B ^{7} =(-2) ^{6} AB=64AB] [eqn: THEREFORE] [eqn: k=64`]

27. [출제의도] 계차수열을 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

블록을 [eqn: n`]층으로 쌓았을 때, 전체블록의 수를 [eqn: b _{n} ``], 한 면도 보이지 않는 블록의 수를 [eqn: c _{n} `]이라고 하면

[eqn: b _{n} & =1 ^{2} +2 ^{2} +3 ^{2} +` CDOTS `+n ^{2} = {n LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( 2n+1 RIGHT )} over {6}]

[eqn: c _{1} =c _{2} =0], [eqn: c _{3} =1^2 =b _{1}], [eqn: c _{4} =1^2 +2 ^{2} =b _{2}]

[eqn: c _{5} =1^2 +2 ^{2} +3 ^{2} =b _{3}] 이므로 [eqn: c _{n+2} =b _{n}]이다.

[eqn: a _{n} =b _{n} -c _{n} `]이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{n} & = sum _{n=1} ^{10} LEFT ( b _{n} -c _{n} ` RIGHT )# & = sum _{n=1} ^{10} b _{n} - sum _{n=1} ^{10} c _{n} = sum _{n=1} ^{10} b _{n} - sum _{n=1} ^{8} b _{n}# & =b _{9} +b _{10} =285+385 =670]

28. [출제의도] 여러 가지 수열 이해하기

[eqn: a _{n+1} a _{n+2} -2=a _{1} ` ^{2} +a _{2} ` ^{2} +` CDOTS `+a _{n+1} ` ^{2}][eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: a _{n} a _{n+1} -2=a _{1} ` ^{2} +a _{2} ` ^{2} +` CDOTS `+a _{n} ` ^{2}][eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉠ [eqn: -] ㉡ 을 하면 [eqn: a _{n+1} a _{n+2} -a _{n} a _{n+1} =a _{n+1} ` ^{2}]

[eqn: a _{n+1} LEFT ( a _{n+2} -a _{n} RIGHT ) =a _{n+1} ` ^{2}]

[eqn: a _{n+2} -a _{n} =a _{n+1}]

[eqn: a _{n+2} =a _{n} +a _{n+1}]

[eqn: a _{8} =a _{6} +a _{7`} =a _{6} +a _{5} +a _{6} `][eqn: =2a _{6} +a _{5} `=3a _{5} +2a _{4}]

이므로 [eqn: p=3,] [eqn: q=2`]이다.

[eqn: THEREFORE ````p ^{2} +q ^{2} =13`]

29. [출제의도] 여러 가지 수열을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

점 [eqn: {rm P} _{n}]에서 직선 [eqn: rmAB]에 내린 수선의 길이를 [eqn: h _{n}]
이라 하면 [eqn: TRIANGLE rm ABP it rm _{it n} = {1} over {2} bar{rm AB it rm } TIMES it h _{n} = {5} over {2} it h _{n}]이므로

[eqn: a_n]은 [eqn: h _{n}]에 의하여 결정된다.

[eqn: l] : 원의 중심과 직선 [eqn: rm AB`]사이의 거리

[eqn: r _{n} `]: 원 [eqn: C _{n} `]의 반지름

[eqn: a _{n} = {5} over {2} TIMES h _{n}]의 최댓값 [eqn: - {5} over {2} TIMES h _{n}]의 최솟값

[eqn: = {5} over {2} (l+r _{n} )- {5} over {2} (l-r _{n} )`= {5} over {2} TIMES 2r _{n} = {10} over {n} `]

[eqn: sum _{n=1} ^{19} a _{n} a _{n+1}][eqn: = sum _{n=1} ^{19} {100} over {n(n+1)} =100 LEFT ( 1- {1} over {20} RIGHT ) =95]

30. [출제의도] 도형의 규칙성을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: pi over 4]

[eqn: 2]

[eqn: 2]

[eqn: S _{1} =4`left(` {1} over {2}` ․`2`․`2`-`{`1} over {`2}` ․2 ^2 ` ․` pi over 4`right )=8-2pi]

정사각형 모양 의 닮은 그림들을 크기순으로 나열할 때 인접하는 두 그림의 닮음비는

[eqn: 4`:`2sqrt2 =2`:`sqrt2]이고 넓이의 비는 [eqn: 2`:1]이다.

[eqn: S _{2} =S _{1} + LEFT ( 8-2 pi RIGHT ) ․ {1} over {2} = LEFT ( 8-2 pi RIGHT ) + LEFT ( 8-2 pi RIGHT ) ․ {1} over {2}]

[eqn: S _{3} &=S _{2} + LEFT ( 8-2 pi RIGHT ) ․ LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} #&= LEFT ( 8-2 pi RIGHT ) + LEFT ( 8-2 pi RIGHT ) ․ {1} over {2} + LEFT ( 8-2 pi RIGHT ) ․ LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: S_n = LEFT ( 8-2 pi RIGHT ) + LEFT ( 8-2 pi RIGHT ) ․ {1} over {2} + CDOTS+ LEFT ( 8-2 pi RIGHT ) ․ LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1}]

[eqn: lim _{n` -> INF } {S _{n}} `= sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( 8-2 pi RIGHT ) ․ LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1}# `````````````````````````= {8-2 pi } over {1- {1} over {2}} =16-4 pi]

[eqn: THEREFORE ```p+q=16-4=12]