◦  자신이 선택한 유형(‘A’형/‘B’형)의 문제지인지 확인하시오.

◦  문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 정확히 쓰시오.

◦  답안지의 해당란에 성명과 수험 번호를 쓰고, 또 수험 번호와 답을 정확히 표시하시오.

◦  단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면, 그 ‘0’ 도 답란에 반드시 표시하시오.

◦  문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦  계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

2012학년도 9월 고2 전국연합학력평가 문제지

수학 영역 (A형)

성명			수험 번호						2

제 2 교시

고 2	수학 영역 (A형)

	수학 영역 (A형)	고 2

12

12

1. [eqn: sqrt {5} TIMES root {3} of {5 sqrt {5}}]의 값은? [[eqn: 2]점]

① [eqn: {1} over {5}]	② [eqn: {sqrt {5}} over {5}]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: sqrt {5}]	⑤ [eqn: 5]

2. 두 행렬 [eqn: X= {pmatrix{2&````-3#4&```````````1}} `], [eqn: Y= {pmatrix{````````1&````0#-2&```1}} `]에 대하여 [eqn: X-2Y`]는?

[[eqn: 2]점]

	①	[eqn: {pmatrix{0&````-3#8&```-1}} `]	②	[eqn: {pmatrix{0&````-4#8&```-1}} `]	③	[eqn: {pmatrix{0&````-4#10&```-1}} `]
	④	[eqn: {pmatrix{1&````-3#10&```-1}} `]	⑤	[eqn: {pmatrix{1&````-4#10&```-1}} `]

3. 지수방정식 [eqn: LEFT ( `2 ^{`x} -2` RIGHT ) LEFT ( `2 ^{`x} +2` RIGHT ) `=4`]의 해는? [[eqn: 2]점]

①	[eqn: {1} over {2}]	②	[eqn: {3} over {4}]	③	[eqn: 1`]	④	[eqn: {5} over {4}]	⑤	[eqn: {3} over {2}]

4. [eqn: x=log` _{2``} ( sqrt {2} +1)`]일 때, [eqn: {2 ^{x} -2 ^{-x}} over {4 ^{x} +4 ^{-x} +2} `]의 값은? [[eqn: 3]점]

①	[eqn: {1} over {32}]	②	[eqn: {1} over {16}]	③	[eqn: {1} over {8}]	④	[eqn: {1} over {4}]	⑤	[eqn: {1} over {2}]

5. 꼭짓점의 개수가 [eqn: 5`]인 그래프 [eqn: G`]의 두 꼭짓점을 잇는 변의 개수를 행렬의 성분으로 하는 그래프의 연결 관계를 나타내는 행렬이 다음과 같다.

[eqn: {pmatrix{``0``&``a``&``1``&`0``&``1``#1`&0&1&0&0#1&1&0&1&1#b&0&1&0&c#1&0&1&1&0}}]

이때, 그래프 [eqn: G`]로 가능한 것은? [[eqn: 3]점]

①		②
③		④
⑤

6. [eqn: x`], [eqn: y`]에 대한 연립방정식 [eqn: {pmatrix{`1&````2`#`2&````4`}} {pmatrix{`x`#`y`}} `= {pmatrix{`kx+2`#`ky+4`}} `]의 해가 없도록 하는 상수 [eqn: k`]에 대하여 [eqn: x`], [eqn: y`]에 대한 연립방정식[eqn: {pmatrix{k-1&`````a``#`a&``````k-1``}} {pmatrix{x#y}} = {pmatrix{0#0}} `] 이 [eqn: x=0`], [eqn: y=0`] 이외의 해를 갖도록 하는 양수 [eqn: a`]의 값은? [[eqn: 3]점]

①	[eqn: 2]	②	[eqn: 3]	③	[eqn: 4]	④	[eqn: 5]	⑤	[eqn: 6]

7. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 집합

[eqn: LEFT . LEFT . T _{n} = LEFT { `A``` RIGHT | ```A ^{2n} =E`` RIGHT .], [eqn: A`]는 이차정사각행렬[eqn: `right]

일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
(단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.) [[eqn: 3]점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: A` IN T _{1} `] 이면 [eqn: A` IN `T _{3} `]이다. ㄴ. [eqn: A` IN T _{2} `] 이면 [eqn: A` IN `T _{1} `]이다. ㄷ. [eqn: A`inT _{2} CUP T _{3} `] 이면 [eqn: A` IN T _{6} `]이다.

	①	ㄱ	②	ㄴ	③	ㄱ, ㄷ
	④	ㄴ, ㄷ	⑤	ㄱ, ㄴ, ㄷ

8. 부등식 [eqn: 3 LEQ LEFT [ log` _{3`} n RIGHT ] LEQ 4]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 개수는? (단, [eqn: LEFT [ `x` RIGHT ] `]는 [eqn: x`]보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [[eqn: 3]점]

①	[eqn: 186]	②	[eqn: 196]	③	[eqn: 206]	④	[eqn: 216]	⑤	[eqn: 226]

9. 로그방정식 [eqn: (log`` _{4} ``x) ^{2} +log`` _{4} `` {1} over {x ^{3}} -1=0`] 의 두 실근을 [eqn: alpha `], [eqn: beta `]라 할 때, [eqn: alpha beta `] 의 값은? [[eqn: 3]점]

①	[eqn: 8]	②	[eqn: 16]	③	[eqn: 32]	④	[eqn: 64]	⑤	[eqn: 128`]

10. 미국의 천문학자 섀플리는 외부은하에 있는 고전 세페이드 변광성의 변광 주기와 광도 사이의 관계를 확인하였다. 고전 세페이드 변광성의 변광 주기 [eqn: P`](일)과 광도 [eqn: M`](절대등급)은 다음 식을 만족시킨다고 한다.

[eqn: `M`=`-2.81`log`P`-`1.43`]

변광 주기가 [eqn: 50`]일인 고전 세페이드 변광성의 광도를 [eqn: M _{1} `], 변광 주기가 [eqn: 5`]일인 고전 세페이드 변광성의 광도를 [eqn: M _{2} `]라 할 때, [eqn: M _{2} -M _{1}]의 값은? [[eqn: 3]점]

①	[eqn: 1.43]	②	[eqn: 2.81]	③	[eqn: 3.64]	④	[eqn: 4.24]	⑤	[eqn: 5.62]

〔11～12〕그림은 함수 [eqn: bold{ f(x) =} {cases { ```````bold{2 ^{x}}&````bold{ (x LEQ 1) }# bold{ log _{``2} ``x }&````bold {(x>1)}}} `}]의 그래프이다. 11번과 12번의 두 물음에 답하시오.

[eqn: rm O]

[eqn: y=f(x)`]

[eqn: x`]

[eqn: y`]

[eqn: 1]

11. 이차정사각행렬 [eqn: A`]의 [eqn: (i,~j)`]성분 [eqn: a _{ij} `]를 함수 [eqn: f(x)`]의 그래프와 직선 [eqn: y=-ix+j`]의 교점의 개수로 정의하자. 이때, 행렬 [eqn: A`]의 모든 성분의 합은? (단, [eqn: i=1`], [eqn: 2`], [eqn: j=1`], [eqn: 2`]) [[eqn: 3]점]

①	[eqn: 4]	②	[eqn: 5]	③	[eqn: 6]	④	[eqn: 7]	⑤	[eqn: 8]

12. 함수 [eqn: f(x)`]의 그래프 위의 두 점 [eqn: rm P(ita,````b)`], [eqn: rmQ(itc,````d)`]가 [eqn: a<c`], [eqn: a+b=c+d`]를 만족시킨다. [eqn: b+c=2 sqrt {2} `]일 때, [eqn: d`]의 값은? [[eqn: 3]점]

①	[eqn: {1} over {4} `]	②	[eqn: {1} over {2} `]	③	[eqn: 1`]	④	[eqn: {3} over {2} `]	⑤	[eqn: 2`]

13. [eqn: 2]일 동안 [eqn: 5`]개의 팀 [eqn: rm P _{1} `], [eqn: rm P _{2} `], [eqn: rm P _{3} `], [eqn: rm P _{4} `], [eqn: rm P _{5} `]가 서로 한 번씩 경기를 하는데, 첫째 날 경기가 모두 끝난 후 [eqn: 5`]차정사각행렬 [eqn: M`]의 [eqn: (`i,~j`)`]성분 [eqn: a _{ij} `]를

[eqn: it a it rm _{ij} = {cases{```##```#```}} it]	[eqn: 1`] [eqn: (][eqn: i!=j]이고 [eqn: rm P _{iti}]와 [eqn: rm P _{itj}]의 경기가 끝난 경우[eqn: )]
	[eqn: 0`] [eqn: (][eqn: i!=j]이고 [eqn: rm P _{iti}]와 [eqn: rm P _{itj}]의 경기가 남은 경우[eqn: )]
	[eqn: 0`] [eqn: (][eqn: i=j]인 경우[eqn: )]

으로 정의할 때, 다음은 행렬 [eqn: M ^{2} `]을 나타낸 것이다.

[eqn: M^2 = {pmatrix{``2``&``0``&``2``&`2``&``0``#0`&3&1&1&3#2&1&3&2&1#2&1&2&3&1#0&3&1&1&3}}]

이때, 둘째 날 해야 할 경기의 수는? (단, [eqn: i=1`], [eqn: 2`], [eqn: 3`], [eqn: 4`], [eqn: 5`], [eqn: j=1`], [eqn: 2`], [eqn: 3`], [eqn: 4`], [eqn: 5]) [[eqn: 4]점]

①	[eqn: 1]	②	[eqn: 2]	③	[eqn: 3]	④	[eqn: 4]	⑤	[eqn: 5]

14. 기온이 [eqn: T`][eqn: ( CENTIGRADE )`]에서 대기 중의 물에 대한 포화수증기압 [eqn: P`][eqn: rm (hPa)]은 다음 식을 만족시킨다고 한다.

[eqn: P=6.11 TIMES 10 ^{{7.5T} over {280+T}} `]

기온이 [eqn: 20( CENTIGRADE )`]에서 대기 중의 물에 대한 포화수증기압은 [eqn: K`][eqn: rm (hPa)]이다. 기온이 [eqn: x`( CENTIGRADE )`]에서 대기 중의 물에 대한 포화수증기압이 [eqn: {K} over {10} `][eqn: rm (hPa)]일 때, [eqn: x`]의 값은? [[eqn: 4]점]

	①	[eqn: -17.5]	②	[eqn: -15]	③	[eqn: -12.5]
	④	[eqn: -10]	⑤	[eqn: -7.5]

15. [eqn: 0`]이 아닌 실수 [eqn: k`]와 두 이차정사각행렬 [eqn: A], [eqn: B`]가
[eqn: A ^{2} +A+E=O`], [eqn: B ^{-1} =A+kE`]을 만족시킬 때
[eqn: LEFT ( A ^{2} B ^{2} RIGHT ) ^{-1} `][eqn: =`][eqn: (`][eqn: `)`A+(1-2k)E`]임을 증명하는 과정이다.
(단, [eqn: E`]는 단위행렬이고 [eqn: O`]는 영행렬이다.)

(가)

	<증명> [eqn: A ^{2} +A+E=O`]에서 [eqn: A ^{-1} =`][eqn: (A+E`)] (나) [eqn: B ^{-1} =A+kE`]이므로 [eqn: (A+kE)B=E=B(A+kE)`]이다. 따라서 [eqn: AB=BA`] [eqn: LEFT ( A ^{2} B ^{2} RIGHT ) ^{-1} = LEFT ( A ^{-1} RIGHT ) ^{2} LEFT ( B ^{-1} RIGHT ) ^{2} = LEFT ( A ^{-1} B ^{-1} RIGHT ) ^{2} `] [eqn: =][eqn: "{"kA+ ("`"][eqn: "`")E"}" ^{2} `] (다) [eqn: =`][eqn: (`][eqn: `)`A+(1-2k)E`] (가)

위 증명에서 (가), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(k)], [eqn: g(k)`]라 하고 (나)에 알맞은 값을 [eqn: p]라 할 때, [eqn: f(p) TIMES g(p)`]의 값은? [[eqn: 4]점]

①	[eqn: -7]	②	[eqn: -6]	③	[eqn: -5]	④	[eqn: -4]	⑤	[eqn: -3]

16. 자연수 [eqn: n`]과 양수 [eqn: A`]에 대하여
이차방정식 [eqn: x ^{2} - LEFT ( 3n+ {1} over {3n} RIGHT ) x+1=0`]의 한 근은 [eqn: logA ^{3} `]의 지표이고, 다른 한 근은 [eqn: logA ^{2}]의 가수이다. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [[eqn: 4]점]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: n=1`]이면 [eqn: logA ^{3} `]의 지표는 [eqn: 3`]이다. ㄴ. [eqn: logA`]의 가수는 [eqn: {1} over {6n} `]이다. ㄷ. [eqn: A` ^{12}]이 자연수가 되도록 하는 [eqn: n`]의 개수는 [eqn: 2`]이다.

	①	ㄱ	②	ㄷ	③	ㄱ, ㄴ
	④	ㄴ, ㄷ	⑤	ㄱ, ㄴ, ㄷ

17. 지수방정식 [eqn: 3 ^{2x} -k·3 ^{x+1} +3k+15=0`] 의 두 실근의 비가 [eqn: 1``:``2`]일 때, 실수 [eqn: k] 의 값은? [[eqn: 4]점]

①	[eqn: 4`]	②	[eqn: 6`]	③	[eqn: 8]	④	[eqn: 10`]	⑤	[eqn: 12`]

18. 두 실수 [eqn: x`], [eqn: y`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: log` _{2} (y-x)<0`]

(나) [eqn: log` _{2} `y<log` _{4} (4-x ^{2} )`]

이때, 좌표평면 위의 점 [eqn: rm P][eqn: (`x,~y`)]가 존재하는 영역을 어두운 부분으로 바르게 나타낸 것은? (단, 경계선은 제외한다.) [4점]

①	[eqn: x] [eqn: y] [eqn: rmO]	②	[eqn: x] [eqn: y] [eqn: rmO]
③	[eqn: x] [eqn: y] [eqn: rmO]	④	[eqn: x] [eqn: y] [eqn: rmO]
⑤	[eqn: x] [eqn: y] [eqn: rmO]

19. 방정식 [eqn: 4 ^{x} +4 ^{y} =2`]를 만족시키는 실수 [eqn: x`], [eqn: y`]에 대하여 [eqn: 2 ^{x} +2 ^{y+1} `]의 최댓값은? [[eqn: 4]점]

① [eqn: sqrt {10} `]    ② [eqn: sqrt {11} `]    ③ [eqn: 2 sqrt {3} `]    ④ [eqn: sqrt {13} `]    ⑤ [eqn: sqrt {14} `]

20. 이차함수 [eqn: f(x)`=x ^{2} +1`]과 두 실수 [eqn: x _{1}], [eqn: x _{2}]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [[eqn: 4]점]

		〈보 기〉
	ㄱ. [eqn: 0<x _{1} <x _{2} `] 이면 [eqn: 2 ^{f(x _{1} )} <2 ^{f(x _{2} )} `]이다. ㄴ. [eqn: x _{1} <x _{2} <0`] 이면 [eqn: log _{`2`} f(x _{1} )>log _{`2`} f(x _{2} )`]이다. ㄷ. [eqn: x _{1} <0<x _{2}] 이면 [eqn: log _{{1} over {2}} f(x _{1} )<log _{{1} over {2}} f(x _{2} )`]이다.

	①	ㄱ	②	ㄷ	③	ㄱ, ㄴ
	④	ㄴ, ㄷ	⑤	ㄱ, ㄴ, ㄷ

21. 그림과 같이 지수함수 [eqn: y= LEFT ( ` root {10} of {`3`} ` RIGHT ) ^{`x} `]의 그래프가 직선 [eqn: y=3`]과 만나는 점을 [eqn: rm A`]라 하고, 점 [eqn: rm A`]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmB`]라 하자. 두 점 [eqn: rmA`], [eqn: rmB`]를 지나는 원이 지수함수 [eqn: y=a ^{x} `]의 그래프와 직선 [eqn: y=3`]의 교점 [eqn: rmP`]에서 직선 [eqn: rm OP`]와 접하도록 하는 모든 실수 [eqn: a`]의 값의 곱은? (단, [eqn: a> root {10} of {3} `]) [[eqn: 4]점]

[eqn: rmA`]

[eqn: rm B`]

[eqn: rmO`]

[eqn: rm P]

[eqn: rm 3]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: y=a ^{x} `]

[eqn: y= LEFT ( root {10} of {3} RIGHT ) ^{x} `]

[eqn: y=3]

①	[eqn: 3 ^{{8} over {9}} `]	②	[eqn: 3 ^{{10} over {9}} `]	③	[eqn: 3 ^{{13} over {9}} `]	④	[eqn: 3 ^{{16} over {9}} `]	⑤	[eqn: 3 ^{{20} over {9}} `]

단답형(22 ~ 30)

22. 로그함수 [eqn: y=log` _{7`} (x+a)`]의 그래프가 점 [eqn: (`1`,~2`)`]를 지날 때, 상수 [eqn: a`]의 값을 구하시오. [[eqn: 3]점]

23. 방정식 [eqn: x ^{`log`x} = LEFT ( {x} over {10} RIGHT ) ^{4} `]의 실근을 구하시오. [[eqn: 3]점]

24. 연립방정식 [eqn: {cases{log _{2`} x+log _{2} `y=7#log _{2} ``x ^{2} -log _{2} ``y=`-1}}]의 해를 [eqn: x= alpha `], [eqn: y= beta `] 라 할 때, [eqn: alpha + beta `]의 값을 구하시오. [[eqn: 3]점]

25. 이차부등식 [eqn: x ^{2} -2 ^{a+1} `x+9``‧``2 ^{a} ` GEQ 0`]이 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 성립하도록 하는 모든 자연수 [eqn: a`]의 값의 합을 구하시오. [[eqn: 3]점]

26. 표는 [eqn: 0]이 아닌 실수 [eqn: a`]와 [eqn: 2`]이상의 자연수 [eqn: n`]에 대한 두 종류의 변환장치를 설명한 것이다.

변환장치	설 명
[eqn: a] [eqn: n] [eqn: k]	(ⅰ) [eqn: n]이 홀수인 경우 [eqn: k][eqn: =(][eqn: a]의 [eqn: n]제곱근 중 실수[eqn: )] (ⅱ) [eqn: n]이 짝수인 경우 [eqn: k=(][eqn: a]의 [eqn: n]제곱근 중 양의 실수[eqn: )]
[eqn: a] [eqn: n] [eqn: m]	[eqn: m=`]([eqn: a]의 [eqn: n]제곱근 중 실수의 개수)

그림과 같이 연결된 변환장치로 네 수를 변환했을 때, 세 수 [eqn: x`], [eqn: y`], [eqn: z`]에 대하여 [eqn: x ^{`2} `+`y ^{`2} `+`z ^{`2} `]의 값을 구하시오. [[eqn: 4]점]

[eqn: z]

[eqn: -8]

[eqn: 3]

[eqn: x]

[eqn: 9]

[eqn: 2]

[eqn: y]

27. 두 집합 [eqn: X="{"a,~b,~c,~d`"}"], [eqn: Y="{"1,~2"}"`]에 대하여 함수

[eqn: f`] : [eqn: X`` -> `Y`] 중에서 행렬 [eqn: ` {pmatrix{f(a)```&f(b)#f(c)````&f(d)}} ```]의 역행렬이 존재하도록

하는 함수 [eqn: f`]의 개수를 구하시오. [[eqn: 3]점]

28. 행렬 [eqn: M= {pmatrix{``a&``````b``#``c&``````d``}} `]에 대하여 좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm P it LEFT ( `a`,~b` RIGHT ) `], [eqn: rmQ it LEFT ( `c`,~d` RIGHT ) `]를 지름의 양 끝점으로 하는 원의 넓이를 [eqn: S(M)`]이라 하자. 두 행렬 [eqn: A= {pmatrix{``3&``````1``#``5&``````2``}} `], [eqn: B= {pmatrix{``20&``````10``#``30&``````20``}} `]에 대하여 행렬 [eqn: X]가 [eqn: AX=B`]를 만족시킬 때, [eqn: {1} over {pi} S(X)`]의 값을 구하시오. [[eqn: 4]점]

29. 양수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: log`x`]의 지표를 [eqn: f` LEFT ( `x` RIGHT ) `], 가수를 [eqn: g(x)`]라 하자. 다음 조건을 만족시키는 양수 [eqn: a`]에 대하여 [eqn: f(`a ^{6} `)`]의 값을 구하시오. [[eqn: 4]점]

(가) [eqn: 6` LEFT { `g LEFT ( `a RIGHT ) RIGHT } ^{2} -`5`g` LEFT ( a` RIGHT ) `+1=0]

(나) [eqn: f` LEFT ( `a` RIGHT ) +f` LEFT ( `a ^{2} ` RIGHT ) +f` LEFT ( `a ^{3} ` RIGHT ) ``=14]

30. 함수 [eqn: f(x)=2 ^{x-2} +1`]과 [eqn: g(x)=log` _{2} (x-1)+2`]의 그래프가 두 점 [eqn: rm A`it(`2,~f(2))`], [eqn: rmB`it(3,~f(3))`]에서 만난다. 두 함수 [eqn: f(x)`]와 [eqn: g(x)`]의 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S _{1} `]이라 하고, 함수 [eqn: f(x)`]의 그래프와 두 직선 [eqn: x=2`], [eqn: x=3`]과 [eqn: x`]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S _{2} `]라 할 때, [eqn: S _{1} +2S _{2} `]의 값을 구하시오. [[eqn: 4]점]

[eqn: 3]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: S _{1}]

[eqn: S _{2}]

[eqn: 2]

[eqn: rmA`]

[eqn: rm B`]

[eqn: y=f(x)`]

[eqn: y=g(x)`]

* 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.