2012학년도 9월 고1 전국연합학력평가

정답 및 해설(1~3교시)

고 1	정답 및 해설	2012학년도 9월 전국연합학력평가

2012학년도 9월 전국연합학력평가	정답 및 해설	고 1

8

수학 영역

정답

1	⑤	2	④	3	②	4	①	5	⑤
6	②	7	④	8	③	9	③	10	⑤
11	③	12	①	13	①	14	④	15	②
16	④	17	③	18	③	19	②	20	⑤
21	②	22	[eqn: 17]	23	[eqn: 14]	24	[eqn: 60]	25	[eqn: 15]
26	[eqn: 23]	27	[eqn: 5]	28	[eqn: 16]	29	[eqn: 36]	30	[eqn: 9]

해설

1. [출제의도] 복소수의 사칙연산 계산하기

[eqn: LEFT ( 1+i RIGHT ) LEFT ( 1- {1} over {i} RIGHT ) ``=` LEFT ( 1+i RIGHT ) LEFT ( 1- {i} over {i TIMES i} RIGHT ) ``]    [eqn: =` LEFT ( 1+i RIGHT ) LEFT ( 1+i RIGHT ) `=`2i`]

2. [출제의도] 집합의 성질 이해하기

[eqn: LEFT ( A-B ^{C} RIGHT ) ^{C}][eqn: = LEFT ( A SMALLINTER B` RIGHT ) ^{C}][eqn: =A ^{C} CUP B ^{C}]

3. [출제의도] 절댓값의 성질 이해하기

[eqn: -2 LEQ a<1`]이므로

[eqn: sqrt {(`a+2`) ^{2}} `-` sqrt {(`a-3`) ^{2}}]

[eqn: =][eqn: |`a+2`|-|`a-3`|][eqn: = LEFT ( a+2 RIGHT ) + LEFT ( a-3 RIGHT ) `]

[eqn: =2a-1]

4. [출제의도] 이차방정식의 근의 성질 이해하기

한 근이 [eqn: 2-4i`]이므로 다른 한 근은 [eqn: 2+4i`]이다. 이차방정식의 근과 계수와의 관계에 의해

[eqn: (2+4i)+(2-4i)=-a`]

[eqn: (2+4i)(2-4i)=b`]

따라서 [eqn: a=-4,~b=20]이므로 [eqn: a+b=16]

5. [출제의도] 명제와 진리집합 사이의 관계 이해하기

주어진 벤 다이어그램에서 두 집합 [eqn: P`,```R`]의 포함관계는 [eqn: R subset P`]이다. 따라서 [eqn: P ^{C it} SUBSET R ^{C it}] 이므로 [eqn: SIM p`` -> ` SIM r`]이 참이다.

6. [출제의도] 삼각형의 무게중심 구하기

변 [eqn: rmBC`]의 중점을 [eqn: rm M``]이라 하자. [eqn: rm TRIANGLE ABC`]의 무게중심은 선분 [eqn: rm AM`]을 [eqn: 2:1`]로 내분하는 점이므로 무게중심의 좌표는

[eqn: rm LEFT ( {2`․`(-2)+1`․`1} over {2+1} ,``` {2`․`4+1`․`(-2)} over {2+1} RIGHT )][eqn: = rm LEFT ( -1,~2 RIGHT ) `]

7. [출제의도] 무리식 계산하기

[eqn: {1} over {a+ sqrt {ab}} + {1} over {b+ sqrt {ab}}]

[eqn: = {1} over {sqrt {a} LEFT ( sqrt {a} + sqrt {b} RIGHT )} + {1} over {sqrt {b} LEFT ( sqrt {b} + sqrt {a} RIGHT )}]

[eqn: = {sqrt {b} + sqrt {a}} over {sqrt {ab} LEFT ( sqrt {a} + sqrt {b} RIGHT )}][eqn: = {1} over {sqrt {ab}}]

8. [출제의도] 연립부등식의 해의 성질 이해하기

[eqn: {cases{x ^{2} -2x-3 LEQ 0&`````````````````````````` CDOTS `㉠#(x-4)(x-a) LEQ 0&`````````````````````````` CDOTS `㉡}}]

㉠에서 [eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) LEQ 0]

[eqn: THEREFORE -1 LEQ x LEQ 3]    [eqn: CDOTS ㉢]

㉡과 ㉢을 동시에 만족하는 정수의 개수가 [eqn: 4`]개이므로 ㉡의 해는 [eqn: a LEQ x LEQ 4]  [eqn: CDOTS `㉣]

㉢

㉣

[eqn: THEREFORE ```-1<a LEQ 0`]

9. [출제의도] 켤레복소수의 성질 이해하기

[eqn: z=a+bi`]라 하면

[eqn: z+(1-2i)=(a+1)+(b-2)i`]는 양의 실수 이므로 [eqn: a>-1,~b=2`]…㉠

[eqn: z bar{z`} `=`a ^{2} +b ^{2} =7`]…㉡

㉠, ㉡에 의해 [eqn: a= sqrt {3} ,~b=2`]

[eqn: THEREFORE ``` {1} over {2} LEFT ( z+ bar{z} RIGHT ) =a= sqrt {3} `]

10. [출제의도] 이중근호를 이용하여 수학 내적문제 해결하기

[eqn: x= 2 + sqrt3], [eqn: y= 2 - sqrt3]에서

[eqn: x>0`], [eqn: y>0`]이므로 [eqn: sqrtx sqrty = sqrt xy]이고

[eqn: x+y=4], [eqn: x-y = 2sqrt3`], [eqn: xy=1`]이므로

[eqn: { sqrtx + sqrty } over {sqrtx - sqrty }={ left( sqrtx + sqrty right)^2 } over {x-y}]

[eqn: = { x+y+2sqrtx sqrty } over {x-y}= sqrt3 `]

11. [출제의도] 필요조건과 충분조건 이해하기

조건 [eqn: p`], [eqn: q`]의 진리집합을 각각 [eqn: P,``Q``]라 할 때, [eqn: p`]가 [eqn: q`]이기 위한 필요조건이지만 충분조건이 되지 않으려면 [eqn: Q SUBSET P`], [eqn: P != Q`]이어야 한다.

ㄱ. [eqn: P`= LEFT { `-5,``-1 RIGHT }], [eqn: Q`= LEFT { `-1 RIGHT }]이므로

[eqn: Q SUBSET P`] (참)

ㄴ. [eqn: P= LEFT { x`□`-1<x<1 RIGHT }]이므로 [eqn: P SUBSET Q``]이다.

(거짓)

ㄷ. [eqn: x=-2`], [eqn: y=1]은 [eqn: P`]에 속하지만 [eqn: Q`]에 속하지 않고, [eqn: Q`]에 속한 모든 [eqn: x,`y]는 [eqn: P`]에 속한다. (참)

12. [출제의도] 부분집합의 개수를 이용하여 수학내적문제 해결하기

[eqn: 1`]이 포함된 원소가 [eqn: 2]개 이상인 부분집합의 개수는 [eqn: 2 ^{5-1} `-1=15``]

[eqn: 1``]은 포함되지 않고 [eqn: 2`]는 포함된 원소가 [eqn: 2]개 이상인 부분집합의 개수는 [eqn: 2 ^{5-2} `-1=7`]

[eqn: 1], [eqn: 2`]는 포함되지 않고 [eqn: 3`]은 포함된 원소가 [eqn: 2]개 이상인 부분집합의 개수는 [eqn: 2 ^{5-3} `-1=3]

[eqn: 1], [eqn: 2`], [eqn: 3`]은 포함되지 않고 [eqn: 4]는 포함된 원소가 [eqn: 2]개 이상인 부분집합의 개수는 [eqn: 2 ^{5-4} `-1=1]

[eqn: 1], [eqn: 2`], [eqn: 3`], [eqn: 4]는 포함되지 않고 [eqn: 5`]는 포함된 원소가 [eqn: 2`]개 이상인 부분집합은 없다.

[eqn: THEREFORE ```15 TIMES `1`+`7` TIMES `2`+`3 TIMES `3+1 TIMES 4`=42```]

13. [출제의도] 절대부등식 이해하기

[eqn: x ^{2} -2kx-2k ^{2} +k+4]

[eqn: =(x-k) ^{2} +(-3k ^{2} +k+4)`]이므로 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 이차부등식이 항상 성립하기 위해서는 [eqn: -3k ^{2} +k+4>0`]이어야 한다.

[eqn: THEREFORE -1<k< {4} over {3} `]

그러므로 모든 정수 [eqn: k`]의 값의 합은 [eqn: 1`]이다.

14. [출제의도] 비례식을 이용하여 수학외적 문제 해결하기

[eqn: A`]학교에서 갑, 을의 득표수는 각각 [eqn: 3a,``a]

([eqn: a != 0`]인 상수)

[eqn: B`]학교에서 갑, 을의 득표수는 각각 [eqn: 3b`,`5b]

([eqn: b != 0`]인 상수)

[eqn: A`], [eqn: B`]학교의 투표자 수의 비가 [eqn: 5:4]이므로

[eqn: LEFT ( 3a+a RIGHT ) : LEFT ( 3b+5b RIGHT ) =5:4]

[eqn: a:2b=5:4]

[eqn: THEREFORE `a:b=5:2]

그러므로 갑, 을의 전체 득표수의 비는

[eqn: LEFT ( 3a+3b RIGHT ) `: LEFT ( a+5b RIGHT ) =21:15=7:5`]

15. [출제의도] 항등식을 이용하여 다항식을 구하는 과정 추론하기

[eqn: x ^{3} +2x-1`=0`]의 서로 다른 세 근이 모두 방정식 [eqn: (x ^{2} +x+1)P(x)=1`]의 근이므로

[eqn: (x^2 + x + 1 ) P(x)-1=(x^3 + 2x -1) Q(x) `]

인 다항식 [eqn: Q(x)`]가 존재한다.

즉, [eqn: (x^2 + x + 1 ) P(x)=(x^3 + 2x -1) Q(x) +1`]이다.

그런데, [eqn: x^3 + 2 x -1 `]을 [eqn: x^2 + x+ 1`]로 나눈 몫과 나머지는 각각 [eqn: x-1`], [eqn: BOX{```2x```} `]이므로

[eqn: (x ^{2} +x+1)P(x)]

[eqn: =(x-1)(x ^{2} +x+1)Q(x)+ BOX{`2x`} Q(x)+1][eqn: CDOTS `㉠]

이다. 등식 ㉠을 만족하는 다항식 [eqn: P(x)`]의 차수가 최소가 되기 위해서는[eqn: Q(x)`]가 다항식이므로

[eqn: BOX{``2x``} Q(x)+1`][eqn: =x ^{2} +x+1]

이어야 한다. 따라서 [eqn: Q(x)= BOX{` {1} over {2} x+ {1} over {2} `} `]이다.

그러므로 구하고자 하는 다항식

[eqn: P(x)= BOX{` {1} over {2} x ^{2} + {1} over {2} `} `]이다.

[eqn: f(x)=2x,``g(x)= {1} over {2} x+ {1} over {2} ,``h(x)= {1} over {2} x ^{2} + {1} over {2}]이므로 [eqn: f(1)+g(3)+h(5)=17]

16. [출제의도] 실수의 대소 관계 추론하기

[eqn: c ^{2} -ac-bc+ab][eqn: = LEFT ( c-a RIGHT ) LEFT ( c-b RIGHT )][eqn: <0`]

이므로 [eqn: a<c<b`]이거나 [eqn: b<c<a`]이다.

(i) [eqn: a<c<b`]일 때, [eqn: a-b<0``]이므로 [eqn: a>0`]이다. 그런데 [eqn: c<0`]이므로 모순이다.

(ii) [eqn: b<c<a`]일 때, [eqn: a-b>0``]이므로 [eqn: a<0`]이다. 따라서 모든 조건을 만족한다.

(i), (ii)에 의하여 [eqn: b<c<a`]

17. [출제의도] 삼차방정식의 근 이해하기

[eqn: 2x ^{3} +5x ^{2} + LEFT ( k+3 RIGHT ) x`+k``=` LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( 2x ^{2} +3x+k RIGHT )]

이므로 주어진 방정식의 세 근이 음수가 되기 위해서는 [eqn: 2x ^{2} +3x+k=0]의 두 근이 음수가 되어야 한다. 따라서 [eqn: 2x ^{2} +3x+k=0]의 두 근을 [eqn: alpha ,`` beta] 라 하면

(i)[eqn: ``D``=`9-8k GEQ `0````], [eqn: `` THEREFORE `k LEQ {9} over {8} ````]

(ii)[eqn: `` alpha `+` beta ```=`-` {3} over {2} `<0`]

(iii)[eqn: ```` alpha beta ``=` {k} over {2} ``>0``], [eqn: ```` THEREFORE k>0`]

(i), (ii), (iii) 으로부터 [eqn: 0<`k` LEQ ` {9} over {8}]

18. [출제의도] 삼차방정식을 이용하여 수학내적문제 해결하기

[eqn: x]

[eqn: x]

[eqn: x+1]

[eqn: x+3]

[eqn: x+2]

오각기둥의 부피를 구하면

[eqn: LEFT [ x LEFT ( x+3 RIGHT ) + {2 LEFT { LEFT ( x+3 RIGHT ) +x RIGHT }} over {2} ` RIGHT ] LEFT ( x+1 RIGHT ) =108]

[eqn: LEFT { x LEFT ( x+3 RIGHT ) +2x+3 RIGHT } LEFT ( x+1 RIGHT ) =108]

[eqn: x ^{3} +6x ^{2} +8x-105=0`]

[eqn: LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +9x+35 RIGHT ) =0`]

[eqn: x ^{2} +9x+35 >0`]이므로 [eqn: x=3`]

19. [출제의도] 다항식의 나눗셈 이해하기

[eqn: x ^{3} +3x ^{2} +4x+2=`f(x)`Q(x)`+g(x)`````` CDOTS `]㉠

[eqn: x ^{3} +3x ^{2} +4x+2]

[eqn: =`g(x)`Q` prime `(x)`+`f(x)`-x ^{2} -2x```` CDOTS `]㉡

[eqn: f(x)]는 [eqn: 2]차의 다항식이므로 [eqn: g(x)]는 [eqn: 1]차 이하의 다항식임을 알 수 있다. 또한 ㉡식으로부터 [eqn: g(x)]로 나눈 나머지는 상수항이 되어야 하므로

[eqn: f(x)-`x ^{2} -2x=a`]([eqn: a]는 상수)이다.

등식 ㉠으로부터 [eqn: `g(x)=(2-a)(x+1)`]이다.

식 ㉡은

[eqn: x ^{3} +3x ^{2} +4x+2=`(2-a)(x+1)`Q` prime (x)`+a]

인 항등식이므로 [eqn: x=`-1]을 대입하면 [eqn: a=0]

[eqn: THEREFORE ``g(x)`=2(x+1)]

따라서 [eqn: g(1)`=`4]

20. [출제의도] 복소수의 거듭제곱의 성질 추론하기

ㄱ. [eqn: z _{2} = LEFT ( {sqrt {2} i} over {1+i} RIGHT ) ^{2} = {-2} over {2i} =i`](참)

ㄴ. [eqn: z _{2} =i`]이므로 [eqn: z _{6} =z _{2} ^{``3} =i ^{3} =-i=-z _{2}] (참)

ㄷ. [eqn: z _{8} =z _{2} z _{6} =1]이므로 [eqn: z _{n+8} =z _{n} `] (참)

21. [출제의도] 유리식을 이용하여 수학외적문제 해결하기

[eqn: R _{1} = {aW} over {p} `]이다.

[eqn: 2`]차 광고에 든 비용은

[eqn: p+ {x} over {100} p= LEFT ( 1+ {x} over {100} RIGHT ) p``]이므로

[eqn: 3`]차 광고에 든 비용은 [eqn: LEFT ( 1+ {x} over {100} RIGHT ) ^{2} p`]이다.

따라서 [eqn: R _{3} `][eqn: = {6aW} over {LEFT ( 1+ {x} over {100} RIGHT ) ^{2} p}]이다.

[eqn: {R _{1}} over {R _{3}} = {2} over {3}]이므로 [eqn: LEFT ( 1+ {x} over {100} RIGHT ) ^{2} =4]

[eqn: THEREFORE ```x=100```` LEFT ( BECAUSE x>0 RIGHT )]

22. [출제의도] 실수의 연산 이해하기

[eqn: 3 AST 5=3 TIMES 5+2=17]

23. [출제의도] 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리 계산하기

두 점 [eqn: rm `A` it `(a-1,~4)`], [eqn: rm `B` it `(5,~a-4)`] 사이의 거리가 [eqn: sqrt {10} `]이므로

[eqn: bar{rm AB it} it ^{2} =(a-6) ^{2} +(8-a) ^{2} =10`]

[eqn: THEREFORE ``a ^{2} -14a+45=0`]이다.

따라서 모든 [eqn: a`]의 값의 합은 [eqn: 14`]

24. [출제의도] 연립방정식의 해 구하기

[eqn: x+y-z=4``] [eqn: CDOTS]㉠

[eqn: x-y+z=2``] [eqn: CDOTS]㉡

[eqn: x+y+z=12``] [eqn: CDOTS]㉢

㉠[eqn: +]㉡을 하면  [eqn: x=3`], ㉡[eqn: -]㉢을 하면 [eqn: y=5],

㉢[eqn: -]㉠을 하면 [eqn: z=4] 이므로 [eqn: xyz=60`]

25. [출제의도] 이차방정식의 근과 계수와의 관계를 이용하여 수학내적문제 해결하기

[eqn: 3x ^{2} -12x-k=0`]의 두 실근을 [eqn: alpha ``,`` beta]라 하면,

[eqn: alpha `+` beta ``=4], [eqn: ` alpha beta =- {k} over {3}], [eqn: |` alpha `|`+|` beta `|=6]이므로

[eqn: LEFT ( LEFT | alpha RIGHT | + LEFT | beta RIGHT | RIGHT ) ^{2} = alpha ^{2} +2 LEFT | alpha beta RIGHT | + beta ^{2}]                          [eqn: = LEFT ( alpha + beta RIGHT ) ^{2} -2 alpha beta +2 LEFT | alpha beta RIGHT |]

[eqn: =16+ {2k} over {3} + {2 LEFT | k RIGHT |} over {3}]

따라서 [eqn: k+ LEFT | `k` RIGHT | =30]이다.

[eqn: k LEQ 0`]이면 성립하지 않으므로 [eqn: k>0`]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: k=15]

26. [출제의도] 절대부등식을 이용하여 유리식의 최솟값 계산하기

[eqn: x ^{2} -9>0]이므로

[eqn: x ^{2} + {49} over {x ^{2} -9}][eqn: =(x ^{2} -9)+ {49} over {x ^{2} -9} +9]

[eqn: GEQ 2 sqrt {LEFT ( x ^{2} -9 RIGHT ) TIMES {49} over {x ^{2} -9}} +9][eqn: =23`]

따라서 [eqn: x=4]일 때 최솟값은 [eqn: 23]이다.

27. [출제의도] 고차방정식을 이용하여 수학내적문제 해결하기

[eqn: {bar{rm PA it} }^2`= bar{rm PB it} `‧ bar{rm PC it} `]이므로

[eqn: LEFT ( 2 sqrt {6} x RIGHT ) ^{2}][eqn: = LEFT ( x ^{2} -x+4 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +x+4 RIGHT )]이다.

즉, [eqn: x ^{4} -17x ^{2} +16=0``]

[eqn: x ^{2} =t]로 치환하면

[eqn: t ^{2} -17t+16= LEFT ( t-1 RIGHT ) LEFT ( t-16 RIGHT ) =0`]

[eqn: THEREFORE ``t=1], [eqn: t=16]

[eqn: x ^{2} =1], [eqn: x ^{2} =16]이므로

[eqn: x=1], [eqn: x=4]([eqn: BECAUSE ``x>0])

따라서 모든 [eqn: x`]값의 합은 [eqn: 5`]이다.

28. [출제의도] 다항식의 곱셈을 이용하여 수학내적문제 해결하기

[eqn: r _{1} +r _{2} +r _{3} =8`]이고, 어두운 부분과 원 [eqn: rm O _{1} ``], [eqn: rm `O _{2} `], [eqn: rm `O _{3} `]의 넓이의 합이 같으므로 원 [eqn: rm O _{1} ``], [eqn: rm `O _{2} `], [eqn: rm `O _{3} `]의 넓이의 합은 원 [eqn: rm O]의 넓이의 [eqn: {1} over {2}]이다. 즉,

[eqn: pi r _{1} ^{`2} + pi r _{2} ^{`2} + pi r _{3} ^{`2} = {1} over {2} TIMES 64 pi `]이다.

[eqn: THEREFORE ``r _{1} ^{`2} +r _{2} ^{`2} +r _{3} ^{`2} ``=32`]

[eqn: r _{1} r _{2} +r _{2} r _{3} +r _{3} r _{1} `]

[eqn: = {1} over {2} LEFT { LEFT ( r _{1} +r _{2} +r _{3} RIGHT ) ^{2} - LEFT ( r _{1} ^{`2} +r _{2} ^{`2} +r _{3} ^{`2} RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: = {1} over {2} LEFT ( 64-32 RIGHT ) =16]

29. [출제의도] 다항식의 최대공약수의 성질 이해하기

[eqn: x ^{3} +x ^{2} -2x=x(x-1)(x+2)]

[eqn: 2x ^{3} +(a-2)x ^{2} +(4-a)x-4]

[eqn: =(x-1)(2x ^{2} +ax+4)]

최대공약수가 이차다항식이므로 최대공약수는 [eqn: (x-1)(x+2)``]이다.

따라서 [eqn: x+2]는 [eqn: 2x ^{2} +ax+4]의 인수이므로 [eqn: a=6]      [eqn: THEREFORE] [eqn: a ^{2} =36]

30. [출제의도] 평면좌표를 이용하여 수학내적문제 해결하기

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO`]

사각형 [eqn: rmABCD`]의 점 [eqn: rmA`]의 좌표를 [eqn: (alpha,~alpha^2`)`], 점 [eqn: rmB`]의 좌표를 [eqn: (beta,~beta ^{2} `)`]라 놓으면 점 [eqn: rmC`]의 좌표는 [eqn: ( alpha ,~ alpha )`], 점 [eqn: rmD`]의 좌표는 [eqn: (beta ^{2} ,~beta ^{2} )`]이 된다. 직선 [eqn: rmAB`]와 직선 [eqn: rmCD`]의 기울기가 같으므로

[eqn: {beta ^{2} -alpha ^{2}} over {beta-alpha} `=`1`] ⇒ [eqn: alpha+beta=1`] [eqn: CDOTS `]㉠

이다. 이때, 사각형의 두 대각선 [eqn: rmBD`]와 [eqn: rmAC`]의 교점을 점 [eqn: rmM`]이라 하면 사각형 [eqn: rmABCD`]는 정사각형이므로 [eqn: bar{rm BD it} `=2 bar{rm BM` it}]이다. 즉,

[eqn: beta-beta ^{2} =2(beta-alpha)`]

[eqn: beta ^{2} + beta -2 alpha =0`]

㉠에 의하여 [eqn: alpha=1-beta`]

[eqn: beta ^{2} +3beta-2=0`], [eqn: beta= {-3+ sqrt {17}} over {2}] [eqn: (BECAUSE `beta `>0)]

따라서 대각선의 길이는

[eqn: beta - beta ^{2} = beta (1- beta )]

[eqn: = LEFT ( {-3+ sqrt {17}} over {2} RIGHT ) TIMES ` LEFT ( {5- sqrt {17}} over {2} RIGHT ) `=2 sqrt {17} -8]

그러므로 [eqn: a=17,``b=-8]

[eqn: THEREFORE ```a+b=9`]