2012학년도 7월 고3 전국연합학력평가

정답 및 해설

고 3	정답 및 해설	2012학년도 7월 전국연합학력평가

2012학년도 7월 전국연합학력평가	정답 및 해설	고 3

24

수리 영역

“나”형 정답

1	①	2	④	3	④	4	④	5	②
6	②	7	①	8	⑤	9	⑤	10	②
11	④	12	②	13	①	14	③	15	③
16	⑤	17	③	18	③	19	②	20	②
21	③	22	[eqn: 70]	23	[eqn: 36]	24	[eqn: 35]	25	[eqn: 12]
26	[eqn: 10]	27	[eqn: 5]	28	[eqn: 27]	29	[eqn: 610]	30	[eqn: 11]

해설

1. [출제의도] 행렬 계산하기

[eqn: A ^{2} -AB``=`A(A-B`)``=` {pmatrix{9&````````2#4&``-3}}]

[eqn: THEREFORE]모든 성분의 합은 [eqn: 12]

2. [출제의도] 로그 계산하기

[eqn: LEFT ( {3} over {log _{2} 2} RIGHT ) ^{3} +8log _{2} 2} ```=` 35]

3. [출제의도] 지수부등식 계산하기

[eqn: 3^x^2 < 3^{x+2}],   [eqn: x^2 < x+2] ,  [eqn: x^2 -x -2 <0]

[eqn: -1<x<2]

[eqn: therefore alpha + beta `=` 1]

4. [출제의도] 함수의 연속성 이해하기

[eqn: f(x)]가 [eqn: x=1]에서 연속이므로

[eqn: lim _{x -> 1} {f(x)=f(1)} =k]이다.

[eqn: k= lim _{x -> 1} {f(x)= lim _{x -> 1} {{LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT )} over {x-1}}}]

[eqn: = lim _{x -> 1} {LEFT ( x+2 RIGHT )}][eqn: =3]

[eqn: therefore] [eqn: k=3]

5. [출제의도] 미분계수의 성질 이해하기

[eqn: lim _{h -> `0} {{f LEFT ( 2+h RIGHT ) -f LEFT ( 2-h RIGHT )} over {h}}]

[eqn: ```= lim _{h -> `0} {{f LEFT ( 2+h RIGHT ) -f LEFT ( 2 RIGHT ) - LEFT { f LEFT ( 2-h RIGHT ) -f LEFT ( 2 RIGHT ) ` RIGHT }} over {h}}][eqn: `= lim _{h -> `0} {eqalign{{f LEFT ( 2+h RIGHT ) -f LEFT ( 2 RIGHT )} over {h}# `````````````````````- lim _{h -> 0} {{LEFT { f LEFT ( 2-h RIGHT ) -f LEFT ( 2 RIGHT ) ` RIGHT }} over {-h} TIMES LEFT ( -1 RIGHT )}}}][eqn: `=2f`` prime LEFT ( 2 RIGHT )]

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +2x] 이므로

[eqn: 2f`' LEFT ( 2 RIGHT ) =2 LEFT ( 4+4 RIGHT ) =16]

6. [출제의도] 그래프와 행렬의 성질 이해하기

행렬 [eqn: M ^{2}]의 [eqn: LEFT ( i,~i RIGHT )] 성분([eqn: i=1,~2,~3,~4,~5])의 값의 합은 각 꼭짓점에 연결된 모든 변의 개수의 합의 [eqn: 2]배이다. 따라서 그래프 [eqn: G]의 모든 변의 개수는

[eqn: {4+2+2+2+2} over {2} =6]

7. [출제의도] 지수의 성질을 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

[eqn: G_1 `=` 15 over 14 (1.05)^35], [eqn: G _{2} `=` {5} over {14} (1.05) ^{20}]

[eqn: {G _{1`}} over {G _{2}} `=`3(1.05) ^{15} `=` 6]

8. [출제의도] 상용로그를 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

[eqn: 75(0.997) ^{n} =` 80(0.995) ^{n}]

[eqn: n(log0.997`-log0.995) = log`80-log`75]

[eqn: n(-1+0.999+1`-0.998) = 5log``2-log`3-1]

[eqn: 0.001 TIMES n=0.028]

[eqn: therefore n =28]

9. [출제의도] 확률을 이용하여 수학 외적 문제해결하기

(i) [eqn: a=3]일 때, [eqn: b=1]   [eqn: rm {1} over {6} TIMES ` _{5} C _{1} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{5} = {5} over {192}]

(ii) [eqn: a=6]일 때, [eqn: b=2]   [eqn: rm {1} over {6} TIMES ` _{5} C _{2} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{5} = {10} over {192}]

[eqn: therefore][eqn: a=3b]일 확률은 [eqn: {5} over {64}]

10. [출제의도] 정적분의 성질 이해하기

[eqn: f(x)`=`f(x+4)]이므로 [eqn: f(0)=f(4)]이다.

[eqn: 2=16-8+a]

[eqn: a=-6]

[eqn: int _{9} ^{11} {f(x)`dx`} = int _{1} ^{3} {f(x)`dx}# ``````````= int _{1} ^{2} {(-4x+2)`dx`+ int _{2} ^{3} {(x ^{2} -2x-6)dx}}]

[eqn: =`- {26} over {3}]

11. [출제의도] 여러 가지 수열의 합을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: x ^{2} - LEFT ( n+1 RIGHT ) x+n ^{2} =nx-n]

[eqn: x ^{2} - LEFT ( 2n+1 RIGHT ) x+n LEFT ( n+1 RIGHT ) =0]

[eqn: x`=`n ``,``n+1]

[eqn: a_n b_n `=` n(n+1)]

[eqn: sum _{n=1} ^{19} {100} over {n LEFT ( n+1 RIGHT )} & =100 sum _{n=1} ^{19} LEFT ( {1} over {n} - {1} over {n+1} RIGHT )# & =100 LEFT ( 1- {1} over {20} RIGHT )# &=95]

12. [출제의도] 미분계수 계산하기

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) & = LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) CDOTS LEFT ( x-10 RIGHT )# & ````````+ LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) CDOTS LEFT ( x-10 RIGHT )# & ```````````````````````````````````` VDOTS # & ~~+ LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) CDOTS LEFT ( x-9 RIGHT )]

[eqn: f`' LEFT ( 1 RIGHT ) = LEFT ( 1-2 RIGHT ) LEFT ( 1-3 RIGHT ) cdots LEFT ( 1-10 RIGHT )]

[eqn: f'` LEFT ( 4 RIGHT ) = LEFT ( 4-1 RIGHT ) LEFT ( 4-2 RIGHT ) LEFT ( 4-3 RIGHT ) LEFT ( 4-5 RIGHT ) cdots LEFT ( 4-10 RIGHT )]

[eqn: {f` prime LEFT ( 1 RIGHT )} over {f` prime LEFT ( 4 RIGHT )} = {(-7) TIMES (-8) TIMES (-9)} over {3 TIMES 2 TIMES 1} =`-84]

(별해)

[eqn: f` prime LEFT ( 1 RIGHT ) & = lim _{x -> 1} {{f(x)-f(1)} over {x-1}}]

[eqn: = lim _{x -> 1} {LEFT { (x-2)(x-3)(x-4) CDOTS (x-10) RIGHT }}]

[eqn: = `-9`!]

[eqn: f` prime LEFT ( 4 RIGHT ) & = lim _{x -> 4} {{f(x)-f(4)} over {x-4}}]

[eqn: = lim _{x -> 4} {LEFT { (x-1)(x-2)(x-3)(x-5) CDOTS (x-10) RIGHT }}]

[eqn: =`3`!` TIMES `6`!]

[eqn: therefore {f` prime LEFT ( 1 RIGHT )} over {f` prime LEFT ( 4 RIGHT )} =`-84]

13. [출제의도] 적분과 미분의 관계를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

고 3	정답 및 해설	2012학년도 7월 전국연합학력평가

극한값의 성질에 의하여

[eqn: int _{1} ^{1} {f LEFT ( t RIGHT ) `dt-f LEFT ( 1 RIGHT ) =0}]이므로 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =0],

[eqn: lim _{x -> 1} {{ int _{1} ^{x} {f(t)`dt} -f(x)} over {x ^{2} -1}]

[eqn: =lim _{x -> 1} {{ int _{1} ^{x} {f(t)`dt} `} over {x ^{2} -1} -` lim_{x->1} { { f(x)-f(1)} over { x^2 -1}]

[eqn: = {f(1)} over2 - {f'(1)} over {2} =2}]

[eqn: therefore] [eqn: f`'(1)`=-4]

14. [출제의도] 무한등비급수의 합을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

수열 [eqn: LEFT { arch{rm ``A it rm _{itn} rm B it rm _{itn} ` it} ` RIGHT } `]은 첫째항이 [eqn: 3 LEFT ( {pi } over {2} `-` theta RIGHT ) `]이고 공비가 [eqn: costheta`]인 등비수열이다.

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } arch{rm ``A it rm _{n} rm B it rm _{n} ` it} `=` {3 LEFT ( {pi } over {2} `-` theta RIGHT ) `} over {1-cos theta } `][eqn: `=`9` left(pi over 2`-`theta right)`]

[eqn: costheta`=`2 OVER 3`]

[eqn: bar{rm B _{1} C _{1} it} `=`3sin theta `= sqrt {5} `]

15. [출제의도] 지수함수와 로그함수의 성질을 이용하여 추론하기

[eqn: x]

[eqn: y`=`2^x]

[eqn: y`=`-x+5]

[eqn: y`=`log_2 x]

[eqn: y`=`log_3 x]

[eqn: a_1]

[eqn: a_1]

[eqn: a_2]

[eqn: a_2]

[eqn: b_2]

[eqn: b_1]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: rm A]

[eqn: rm A ']

[eqn: rm B]

ㄱ. [eqn: y `=` log_2 ` x]와 [eqn: y `=` -x+5]가 만나는 점 [eqn: rm A prime (it`a _{2} `,`a _{1} `)] [eqn: therefore`a _{1} >b _{2}] (참)

ㄴ. 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]는 [eqn: y=-x+5] 위의 점이므로

[eqn: a _{1} +a _{2} =b _{1} +b _{2} =5] (참)

ㄷ. 직선 [eqn: rmOA prime]와 직선 [eqn: rm OB]의 기울기에 의해
[eqn: {a _{1}} over {a _{2}} > {b _{2}} over {b _{1}}] (거짓)

16. [출제의도] 조건부확률을 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

	전화조사	인터넷조사	합계
대상자 (명)	[eqn: 10000]	[eqn: 40000]	[eqn: 50000]
참여자 (명)	[eqn: 7000]	[eqn: 34000]	[eqn: 41000]

조사에 참여한 대상자를 임의로 한 명 선택하였을 때, 이 사람이 인터넷조사에 참여하였을 확률 [eqn: rmP]는 [eqn: rm P=][eqn: {34000} over {41000} = {34} over {41}]

17. [출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이용하여 일반항 추론하기

[eqn: b _{n} = {a _{n}} over {n+1}]이라 놓으면 [eqn: a _{n} =(n+1)b _{n}]이므로

[eqn: LEFT ( n+3 RIGHT ) b _{n+2} = box(n+2) ``b _{n+1} +b _{n}]

[eqn: LEFT ( n+3 RIGHT ) LEFT ( b _{n+2} -b _{n+1} RIGHT ) =`- LEFT ( b _{n+1} -b _{n} RIGHT )][eqn: ` CDOTS][eqn: ` CDOTS] (★)

식 (★)에 [eqn: n=1`,~2`,~ CDOTS ```,~m-1`] [eqn: LEFT ( m GEQ 2 RIGHT )]를 대입하면

[eqn: 4 LEFT ( b _{3} -b _{2} RIGHT ) =`- LEFT ( b _{2} -b _{1} RIGHT )]

[eqn: 5 LEFT ( b _{4} -b _{3} RIGHT ) =`- LEFT ( b _{3} -b _{2} RIGHT )]

[eqn: VDOTS]

[eqn: LEFT ( m+2 RIGHT ) LEFT ( b _{m+1} -b _{m} RIGHT ) =`- LEFT ( b _{m} -b _{m-1} RIGHT )]

좌변과 우변을 각각 곱하여 정리하면,

[eqn: b _{m+1} -b _{m} = LEFT ( - {1} over {4} RIGHT ) LEFT ( - {1} over {5} RIGHT ) `` CDOTS LEFT ( - {1} over {m+2} RIGHT ) (b _{2} -b _{1} )]

[eqn: LEFT . b _{n} =b _{1} + sum _{k=1} ^{n-1} `(b _{k+1} -b _{k} ) RIGHT .] [eqn: (n GEQ 2)]

[eqn: THEREFORE `a _{n} = LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( ` {1} over {2} `+ sum _{k=1} ^{n-1} ``box { (-1)^{k-1} over { (k+2) ``!}`} RIGHT )] [eqn: (`n GEQ 2)]

[eqn: f(n) `=` n+2], [eqn: g(k)`=`{ (-`1)^{k-1} }over { (k+2)``! }]

[eqn: therefore ``f(1) g(3) `=` 1 over 40]

18. [출제의도] 무한급수의 성질 추론하기

[eqn: y=log _{``c`} LEFT | x RIGHT |]과 [eqn: y=n]의 교점의 [eqn: x]좌표를 구하면 [eqn: a _{n} =`c ^{n} `]이고 [eqn: b _{n} =`-c ^{n}]이다. 즉, [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]과 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]은 공비가 [eqn: c`]인 등비수열이다.

ㄱ. [eqn: a _{n} +b _{n} =c ^{n} + LEFT ( -c ^{n} RIGHT ) =0] (참)

ㄴ. [eqn: lim _{n -> INF } {`b _{n`}} `=`0] 이면 [eqn: 0<c<1]

따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } `a _{n} = {c} over {1-c}] (참)

ㄷ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } `1 over{` b_n}]이 발산하면 수열 [eqn: LEFT { {1} over {b _{n}} RIGHT }]의 공비 [eqn: {1} over {c}]은[eqn: {1} over {c} >1] 이므로 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공비 [eqn: c`]는 [eqn: 0<c<1]이다. 따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } `a _{n}]은 수렴한다. (거짓)

19. [출제의도] 도함수의 성질을 이용하여 수학  내적 문제 해결하기

조건 (가)에 의해 [eqn: y`=`f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 [eqn: y]축 대칭이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{4} +bx ^{2} +10]

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =4x ^{3} +2bx],  [eqn: f`'(1) `=` 4+2b] 이므로

[eqn: -6<4+2b < - 2]

[eqn: -10<2b< -6]

[eqn: -5<b < - 3] 이므로 [eqn: b= `-4]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{4} -4x ^{2} +10]

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =4x ^{3} -8x=4x LEFT ( x+ sqrt {2} RIGHT ) LEFT ( x- sqrt {2} RIGHT )]

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: - sqrt {2}]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 0]	[eqn: CDOTS]	[eqn: sqrt {2}]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]	↘	극소	↗	극대	↘	극소	↗

극솟값은 [eqn: f LEFT ( - sqrt {2} RIGHT ) =f LEFT ( sqrt {2} RIGHT ) =6]

20. [출제의도] 함수의 극한을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: S( alpha )``=` alpha sqrt {1- alpha ^{2}}]이므로

[eqn: lim _{alpha -> 1-0} {{alpha sqrt {1-alpha ^{2}}} over {sqrt {1- alpha }}} = lim _{alpha -> 1-0} {{alpha ` sqrt {LEFT ( 1- alpha RIGHT ) LEFT ( 1+ alpha RIGHT )}} over {sqrt {1- alpha }}}# # ``````````= lim _{alpha -> 1-0} {alpha sqrt {1+ alpha }} = sqrt {2}]

21. [출제의도] 정적분의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y`=`f(x)]

[eqn: rm O]

[eqn: y`=`g(x)]

[eqn: 1]

[eqn: 9]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 2]

[eqn: 9]

그림에서 어두운 두 부분의 넓이가 같으므로

[eqn: int _{1} ^{9} {g LEFT ( x RIGHT )}dx ` & =18-1- int _{1} ^{2} {f(x)dx}# & =18-1- int _{1} ^{2} {LEFT ( x ^{3} +x-1 RIGHT ) dx}# & =17- LEFT [ {1} over {4} x ^{4} + {1} over {2} x ^{2} -x RIGHT ] _{1} ^{2}# & =17- {17} over {4} = {51} over {4}]

22. [출제의도] 등차수열 계산하기

[eqn: a_100 -a_90 `=` 10d `=` 34]

[eqn: a_21 `=` a_1 +20d `=` 2+2·34 `=` 70]

23. [출제의도] 중복조합의 성질 이해하기

[eqn: x`=`2l`,~y`=`2m`,~z`=`2n`] (단, [eqn: l`,`m`,`n`]은 자연수)라 하면, [eqn: l`+`m`+`n`=`10`]이 된다.

[eqn: {}_{3+7-1}rmC_7`= {}_9 C_7``=``36`]

24. [출제의도] 함수의 극대·극소 이해하기

[eqn: f`'(x) `=` 3x^2 - 12 `=` 3 (x+2)(x-2)]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -12x+C]

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: -2]	[eqn: cdots]	[eqn: 2]	[eqn: cdots]
[eqn: f`'(x)]	+	[eqn: 0]	-	0	+
[eqn: f(x)]	↗	극대	↘	극소	↗

극솟값은 [eqn: f(2) `=` 8-24+C `=` 3]   [eqn: therefore ` C `=`19]

극댓값은 [eqn: f(-2)`=`35]

25. [출제의도] 미분과 적분의 관계 이해하기

[eqn: f(x) `=` x^2 -6x + C]

[eqn: f(x)]의 최솟값은 [eqn: f(3)`=` -9 + C `=` 8]

[eqn: C ``=`17]

[eqn: f(x) `=` x^2 -6x +17]

[eqn: therefore ``f(1) ``=``12]

26. [출제의도] 수열의 극한 이해하기

[eqn: b_n `=` root{ a_n +n } - rootn] 이라 하면,

[eqn: lim_{n `-> ` inf } { b_n `=` 5]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{a _{n}} over {sqrt {n}}} `=` lim _{n` -> ` INF } {{(b _{n} + sqrt {n} ) ^{2} -n} over {sqrt {n}}} `]

[eqn: `=`` lim _{`n` -> INF } {{b _{n} ^{2}} over {sqrt {n}} +2 lim _{n` -> ` INF } {b _{n}} `=`10}]

27. [출제의도] 함수의 극한의 성질을 이용하여 함수 추론하기

조건(가), (나)에 의하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 최고차항의 계수가 [eqn: 2`]인 이차함수이고, [eqn: f(1)`=` 0] 이므로

[eqn: f(x) `=` 2(x-1)(x+a)]

[eqn: lim_{` x`-> `1} { {f(x)over{x-1} `=` lim_{ x`-> `1} { {2(x-1)(x+a) } over{ x-1} `=` 2(1+a) `=` 3]

[eqn: therefore ` a`=` 1 over 2]

[eqn: f(x) `=` (x-1)(2x+1)]

[eqn: therefore `f(2) `=` 5]

28. [출제의도] 로그의 성질 이해하기

[eqn: log `t `=` 3+ alpha] [eqn: ( ` 0 LE alpha < `1`)]

[eqn: log` t^2 `=` 2` log``t `=` 6+2alpha]

[eqn: log `1 overt`=` -3 - alpha]

ⅰ) [eqn: alpha=0] 일 때, [eqn: `log ``t `=` 3], [eqn: t=10^3]

ⅱ) [eqn: 0<alpha< 1 over2] 일 때,

[eqn: 3 + alpha `=` 1 over4 cdot 6 ``-` 1 over2 cdot(-4) = 7 over2] [eqn: therefore `` alpha = 1 over2]

(조건에 맞지 않음)

ⅲ) [eqn: 1 over2 LE alpha <1] 일 때,

[eqn: 3+ alpha `=` {1} over {4} CDOT 7``-` {1} over {2} CDOT (-4)= {15} over {4}] [eqn: THEREFORE ` ` alpha `=` 3 over4]

[eqn: log ` t `=` 3 + 3 over4],  [eqn: t `=` 10^ {15 over4}]

[eqn: `A `=` 10^3 times 10^ {15 over4 } `=` 10^ { 27 over4 }]

[eqn: therefore ` 4 log A `=` 27]

29. [출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이용하여 규칙성 추론하기

[eqn: a_{n+1} `=` a_n + 2(n+1) + n]

[eqn: a_{n+1} `=` a_n + 3n + 2]

수열 [eqn: left{ a_n right]의 계차수열의 일반항 [eqn: b_n `=` 3n+2]

[eqn: a_n `=` 2 + sum _{ k=1} ^{n-1 } (3k+2)][eqn: = {n LEFT ( 3n+1 RIGHT )} over {2}]

[eqn: a_20 `=` 610]

30. [출제의도] 정적분의 정의 이해하기

[eqn: y]

[eqn: y`=f(x)]

[eqn: rm A _{1}]

[eqn: rm A _{2}]

[eqn: rm A _{0} `=`O]

[eqn: rm A _{itn}]

[eqn: rm B _{1}]

[eqn: rm B _{2}]

[eqn: rm B _{itn}]

[eqn: x]

[eqn: S_n]을 그림으로 나타내면 위와 같이 된다.

[eqn: lim _{n` -> INF } {S _{n}} `]의 값은 아래 그림의 어두운 부분의 넓이와 같으므로,

[eqn: y]

[eqn: y`=f(x)]

[eqn: rm `O]

[eqn: x]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 2lim _{n` -> INF } {S _{n}} `=` 2 int _{0} ^{1} {(x ^{3} -2x ^{2} -5x+6)dx} `]

[eqn: - 2int _{1} ^{2} {(x ^{3} -2x ^{2} -5x+6)dx}} `=` {11}]