◦ 자신이 선택한 유형(‘가’형 / ‘나’형)의 문제지인지 확인하시오.

◦ 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 정확히 쓰시오.

◦ 답안지의 해당란에 성명과 수험 번호를 쓰고, 또 수험 번호와 답을 정확히 표시하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면 그 ‘0’도 답란에 반드시 표시하시오.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

2012학년도 7월 고3 전국연합학력평가 문제지

수리 영역 (나형)

성명			수험 번호						3

제 2 교시

고 3	수리 영역 (나형)

	수리 영역 (나형)	고 3

12

12

1. 두 행렬 [eqn: A,~B`]에 대하여

[eqn: A= {pmatrix{`1&``````````3#`2&````-1}} `,~A-B= {pmatrix{`3&`````-1#`2&````````````1}}]

일 때, [eqn: A ^{2} -AB`]의 모든 성분의 합은? [[eqn: 2]점]

① [eqn: 12]      ② [eqn: 10]      ③ [eqn: 8]      ④ [eqn: 6]      ⑤ [eqn: 4]

2. [eqn: LEFT ( {1} over {log _{8} `2} RIGHT ) ^{3} +log _{2} `16 ^{2}]의 값은? [[eqn: 2]점]

① [eqn: 18]      ② [eqn: 28]      ③ [eqn: 32]      ④ [eqn: 35]      ⑤ [eqn: 46]

3. 지수부등식 [eqn: 3 ^{`x ^{2}} <9`․`3 ^{`x} `]의 해가 [eqn: alpha <x< beta `]일 때, [eqn: alpha + beta `]의 값은? [[eqn: 2]점]

① [eqn: -2]       ② [eqn: -1]       ③ [eqn: 0]       ④ [eqn: 1]       ⑤ [eqn: 2]

4. 함수

[eqn: f(x)= {cases{{x ^{2} +x-2} over {x-1}&``````` LEFT ( x != 1 RIGHT )#eqalign{# ```````````````k}&eqalign{# ``````` LEFT ( x=1 RIGHT )}}}]

가 [eqn: x=1]에서 연속일 때, 상수 [eqn: k]의 값은? [[eqn: 3]점]

① [eqn: 0]       ② [eqn: 1]       ③ [eqn: 2]       ④ [eqn: 3]       ⑤ [eqn: 4]

5. 함수 [eqn: f(x)= int _{} ^{} {(x ^{2} +2x)`dx}]일 때, [eqn: lim _{h`` -> ``0} {{f(2+h)-f(2-h)} over {h}}]의 값은? [[eqn: 3]점]

① [eqn: 14]       ② [eqn: 16]      ③ [eqn: 18]      ④ [eqn: 20]      ⑤ [eqn: 22]

6. 한 꼭짓점에서 자기 자신으로 가는 변이 없고, 두 꼭짓점 사이에 많아야 한 개의 변이 존재하는 다섯 개의 꼭짓점을 갖는 그래프 [eqn: G`]의 두 꼭짓점을 잇는 변의 개수를 성분으로 하는 행렬을 [eqn: M``]이라 할 때, 다음은 행렬 [eqn: M ^{`2} `]을 나타낸 것이다.

[eqn: ` {pmatrix{````4```&``1```&```1```&```1```&```1```#1&2&1&1&1#1&1&2&1&1#1&1&1&2&1#1&1&1&1&2}}]

이때, 그래프 [eqn: G`]의 모든 변의 개수는? [[eqn: 3]점]

① [eqn: 5]       ② [eqn: 6]       ③ [eqn: 7]       ④ [eqn: 8]       ⑤ [eqn: 9]

7. 식품의 부패 정도를 수치화한 식품손상지수 [eqn: G`]와 상대습도 [eqn: H``](%), 기온 [eqn: T`](℃) 사이에는 다음과 같은 관계가 있다고 한다.

[eqn: G= {H-65} over {14} TIMES (1.05) ^{T} `]

상대습도가 [eqn: 80]%, 기온이 [eqn: 35]℃일 때의 식품손상지수를 [eqn: G _{1}], 상대습도가 [eqn: 70]%, 기온이 [eqn: 20]℃일 때의 식품손상지수를 [eqn: G _{2} `]라 할 때, [eqn: {G _{1}} over {G _{2}}]의 값은? (단, [eqn: 1.05 ^{15} `=`2`]로 계산한다.) [[eqn: 3]점]

① [eqn: 6]       ② [eqn: 7]       ③ [eqn: 8]       ④ [eqn: 9]       ⑤ [eqn: 10]

8. 체중이 각각 [eqn: 75㎏], [eqn: 80㎏]인 갑과 을이 [eqn: 1]개월짜리 다이어트 프로그램에 참가하여 동시에 다이어트를 시작하였다. 갑은 매일 전날에 비해 [eqn: 0.3]%의 체중이 감소하였고, 을은 매일 전날에 비해 [eqn: 0.5]%의 체중이 감소하였다고 할 때, 갑과 을의 체중이 같아지는 때는 다이어트 시작일로부터 며칠 후인가? (단, [eqn: log`2=0.301], [eqn: log`3=0.477], [eqn: log`9.95=0.998], [eqn: log`9.97=0.999`]로 계산한다.)

[[eqn: 3]점]

① [eqn: 15]일                ② [eqn: 18]일                ③ [eqn: 22]일

④ [eqn: 25]일                ⑤ [eqn: 28]일

9. 주사위 [eqn: 1`]개와 동전 [eqn: 5`]개를 동시에 던져 나온 주사위의 눈의 수를 [eqn: a`], 동전의 앞면의 개수를 [eqn: b`]라 할 때, [eqn: a`=`3b`]일 확률은? [[eqn: 3]점]

① [eqn: {1} over {64} `]                 ② [eqn: {1} over {32} `]                ③ [eqn: {3} over {64} `]

④ [eqn: {1} over {16} `]                 ⑤ [eqn: 5 over 64`]

10. 실수 전체에서 정의된 연속함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: f(x)=f(x+4)`]를 만족하고

[eqn: f(x)= {cases{`-4x+2```&``(0 LEQ x<2)#`x ^{2} -2x+a``````&``(2 LEQ x LEQ 4)}}]

일 때, [eqn: int _{9} ^{11} {f(x)`dx}]의 값은? [[eqn: 3]점]

① [eqn: -8]               ② [eqn: - {26} over {3}]               ③ [eqn: - {28} over {3}]

④ [eqn: -10]              ⑤ [eqn: - {32} over {3}]

11. 자연수 [eqn: n]에 대하여 두 함수 [eqn: f(x)=x ^{2} - LEFT ( n+1 RIGHT ) x+n ^{2}], [eqn: g(x)=n LEFT ( x-1 RIGHT )]의 그래프의 두 교점의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: a _{n}], [eqn: b _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{19} {100} over {a _{n} b _{n}}]의 값은? [[eqn: 3]점]

① [eqn: 80]       ② [eqn: 85]       ③ [eqn: 90]       ④ [eqn: 95]       ⑤ [eqn: 100]

12. 함수 [eqn: f(x)=(x-1)(x-2)(x-3) CDOTS (x-10)]에 대하여
[eqn: {f` prime (1)} over {f`` prime (4)}]의 값은? [[eqn: 4]점]

① [eqn: -80]     ② [eqn: -84]     ③ [eqn: -88]     ④ [eqn: -92]     ⑤ [eqn: -96]

13. 다항함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: lim _{x -> 1} {{ int _{1} ^{x} {f(t)`dt} `-f(x)} over {x ^{2} -1} =2} `]를 만족할 때, [eqn: f` prime (1)]의 값은? [[eqn: 4]점]

① [eqn: -4]      ② [eqn: -3]      ③ [eqn: -2]      ④ [eqn: -1]      ⑤ [eqn: 0]

14. 그림과 같이 원점 [eqn: rm O`]를 지나고 기울기가 [eqn: tantheta`]인 직선 [eqn: l`]과 점 [eqn: {rmA}_1 (0`,~3)`]이 있다. 점 [eqn: rm O`]를 중심으로 하고 [eqn: bar{rmOA}_1`]을 반지름으로 하는 원과 직선 [eqn: l`]이 만나는 점을 [eqn: {rmB}_1`]이라 하자. [eqn: {rmB}_1`]을 지나고 [eqn: y`]축에 평행한 직선 [eqn: l_1``]이 [eqn: x`]축과 만나는 점을 [eqn: {rmC}_1`]이라 하고, 직선 [eqn: l_1``]위에 [eqn: bar{rm OC _{1} it} `=` bar{rm B _{1} A _{2} it} `]가 되는 점 [eqn: {rmA}_2`]를 잡는다.  점 [eqn: rmB_1`]을 중심으로 하고 [eqn: bar{rmB_1 A_2}`]를 반지름으로 하는 원과 직선 [eqn: l`]이 만나는 점을 [eqn: {rmB}_2`]라 하자. [eqn: {rmB}_2`]를 지나고 [eqn: y`]축에 평행한 직선 [eqn: l_2``]가 [eqn: x`]축과 만나는 점을 [eqn: {rmC}_2`]라 하고, 직선 [eqn: l_2``]위에 [eqn: bar{rmC_1 C_2}`=`bar{rmB_2 A_3}`]이 되는 점 [eqn: {rmA}_3`]을 잡는다. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 부채꼴 [eqn: rm B _{itn-1} B _{itn} A _{itn}]의 호의 길이를 [eqn: arch{rm ``A it rm _{it n} rm B it rm _{it n} ` it} `]이라 할 때,
[eqn: sum _{n=1} ^{INF } arch{rm ``A it rm _{itn} rm B it rm _{itn} ` it} `=`9` LEFT ( {pi } over {2} `-` theta RIGHT ) `]이다. [eqn: bar{rmB_1 C_1}`]의 값은? [eqn: LEFT ( pile{`#`}]단, [eqn: LEFT . 0< theta < {pi } over {2}]이고 [eqn: rm B _{it0}]은 원점이다.[eqn: pile{`#`} right)] [[eqn: 4]점]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: rmC _{1}]

[eqn: rm C _{2}]

[eqn: rm A _{1}]

[eqn: 3]

[eqn: theta]

[eqn: rm A _{2}]

[eqn: rm A _{3}]

[eqn: rm B _{1}]

[eqn: rm B _{2}]

[eqn: rm B _{3} `]

⋰

[eqn: l _{1}]

[eqn: l]

[eqn: l _{2}]

① [eqn: sqrt {3}]      ② [eqn: 2]      ③ [eqn: sqrt {5}]      ④ [eqn: sqrt {6}]      ⑤ [eqn: sqrt {7}]

15. 두 곡선 [eqn: y `=` 2^{`x }], [eqn: y`=`log _{`3} `x`]와 직선 [eqn: y`=`-x+5`]가 만나는 점을 각각 [eqn: rm A(ita _{1},~a _{2} `)], [eqn: rm B(it b _{1},~b _{2} `)]라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [[eqn: 4]점]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: y=2 ^{`x}]

[eqn: y=log _{`3} `x]

[eqn: y=`-x+5]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: a_1 > b_2] ㄴ. [eqn: a_1 + a_2 ``=` b_1 + b_2] ㄷ. [eqn: {a _{1}} over {a _{2}} < {b _{2}} over {b _{1}}]

①  ㄱ	②  ㄷ	③  ㄱ, ㄴ

④  ㄴ, ㄷ	⑤  ㄱ, ㄴ, ㄷ

16. 국가의 정책 수립을 위해 국민 [eqn: 5`]만 명을 대상으로 전화와 인터넷을 이용한 설문조사를 실시하였다. 전화조사 대상자 [eqn: 1`]만 명 중 [eqn: 70]%가 조사에 참여하였고, 인터넷조사 대상자 [eqn: 4`]만 명 중 [eqn: 85]%가 조사에 참여하였다고 한다. 조사에 참여한 대상자 중에서 임의로 한 명 선택하였을 때, 이 사람이 인터넷조사에 참여하였을 확률은? [[eqn: 3]점]

① [eqn: {26} over {41}]     ② [eqn: {28} over {41}]     ③ [eqn: {30} over {41}]     ④ [eqn: {32} over {41}]     ⑤ [eqn: {34} over {41}]

17. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]을

[eqn: a _{1} =1`,~a _{2} =2``], [eqn: a _{n+2} =a _{n+1} + {a _{n}} over {n+1}]

으로 정의할 때, 다음은 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 일반항을 구하는 과정이다.

	[eqn: b _{n} = {a _{n}} over {n+1}]이라 놓으면 [eqn: a _{n} =(n+1)b _{n}]이므로 [eqn: LEFT ( n+3 RIGHT ) b _{n+2} = LEFT ( `` BOX{`(가)} `` RIGHT ) ``b _{n+1} +b _{n}] [eqn: LEFT ( n+3 RIGHT ) LEFT ( b _{n+2} -b _{n+1} RIGHT ) =`- LEFT ( b _{n+1} -b _{n} RIGHT )] [eqn: ` CDOTS][eqn: ` CDOTS] (★) 식 (★)에 [eqn: n=1`,~2`,~ CDOTS ```,~m-1`] [eqn: LEFT ( m GEQ 2 RIGHT )]를 대입하면 [eqn: 4 LEFT ( b _{3} -b _{2} RIGHT ) =`- LEFT ( b _{2} -b _{1} RIGHT )] [eqn: 5 LEFT ( b _{4} -b _{3} RIGHT ) =`- LEFT ( b _{3} -b _{2} RIGHT )] [eqn: VDOTS] [eqn: LEFT ( m+2 RIGHT ) LEFT ( b _{m+1} -b _{m} RIGHT ) =`- LEFT ( b _{m} -b _{m-1} RIGHT )] 좌변과 우변을 각각 곱하여 정리하면, [eqn: b _{m+1} -b _{m} = LEFT ( - {1} over {4} RIGHT ) LEFT ( - {1} over {5} RIGHT ) `` CDOTS LEFT ( - {1} over {m+2} RIGHT ) (b _{2} -b _{1} )] [eqn: LEFT . b _{n} =b _{1} + sum _{k=1} ^{n-1} `(b _{k+1} -b _{k} ) RIGHT .] [eqn: (n GEQ 2)] 따라서 [eqn: a _{1} =1], [eqn: `a _{n} = LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( ` {1} over {2} `+ sum _{k=1} ^{n-1} `` BOX{`(나)`} RIGHT ) ````` LEFT ( n GEQ 2 RIGHT )]이다.

위의 (가), (나)에 들어갈 식을 각각 [eqn: f(n)`,~g(k)`]라 할 때, [eqn: f(1)g(3)]의 값은? [[eqn: 4]점]

① [eqn: {1} over {240} `]               ② [eqn: {1} over {180}]                ③ [eqn: {1} over {40} `]

④ [eqn: {1} over {30} `]                ⑤ [eqn: {1} over {24} `]

18. 자연수 [eqn: n]에 대하여 함수 [eqn: y=log _{``c`} ` LEFT | `x` RIGHT |]의 그래프와 직선 [eqn: y=n]의 교점의 [eqn: x`]좌표를 각각 [eqn: a _{n} ,~b _{n}] ([eqn: a _{n} `>b _{n}])이라 할 때, 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [[eqn: 4]점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: a _{n} +b _{n} =`0] ㄴ. [eqn: lim _{n -> INF } {`b _{n`}} `=`0`]이면 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } `a _{n}][eqn: = {c} over {1-c} `]이다. ㄷ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } ` {1} over {`b _{n}} `]이 발산하면 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } `a _{n} `]이 발산한다.

①  ㄱ	②  ㄷ	③  ㄱ, ㄴ

④  ㄴ, ㄷ	⑤  ㄱ, ㄴ, ㄷ

19. 정수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c`]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{4} +ax ^{3} +bx ^{2} +cx+10`]이 다음 두 조건을 모두 만족시킨다.

	(가) 모든 실수 [eqn: alpha]에 대하여 [eqn: int _{- alpha } ^{alpha } {``f LEFT ( x RIGHT )} dx=2 int _{0} ^{alpha } {f LEFT ( x RIGHT )} dx] (나) [eqn: -6<f` prime LEFT ( 1 RIGHT ) < - 2]

이때, 함수 [eqn: y=f` LEFT ( x RIGHT )]의 극솟값은? [[eqn: 4]점]

① [eqn: 5]       ② [eqn: 6]       ③ [eqn: 7]       ④ [eqn: 8]       ⑤ [eqn: 9]

20. 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1`]위를 움직이는 제[eqn: 1]사분면 위의 점 [eqn: rm P( it `alpha,~beta)]를 지나고 [eqn: x]축과 평행한 직선을 그어 원과 만나는 다른 점을 [eqn: rm Q], [eqn: x]축 위의 한 점을 [eqn: rm R]라 하자. 삼각형 [eqn: rmPQR]의 넓이를 [eqn: S`(alpha)]라 할 때, [eqn: lim _{alpha `` -> `1-0} {{S(alpha)} over {sqrt {1- alpha }}}]의 값은? [[eqn: 4]점]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: rm`P]

[eqn: rm`Q]

[eqn: rm`R]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

① [eqn: 1]      ② [eqn: root2]      ③ [eqn: sqrt {3}]      ④ [eqn: 2]      ⑤ [eqn: sqrt {5}]

21. 함수 [eqn: f(x)=x ^{3} +x-1]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때,
[eqn: int _{1} ^{9}{ g(x) dx}]의 값은? [[eqn: 4]점]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: y=f` LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: -1]

① [eqn: {47} over {4}]                ② [eqn: {49} over {4}]                ③ [eqn: {51} over {4}]

④ [eqn: {53} over {4}]                ⑤ [eqn: {55} over {4}]

단답형(22 ~ 30)

22. 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 [eqn: a _{1} =2], [eqn: a _{100} -a _{90} =`34]를 만족할 때, [eqn: a _{21}]의 값을 구하시오. [[eqn: 3]점]

23. 방정식 [eqn: x`+`y`+`z`=`20`]을 만족시키는 양의 정수 중 짝수인 [eqn: x`,~y`,~z`]에 대하여 순서쌍 [eqn: LEFT ( x`,```y`,``z RIGHT )]의 개수를 구하시오. [[eqn: 3]점]

24. 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 임의의 점 [eqn: rmP][eqn: (x,~y)`]에서의 접선의 기울기가 [eqn: 3x ^{2} -12]이고 함수 [eqn: f(x)]의 극솟값이 [eqn: 3]일 때, 함수 [eqn: f(x)]의 극댓값을 구하시오. [[eqn: 3]점]

25. 함수 [eqn: f(x)`=` int _{} ^{} left{{d} over {dx} `(x ^{2} `-`6x)right} dx`]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최솟값이 [eqn: 8`]일 때, [eqn: f(1)`]의 값을 구하시오. [[eqn: 4]점]

26. 모든 항이 양수인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]이 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( sqrt {a _{n} +n} - sqrt {n} RIGHT )} =5`]를 만족시킬 때, [eqn: lim _{n`-> ` INF } {{a _{n}} over {sqrt {n}}}]의 값을 구하시오. [[eqn: 4]점]

27. 다음 두 조건을 모두 만족시키는 다항함수 [eqn: f(x)`]에 대하여 [eqn: f(2)`]의 값을 구하시오. [[eqn: 3]점]

	(가) [eqn: lim _{x` -> ` INF } {{x ^{2} +3x+5} over {f(x)} = {1} over {2}}] (나) [eqn: lim _{x` -> `1} {{f(x)} over {x-1} =3}]

28. 양수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: log`x]의 지표를 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]라 하자. 정수 부분이 네 자리인 양수 [eqn: t`]에 대하여

[eqn: log``t``=`` {1} over {4} f(t ^{2} `)`-` {1} over {2} f` LEFT ( {1} over {t} RIGHT )]

을 만족시키는 모든 실수 [eqn: t`]의 곱을 [eqn: A`]라 할 때, [eqn: 4`log`A]의 값을 구하시오. [[eqn: 4]점]

29. 다음은 [eqn: n`]층 카드탑에 대한 설명이다.

	Ⅰ. [eqn: 1]층 카드탑 : 두 장의 카드를 맞대어 세운 것. Ⅱ. [eqn: 2]층 카드탑 : [eqn: 1]층 카드탑 두 개를 나란히 세우고 그 위에 가로로 한 장의 카드를 올려놓은 후 그 위에 [eqn: 1]층 카드탑을 쌓은 것. Ⅲ. 3층 카드탑 : 1층 카드탑 세 개를 나란히 세우고 그 위에 가로로 두 장의 카드를 올려놓은 후 그 위에 [eqn: 2]층 카드탑을 쌓은 것. Ⅳ. [eqn: n]층 카드탑 : 1층 카드탑 [eqn: n]개를 나란히 세우고 그 위에 가로로 [eqn: (n-1)]장의 카드를 올려놓은 후 그 위에 [eqn: LEFT ( n-1 RIGHT )]층 카드탑을 쌓은 것.

1층 카드탑
2층 카드탑
3층 카드탑
[eqn: vdots]	[eqn: vdots]

[eqn: n`]층 카드탑을 만드는데 필요한 카드의 개수를 [eqn: a _{n}]이라 할 때, [eqn: a _{20}]의 값을 구하시오. [[eqn: 3]점]

30. 좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm O(0,~0)], [eqn: rm A(2,~0)]이 있다. 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: rm {bar OA}]를 [eqn: n]등분한 점을 차례로 [eqn: rm A _{1}], [eqn: rmA _{2}], [eqn: CDOTS] , [eqn: rmA _{it n-1 }]이라 하고, 점 [eqn: rmO]는 [eqn: rm A _{it 0 rm}], 점 [eqn: rm A]는 [eqn: rm A_{it n}]이라 하자. 점 [eqn: rmA_{it k}]를 지나고 [eqn: x]축과 수직인 직선이 함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -2x ^{2} -5x+6]의 그래프와 만나는 점을 [eqn: rm`B _{itk}]라 하자. ([eqn: k=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: CDOTS] , [eqn: n])

[eqn: bar{ rm A _{it k-1} A _{itk}}]를 밑변으로 하고, [eqn: bar{rm A_{itk}`B_{itk}]를 높이로 하는 직사각형 [eqn: n]개의 넓이의 합을 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: 2` lim _{n -> INF } {`S _{n}}]의 값을 구하시오.

[[eqn: 4]점]

* 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.