2012학년도 7월 고3 전국연합학력평가

정답 및 해설

고 3	정답 및 해설	2012학년도 7월 전국연합학력평가

2012학년도 7월 전국연합학력평가	정답 및 해설	고 3

24

수리 영역

“가”형 정답

1	①	2	④	3	④	4	②	5	④
6	③	7	①	8	⑤	9	②	10	①
11	③	12	⑤	13	③	14	③	15	④
16	③	17	③	18	⑤	19	④	20	②
21	②	22	[eqn: 60]	23	[eqn: 12]	24	[eqn: 14]	25	[eqn: 4]
26	[eqn: 10]	27	[eqn: 11]	28	[eqn: 50]	29	[eqn: 610]	30	[eqn: 296]

해설

1. [출제의도] 행렬 계산하기

[eqn: A ^{2} -AB``=`A(A-B`)``=` {pmatrix{9&````````2#4&``-3}}]

[eqn: THEREFORE]모든 성분의 합은 [eqn: 12]

2. [출제의도] 로그 계산하기

[eqn: LEFT ( {3} over {log _{2} 2} RIGHT ) ^{3} +8log _{2} 2} ```=` 35]

3. [출제의도] 지수부등식 계산하기

[eqn: 3^x^2 < 3^{x+2}],   [eqn: x^2 < x+2] ,  [eqn: x^2 -x -2 <0]

[eqn: -1 < x < 2]

[eqn: therefore alpha + beta `=` 1]

4. [출제의도] 무리방정식 계산하기

[eqn: sqrt {x ^{2} -2x+8} `=`t``] ([eqn: t` GEQ 0]) 라 하자.

[eqn: t`=`t ^{2} -12], [eqn: t^2 - t - 12 `=`0 `] [eqn: therefore ` t`=` 4]

[eqn: root {x^2 -2x +8 } `=` 4], [eqn: x^2 -2x - 8 `=` 0]

[eqn: x^2 -2x - 8 `=` 0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 하면

근과 계수의 관계에 의해 [eqn: alpha beta `=` - 8]

5. [출제의도] 조건부확률을 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

[eqn: A] 또는 [eqn: B]가 회장으로 뽑히는 사건을 [eqn: M], [eqn: F`]가 부회장으로 뽑히는 사건을 [eqn: N`]라 하면,

[eqn: rm P( it M rm `)`= {2} over {6} `=` {1} over {3}]

[eqn: rm P( it M` SMALLINTER N` rm `)`=` {2} over {{} _{6} P _{2}} `=` {1} over {15}]

[eqn: rm P( it N```□M` rm )= {P( it M` SMALLINTER N` rm )} over {P( it M` rm )} =` {{1} over {15}} over {{1} over {3}} `=` {1} over {5}]

6. [출제의도] 미분과 적분의 관계를 이용하여 함수 추론하기

[eqn: LEFT { f(x)g(x) RIGHT } '`=`h(x)]이므로

[eqn: f(x)g(x)`=` int _{} ^{} {h(x)`} dx]

[eqn: x`g(x)`=` int _{} ^{} {ln`x``dx}]

부분적분법을 이용하여 정리하면

[eqn: x ` g(x) `=` x` ln x - x + C]

[eqn: 1timesg(1)`=`-1+C`=`-1]  [eqn: therefore ` C `=` 0]

[eqn: therefore ` g(x) `=` ln x - 1]

[eqn: therefore g(e) `=` 0]

7. [출제의도] 지수의 성질을 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

[eqn: G_1 `=` 15 over 14 (1.05)^35], [eqn: G _{2} `=` {5} over {14} (1.05) ^{20}]

[eqn: {G _{1`}} over {G _{2}} `=`3(1.05) ^{15} `=` 6]

8. [출제의도] 상용로그를 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

[eqn: 75(0.997) ^{n} =` 80(0.995) ^{n}]

[eqn: n(log0.997`-log0.995) = log`80-log`75]

[eqn: n(-1+0.999+1`-0.998) = 5log``2-log`3-1]

[eqn: 0.001 TIMES n=0.028]

[eqn: therefore n =28]

9. [출제의도] 공간좌표 이해하기

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: z]

[eqn: (`1,`2,`0`)#]

[eqn: (`1,`2,`-1)]

[eqn: 4]

구 [eqn: (x-1)^2 + (y-2)^2 + (z+1 )^ 2 `=` 9] 를 [eqn: xy`]평면으로 자른 단면은 원 [eqn: (x-1)^2 + (y -2)^ 2 `=` 8]이 되므로, 밑면의 넓이는 [eqn: 8pi]가 되고, 부피가 최대가 되는 원뿔의 높이는 [eqn: 4]이다.

[eqn: therefore`]원뿔의 부피의 최댓값은 [eqn: ` 32 over 3 pi]

10. [출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: alpha]

[eqn: beta]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: y`=`2x+10]

[eqn: y`=`1 over3 x]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm P]

[eqn: tan ( beta - alpha ) `=` { 2- 1over3 } over { 1+ 2over3 } `=` 1],  [eqn: beta - alpha `=`45 DEG]

[eqn: therefore]삼각형 [eqn: rm PAB]는 직각이등변삼각형

[eqn: therefore bar{ rm PA ` } `=` 12root2]

11. [출제의도] 함수의 연속성과 미분가능성에 대한 성질 추론하기

ㄱ.[eqn: lim _{ x``-> root 2 } { [ ` x ` f(x) ` ] `=` 1] (참)

ㄴ. [eqn: g(x) `=` [` x `f(x) ` ]]라 하면,

[eqn: g(root2 ) `=` 0], [eqn: lim_{ x ``-> root 2 } { g(x) `=` 1] 이므로

[eqn: [xf(x)]]는 [eqn: x =root 2]에서 불연속이다. (거짓)

ㄷ. [eqn: lim _{x -> sqrt {2}} {{(x- sqrt {2} )[xf(x)]-0} over {x- sqrt {2}}} =1]  (참)

12. [출제의도] 치환적분을 이용하여 회전체의 부피 계산하기

[eqn: V`=` pi ` int _{- {1} over {2}} ^{0} {(`2x+1) ^{4} `dx`}]

[eqn: 2x+1=t]라 하면

[eqn: V`=` pi ` int _{0} ^{1} {t ^{4} `․` {1} over {2} dt} = {pi} over {10}]

13. [출제의도] 도함수를 이용하여 그래프의 개형 추론하기

ㄱ. 함수 [eqn: f(x)]는 원점 [eqn: rmO]와 [eqn: x`=`b], [eqn: c], [eqn: e]에서 변곡점을 가진다. (참)

ㄴ. [eqn: f(x)]는 [eqn: x`=`d] 에서 극대가 된다. (참)

ㄷ. 구간 [eqn: [a`,~e]``]에서 최댓값은 [eqn: f(d)]이다. (거짓)

14. [출제의도] 무한등비급수의 합을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

수열 [eqn: LEFT { arch{rm ``A it rm _{itn} rm B it rm _{itn} ` it} ` RIGHT } `]은 첫째항이 [eqn: 3 LEFT ( {pi } over {2} `-` theta RIGHT ) `]이고 공비가 [eqn: costheta`]인 등비수열이다.

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } arch{rm ``A it rm _{n} rm B it rm _{n} ` it} `=` {3 LEFT ( {pi } over {2} `-` theta RIGHT ) `} over {1-cos theta } `][eqn: `=`9` left(pi over 2`-`theta right)`]

[eqn: costheta`=`2 OVER 3`]

[eqn: bar{rm B _{1} C _{1} it} `=`3sin theta `= sqrt {5} `]

15. [출제의도] 부등식 이해하기

[eqn: y`=`f(x-1)]의 그래프와 [eqn: y`=`g(x)]의 그래프는 다음과 같다.

-[eqn: 2]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 5]

-[eqn: 1]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: y`=`g(x)]

[eqn: y`=`f(x-1)]

[eqn: {f(x-1)} over {sqrt {g(x)}} <0`]의 해는 [eqn: {cases{g LEFT ( x RIGHT ) >0#f LEFT ( x-1 RIGHT ) <0}}]의 해와 일치하므로

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) >0`]일 때 [eqn: -1<x<3] 또는 [eqn: x>5]

[eqn: f LEFT ( x-1 RIGHT ) <0`]일 때 [eqn: -2<x<2]

그러므로 만족하는 해는 [eqn: -1<x<2]이다.

따라서 만족하는 정수해는 [eqn: 0`,~1``]이고 그 합은 [eqn: 1]이다.

16. [출제의도] 일차변환을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

닮음변환 [eqn: f`]를 나타내는 행렬을 [eqn: X`], 회전변환 [eqn: g`]를 나타내는 행렬을 [eqn: Y`]라 할 때,

[eqn: angle {rm AOB} `=` pi over6], [eqn: bar {rm OB} `=` root3] 이므로

[eqn: X `=` pmatrix {2root3 & ```````0 # 0 ``` & `` 2root3 ` }], [eqn: Y `=` pmatrix { root3 over 2 & ```- 1 over2 # 1 over 2 & root3 over 2 ` }] 이다.

[eqn: g circ f]를 나타내는 행렬은 [eqn: Y`X`=` {pmatrix{3```&- root3 # root3& ``````3}}]

[eqn: therefore]모든 성분의 합은 [eqn: `6]

17. [출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이용하여 일반항 추론하기

[eqn: b _{n} = {a _{n}} over {n+1}]이라 놓으면 [eqn: a _{n} =(n+1)b _{n}]이므로

[eqn: LEFT ( n+3 RIGHT ) b _{n+2} = BOX{(n+2)} ``b _{n+1} +b _{n}]

[eqn: LEFT ( n+3 RIGHT ) LEFT ( b _{n+2} -b _{n+1} RIGHT ) =`- LEFT ( b _{n+1} -b _{n} RIGHT )][eqn: ` CDOTS][eqn: ` CDOTS] (★)

식 (★)에 [eqn: n=1`,~2`,~ CDOTS ```,~m-1`] [eqn: LEFT ( m GEQ 2 RIGHT )]를 대입하면

[eqn: 4 LEFT ( b _{3} -b _{2} RIGHT ) =`- LEFT ( b _{2} -b _{1} RIGHT )]

[eqn: 5 LEFT ( b _{4} -b _{3} RIGHT ) =`- LEFT ( b _{3} -b _{2} RIGHT )]

[eqn: VDOTS]

[eqn: LEFT ( m+2 RIGHT ) LEFT ( b _{m+1} -b _{m} RIGHT ) =`- LEFT ( b _{m} -b _{m-1} RIGHT )]

좌변과 우변을 각각 곱하여 정리하면,

[eqn: b _{m+1} -b _{m} = LEFT ( - {1} over {4} RIGHT ) LEFT ( - {1} over {5} RIGHT ) `` CDOTS LEFT ( - {1} over {m+2} RIGHT ) (b _{2} -b _{1} )]

[eqn: LEFT . b _{n} =b _{1} + sum _{k=1} ^{n-1} `(b _{k+1} -b _{k} ) RIGHT .] [eqn: (n GEQ 2)]

[eqn: THEREFORE `a _{n} = LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( ` {1} over {2} `+ sum _{k=1} ^{n-1} ``box { (-1)^{k-1} over { (k+2) ``!}`} RIGHT )] [eqn: (`n GEQ 2)]

[eqn: f(n) `=` n+2], [eqn: g(k)`=`{ (-`1)^{k-1} }over { (k+2)``! }]

[eqn: therefore ``f(1) g(3) `=` 1 over 40]

18. [출제의도] 확률을 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

[eqn: 3`]개의 공에 적혀 있는 세 수의 합이 짝수가 되는 경우는 (홀수, 홀수, 짝수), (짝수, 짝수, 짝수)의 두 가지 경우이므로

[eqn: rm {{} _{5} C _{2} ·` _{4} C _{1}} over {{} _{9} C _{3} `} +` {` _{4} C _{3}} over {{} _{9} C _{3} `} `=` 11 over21]

19. [출제의도] 도함수를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: rm O]

[eqn: rm O']

[eqn: rm P]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: theta]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: rm Q]

그림과 같이 원 [eqn: rmO]의 [eqn: t`]초 후의 중심을 [eqn: rmO'], 원과 정사각형 [eqn: rm ABCD`]의 교점을 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]라 하고,

[eqn: rm ANGLE PO prime Q`=` theta]라 하면

[eqn: cos theta `=` 1-t] 에서 [eqn: -sin theta {d theta } over{dt} `=` -1]이다.

원과 정사각형 [eqn: rm ABCD`]가 겹치는 부분의 넓이 [eqn: S `=` 1 over 2 theta - 1 over2 (1-t) `sin theta]

[eqn: =` {1} over {2} theta - {1} over {2} `cos` theta `sin` theta `=` {1} over {2} theta - {1} over {4} ` sin`2theta]

[eqn: {d S} over dt `=` dS over {d theta} { d theta } over dt `=` left( 1 over2 - 1 over{2} `cos 2 theta right) 1 over { sin theta}]

원 [eqn: rmO]의 중심이 [eqn: left( 1 over2 `, `0`right)]을 지나는 순간은 [eqn: t`=`1 over2]이다.

[eqn: t`=` 1 over2]일 때,  [eqn: theta`=` pi over3]이다.

[eqn: therefore`]원 [eqn: rmO]의 중심이 [eqn: left( 1 over2 `,` 0`right)]을 지나는 순간 넓이 [eqn: S`]의 시간(초)에 대한 변화율은[eqn: ``root3 over 2]

20. [출제의도] 포물선과 쌍곡선의 성질 이해하기

[eqn: rm O]

[eqn: rm F']

[eqn: rm F]

[eqn: rm H]

[eqn: rm A]

[eqn: 5]

[eqn: 5]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: p]

-[eqn: p]

점 [eqn: rmA]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 하면, [eqn: cos (angle rm AFH) `=` 1 over5]이므로 [eqn: bar{rm FH} `=` 1]

포물선의 정의에 의하여

[eqn: 2p + 1 `=` 5]  [eqn: therefore ` p `=` 2]

[eqn: rm A (`3`, ``2 root6 `)]이므로

[eqn: rmbarAF prime`=`7`]

쌍곡선의 정의에 의하여 [eqn: LEFT | `rm BAR{AF'} - BAR{AF} ` RIGHT |`=` 2{ita}`=`2]

[eqn: a`=`1`,`b=root3`]

[eqn: THEREFORE ab `=` sqrt {3}]

21. [출제의도] 정사영의 성질 이해하기

[eqn: rm P]

[eqn: rm G]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm D]

[eqn: rm C]

정사면체 [eqn: rm ABCD`]의 모서리의 길이를 [eqn: 4a]라 하면, 코사인법칙에 의하여

[eqn: bar{rm AP` it} `=` bar{rm `BP` it} `= sqrt {(4a) ^{2} +a ^{2} -4a ^{2}} `= sqrt {13} a]

삼각형 [eqn: rm ABP]의 넓이는 [eqn: ``6 a^2] 이다.

점 [eqn: rmA`]에서 삼각형 [eqn: rm BCD]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmG]라 하면, 점 [eqn: rmG]는 삼각형 [eqn: rm BCD]의 무게중심이다.

삼각형 [eqn: rm BGP]의 넓이는 삼각형 [eqn: rm BCD]의 넓이의 [eqn: 1 over6]이므로 삼각형 [eqn: rm BGP]의 넓이는 [eqn: { 2 root3 } over 3 a^2]

[eqn: 6a ^{2} cos theta `=` {2 sqrt {3}} over {3} a ^{2}]

[eqn: therefore cos theta `=` root3 over 9]

22. [출제의도] 이항계수 계산하기

[eqn: {} _{6} {rm C } _{{itr}} ``x ^{6-r} ` LEFT ( {2} over {x} RIGHT ) ^{r} ``=` _{6} {rm C} _{r} ``2 ^{r} `x ^{6-2r}]

[eqn: 6-2r `=` 2] [eqn: therefore ` r=2]

[eqn: x^2]의 계수는 [eqn: rm {}_6 C_2 ``2^2 `=` 60]

23. [출제의도] 타원의 성질 이해하기

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmF]

[eqn: rmF']

[eqn: rm\C]

[eqn: 6]

[eqn: 6]

원 [eqn: (x-6)^2 + (y-5)^ 2 `=` 36]의 중심을 [eqn: rm C `], 타원의 초점을 각각 [eqn: rm F`], [eqn: rm F `']이라 하면

장축의 길이는 [eqn: rm bar{ F ``' C ``} + bar{ C F ```} `=` 12]

24. [출제의도] 미분계수의 성질 이해하기

[eqn: lim _{x -> `1} {{f(x)-f(1)} over {x ^{2} `-`1`} `=` 1 over2 f`'(1)`=` -1`]

[eqn: f`'(1) `=` -2]

[eqn: lim_{h `-> `0 } { { f(1-2h) - f(1+5h) } over { h } `=` -7 ` f`' (1) `=` 14]

25. [출제의도] 정적분의 성질 이해하기

[eqn: int_{0} ^{2} { f(t) dt `=` a]라 하면,

[eqn: f(x) `=` 3x^2 + x + a]이다.

[eqn: int_{0}^{2} { ( 3t^2 + t + a} ) dt `=` a]  [eqn: therefore `a`=` -10]

[eqn: f(x) `=` 3x^2 +x -10]

[eqn: therefore `f(2) `=` 4]

26. [출제의도] 수열의 극한 이해하기

[eqn: b_n `=` root{ a_n +n } - rootn]이라 하면,

[eqn: lim_{n `-> ` inf } { b_n `=` 5]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{a _{n}} over {sqrt {n}}} `=` lim _{n` -> ` INF } {{(b _{n} + sqrt {n} ) ^{2} -n} over {sqrt {n}}} `]

[eqn: `=`` lim _{`n` -> INF } {{b _{n} ^{2}} over {sqrt {n}} +2 lim _{n` -> ` INF } {b _{n}} `=`10}]

27. [출제의도] 삼각방정식 이해하기

[eqn: 2 ` sin x ` cos x + 2 sin^2 x `=` 0]

[eqn: 2` sinx ( ` sin `x + cos `x ) `=` 0]

[eqn: 2 root{2} `sinx ``` sin left(x + pi over4 right) `=` 0]

[eqn: sin` x `=`0] 또는 [eqn: sin left(x+ pi over4 right) `=` 0]

[eqn: 0LE `x LE `pi] 이므로

[eqn: x `=` 0 ``,``3 over4 pi ``, ``pi]  [eqn: therefore]모든 실근의 합은 [eqn: 7 over4 pi]

[eqn: p `+ q `=` 11]

28. [출제의도] 분수방정식을 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

용기 [eqn: A`]에 넣은 소금의 양을 [eqn: x]라 하면

[eqn: a+b `=` 45]이므로

[eqn: { x over200} times100 + {75-x} over{ 175-x} times 100 `=` 45]

[eqn: x `=` 15], [eqn: x`=` 50]

[eqn: therefore `x `=` 50]  [eqn: left( because `x `> 75 over2 right)]

29. [출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이용하여 규칙성 추론하기

[eqn: a_{n+1} `=` a_n + 2(n+1) + n]

[eqn: a_{n+1} `=` a_n + 3n + 2]

수열 [eqn: left{ a_n right]의 계차수열의 일반항 [eqn: b_n `=` 3n+2]

[eqn: a_n `=` 2 + sum _{ k=1} ^{n-1 } (3k+2)][eqn: = {n LEFT ( 3n+1 RIGHT )} over {2}]

[eqn: a_20 `=` 610]

30. [출제의도] 경우의 수를 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

집

서점

도서관

[eqn: l _{3}]

[eqn: l _{2}]

[eqn: l _{1}]

[eqn: l _{0}]

ⅰ) 연락 받은 교차로가 [eqn: l_0]에 있는 경우: [eqn: 1`]

ⅱ) 연락 받은 교차로가 [eqn: l_1]에 있는 경우: [eqn: {6 `! } over{ `4`! ``2`! `}]

ⅲ) 연락 받은 교차로가 [eqn: l_2]에 있는 경우: [eqn: {8`!} over {`4`!``4`!`}]

ⅳ) 연락 받은 교차로가 [eqn: l_3]에 있는 경우: [eqn: {10`!} over {`4`!``6`!`}]

[eqn: THEREFORE ` ` 1+ 15 + 70 + 210 `=` 296]