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2012학년도 4월 고3 전국연합학력평가

정답 및 해설

2012학년도 4월 고3 전국연합학력평가

정답 및 해설

[가 형]

1	②	2	④	3	④	4	①	5	①
6	③	7	⑤	8	①	9	③	10	①
11	②	12	⑤	13	④	14	③	15	②
16	⑤	17	③	18	②	19	⑤	20	④
21	⑤	22	5	23	16	24	55	25	29
26	70	27	508	28	3	29	14	30	8

[출제의도] 지수 계산하기

[eqn: 4 ^{{3} over {2}} TIMES 16 ^{- {1} over {2}} =2 ^{3} TIMES 2 ^{-2} =2]

[출제의도] 행렬 연산하기

[eqn: X=B-2A][eqn: = {pmatrix{2&2#1&3}} -2 {pmatrix{-1&0#```````1&2}}][eqn: = {pmatrix{``````4&```````2#-1&-1}}]

[출제의도] 삼각함수의 성질을 알고 계산하기

[eqn: cos theta = 2cos ^{2} theta over 2 -1 = {1} over {8}]

[출제의도] 함수의 극한 이해하기

[eqn: lim _{x` -> ` INF } {{f(x)-2x} over {x ^{2}} =2}]에서 [eqn: f(x)]는 [eqn: x^2]의 계수가 [eqn: 2]인
이차함수이고

[eqn: lim _{x -> -1} {{f(x)} over {x ^{2} -1}} =3]에서 [eqn: lim _{x -> -1} {f(x)=0}]이므로

[eqn: f(x)=2(x+1)(x+a)]이다.

[eqn: lim _{x -> -1} {{f(x)} over {x ^{2} -1}} =lim _{x -> -1} {{2(x+a)} over {x -1}}}][eqn: = {2(-1+a)} over {-2} =3]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a=`-2]

따라서 [eqn: f(x)=2(x+1)(x-2)]이므로 [eqn: f(1)=`-4]

[출제의도] 여러 가지 함수의 미분법 이해하기

[eqn: `lny=2e ^{-3x}]이고 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: {y prime } over {y} =`-6e ^{-3x}]

[eqn: y prime =`-6e ^{-3x} cdot y]       [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: ㉠]에 [eqn: x=0,```y=e ^{2}]을 대입하면 [eqn: y prime =`-6e ^{2}]

따라서 점 [eqn: LEFT ( 0,`e ^{2} RIGHT )]에서의 접선의 기울기는 [eqn: -6e ^{2}]

[출제의도] 일차변환과 행렬 이해하기

[eqn: A+B=C``]라 하면 [eqn: C= {pmatrix{6#3}}]

[eqn: f(A)+f(B)=f(A+B)=f(C``)=3B]

따라서 [eqn: f ^{``-1} (B)= {1} over {3} C``]이므로 [eqn: f ^{``-1} (B)= {pmatrix{2#1}}]

[출제의도] 분수부등식 이해하기

[eqn: f(x)=ax(x-2)]([eqn: a>0])라 하면

부등식 [eqn: {f(x-2)} over {f(x-4)} LEQ 1]에서 [eqn: {a(x-2) LEFT ( x-4 RIGHT )} over {a(x-4)(x-6)} LEQ 1]이므로
[eqn: x != 4]이고 [eqn: {4} over {x-6} LEQ 0]이다.

[eqn: {4} over {x-6} LEQ 0]의 양변에 [eqn: LEFT ( x-6 RIGHT ) ^{2}]을 곱하여 정리하면

[eqn: x LEQ 6]([eqn: x != 4], [eqn: x != 6])이다.

따라서 부등식 [eqn: {f(x-2)} over {f(x-4)} LEQ 1]을 만족시키는 자연수
[eqn: x]는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 5]이므로 모든 자연수의 합은 [eqn: 11]

[출제의도] 수열의 극한의 성질 이해하기

(가)에서 [eqn: {3n ^{2} +1} over {n(n+1)} <a _{n}]이고

(나)에서 [eqn: a _{n} <3- {1} over {2} b _{n}]이므로

[eqn: {3n ^{2} +1} over {n(n+1)} <a _{n} <3- {b _{n}} over {2}]이다.

한편, [eqn: lim _{n -> INF } {{3n ^{2} +1} over {n(n+1)}} le lim _{n -> INF } {a _{n}} LEQ lim _{n -> INF } {LEFT. LEFT ( 3- {b _{n}} over {2} RIGHT . RIGHT )}]이고

(다)에서 [eqn: lim _{n-> INF } {b _{n} =0}]이므로

[eqn: 3 le lim _{n -> INF } {a _{n}} le3]이다.

따라서 [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}} =3]

[출제의도] 함수의 연속성 추론하기

ㄱ. [eqn: lim _{x` -> `+0} {`f LEFT ( x RIGHT ) = lim _{x` -> `-0} {f LEFT ( x RIGHT ) =`} `-1}] (참)

ㄴ. [eqn: lim _{x` -> `1`+0} {LEFT { `f LEFT ( x RIGHT ) `-`f(-x) RIGHT } =`-1-1=`-2}] (거짓)

ㄷ. [eqn: ` LEFT | `f(-1)` RIGHT | CDOT sin LEFT { pi TIMES LEFT ( -1 RIGHT ) RIGHT } =0],

[eqn: lim _{x` -> `-1+0} {` LEFT | `f(x)` RIGHT | CDOT sin pi x} ``= lim _{x` -> `-1-0} {` LEFT | `f(x)` RIGHT | CDOT sin pi x} ``=0]

이므로 함수 [eqn: {` LEFT | `f(x)` RIGHT | cdot sin pi x}]는 [eqn: x=`-1]에서 연속이다.

같은 방법으로 함수 [eqn: {` LEFT | `f(x)` RIGHT | cdot sin pi x}]는

[eqn: x=0], [eqn: x=1]에서 연속이다.

[eqn: THEREFORE] 함수 [eqn: {` LEFT | `f(x)` RIGHT | cdot sin pi x}]는

열린 구간 [eqn: LEFT ( -2,``2 RIGHT )]에서 연속이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ

[출제의도] 고차부등식 이해하기

[eqn: x^3 -6x^2 +11x-6 >0]

[eqn: (x-1)(x-2)(x-3)>0]

[eqn: therefore] [eqn: 1<x<2] 또는 [eqn: x>3]

[eqn: B SUBSET A SUBSET C``]이므로 [eqn: alpha ge 3], [eqn: beta le 1]

따라서 [eqn: alpha - beta]의 최솟값은 [eqn: 2]

[출제의도] 지수함수의 그래프 이해하기

지수함수 [eqn: y=2 ^{`2x+a} +b]의 그래프에서 점근선의
방정식이 [eqn: y=2]이므로 [eqn: b=2]이다.

[eqn: y=f(x)]의 그래프는 지수함수 [eqn: y=2 ^{`2x+a} +2]의 그래프를 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동시킨 함수 [eqn: y=2 ^{-`2x+a} +2]의

그래프이다.

함수 [eqn: y=2 ^{-`2x+a} +2]의 그래프가 점 [eqn: (-1,10)]을
지나므로 [eqn: a=1]이다.

따라서 [eqn: a+b=3]

[출제의도] 로그의 뜻을 알고 문제해결하기

해발고도 [eqn: 1840rmm]인 곳에서의 기압을 [eqn: p_1 (rmhPa)]이라 하면
[eqn: p _{0} =1000], [eqn: t=10], [eqn: H=1840]이므로

[eqn: 1840=18400 LEFT ( 1+0.04 TIMES 10 RIGHT ) log {1000} over {p _{1}}]

[eqn: therefore] [eqn: {1} over {14} =3-log`p _{1}]이므로 [eqn: p _{1`} =10 ^{{41} over {14}}]

따라서 해발고도 [eqn: 1840rmm]인 곳에서의 기압[eqn: ( rm hPa)]은 [eqn: 10 ^{{41} over {14}}]

[출제의도] 부정적분 이해하기

[eqn: f` prime (x)=a(x+1)(x-1)]([eqn: a>0])이므로

[eqn: x=`-1]에서 극댓값, [eqn: x=1]에서 극솟값을 가진다.

[eqn: LEFT . f(x)= int _{} ^{} {a(x+1)(x-1)dx} RIGHT .]

[eqn: LEFT . = int _{} ^{} {a(x ^{2} -1)} dx=a` LEFT ( ` {x ^{3}} over {3} -x` RIGHT ) `+C RIGHT .]
(단, [eqn: C`]는 적분상수)

[eqn: f(-1)=a` LEFT ( `- {1} over {3} +1` RIGHT ) `+C=4]     [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: f(1)=a` LEFT ( ` {1} over {3} -1` RIGHT ) `+C=`0]          [eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: ㉠], [eqn: ㉡]에 의하여

[eqn: a=3], [eqn: C=2]이므로 [eqn: f(x)=x ^{3} -3x`+2]이다.

따라서 [eqn: f(3)=20]

[출제의도] 행렬의 성질 추론하기

ㄱ. [eqn: (ABA ^{-1} `) ^{`2} =(ABA ^{-1} `)(ABA ^{-1} `)]

[eqn: =AB(A ^{-1} A)BA ^{-1} =ABEBA ^{-1}]

[eqn: =ABBA ^{-1} =AB ^{2} A ^{-1}] (참)

ㄴ. 행렬 [eqn: A]의 역행렬이 존재하면

[eqn: A^2 (A^-1 ) ^2 =AAA^-1 A^-1 = A(AA^-1 )A^-1]

[eqn: =AEA ^{-1} =AA ^{-1} =E]

[eqn: therefore] [eqn: (A ^{2`} ) ^{-1} =(A ^{-1} ) ^{`2}] (참)

ㄷ. (반례) [eqn: A= {pmatrix{0&```1#1&```0}}], [eqn: B``= {pmatrix{0&``0#0&``1}}] (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ

[출제의도] 수열의 귀납적 정의 추론하기

[eqn: p=3], [eqn: q=6], [eqn: f(n)=3n]이므로 [eqn: p+q+f(10)=39]

[출제의도] 정적분 이해하기

[eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {sin2x(sinx+1)dx=} int _{0} ^{{pi } over {2}} {2sinx`cos`x(sinx+1)dx}]

[eqn: sinx=t]로 치환하면 [eqn: cosx`dx=dt]

[eqn: x=0]일 때 [eqn: t=0]이고, [eqn: x= {pi } over {2}]일 때 [eqn: t=1]이므로

[eqn: int _{0} ^{1} {(2t ^{2} +2t)`dt}][eqn: = LEFT [ {2t ^{3}} over {3} +t ^{2} RIGHT ] _{0} ^{1} = {5} over {3}]

[출제의도] 분수방정식의 뜻을 알고 문제해결하기

코끼리 트래킹 코스에서 이동하는 데 걸린 소요시간은 [eqn: {12} over {8} =1.5]

뗏목 래프팅 코스에서 이동한 평균속력을 [eqn: v]라 하면

뗏목 래프팅 코스에서 이동하는 데 걸린 소요시간은
[eqn: 13.5 over v],

승마 코스에서 이동하는 데 걸린 소요시간은
[eqn: 12 over v+10]이므로

[eqn: 1.5+ {12} over {v+10} = {13.5} over {v}]   [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: ㉠]의 양변에 [eqn: v(v+10)]을 곱하여 정리하면

[eqn: v^2 +9v-90=(v-6)(v+15)=0]

[eqn: therefore] [eqn: v=6]([eqn: BECAUSE v>0])

뗏목 래프팅 코스에서 이동하는 데 걸린 소요시간은

[eqn: 13.5 over 6 = 2.25]

승마 코스에서 이동하는 데 걸린 소요시간은
[eqn: 12 over 16 = 0.75]

(세 코스에서 이동하는 데 걸린 소요시간의 총합)
[eqn: =1.5+2.25+0.75= 4.5]

따라서 갑이 승마, 뗏목 래프팅, 코끼리 트래킹 코스에서 이동하는 데 걸린 소요시간의 총합은 [eqn: 4]시간 30분

[출제의도] 일차변환의 뜻을 알고 문제해결하기

[eqn: LEFT ( pile{`#`} RIGHT .]

[eqn: pile{cos {pi } over {8}#sin {pi } over {8}} ``` pile{``-sin {pi } over {8}#``````````cos {pi } over {8}}]

[eqn: pile{`#`} right)]

[eqn: A=]

,

이라 하자.

[eqn: {matrix{{1} over {2} ````&0#0````&{1} over {2}}}]

[eqn: LEFT ( pile{`#`} RIGHT .]

[eqn: pile{`#`} right)]

[eqn: B=]

행렬 [eqn: A]는 원점을 중심으로 [eqn: pi over 8]만큼 회전시키는
회전변환을 나타내는 행렬이고, 행렬 [eqn: B]는 원점을
닮음의 중심으로 하고 닮음비가 [eqn: 1over2]인 닮음변환을
나타내는 행렬이다.

(나)에서 [eqn: LEFT ( pile{x _{n+1}#y _{n+1}} RIGHT ) =AB` LEFT ( pile{x _{n}#y _{n}} RIGHT )]이고

(가)에서 [eqn: x _{0} =1], [eqn: y _{0} =0]이므로

[eqn: x _{98} = ROOT 2 OVER 2 left( 1over2 right)^98], [eqn: y _{102} ={sqrt {2}} over {2} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{102}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: x_98 + y_102 = 17root2 left( 1over2 right)^103]

따라서 [eqn: k=17root2]

[출제의도] 정적분의 뜻을 알고 추론하기

ㄱ. [eqn: int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} `= LEFT [ e ^{x} -x RIGHT ] _{0} ^{1} =e-2] (참)

ㄴ. [eqn: g(x)=f(x)-x]라 하자.

[eqn: x>0]에서 [eqn: g prime (x)=e ^{x} -1>0]이므로

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 구간 [eqn: LEFT ( 0,` INF RIGHT )]에서 증가한다.
따라서 [eqn: g(0)=0]이므로 [eqn: x>0]에서 [eqn: f(x)>x]이다. (참)

ㄷ. [eqn: f ^{`-1} LEFT ( x RIGHT ) =ln LEFT ( x+1 RIGHT )]이므로
[eqn: rm TRIANGLE OAB= {5(ite ^{5} -1)} over {2} ` it <` int _{0} ^{e ^{5`} -1} {f ^{`-1} (x)dx} `],

[eqn: ` int _{0} ^{e ^{5`} -1} {f ^{`-1} (x)dx} `< {(e ^{5} -1) ^{2}} over {2} = rm TRIANGLE OAC] (참)

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm `O]

[eqn: 5]

[eqn: rm A LEFT ( ite ^{5} -1,`0 RIGHT )]

[eqn: e ^{5} -1]

[eqn: y=x]

[eqn: y=ln LEFT ( x+1 RIGHT )]

[eqn: y= {5} over {e ^{5} -1} x]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출제의도] 무한등비급수를 활용하여 문제해결하기

[eqn: H _{n}]의 한 정육각형의 한 변의 길이를 [eqn: l _{n}]이라 하고
[eqn: H _{n+1}]의 한 정육각형의 한 변의 길이를 [eqn: l _{n+1}]이라 하자.

[eqn: l _{n}]

[eqn: l _{n+1}]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm E]

[eqn: rm F]

[eqn: rm 2 bar{AB} = bar{EF}]이므로 [eqn: rm {3} over {2} bar{AB} = bar{CD}]이다.

[eqn: {3} over {2} l _{n} =4 TIMES {sqrt {3}} over {2} l _{n+1}]이 성립하므로, [eqn: l _{n+1} = {sqrt {3}} over {4} l _{n}]에서

[eqn: S _{n+1} =3 TIMES LEFT ( {sqrt {3}} over {4} RIGHT ) ^{2} S _{n} = {9} over {16} S _{n}]

수열 [eqn: LEFT { S _{n} RIGHT }]은

[eqn: S _{1} = {sqrt {3}} over {4} TIMES LEFT ( {sqrt {3}} over {4} RIGHT ) ^{2} TIMES 6 TIMES 3= {27} over {32} sqrt {3}]이고, 공비가
[eqn: {9} over {16}]인 무한등비수열이다.

따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n} = {{27} over {32} sqrt {3}} over {1- {9} over {16}} = {27} over {14} sqrt {3}]

[출제의도] 도함수의 뜻을 알고 추론하기

ㄱ. [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) = {4x} over {2x ^{2} `+1}]이므로 [eqn: f`'`(-x)`=`-`f`'`(x)] (참)

ㄴ. [eqn: f` prime prime LEFT ( x RIGHT ) = {4 LEFT ( 2x ^{2} +1 RIGHT ) -4x CDOT 4x} over {LEFT ( 2x ^{2} +1 RIGHT ) ^{2}} = {4 LEFT ( 1-2x ^{2} RIGHT )} over {LEFT ( 2x ^{2} +1 RIGHT ) ^{2}}]
[eqn: f` prime prime LEFT ( x RIGHT ) =0]에서 [eqn: x=- {1} over {sqrt {2}}] 또는 [eqn: x= {1} over {sqrt {2}}]

[eqn: x]	⋯	[eqn: - {1} over {sqrt {2}}]	⋯	[eqn: {1} over {sqrt {2}}]	⋯
[eqn: f` prime prime LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f prime LEFT ( x RIGHT )]	↘	[eqn: - sqrt {2}]	↗	[eqn: sqrt {2}]	↘

[eqn: lim _{x -> - INF } {f` prime LEFT ( x RIGHT )} = lim _{x -> INF } {f` prime LEFT ( x RIGHT )} =0]이므로 [eqn: y=f` prime LEFT ( x RIGHT )]의

그래프는 그림과 같다.

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm `O]

[eqn: y=f`' LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: {sqrt {2}} over {2}]

[eqn: - {sqrt {2}} over {2}]

[eqn: sqrt {2}]

[eqn: - sqrt {2}]

따라서 함수 [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT )]의 최댓값은 [eqn: sqrt {2}]이다. (참)

ㄷ. ⅰ) [eqn: x _{1} =x _{2}]일 때, 주어진 부등식은 성립한다.

ⅱ) [eqn: x _{1} != x _{2}]일 때, 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ x _{1} ,~x _{2} RIGHT ]]에서
평균값의 정리에 의하여 [eqn: {f LEFT ( x _{1} RIGHT ) -f LEFT ( x _{2} RIGHT )} over {x _{1} -x _{2}} =f` prime LEFT ( c RIGHT )]인
[eqn: c]가 열린 구간 [eqn: LEFT ( x _{1} ,~x _{2} RIGHT )]에서 적어도 하나 존재한다.

ㄱ, ㄴ에 의하여 [eqn: - sqrt {2} LEQ f` prime LEFT ( x RIGHT ) LEQ sqrt {2}]이므로

[eqn: LEFT | {f LEFT ( x _{1} RIGHT ) -f LEFT ( x _{2} RIGHT )} over {x _{1} -x _{2}} RIGHT | ``= LEFT | `f` prime LEFT ( c RIGHT ) ` RIGHT | `` LEQ sqrt {2}]이다.

[eqn: THEREFORE] ⅰ), ⅱ)에 의하여 임의의 두 실수 [eqn: x _{1} ,~x _{2}]에
대하여 [eqn: LEFT | `f LEFT ( x _{1} RIGHT ) -f LEFT ( x _{2} RIGHT ) ` RIGHT | `` LEQ sqrt {2} ` LEFT | `x _{1} -x _{2} ` RIGHT |] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출제의도] 행렬과 연립일차방정식 이해하기

연립일차방정식 [eqn: {pmatrix{1-k````&-2#-3&4-k}} LEFT ( pile{x#y} RIGHT ) = LEFT ( pile{0#0} RIGHT )]가

[eqn: x=0], [eqn: y=0] 이외의 해를 가지므로

[eqn: LEFT ( 1-k RIGHT ) LEFT ( 4-k RIGHT ) -6=0], [eqn: k ^{2} -5k-2=0]

따라서 근과 계수의 관계에 의하여
모든 실수 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: 5]

[출제의도] 무리방정식 이해하기

[eqn: x^2 + 5x -6+root{x^2 +5x}=0]에서

[eqn: root{x^2 + 5x} = t] ([eqn: t ge 0])라 하면,

[eqn: t^2 + t -6 = 0] [eqn: therefore] [eqn: t=2] [eqn: LEFT ( BECAUSE ```t GEQ 0 RIGHT )]

[eqn: root{x^2 + 5x} = 2]의 양변을 제곱하여 정리하면
[eqn: x^2 + 5x -4 =0]

[eqn: therefore] 근과 계수의 관계에 의하여 모든 실근의 곱 [eqn: p=`-4]

따라서 [eqn: p ^{2} =16]

[출제의도] 여러 가지 수열 이해하기

[eqn: {a _{n+1}} over {a _{n}} = {n ^{2} +2n} over {(n+1) ^{2}}][eqn: = {n+2} over {n+1} TIMES {n} over {n+1}]

[eqn: {a _{2}} over {a _{1}} = {3} over {2} TIMES {1} over {2}], [eqn: {a _{3}} over {a _{2}} = {4} over {3} TIMES {2} over {3}], [eqn: CDOTS] , [eqn: {a _{n}} over {a _{n-1}} = {n+1} over {n} TIMES {n-1} over {n}]

[eqn: {a _{2}} over {a _{1}} TIMES {a _{3}} over {a _{2}} TIMES ` CDOTS ` TIMES {a _{n}} over {a _{n-1}} = {1 TIMES 3} over {2 TIMES 2} TIMES {2 TIMES 4} over {3 TIMES 3} TIMES ` CDOTS ` TIMES {LEFT ( n-1 RIGHT ) LEFT ( n+1 RIGHT )} over {n TIMES n}]

[eqn: therefore] [eqn: a _{n} = {1} over {2} TIMES {n+1} over {n} = {n+1} over {2n}]

따라서 [eqn: 100`a _{10} =55]

[출제의도] 일차변환과 행렬의 성질 이해하기

일차변환을 나타내는 행렬을 [eqn: {pmatrix{p&q#r&s}}]라 하면

[eqn: {pmatrix{p&q#r&s}} ` {pmatrix{1#1}} = {pmatrix{-1#```````2}}]      [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: {pmatrix{p&q#r&s}} ` {pmatrix{1#2}} = {pmatrix{````````3#-4}}]      [eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: ㉠], [eqn: ㉡]에 의하여 [eqn: p=`-5], [eqn: q=4], [eqn: r=8], [eqn: s=`-6]

[eqn: THEREFORE] [eqn: {pmatrix{-5&```````4#``````8&-6}} ` {pmatrix{-3#-1}} = {pmatrix{```````11#-18}}]

따라서 [eqn: a=11], [eqn: b=`-18]이므로 [eqn: a-b=29]

[출제의도] 삼각방정식의 뜻을 알고 문제해결하기

[eqn: rm ANGLE POB=2theta]이므로 [eqn: ANGLE rm PAB= theta],
[eqn: rm ANGLE BOQ=theta]이므로 [eqn: ANGLE rm QAB = theta over 2]이다.

[eqn: rm TRIANGLE ABP]에서 [eqn: rm bar{AP} =2cos theta], [eqn: rm TRIANGLE AQB]에서 [eqn: rmbarBQ = 2sin thetaover2]

[eqn: 3 rm bar AP = 7 bar BQ]이므로 [eqn: 3cos theta = 7sin thetaover2]이다.

[eqn: sin^2{theta over 2 = {1-cos theta} over {2}]이므로

[eqn: 18cos^2 theta + 49cos theta -49=0]이다.

[eqn: cos theta = 7over9] [eqn: LEFT ( BECAUSE ```0< theta < {pi } over {2} RIGHT )]

따라서 [eqn: 90`cos theta =70]

[출제의도] 등차수열과 등비수열 이해하기

[eqn: a_n = S_n - S_{n-1} =n+1] [eqn: (n ge 2)], [eqn: a _{1} =S _{1} =2]이므로
[eqn: a _{n} =n+1``(n GEQ 1)]

[eqn: sum _{n=1} ^{7} 2 ^{a _{n}} = sum _{n=1} ^{7} 2 ^{n+1} = {2 ^{2} (2 ^{7} -1)} over {2-1} =508]

[출제의도] 미분계수의 뜻을 알고 문제해결하기

[eqn: {1} over {n} =h]라 하면, [eqn: n` -> ` INF]일 때, [eqn: h` -> `0]이다.

(준식)[eqn: = lim _{h` -> `0} {{LEFT { g LEFT ( 1+h RIGHT ) -g(1) RIGHT } - LEFT { g LEFT ( 1-2h RIGHT ) -g(1) RIGHT }} over {h}}]

[eqn: = lim _{h` -> `0} {{g LEFT ( 1+h RIGHT ) -g(1)} over {h} +2 lim _{h` -> `0} {{g LEFT ( 1-2h RIGHT ) -g(1)} over {-2h}}}]

[eqn: =g` prime (1)+2`g` prime (1)=3g` prime (1)]

[eqn: g(1)=f ^{`-1} (1)=a]라 하면 [eqn: f(a)=1]이므로

[eqn: f(a)=a ^{3} +3a ^{2} +4a+5=1]에서 [eqn: a=`-2]이다.

[eqn: f` prime (x)=3x ^{2} + 6x +4]에서 [eqn: f` prime (-2)=4]이고
[eqn: g LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) =x]에서 [eqn: g` prime LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) = {1} over {f` prime LEFT ( x RIGHT )}]이므로

[eqn: 3g` prime (1)=3 TIMES {1} over {f` prime (-2)} ={3} over {4}]이다.

따라서 [eqn: 4p=3]

[출제의도] 지표와 가수의 뜻을 알고 문제해결하기

[eqn: log`x=f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT ) `] ([eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 정수, [eqn: 0 LEQ g LEFT ( x RIGHT ) <1])

[eqn: 0 LEQ g LEFT ( x ^{2} RIGHT ) <1], [eqn: 0 LEQ g LEFT ( x ^{3} RIGHT ) <1]이므로
(가)에서 [eqn: 0 LEQ f LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( x ^{2} RIGHT ) +g LEFT ( x ^{3} RIGHT ) <2]이다.
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 정수이므로 [eqn: 0] 또는 [eqn: 1]이다.
한편, (나)에 의하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) !=0]

∴ [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =1]

[eqn: log`x ^{2} =f LEFT ( x ^{2} RIGHT ) +g LEFT ( x ^{2} RIGHT ) =2f LEFT ( x RIGHT ) +2g LEFT ( x RIGHT )]       [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: log`x ^{3} =f LEFT ( x ^{3} RIGHT ) +g LEFT ( x ^{3} RIGHT ) =3f LEFT ( x RIGHT ) +3g LEFT ( x RIGHT )]       [eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: ㉠], [eqn: ㉡]에서

[eqn: f LEFT ( x ^{2} RIGHT ) +f LEFT ( x ^{3} RIGHT ) +g LEFT ( x ^{2} RIGHT ) +g LEFT ( x ^{3} RIGHT ) =5f LEFT ( x RIGHT ) +5g LEFT ( x RIGHT )] [eqn: CDOTS CDOTS ㉢]

[eqn: ㉢]의 좌변은 정수이므로 [eqn: 5g LEFT ( x RIGHT )]는 정수이다.

[eqn: THEREFORE `] [eqn: 0<g LEFT ( x RIGHT ) <1]에서 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 될 수 있는 값은
[eqn: {1} over {5}], [eqn: {2} over {5}], [eqn: {3} over {5}], [eqn: {4} over {5}]이다.

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {4} over {5}]일 때, [eqn: g LEFT ( x ^{2} RIGHT ) = {3} over {5}], [eqn: g LEFT ( x ^{3} RIGHT ) = {2} over {5}], [eqn: g LEFT ( x ^{4} RIGHT ) = {1} over {5}]
이므로 [eqn: g(x ^{2} )>g(x ^{3} )>g(x ^{4} )]이 성립한다.
∴ [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {4} over {5}]이므로 [eqn: log`x=1+ {4} over {5} = {9} over {5}], [eqn: x=10 ^{{9} over {5}}]

따라서 [eqn: m=5], [eqn: n=9]이므로 [eqn: m+n=14]

[출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기

점 [eqn: rmP]는 호 [eqn: rmAB] 위의 점이고 시각 [eqn: t]일 때 [eqn: ANGLE rm POA= it t] [eqn: LEFT ( 0 LEQ t LEQ {pi } over {2} RIGHT )]이므로 점 [eqn: rmP]의 좌표는 [eqn: it LEFT ( cos`t,~sin`t RIGHT )]이다.

점 [eqn: rm Q( it x,`0)]의 시각 [eqn: t]에서의 위치는

[eqn: x=cos`t+ sqrt {5-sin ^{2} `t}], [eqn: y=0]

점 [eqn: rmQ]의 [eqn: x]좌표의 시간에 대한 변화율

[eqn: {dx} over {dt} =`-sin`t- {sin`t`cos`t} over {sqrt {5-sin ^{2} `t}}]

[eqn: therefore] [eqn: ANGLE rm POA= pi over 4]가 되는 순간, 점 [eqn: rmQ]의 [eqn: x]좌표의
시간에 대한 변화율

[eqn: r=`- {sqrt {2}} over {2} - {{1} over {2}} over {sqrt {5- {1} over {2}}} =`- {sqrt {2}} over {2} - {sqrt {2}} over {6} =`- {2} over {3} ` sqrt {2}]

따라서 [eqn: 9r ^{2} =8]

[나 형]

1	②	2	④	3	③	4	②	5	①
6	③	7	④	8	①	9	③	10	⑤
11	②	12	⑤	13	④	14	③	15	②
16	①	17	③	18	①	19	①	20	④
21	⑤	22	5	23	6	24	55	25	26
26	32	27	508	28	256	29	14	30	295

‘가’형과 같음

‘가’형과 같음

[출제의도] 무한수열의 극한 이해하기

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{4 ^{n} +3} over {2 ^{2n} -1}} = lim _{n` -> ` INF } {{1+ {3} over {4 ^{n}}} over {1- {1} over {4 ^{n}}}} =1]

[출제의도] 역행렬의 성질 이해하기

행렬 [eqn: LEFT ( {matrix{t-1``&`3#2&`t+2}} ` RIGHT )]가 역행렬을 갖지 않으므로

[eqn: (t-1)(t+2)-6=0]이고

[eqn: t ^{2} +t-8=0]이다.

따라서 근과 계수의 관계에 의하여

모든 실수 [eqn: t]의 값의 곱은 [eqn: -8]

[출제의도] 지수부등식 이해하기

[eqn: 2 ^{-2x ^{2}} >2 ^{-4x}], [eqn: 2x ^{2} <4x]

[eqn: THEREFORE] [eqn: 0<x<2]

따라서 [eqn: alpha =0], [eqn: beta =2]이므로 [eqn: alpha + beta =2]

[출제의도] 무한급수의 수렴조건 이해하기

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } ` {LEFT ( 3 ^{a} +1 RIGHT ) ^{n}} over {6 ^{3n}} = sum _{n=1} ^{INF } ` LEFT ( {3 ^{a} +1} over {216} RIGHT ) ^{n} `]이 수렴하므로

[eqn: -1< {3 ^{a} +1} over {216} <1`], [eqn: -217<3 ^{a} <215`]

[eqn: THEREFORE] 자연수 [eqn: a]는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]이다.

따라서 [eqn: a]의 개수는 [eqn: 4]

[출제의도] 함수의 극한 이해하기

[eqn: lim _{x` -> `2} {LEFT ( x-a RIGHT )} =0]이므로 [eqn: a=2]이다.

[eqn: lim _{x` -> `2} {{x-2} over {LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT )}} = lim _{x` -> `2} {{1} over {x-3} =`-1}]이므로

[eqn: b=`-1]이다.

따라서 [eqn: a+b=1]

‘가’형과 같음

[출제의도] 함수의 연속성 추론하기

ㄱ. [eqn: lim _{x` -> `-1+0} {`f LEFT ( x RIGHT ) = lim _{x` -> `-1-0} {f LEFT ( x RIGHT ) =} `2}] (참)

ㄴ. [eqn: lim _{x` -> `-1+0} {f LEFT ( -x RIGHT ) =2}], [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1]이므로

[eqn: lim _{x` -> `-1+0} {f LEFT ( -x RIGHT ) != f LEFT ( 1 RIGHT )}]이다. (거짓)

ㄷ. [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) f LEFT ( 1 RIGHT ) =2 TIMES 1=2],

[eqn: lim _{x` -> `-0} {f LEFT ( x RIGHT ) f LEFT ( x+1 RIGHT ) =1} TIMES 2=2],

[eqn: lim _{x` -> `+0} {f LEFT ( x RIGHT ) f LEFT ( x+1 RIGHT ) =2} TIMES 1=2]에서

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) f LEFT ( 1 RIGHT ) = lim _{x` -> `0} {f LEFT ( x RIGHT ) f LEFT ( x+1 RIGHT )}]이므로

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) f LEFT ( x+1 RIGHT )]은 [eqn: x=0]에서 연속이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ

[출제의도] 등차수열과 등비수열 이해하기

[eqn: 6=a+3+b], [eqn: 1= {4} over {LEFT ( a+3 RIGHT ) b}]

[eqn: a+b=3], [eqn: LEFT ( a+3 RIGHT ) b=4]에서
[eqn: a= sqrt {5}][eqn: LEFT ( BECAUSE ``a>0 RIGHT )], [eqn: b=3- sqrt {5}]

따라서 [eqn: b-a =3-2sqrt {5}]

‘가’형과 같음

‘가’형과 같음

[출제의도] 함수의 극한 이해하기

[eqn: 2f LEFT ( x RIGHT ) -3g LEFT ( x RIGHT ) =h LEFT ( x RIGHT )]라 하면, [eqn: lim _{x` -> ` INF } {h LEFT ( x RIGHT )} =2]이고
[eqn: 3g LEFT ( x RIGHT ) =2f LEFT ( x RIGHT ) -h LEFT ( x RIGHT )]이다.

[eqn: lim _{x` -> ` INF } {{8f(x)-3g(x)} over {3g(x)}} `= lim _{x` -> ` INF } {{6f(x)+h LEFT ( x RIGHT )} over {2f LEFT ( x RIGHT ) -h LEFT ( x RIGHT )}}]

[eqn: = lim _{x` -> ` INF } {{6+ {h LEFT ( x RIGHT )} over {f LEFT ( x RIGHT )}} over {2- {h LEFT ( x RIGHT )} over {f LEFT ( x RIGHT )}}} =3]

‘가’형과 같음

‘가’형과 같음

[출제의도] 등비수열의 뜻을 알고 문제해결하기

[eqn: a _{n} =2 LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1}]이고, [eqn: A _{n}]은 [eqn: rm TRIANGLE P _{itn} Q _{itn} Q _{itn+1}]의 넓이이므로

[eqn: A _{n} = {1} over {2} TIMES 2` LEFT | `- {1} over {2} ` RIGHT | ^{`n-1} TIMES 1= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1}]이다.

따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{20} A _{n} = {1 LEFT { 1- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{20} RIGHT }} over {1- {1} over {2}} =2- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{19}]

[출제의도] 등차수열의 뜻을 알고 추론하기

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 공차가 [eqn: 3]인 등차수열이므로

[eqn: a _{n} <a _{n+1}]이다.

따라서 주어진 부등식에서

[eqn: x GEQ {a _{n} +a _{n+1}} over {2}]이므로 [eqn: b _{n} = {a _{n} +a _{n+1}} over {2}]이다.

ㄱ. [eqn: b _{1} = {a _{1} +a _{2}} over {2}] (참)

ㄴ. [eqn: b _{n} = {1+3 LEFT ( n-1 RIGHT ) +1+3n} over {2} =3n- {1} over {2}]이므로
수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]은 공차가 [eqn: 3]인 등차수열이다. (거짓)

ㄷ. [eqn: sum _{n=1} ^{10} b _{n} = sum _{n=1} ^{10} LEFT ( 3n- {1} over {2} RIGHT ) =3 TIMES {10 TIMES 11} over {2} -5=160](참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ

[출제의도] 순서도를 이해하여 값 추론하기

[eqn: {1} over {LEFT ( 3n-1 RIGHT ) LEFT ( 3n+2 RIGHT )} = {1} over {3} LEFT ( {1} over {3n-1} `-` {1} over {3n+2} RIGHT )]이므로
[eqn: S= {1} over {2 TIMES 5} + {1} over {5 TIMES 8} + {1} over {8 TIMES 11} +` CDOTS `+ {1} over {26 TIMES 29} + {1} over {29 TIMES 32}]

[eqn: = {1} over {3} LEFT { LEFT ( {1} over {2} - {1} over {5} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {5} - {1} over {8} RIGHT ) +` CDOTS `+ LEFT ( {1} over {29} - {1} over {32} RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: = {1} over {3} LEFT ( {1} over {2} - {1} over {32} RIGHT )][eqn: = {5} over {32}]

[출제의도] 함수의 극한의 뜻을 알고 문제해결하기

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{```-1&```` LEFT ( ` LEFT | `x` RIGHT | `< {sqrt {2}} over {2} ` RIGHT ) _{{} _{{} _{}}}#`- {1} over {3}&```` LEFT ( ` LEFT | `x` RIGHT | `= {sqrt {2}} over {2} ` RIGHT ) _{{} _{{} _{}}} ^{{} ^{{} ^{}}}#``````````1&```` LEFT ( ` LEFT | `x` RIGHT | `> {sqrt {2}} over {2} ` RIGHT )}}]

따라서 [eqn: f LEFT ( {sqrt {2}} over {2} RIGHT ) `+ lim _{x -> ` {sqrt {2}} over {2} -0} {f(x)} =`- {1} over {3} + LEFT ( -1 RIGHT ) =`- {4} over {3}]

‘가’형과 같음

[출제의도] 연립일차방정식과 행렬 문제해결하기

주어진 조건을 연립방정식으로 나타내면

[eqn: {cases{x+y=15 _{{} _{{} _{}}}&````````#5x+10y=125 ^{{} ^{{} ^{}}}&}}]

[eqn: 5x+10y=125]의 양변을 [eqn: 5]로 나누면

[eqn: {cases{x+y=15 _{{} _{{} _{}}}&#x+2y=25 ^{{} ^{{} ^{}}}&}}]

[eqn: LEFT ( pile{1#1} ```` pile{1#2} RIGHT ) LEFT ( pile{x#y} RIGHT ) = LEFT ( pile{15#25} RIGHT )]이므로 [eqn: LEFT ( pile{x#y} RIGHT ) = LEFT ( pile{1#1} ` pile{``1#``2} RIGHT ) ^{-1} LEFT ( pile{15#25} RIGHT )]

[eqn: LEFT ( pile{x#y} RIGHT ) = LEFT ( pile{``````2#-1} ` pile{``-1#`````````1} RIGHT ) LEFT ( pile{15#25} RIGHT )]에서 [eqn: a=`-1], [eqn: b=`-1]

따라서 [eqn: a+b=`-2]

‘가’형과 같음

[출제의도] 연속함수의 성질 이해하기

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=1]에서 연속이므로

[eqn: f(1)=lim _{x` -> `1} {{LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+5 RIGHT )} over {x-1}} =6]

따라서 [eqn: a=6]

‘가’형과 같음

[출제의도] 로그부등식 이해하기

[eqn: x>0], [eqn: `x>4]이므로 [eqn: x>4]            [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: log _{2} `x LEFT ( x-4 RIGHT ) LEQ log _{2} `32]

[eqn: x ^{2} -4x-32 LEQ 0]

[eqn: LEFT ( x+4 RIGHT ) LEFT ( x-8 RIGHT ) LEQ 0]에서 [eqn: -4 LEQ x LEQ 8]   [eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: ㉠], [eqn: ㉡]에서 [eqn: 4<x LEQ 8]

[eqn: x]는 [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7], [eqn: 8]이므로 [eqn: x]의 값의 합은 [eqn: 26]

[출제의도] 로그방정식 이해하기

[eqn: 3 ^{x} =3 ^{2y}]에서
[eqn: x=2y]                       [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: LEFT ( log _{2} `8x RIGHT ) LEFT ( log _{2} `4y RIGHT ) =`-1]에서

[eqn: LEFT ( 3+log _{2} `x RIGHT ) LEFT ( 2+log _{2} `y RIGHT ) =`-1]   [eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: ㉠]을 [eqn: ㉡]에 대입하여 정리하면

[eqn: (log _{2} `y`+3) ^{2} `=0]이므로 [eqn: y= {1} over {8}], [eqn: x= {1} over {4}]이다.

따라서 [eqn: alpha = {1} over {4}], [eqn: beta = {1} over {8}]이므로 [eqn: {1} over {alpha beta } =32]

‘가’형과 같음

[출제의도] 여러 가지 수열 이해하기

[eqn: a _{1} ^{``2} = {1} over {2}], [eqn: a _{2} ^{``2} =1], [eqn: a _{3} ^{``2} = {1} over {2}], [eqn: a _{4} ^{``2} =0],

[eqn: a _{5} ^{``2} = {1} over {2}], [eqn: a _{6} ^{``2} =1], [eqn: a _{7} ^{``2} = {1} over {2}], [eqn: a _{8} ^{``2} =0], [eqn: CDOTS]

[eqn: sum _{n=1} ^{32} `na _{n} ^{```2}= {1} over {2} TIMES {16 TIMES 32} over {2} +1 TIMES {8 TIMES 32} over {2} =256]

‘가’형과 같음

[출제의도] 여러 가지 수열의 뜻을 알고 문제해결하기

[eqn: b _{n} =a _{n+1} -a _{n} =2n-1]이므로

[eqn: a _{n} =1+ sum _{k=1} ^{n-1} (2k-1)=1+ {2n(n-1)} over {2} -(n-1)]

[eqn: =n ^{2} -2n+2]

[eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{n} = sum _{n=1} ^{10} LEFT ( n ^{2} -2n+2 RIGHT )]

[eqn: = {10 TIMES 11 TIMES 21} over {6} -2 TIMES {10 TIMES 11} over {2} +20=295]