◦ 자신이 선택한 유형(‘   가   ’형    / ‘   나   ’형   )의 문제지인지 확인하시오.

◦ 문제지의 해당란에 성명과 수험번호를 정확히 기입하시오.

◦ 답안지의 해당란에 성명과 수험번호를 쓰고, 또 수험번호와 답을 정확히 표시하시오.

12

◦ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면 그 ‘0’도 답란에 반드시 표시하시오.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

2012학년도 4월 고3 전국연합학력평가 문제지

수리 영역 (나  형)

제 2 교시

성명			수험번호						3

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수리 영역

나   형

수리 영역

나   형

[eqn: 4 ^{{3} over {2}} TIMES 16 ^{- {1} over {2}}]의 값은? [2점]

① [eqn: sqrt {2}]	②  [eqn: 2]	③ [eqn: 2 sqrt {2}]

④  [eqn: 4]	⑤ [eqn: 4 sqrt {2}]

두 행렬 [eqn: A= {pmatrix{-1&&0`#```````1&&2`}}], [eqn: B```= {pmatrix{`2&```2`#`1&```3`}}]에 대하여 [eqn: 2A+X```=B``]를
만족시키는 행렬 [eqn: X``]는? [2점]

① [eqn: {pmatrix{```````4&```````1#`-3&`-1`}}]	② [eqn: {pmatrix{`2&```4#`1&````1`}}]	③ [eqn: {pmatrix{````````4&````3#`-1&`````2`}}]

④ [eqn: {pmatrix{````````4&```````2#`-1&`-1`}}]	⑤ [eqn: {pmatrix{`1&```1#`4&````2`}}]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{4 ^{n} +3} over {2 ^{2n} -1}}]의 값은? [2점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③  [eqn: 1]

④    [eqn: 2]	⑤    [eqn: 4]

행렬 [eqn: {pmatrix{`t-1&````3#`2&`````t+2`}}]가 역행렬을 갖지 않도록 하는 모든 실수 [eqn: t]의 값의
곱은? [3점]

① [eqn: -9]	② [eqn: -8]	③ [eqn: -7]

④ [eqn: -6]	⑤ [eqn: -5]

지수부등식 [eqn: 4 ^{-x ^{2}} > LEFT ( ` {1} over {2} ` RIGHT ) ^{`4x}]의 해가 [eqn: alpha <x< beta `]일 때, [eqn: alpha + beta `]의
값은? [3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

무한등비급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } ` {LEFT ( 3 ^{a} +1 RIGHT ) ^{n}} over {6 ^{3n}}]이 수렴하도록 하는 자연수 [eqn: a]의 개수는?

[3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: lim _{x` -> `2} {` {x-a} over {LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT )} `=b}]일 때, [eqn: a+b]의
값은? [3점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③  [eqn: 0]

④    [eqn: 1]	⑤    [eqn: 2]

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]이 다음 조건을
만족시킬 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {a _{n}}]의 값은? [3점]

(가) [eqn: 3n ^{2} +1<(`2+4+6+` CDOTS `+2n)a _{n}]

(나) [eqn: b _{n} <6-2a _{n}]

(다) 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } b _{n}]이 수렴한다.

①  [eqn: 3]	② [eqn: {10} over {3}]	③ [eqn: {11} over {3}]

④  [eqn: 4]	⑤ [eqn: {13} over {3}]

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 일부가
그림과 같을 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: 1]

[eqn: rm `O]

[eqn: -1]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

		보 기
ㄱ. [eqn: lim _{x` -> ``-1} {f LEFT ( x RIGHT ) =2}] ㄴ. [eqn: lim _{x` -> ``-1+0} {f LEFT ( -x RIGHT ) =f LEFT ( 1 RIGHT )}] ㄷ. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) f LEFT ( x+1 RIGHT )]은 [eqn: x=0]에서 연속이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

두 양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 세 수 [eqn: a+3], [eqn: 3], [eqn: b]는 이 순서대로 등차수열을
이루고, 세 수 [eqn: {2} over {b}], [eqn: 1], [eqn: {2} over {a+3}]는 이 순서대로 등비수열을 이룬다.
이때, [eqn: b-a]의 값은? [3점]

① [eqn: -5-2root5]	② [eqn: -3-2root5]	③ [eqn: -1-2root5]

④    [eqn: 1-2root5]	⑤    [eqn: 3-2root5]

점근선의 방정식이 [eqn: y=2]인 지수함수 [eqn: y=2 ^{`2x+a} +b]의 그래프를
[eqn: y]축에 대하여 대칭이동시킨 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: 2]

[eqn: rm `O]

[eqn: -1]

[eqn: y]

[eqn: 10]

[eqn: x]

[eqn: rm `O]

[eqn: 2]

[eqn: -1]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( -1,`10 RIGHT )]을 지날 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에
대하여 [eqn: a+b]의 값은? [3점]

① [eqn: {5} over {2}]	②  [eqn: 3]	③ [eqn: {7} over {2}]

④  [eqn: 4]	⑤ [eqn: {9} over {2}]

해발고도 [eqn: H`( rm m)]인 곳에서의 기압을 [eqn: p( rm hPa)], 평균해수면으로부터
해발고도 [eqn: H`( rm m)]까지의 기층의 평균기온을 [eqn: t LEFT ( DEG rmC RIGHT )]라 할 때, 다음
식이 성립한다고 한다.

[eqn: H```=18400 LEFT ( 1+0.04t RIGHT ) log` {p _{0}} over {p}] (단, [eqn: p _{0}]은 평균해수면의 기압이다.)

어느 지역에서 평균해수면의 기압이 [eqn: 1000 rm `hPa]이고, 평균해수면
으로부터 해발고도 [eqn: 1840 rm `m]까지의 기층의 평균기온이 [eqn: 10rm DEG C]일 때,
해발고도 [eqn: 1840 rm `m]인 곳에서의 기압[eqn: rm LEFT ( hPa RIGHT )]은? [3점]

① [eqn: 10 ^{{29} over {14}}]	② [eqn: 10 ^{{16} over {7}}]	③ [eqn: 10 ^{{5} over {2}}]

④ [eqn: 10 ^{{19} over {7}}]	⑤ [eqn: 10 ^{{41} over {14}}]

이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]와 다항함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: lim _{x` -> ` INF } {LEFT { 2f LEFT ( x RIGHT ) -3g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT }} =2]를
만족시킬 때, [eqn: lim _{x` -> ` INF } {` {8f LEFT ( x RIGHT ) -3g LEFT ( x RIGHT )} over {3g LEFT ( x RIGHT )}}]의 값은? [3점]

① [eqn: {3} over {2}]	②  [eqn: 2]	③ [eqn: {5} over {2}]

④  [eqn: 3]	⑤ [eqn: {7} over {2}]

영행렬이 아닌 두 이차정사각행렬 [eqn: A], [eqn: B``]에 대하여 옳은 것만을
<보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

		보 기
ㄱ. 행렬 [eqn: A`]의 역행렬이 존재하면 [eqn: (ABA ^{-1`} ) ^{`2} =AB ^{`2} A ^{-1}]이다. ㄴ. 행렬 [eqn: A`]의 역행렬이 존재하면 행렬 [eqn: A ^{2} `]의 역행렬도 존재한다. ㄷ. 행렬 [eqn: AB``]의 역행렬이 존재하지 않으면 행렬 [eqn: A`]의 역행렬도 존재하지 않는다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

모든 항이 양수인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]
이라 할 때,

[eqn: sum _{k=1} ^{n} {6S _{k}} over {a _{k} +3} `=S _{n}] [eqn: (n GEQ 1)]
이 성립한다. 다음은 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 일반항을 구하는 과정의 일부이다.

주어진 식에 [eqn: n=1]을 대입하면

[eqn: S _{1} >0]이므로 [eqn: a _{1} =`][eqn: BOX{``````````(가) _{} ^{` ^{}} `````````}]이다.

[eqn: a _{n} = sum _{k=1} ^{n} {6S _{k}} over {a _{k} +3} - sum _{k=1} ^{n-1} {6S _{k}} over {a _{k} +3} `= {6S _{n}} over {a _{n} +3}] ([eqn: n GEQ 2])이고

[eqn: a _{1} = {6S _{1}} over {a _{1} +3}]이므로

[eqn: BOX{``````````(나) _{} ^{` ^{}} `````````}][eqn: CDOT S _{n} =a _{n} ^{``2} +][eqn: BOX{``````````(가) _{} ^{` ^{}} `````````}][eqn: CDOT a _{n}] ([eqn: n GEQ 1])이다.

한편, [eqn: 6(S _{n+1} -S _{n} )=a _{n+1} ^{``2} +3a _{n+1} -(a _{n} ^{``2} +3a _{n} )]이므로

[eqn: 6a _{n+1} =a _{n+1} ^{``2} -a _{n} ^{``2} +3a _{n+1} -3a _{n}]

[eqn: VDOTS]

따라서 [eqn: a _{n} =`][eqn: BOX{``````````(다) _{} ^{` ^{}} `````````}]

위의 (가), (나)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p], [eqn: q`]라 하고, (다)에 알맞은
식을 [eqn: f LEFT ( n RIGHT )]이라 할 때, [eqn: p+q+f LEFT ( 10 RIGHT )]의 값은? [4점]

① [eqn: 36]	② [eqn: 39]	③ [eqn: 42]

④ [eqn: 45]	⑤ [eqn: 48]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 2], 공비가 [eqn: - {1} over {2}]인 등비수열이다.
모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 좌표평면 위의 점 [eqn: rm`P _{itn} ``]의 좌표를 [eqn: LEFT ( n,```a _{n} RIGHT )],
점 [eqn: rm`Q _{itn} `]의 좌표를 [eqn: (n,```0)]이라 하자.
삼각형 [eqn: rm `P _{it n rm} Q _{it n rm} Q _{it n+1 rm} `]의 넓이를 [eqn: A _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{20} A _{n}]의 값은? [4점]

① [eqn: 2 - left(1over2right)^19]	② [eqn: 2- left(1over2right)^20]	③ [eqn: 2 +left(1over2right)^21]

④ [eqn: 2+ left(1over2right)^20]	⑤ [eqn: 2+ left(1over2right)^19]

첫째항이 [eqn: 1], 공차가 [eqn: 3]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 부등식

[eqn: LEFT | `x-a _{n} ` RIGHT | ` GEQ LEFT | `x-a _{n+1} ` RIGHT | `` LEFT ( n GEQ 1 RIGHT )]

을 만족시키는 [eqn: x]의 최솟값을 [eqn: b _{n}]이라 할 때, 옳은 것만을 <보기>
에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

		보 기
ㄱ. [eqn: b _{1} = {a _{1} +a _{2}} over {2}] ㄴ. 수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]은 공차가 [eqn: {3} over {2}]인 등차수열이다. ㄷ. [eqn: sum _{n=1} ^{10} b _{n} =160]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

다음 순서도에서 인쇄되는 [eqn: S``]의 값은? [4점]

시작

[eqn: n`` larrow ``0]

[eqn: S``` larrow ``0]

[eqn: n`` larrow ``n+1]

[eqn: S``` larrow ``S``+ {1} over {LEFT ( 3n-1 RIGHT ) LEFT ( 3n+2 RIGHT )}]

[eqn: n=10]?

[eqn: S``]를 인쇄

끝

예

아니오

① [eqn: {5} over {32}]	② [eqn: {5} over {16}]	③ [eqn: {15} over {32}]

④  [eqn: {5} over {8}]	⑤ [eqn: {25} over {32}]

함수 [eqn: f(x)= lim _{n`` -> ` INF } {LEFT ( x ^{2} + {1} over {2} RIGHT ) ^{n} -2} over {LEFT ( x ^{2} + {1} over {2} RIGHT ) ^{n} +2}}]에 대하여
[eqn: f` LEFT ( {sqrt {2}} over {2} RIGHT ) ``+ lim _{x` -> ` {sqrt {2}} over {2} -0} {f(x)}]의 값은? [4점]

① [eqn: - {4} over {3}]	② [eqn: -1]	③  [eqn: 0]

④     [eqn: 1]	⑤   [eqn: {4} over {3}]

한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정육각형에서 서로 이웃하지 않는 세 변의
중점과 이 정육각형에 외접하는 원의 중심을 각각 연결하여
세 선분을 얻는다. 이 세 선분을 각각 가장 긴 대각선으로 하는 [eqn: 3]개의
정육각형을 그려서 얻은 모양의 그림을 [eqn: H _{1}]이라 하고, 그림 [eqn: H _{1}]의
넓이를 [eqn: S _{1}]이라 하자.
그림 [eqn: H _{1}]에서 새로 그려진 세 정육각형 내부에 각각 그림 [eqn: H _{1}]을
얻은 것과 같은 방법으로 그려서 얻은 [eqn: 3]개의 모양의 그림을 [eqn: H _{2}]라
하고, 그림 [eqn: H _{2}]의 넓이를 [eqn: S _{2}]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 그려서 얻은 [eqn: 3 ^{n-1}]개의 모양의
그림을 [eqn: H _{n}]이라 하고, 그림 [eqn: H _{n}]의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n}]의 값은?

[4점]

[eqn: H _{1}]

[eqn: H _{2}]

[eqn: 1]

① [eqn: {27} over {11} sqrt {3}]	② [eqn: {9} over {4} sqrt {3}]	③ [eqn: {27} over {13} sqrt {3}]

④ [eqn: {27} over {14} sqrt {3}]	⑤ [eqn: {9} over {5} sqrt {3}]

초콜릿이 [eqn: 5]개 들어 있는 상자 [eqn: A]의 개수를 [eqn: x], 초콜릿이 [eqn: 10]개 들어
있는 상자 [eqn: B``]의 개수를 [eqn: y]라 하자. [eqn: A], [eqn: B``] 두 종류의 모든 상자
개수의 합이 [eqn: 15]이고, 모든 초콜릿 개수의 합이 [eqn: 125]일 때, 등식
[eqn: {pmatrix{`x`#`y`}} `= {pmatrix{`2&```````a`#`b&``````1`}} {pmatrix{`15`#`25`}}]가 성립한다. 이때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여
[eqn: a+b]의 값은? [4점]

① [eqn: -6]	② [eqn: -5]	③ [eqn: -4]

④ [eqn: -3]	⑤ [eqn: -2]

단 답 형

[eqn: x], [eqn: y]에 대한 연립일차방정식

[eqn: {pmatrix{```````1&```-2`#-3&``````````4`}} LEFT ( pile{`x`#`y`} RIGHT ) `=k` LEFT ( pile{`x`#`y`} RIGHT )]
가 [eqn: x=0], [eqn: y=0] 이외의 해를 갖도록 하는 모든 실수 [eqn: k]의 값의 합을
구하시오. [3점]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `= {cases{{x ^{2} +4x-5} over {x-1 _{{} _{{} _{}}}}&``` LEFT ( x != 1 RIGHT )#```````````````````a&``` LEFT ( x=1 RIGHT ) ^{{} ^{{} ^{}}}}}] 이 [eqn: x=1]에서 연속일 때,
상수 [eqn: a]의 값을 구하시오. [3점]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 [eqn: a _{1} =1]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: {a _{n+1}} over {a _{n}} `=1- {1} over {(n+1) ^{2}}]

을 만족시킬 때, [eqn: 100`a _{10}]의 값을 구하시오. [3점]

로그부등식 [eqn: log _{`2} `x+log _{`2} ` LEFT ( x-4 RIGHT ) LEQ 5]를 만족시키는 모든 자연수
[eqn: x]의 값의 합을 구하시오. [3점]

두 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대한 연립방정식
[eqn: {cases{`3 ^{`x} =`9 ^{`y}&#` LEFT ( log _{`2} `8x RIGHT ) LEFT ( log` _{2} `4y RIGHT ) `=`-1 ^{{} ^{{} ^{}}}&}}]
의 해를 [eqn: x=alpha], [eqn: y= beta `]라 할 때, [eqn: {1} over {alpha ` beta }]의 값을 구하시오. [3점]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S _{n}]이
[eqn: S _{n} = {n ^{2} +3n} over {2}]일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{7} 2 ^{a _{n}}]의 값을 구하시오. [4점]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에서 [eqn: a _{n} =sin {n pi } over {4}]일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{32} `na _{n} ^{```2}]의 값을 구하시오.

[4점]

양수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: log`x]의 지표와 가수를 각각 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]라
할 때, 다음 조건을 만족시키는 [eqn: x]의 값은 [eqn: 10 ^{{n} over {m}}]이다.

(가) [eqn: f(x)=g(x ^{2} )+g(x ^{3} )]

(나) [eqn: g(x ^{2} )>g(x ^{3} )>g(x ^{4} )]

이때, [eqn: m+n]의 값을 구하시오. (단, [eqn: m], [eqn: n]은 서로소인 자연수이다.)

[4점]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{n}]의 값을 구하시오. [4점]

(가) [eqn: a _{1} =1]

(나) [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 계차수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]에 대하여  [eqn: b _{n} =2n-1]이다.

※ 확인사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.