◦ 자신이 선택한 유형(‘가’형/‘나’형)의 문제지인지 확인하시오.

2012학년도 3월 고3 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시            수리 영역

성명			수험 번호						3

‘나’형

수리 영역

‘나’형

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수리 영역

‘나’형

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◦ 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 정확히 쓰시오.

◦ 답안지의 해당란에 성명과 수험 번호를 쓰고, 또 수험 번호와 답을 정확히 표시하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면, 그 ‘0’ 도 답란에 반드시 표시하시오.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

12

1. [eqn: {1} over {2} `log` _{3} `6 -log` _{9} `2`]의 값은? [2점]

① [eqn: 1over3]	② [eqn: 1over2`]	③ [eqn: 2over3]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3over2`]

2. 두 행렬 [eqn: A= pmatrix { `1& ``-2`#` 2&`` -1`}], [eqn: B```= {pmatrix{`-1&``2`#`-1&``3`}} `]에 대하여 [eqn: 2A=X``-B`]를 만족시키는 행렬 [eqn: X``]의 모든 성분의 합은? [2점]

① [eqn: -1]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3`]

3. [eqn: lim _{ n->inf} {4`^n+1 - 1}over{(2`^n +1)(2`^n -1)}`]의 값은? [2점]

① [eqn: 1over2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 8]

4. 행렬 [eqn: A= {pmatrix{```````1&```-1`#-2&``````````3`}}]에 대하여 행렬 [eqn: {1} over {2} A]의 역행렬의 모든 성분의 합은? [3점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

5. [eqn: sum _{ n=1} ^{inf }a_n = 3`]일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} {2a _{n} -`3} over {a _{n} +`1}]의 값은? [3점]

① [eqn: -3`]	② [eqn: -2`]	③ [eqn: -1`]	④ [eqn: 0`]	⑤ [eqn: 1`]

6. [eqn: x,``y`]에 대한 연립방정식

[eqn: {pmatrix{`1``&`2`#`4``& `3`}} LEFT ( pile{``log``x`#`log``y`} RIGHT ) `=k` LEFT ( pile{``log``x`#`log``y`} RIGHT ) `]

가 [eqn: x=1`], [eqn: y=1`] 이외의 해를 갖도록 하는 모든 실수 [eqn: k`]의 값의 합은? [3점]

① [eqn: 0`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 4`]	④ [eqn: 6`]	⑤ [eqn: 8`]

7. 지수방정식 [eqn: 5 ` ^{2x} -5 ` ^{x+1} +k=0`]이 서로 다른 두 개의 양의 실근을 갖도록 하는 정수 [eqn: k`]의 개수는? [3점]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2``]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

8. 세 수 [eqn: 1`], [eqn: {log ` _{2}` LEFT (` 2 ` ^{x} +1 `RIGHT )}`], [eqn: {`log` _{2} ` LEFT (` 4 ^{x} -1 `RIGHT )}`]이 이 순서대로 등차수열을 이루도록 하는 [eqn: x`]의 값을 [eqn: alpha`]라 할 때, 다음 중 옳은 것은?

[3점]

① [eqn: 0<alpha`<` 1]	② [eqn: 1 <alpha`<2]	③ [eqn: 2<alpha`<` 3]

④ [eqn: 3 <alpha`<`4]	⑤ [eqn: 4<alpha`<` 5]

9. 수열 [eqn: LEFT {`a`_n ` RIGHT }`]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: a`_n+1 -a`_n =`2`^n-5 +`n]

을 만족시킬 때, [eqn: a`_10 - a`_7`]의 값은? [3점]

① [eqn: 40`]	② [eqn: 44`]	③ [eqn: 48`]	④ [eqn: 52]	⑤ [eqn: 56`]

10. [eqn: 80 ` ^{x} =2`], [eqn: LEFT ( {1} over {10} RIGHT ) ^{y} =4`], [eqn: a` ^{z} =8`]을 만족시키는 세 실수 [eqn: x,``y,``z`]에 대하여 [eqn: {1} over {x} + {2} over {y} - {1} over {z} =1`]이 성립할 때, 양수 [eqn: a`]의 값은? [3점]

① [eqn: 32]	② [eqn: 64`]	③ [eqn: 96]	④ [eqn: 128`]	⑤ [eqn: 160]

11. 역행렬을 갖는 이차정사각행렬 [eqn: A`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: A+A ^{-1} =E]

(나) [eqn: A` LEFT ( pile{`2`#`3`} RIGHT )`` = LEFT ( pile{`3`#`5`} RIGHT ) `]

행렬 [eqn: A`]의 모든 성분의 합은? (단, [eqn: E``]는 단위행렬이다.) [4점]

① [eqn: 11`]	② [eqn: 13`]	③ [eqn: 15`]	④ [eqn: 17`]	⑤ [eqn: 19`]

12. 수열 [eqn: left{`a`_n` right}`]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: n<` a`_n <n+1`]을 만족시킬 때, [eqn: lim_n->inf 1overn^2 sum_k=1^n a`_k`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1over2`]	② [eqn: 1`]	③ [eqn: {3} over {2} `]	④ [eqn: 2`]	⑤ [eqn: {5} over {2} `]

13. 그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 2root3]이고 [eqn: ∠ \A_1 OB_1][eqn: =`][eqn: 60°]인 부채꼴 [eqn: \A_1 OB_1]이 있다.

세 점 [eqn: \A_1], [eqn: \O], [eqn: \B_1]을 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: \A_1 OB_1]의 무게중심을 [eqn: \C_1]이라 할 때, 두 선분 [eqn: \A_1 C_1], [eqn: \B_1 C_1]과 호 [eqn: \A_1 B_1]로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S`_1]이라 하자.

점 [eqn: \O]를 중심으로 하고 점 [eqn: \C_1]을 지나는 원이 두 선분 [eqn: \OA_1], [eqn: \OB_1]과 만나는 점을 각각 [eqn: \A_2], [eqn: \B_2]라 하자. 세 점 [eqn: \A_2], [eqn: \O], [eqn: \B_2]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: \A_2 OB_2]의 무게중심을 [eqn: \C_2]라 할 때, 두 선분 [eqn: \A_2 C_2], [eqn: \B_2 C_2]와 호 [eqn: \A_2 B_2]로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S`_2]라 하자.

점 [eqn: \O]를 중심으로 하고 점 [eqn: \C_2]를 지나는 원이 두 선분 [eqn: \OA_2], [eqn: \OB_2]와 만나는 점을 각각 [eqn: \A_3], [eqn: \B_3]이라 하자. 세 점 [eqn: \A_3], [eqn: \O], [eqn: \B_3]을 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: \A_3 OB_3]의 무게중심을 [eqn: \C_3]이라 할 때, 두 선분 [eqn: \A_3 C_3], [eqn: \B_3 C_3]과 호 [eqn: \A_3 B_3]으로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S`_3]이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 도형의 넓이를 [eqn: S`_n]이라 할 때, [eqn: sum _{ n=1} ^{inf }S`_n]의 값은? [4점]

① [eqn: 2` pi - sqrt {3} `]	② [eqn: 2` pi -2 sqrt {3} `]	③ [eqn: 2` pi -3 sqrt {3} `]

④ [eqn: 3` pi -3 sqrt {3} `]	⑤ [eqn: 3` pi -4 sqrt {3} `]

14. 신경세포 또는 근육세포와 같은 대부분의 세포에서는 흥분하지 않은 상태에서 세포의 외부와 내부의 전위차가 생기는데 이것을 휴지전위라고 한다. 세포의 외부와 내부의 칼륨이온 농도(단위는 [eqn: \ mM`])가 각각 [eqn: LEFT [{\K^+} RIGHT ]_{\O }`], [eqn: LEFT [{\K^+} RIGHT ]_{\I }`]일 때의 휴지전위(단위는 [eqn: \ mV])를 [eqn: E`_{\K}`]라 하면 등식

[eqn: E`_{\K} = t` LEFT (` log LEFT [{\K^+} RIGHT ]_{\O } -`` log LEFT [{\K^+} RIGHT ]_{\I`` } RIGHT )] (단, [eqn: t`]는 양의 상수이다.)

가 성립한다. [eqn: LEFT [{\K^+} RIGHT ]_{\O }`], [eqn: LEFT [{\K^+} RIGHT ]_{\I }`], [eqn: E`_{\K}`]의 값이 표와 같을 때, 실수 [eqn: q`]의 값은? [4점]

[eqn: LEFT [{\K^+} RIGHT ]_{\O }]	[eqn: LEFT [{\K^+} RIGHT ]_{\I }]	[eqn: E`_{\K}]
[eqn: a]	[eqn: b]	[eqn: p]
[eqn: 10`a]	[eqn: b]	[eqn: p+60]
[eqn: 10^2 `a]	[eqn: root10 `b]	[eqn: p+q]

① [eqn: 90]	② [eqn: 120]	③ [eqn: 150]	④ [eqn: 180]	⑤ [eqn: 210]

15. [eqn: n`]이 자연수일 때, [eqn: x`]에 대한 방정식

[eqn: sum _{ k=0} ^{n } (`x-k`)`^2 = sum _{ k=1} ^{n }(`x+k`)`^2]

의 [eqn: 0`]이 아닌 해를 [eqn: x=a`_n]이라 하자. [eqn: a`_10]의 값은? [3점]

① [eqn: 180`]	② [eqn: 200`]	③ [eqn: 220]	④ [eqn: 240`]	⑤ [eqn: 260`]

16. 등식 [eqn: 2 ` ^{a} =5 ` ^{b} `]을 만족시키는 양의 실수 [eqn: a,``b`]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: b= 1over2]이면 [eqn: a= log`_4`5`]이다. ㄴ. [eqn: 2< {a} over {b} <3``] ㄷ. [eqn: 1over a + 1over b`]은 무리수이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ	④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

17. 일반항이 [eqn: a`_n = n(n+1) over2]([eqn: n=1,`2,`3,`cdots`])인 수열 [eqn: LEFT {`a`_n RIGHT }]에서 [eqn: a_n`]의 값이 [eqn: 6]의 배수인 항들을 작은 것부터 차례로 나열한 수열을 [eqn: LEFT {`b`_n RIGHT }]이라 할 때, 다음은 [eqn: sum _{ k=1} ^{4n }b`_k]를 구하는 과정이다.

[eqn: a`_n+12 -a`_n =]이므로 [eqn: a`_n+12 -a`_n]은 [eqn: 6]의

(가)

배수이다.                            [eqn: cdots cdots] ㉠

[eqn: a_1], [eqn: a_2], [eqn: a_3], …, [eqn: a_12] 중에서 [eqn: 6]의 배수인 것은

[eqn: a_3 =6], [eqn: a_8 =36], [eqn: a_11 =66], [eqn: a_12 = 78]이므로

[eqn: b_1 =a_3], [eqn: b_2 =a_8], [eqn: b_3 = a_11], [eqn: b_4 =a_12]이다.  [eqn: cdots cdots] ㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: b_4n-3 = a_12n-9][eqn: = 6(4n-3)(3n-2)]

[eqn: b_4n-2 = a_ 12n-4][eqn: = 6(3n-1)(4n-1)]

[eqn: b_4n-1 =]

(나)

[eqn: b_4n = 6n(12n+1)]

따라서 [eqn: sum _{ k=1} ^{4n }b_k][eqn: =sum _{ k=1} ^{n }][eqn: (][eqn: )][eqn: =]

(다)

위의 (가), (나), (다)에 들어갈 식을 각각 [eqn: f(`n`)], [eqn: g(`n`)], [eqn: h(`k`)]라 할 때, [eqn: f(`1)+g(`2)+h(`1)]의 값은? [4점]

① [eqn: 552]	② [eqn: 558]	③ [eqn: 564]	④ [eqn: 570]	⑤ [eqn: 576]

18. 두 이차정사각행렬 [eqn: A,``B``]는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: BA+B```=E`]

(나) [eqn: A ^{2} B```=A+E`]

옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: E``]는 단위행렬이다.) [4점]

		<보 기>
	ㄱ. 행렬 [eqn: B``]의 역행렬이 존재한다. ㄴ. [eqn: AB``][eqn: =BA`] ㄷ. 행렬 [eqn: AB``]의 모든 성분의 합은 [eqn: -2]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ	④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

19. 좌표평면에서 자연수 [eqn: n]에 대하여 네 직선 [eqn: x=1`], [eqn: x=n+1`], [eqn: y=x`], [eqn: y=2x`]로 둘러싸인 사각형의 넓이를 [eqn: S ` _{n} `]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1} over {S ` _{n}} `]의 값은? [4점]

① [eqn: {1} over {2} `]	② [eqn: 1`]	③ [eqn: {3} over {2}]	④ [eqn: 2`]	⑤ [eqn: {5} over {2} `]

20. 다음 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: n`]의 개수는? (단, [eqn: LEFT [ `x RIGHT ] `]는 [eqn: x`]보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [4점]

(가) [eqn: LEFT [ `log ` _{3} `n` RIGHT ]` =3`]

(나) [eqn: LEFT [ `log``n ` ^{2} RIGHT ]` = LEFT [ `log``2n RIGHT ] +2]

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]	④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

21. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 다음 시행을 한다.

[eqn: n`]이 홀수이면 [eqn: n`]에서 [eqn: 1`]을 빼고,

[eqn: n`]이 짝수이면 [eqn: n`]을 [eqn: 2`]로 나눈다.

자연수 [eqn: n`]이 [eqn: 1`]이 될 때까지 반복한 시행의 횟수를 [eqn: a`_n]이라 정의하자. 예를 들어 [eqn: a`_7 = 4`], [eqn: a`_8 =3`]이다. [eqn: S`_n = sum _{ k=2^n} ^{2^n +3 } a`_k`]라 할 때, [eqn: S`_50`]의 값은? (단, [eqn: a`_1 =0`]이다.) [4점]

① [eqn: 200]	② [eqn: 201]	③ [eqn: 202]	④ [eqn: 203]	⑤ [eqn: 204]

단답형

22. 등차수열 [eqn: LEFT {` a` _{n}` RIGHT }`]에서 [eqn: a_1 =4`], [eqn: a_2 +a_3 = 17`]일 때, [eqn: a`_4`]의 값을 구하시오. [3점]

23.  [eqn: a ^{{1} over {2}} +a ^{- {1} over {2}} =10`]을 만족시키는 양수 [eqn: a`]에 대하여 [eqn: a+a ^{-1}`]의 값을 구하시오. [3점]

24. 함수 [eqn: y=log ` _{`3} ` LEFT ( {x} over {9} `-1 RIGHT ) `]의 그래프는 함수 [eqn: y=log ` _{3} `x`]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: m`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: n`]만큼 평행이동시킨 것이라 할 때, [eqn: 10(m+n)`]의 값을 구하시오. [3점]

25. 꼭짓점의 개수가 [eqn: 5`]인 그래프 [eqn: G``]의 연결 관계를 나타내는 행렬을 [eqn: P``]라 할 때, 행렬 [eqn: P``]의 [eqn: (i,`j)`] 성분 [eqn: a ` _{ij} `]는 다음과 같다.

[eqn: a`_ij = cases{ ```0``&(`i+j`가``짝수일``` 때) # ```1```&(`i+j`가``홀수일``` 때) }] ([eqn: i=1,`2,`3,`4,`5`], [eqn: j=1,`2,`3,`4,`5`])

그래프 [eqn: G``]의 변의 개수를 [eqn: m`]이라 할 때, [eqn: m^2`]의 값을 구하시오.

[3점]

12

26. 수열 [eqn: LEFT { `a` _{n}`RIGHT }]은 [eqn: a _{1} =1], [eqn: a_2 =1]이고 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: a ` _{2n+2} -a ` _{2n} =1]

(나) [eqn: a ` _{2n+1} -a `_{2n-1} =0]

[eqn: a_100 +a_ 101`]의 값을 구하시오. [3점]

27. 수열 [eqn: LEFT { `a `_{n} `RIGHT } `]의 첫째항부터 제 [eqn: n`]항까지의 합을 [eqn: S ` _{n} `]이라 할 때,  [eqn: S ` _{n} = {6n} over {n+1}]이다. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } left(`a ` _{n} +`a `_{n+1}` right)]의 값을 구하시오. [4점]

28. 두 수열 [eqn: left{ `a`_n` right}], [eqn: left{ `b`_n `right}`]은 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: lim_n->inf `a`_n`][eqn: =inf]

(나) [eqn: lim_n->inf `left(`2a`_n -`5b`_n `right)`=3`]

[eqn: lim_n->inf {2a`_n +`3b`_n}over{a`_n +`b`_n} `= q over p`]일 때, [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p,``q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

29. 그림과 같이 [eqn: x`]축 위의 한 점 [eqn: \A`]를 지나는 직선이 곡선 [eqn: y=log`_2`x^3`]과 서로 다른 두 점 [eqn: \B,``C]에서 만나고 있다. 두 점 [eqn: \B,``C`]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: \D,``E]라 하고, 두 선분 [eqn: \BD`], [eqn: \CE`]가 곡선 [eqn: y=log`_2`x`]와 만나는 점을 각각 [eqn: \F,``G`]라 하자. [eqn: bar \AB `: bar BC` =1:2`]이고, 삼각형 [eqn: \ADB`]의 넓이가 [eqn: 9over2`]일 때, 사각형 [eqn: \BFGC`]의 넓이를 구하시오. (단, 점 [eqn: \A`]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 0]보다 작다.)

[4점]

30. 좌표평면에서 자연수 [eqn: n`]에 대하여 점 [eqn: {\P}_n`], [eqn: {\Q}`_n`]을 다음 규칙대로 잡는다.

(가) 점 [eqn: \P_1]의 좌표는 [eqn: (`0,``0)`]이다.

(나) 점 [eqn: {\P}_n`]을 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: n`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: n`]만    큼 평행이동시킨 점은 [eqn: {\Q}`_n`]이다.

(다) 점 [eqn: {\Q}`_n`]을 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: -1`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 1`]    만큼 평행이동시킨 점은 [eqn: {\P}_n+1]이다.

점 [eqn: {\Q}`_n`]의 좌표를 [eqn: (`a`_n `,```b`_n )]이라 할 때, [eqn: a`_21 +b`_21]의 값을 구하시오.

[4점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.