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2012년도 3월 고2 전국연합학력평가

정답 및 해설

정 답

1	②	2	⑤	3	⑤	4	③	5	①
6	①	7	③	8	④	9	⑤	10	②
11	②	12	⑤	13	③	14	④	15	④
16	④	17	③	18	②	19	①	20	②
21	⑤	22	14	23	22	24	11	25	30
26	432	27	26	28	20	29	54	30	103

해 설

1. [출제의도] 집합의 연산 계산하기

[eqn: A-B= LEFT { 1,`2,`3 RIGHT }`]이므로 원소의 총합은 [eqn: 6`]이다.

2. [출제의도] 나머지 정리 이해하기

[eqn: f(x)=x ^{3} -2x+4`]라 하면 나머지 정리에 의해서 나머지는 [eqn: f(-1)=5`]이다.

3. [출제의도] 복소수 계산하기

[eqn: z+ bar{z} =4``,```z bar{z} =5`]이므로 [eqn: z bar{z} (z+ bar{z} )=20`]이다.

4. [출제의도] 유리식 계산하기

[eqn: a+b+c=0`]에서 [eqn: {b+c} over {a} + {c+a} over {b}+ {a+b} over {c}]

[eqn: = {-a} over {a} + {-b} over {b} + {-c} over {c} =`-3`]이다.

5. [출제의도] 합성함수와 역함수 이해하기

[eqn: f ^{-1} (2)=1`]에서 [eqn: f(1)=2`]이다.

따라서 [eqn: g(2)=g(f(1))=5`]이다.

6. [출제의도] 방정식 이해하기

[eqn: (`x ^{2} ``+`2x`-4`)` ^{3} ```=`-1`]에서 [eqn: x`]가 실수이므로

[eqn: `x ^{2} ``+`2x`-4````=`-1`]이다. [eqn: `x ^{2} ``+`2x`-3=0`]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 2`]이므로 주어진 방정식의 실근의 개수도 [eqn: 2`]이다.

7. [출제의도] 분수함수의 평행이동 계산하기

[eqn: y= {-2x+6} over {x-2} `=`-2+ {2} over {x-2} `]이므로 [eqn: y=1+ {2} over {x+3} `]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 5], [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: -3`]만큼 평행이동한 것이다.
따라서 [eqn: m=5,~n=`-3`]이고, [eqn: m+n=2`]이다.

8. [출제의도] 복소수의 성질 이해하기

[eqn: sqrt {x} sqrt {y} =`- sqrt {xy} `] [eqn: LRARROW]  [eqn: xy=0] 또는 [eqn: x<0,~y<0``][eqn: x ^{2} +2x-(y+3)i`=15+4i`]에서

[eqn: x ^{2} +2x=15,~-(y+3)=4`]

[eqn: THEREFORE ~x=`-5,~y=`-7`]

따라서 [eqn: xy=35`]이다.

9. [출제의도] 집합과 이차부등식 문제 해결하기

집합 [eqn: A`]에서 [eqn: x<1] 또는 [eqn: x>26`]이므로 [eqn: A SMALLINTER B= EMPTYSET `]이 되기 위해서는 [eqn: 1 LEQ a LEQ a ^{2} LEQ 26`]이다.

[eqn: THEREFORE~1 LEQ a LEQ sqrt {26} `]

따라서 정수 [eqn: a`]의 개수는 [eqn: 5`]이다.

10. [출제의도] 근과 계수와의 관계 이해하기

[eqn: x ^{2} +ax+b=0`]의 두 근이 [eqn: alpha ,~beta `]이므로

[eqn: alpha + beta =`-a`,``` alpha beta =b`]   …… ㉠

[eqn: x ^{2} +bx+a=0`]의 두 근이 [eqn: {1} over {alpha } ,~ {1} over {beta } `]이므로

[eqn: {1} over {alpha } + {1} over {beta } =`-b,~ {1} over {alpha beta } =a]  …… ㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: {1} over {alpha } + {1} over {beta } = {alpha + beta } over {alpha beta } =`-b`]이므로 [eqn: {-a} over {b} =`-b`]이다.

[eqn: THEREFORE ~a=b ^{2} `]

[eqn: {1} over {alpha beta } =a`]이므로 [eqn: {1} over {b}=a]이다. [eqn: THEREFORE~ ab=1`]

따라서 [eqn: a ^{3} =1,~b ^{3} =1`]이고 [eqn: a, ~b`]가 실수이므로
[eqn: a=1,~b=1`]이다. [eqn: therefore `a +b =2`]

11. [출제의도] 도형의 넓이 이등분 증명하기

[eqn: rmO]

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: rmD]

[eqn: rmE]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: l]

[eqn: rmR]

[eqn: rmP]

[eqn: rmQ]

직선 [eqn: l`]과 선분 [eqn: rmCD`]의 교점을 [eqn: rmP`]라 하고 [eqn: rmP`]에서 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm Q,~R`]이라 하면 삼각형 [eqn: rm OQP`]의 넓이와 삼각형 [eqn: rmOPR`]의 넓이가 서로 같으므로 사각형 [eqn: rmABCQ`]와 사각형 [eqn: rmDERP`]의 넓이가 서로 같다.

따라서 [eqn: 3TIMES rm barER = 2 TIMES1`]에서 [eqn: rm barER = 2 over3`]이고 [eqn: rmP LEFT ( 3,` 7over3 RIGHT )`]이므로 직선 [eqn: l`]의 기울기는 [eqn: 7 over9`]이다. [eqn: THEREFORE ~ p+q=16]

12. [출제의도] 집합과 방정식 문제 해결하기

[eqn: A` CUP B```=`A`]이면 [eqn: B`` SUBSET A`]이다. 공집합은 모든 집합의 부분집합이므로 집합 [eqn: B`]가 공집합이 되는 경우는 일차 방정식 [eqn: ``mx`+1`=`x`]에서 [eqn: m`=1`]이다. 집합 [eqn: B`]가 공집합이 아닌 경우 [eqn: B`]의 원소는 [eqn: -1] 또는 [eqn: 2`]이다. 그러므로 [eqn: -1` IN ``B`]이면 [eqn: -m`+`1`=`-1`]에서 [eqn: m`=`2`]이고, [eqn: 2` IN ``B`]이면 [eqn: 2m`+1`=2`]에서 [eqn: m`=` {1} over {2}`]이다.
따라서 모든 실수 [eqn: m`]의 값의 합은 [eqn: {7} over {2}`]이다.

13. [출제의도] 다항식 문제 증명하기

정사각형의 넓이와 직각 삼각형의 넓이가 같으므로

[eqn: ab=]이고 직각 삼각형에서

(가)=[eqn: 2p ^{2}]

[eqn: a ^{2} ``+`b ^{2} ``=c ^{2}`]이므로 [eqn: b ^{2} `=`] 이고

(나)=[eqn: 4a+4]

[eqn: 8p ^{2} =4ab][eqn: =b`(`b ^{2} `-4)`=`] 이다.

(다)=[eqn: b`(`b+2)(b-2)`]

여기서 [eqn: a,~b,~p`]가 모두 정수라 하면,

[eqn: b ^{2} `=`] 에서 [eqn: b`]는 짝수이므로 [eqn: b=2b']

(나)=[eqn: 4a+4]

([eqn: b prime`]은 자연수)라 할 때

[eqn: p ^{2} `=` {2b prime } over {2} `․ {2b prime +2} over {2} `․` {2b prime -2} over {2}]= [eqn: b prime `(b prime +1)(b prime -1)`]가 된다. 우변은 연속된 세 자연수의 곱이므로 제곱수가 될 수 없다. 따라서 모순이다. 그러므로 [eqn: a,~b,~p`] 중 적어도 하나는 정수가 아니다.

그러므로 [eqn: f(p)=2p^2], [eqn: g(a)=4a+4],

[eqn: h(b)=b LEFT ( b+2 RIGHT ) LEFT ( b-2 RIGHT )`]이다.

[eqn: THEREFORE ``][eqn: f(1)+g(2)+h(3)`=`29]

14. [출제의도] 실생활에서 순열 문제 해결하기

우선 남학생 12 명을 일렬로 세우는 경우의 수는 [eqn: 12!`]이다. 여기서 남학생 2 명씩 묶어서 그 사이에 여학생 2 명을 세우는 경우의 수는 [eqn: {} _{7} P _{2}=7 TIMES 6=42`]이므로 경우의 수는 [eqn: 42` TIMES `12!`]이 되어 [eqn: N`=`42`]이다.

15. [출제의도] 조건의 진리집합 추론하기

[eqn: p,~q,~r,~s`]의 진리집합을 각각 [eqn: P,~Q,~R,~S`]라 하자. [eqn: x` IN P`]이면 [eqn: x`]가 정수이고 정수 전체의 집합은 곱셈에 대하여 닫혀 있으므로 [eqn: x ^{2} ,~x ^{3} ,~x ^{4} `]도 정수이다. 따라서 [eqn: x` IN Q], [eqn: x` IN R], [eqn: x` IN S`]이므로

[eqn: P`` SUBSET Q,~P`` SUBSET R,~P`` SUBSET S`]이다. 같은 방법으로 [eqn: Q`` SUBSET S`]이다.

ㄱ. [반례] [eqn: x= root {3} of {2} `]이면 [eqn: x ^{3} `(=2)`]은 정수이지만 [eqn: x ^{4} (=2 root {3} of {2} )`]은 정수가 아니다.  (거짓)

ㄴ. [eqn: P` SMALLINTER R=P`` SUBSET Q`]  (참)

ㄷ. [eqn: P` CUP S=S`` SUPERSET Q``]  (참)

16. [출제의도] 함수의 그래프와 방정식의 관계 이해하기

[eqn: y=x,~y=f(x),~y=f ^{`-1} (x)`]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: LEFT . LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} =f(x)f ^{``-1} (x)` RIGHT .`]에서

[eqn: f(x)=0] 또는 [eqn: f(x)=f ^{`-1} (x)`]이므로

[eqn: x=1,~-1,~4`]이다.

따라서 모든 실수 [eqn: x`]의 값의 합은 [eqn: 4`]이다.

17. [출제의도] 삼각함수 활용 문제 해결하기

[eqn: f(x)=sinkx(x geq0)`]의 주기가 [eqn: 2pi over k`]이므로
[eqn: alpha +beta= pi over k `]이다.
[eqn: f(alpha + beta + gamma)=f left(pi over k +gamma right)=sin(pi +k gamma)`]
= [eqn: -sink gamma=`-f(gamma)=`- 3 over 4 `]

18. [출제의도] 이차방정식의 활용 문제 해결하기

[eqn: f(x)=x ^{2} -2mx-3m-8`]라 두면

이차방정식 [eqn: f(x)=0`]에서

[eqn: {D} over {4} =m ^{2} +3m+8= LEFT ( m+ {3} over {2} RIGHT ) ^{2} + {23} over {4} `>0`]이므로 [eqn: m`]의 값에 관계없이 항상 서로 다른 두 실근을 가진다.

두 실근이 모두 [eqn: 0`]이하가 되려면

(ⅰ) 대칭축의 방정식은 [eqn: x=m`]이므로 [eqn: m LEQ 0]

(ⅱ) [eqn: f(0)=`-3m-8 GEQ 0`]에서 [eqn: `m LEQ - {8} over {3}]

(ⅰ), (ⅱ)에 의해  [eqn: `m LEQ - {8} over {3}`]이다. 따라서 두 근 중 적어도 하나가 양의 실수가 되려면 [eqn: m>`- {8} over {3}`]이므로 정수 [eqn: m`]의 최솟값 [eqn: k=`-2`]이다.

[eqn: THEREFORE ~k ^{2} =4]

19. [출제의도] 부등식의 영역 문제 해결하기

원점에서 직선 [eqn: l`]까지의 거리가 [eqn: 1`]이므로

[eqn: {1} over {sqrt {a ^{2} +b ^{2}}} =1`]이다.  [eqn: THEREFORE ~a ^{2} +b ^{2} =1`]

점 [eqn: rm P _{1} it LEFT ( x _{1} ,~y _{1} RIGHT )`]에서 직선 [eqn: l`]에 이르는 수선의 길이는 [eqn: LEFT | ax _{1} +by _{1} +1 RIGHT | =2 sqrt {2} +1`]이고, 점 [eqn: rm P _{2} it LEFT ( x _{2} ,~y _{2} RIGHT )`]에서 직선 [eqn: l`]에 이르는 수선의 길이는 [eqn: LEFT | ax _{2} +by _{2} +1 RIGHT | =2 sqrt {2} -1`]이다. 따라서

[eqn: LEFT | ax _{1} +by _{1} +1 RIGHT | LEFT | ax _{2} +by _{2} +1 RIGHT |][eqn: = LEFT ( 2 sqrt {2} +1 RIGHT ) LEFT ( 2 sqrt {2} -1 RIGHT ) =7 it]

그런데 직선 [eqn: l`]이 두 점 [eqn: {rm P} _{1} ` LEFT ( x _{1} ,~y _{1} RIGHT )], [eqn: {rm P } _{2} ` LEFT ( x _{2} ,~y _{2} RIGHT )]사이를 지나므로 [eqn: LEFT ( ax _{1} +by _{1} +1 RIGHT ) LEFT ( ax _{2} +by _{2} +1 RIGHT ) =`-7`]이다.

20. [출제의도] 삼각함수 문제 해결하기

[eqn: TRIANGLE rm `OCB`=` {1} over {2} ``sin` {3 pi } over {4} = {1} over {2} ``sin` {pi } over {4} = TRIANGLE rm `OCD]

[eqn: rm □ABCD=3 LEFT △ OCD` RIGHT - △OCB``]

[eqn: = \ 2△OCD][eqn: =2 TIMES {1} over {2} ``sin` {pi } over {4} = {sqrt {2}} over {2}]

21. [출제의도] 복소수 문제 추론하기

(ㄱ) [eqn: ```N```(`2`+` omega `)`=4+1-2=`3] (참)

(ㄴ) [eqn: omega + bar{omega } =`-1], [eqn: omega ` bar{omega } =1`]이므로

[eqn: N``( alpha `)`=`p ^{2} ``+`q ^{2} ``-`pq][eqn: `=`(`p+q omega ) bar{(p+q omega `)} `= alpha bar{alpha } `] (참)

(ㄷ) (ㄴ)에 의해서

[eqn: N```(` alpha beta `)`= alpha beta `` bar{alpha } `` bar{beta } ```=` alpha `` bar{alpha } `` beta `` bar{beta `} ``=`N``( alpha `)``N``(` beta `)`] (참)

22. [출제의도] 유리식 계산하기

(준식)[eqn: = {a ^{2} +b ^{2}} over {ab} = {28} over {2} =14`]

23. [출제의도] 이차함수 이해하기

[eqn: y=x ^{2} +6x+a`= LEFT ( x+3 RIGHT ) ^{2} +a-9`]이므로 [eqn: x=`-2`]에서 최솟값 [eqn: a-8], [eqn: x=2`]에서 최댓값 [eqn: a+16`]를 가진다. [eqn: x=`-2`]에서 최솟값이 [eqn: -2`]이므로 [eqn: a-8=`-2`]이다. [eqn: THEREFORE ~a=6`] 따라서 최댓값은 [eqn: a+16=22`]이다.

24. [출제의도] 삼각함수 이해하기

[eqn: sin theta ``+`cos theta ``=`sin theta `cos theta `]에서 양변을 제곱하면

[eqn: 1+2sin theta ``cos theta ``=` LEFT ( sin theta `cos theta RIGHT ) ^{2} `]이다. 따라서

[eqn: (sin theta ```cos theta `) ^{2} -2`sin theta `cos theta -1=0`]

[eqn: THEREFORE ````sin theta `cos theta =1- sqrt {2} `] ([eqn: BECAUSE ````-1 LEQ sin theta `cos theta LEQ 1])

[eqn: a=1,```b=`-1`]이므로 [eqn: 10a-b=11`]이다.

25. [출제의도] 점과 직선 사이의 거리 이해하기

점 [eqn: {rmP}(a,~b)`]가 직선 [eqn: 2x+3y=12] 위의 점이므로
[eqn: 2a+3b=12] [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: rm{bar PA }= barPB`]이므로 [eqn: LEFT ( a-4 RIGHT )^2 +b^2 = a^2 + LEFT ( b-2 RIGHT )^2]

정리하면 [eqn: 2a-b=3] [eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: a= 21over8], [eqn: b= 9over4`]이다.

[eqn: THEREFORE ~8a+4b=30]

26. [출제의도] 실생활에서 경우의 수 문제 해결하기

배열하는 모든 경우의 수는 [eqn: 4! TIMES 4!] 가지이고, [eqn: A`]와 [eqn: a`] 가 대응되는 경우의 수는 [eqn: 4! TIMES 3!] 가지이다. 따라서 [eqn: A`]와 [eqn: a`]가 대응되지 않는 경우의 수는

[eqn: 4! TIMES 4!-4! TIMES 3 ! = 4! TIMES 3! TIMES 3=432`]이다.

27. [출제의도] 원과 직선의 방정식 문제 해결하기

중심 [eqn: rmO`]에서 변 [eqn: rmAB`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH`]라 하면

두 점 [eqn: rmA,~B`]를 지나는 직선의 방정식이

[eqn: x+5y+13=0`]이므로 [eqn: rmbar OH = root26 over2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: TRIANGLE rmPAB][eqn: LEQ 1over2 TIMES rm barAB times LEFT ( barOH +root13 RIGHT )]

[eqn: = 13over2 LEFT ( 1+ root2 RIGHT )]

따라서 [eqn: pq=26`]이다.

[별해]

선분 [eqn: rm AB`]의 중점을 [eqn: rm M`]이라 하면 [eqn: rm M LEFT ( - {1} over {2} ,~- {5} over {2} RIGHT )`]이고, [eqn: rm bar{OM} = sqrt {{1} over {4} + {25} over {4}} = {sqrt {26}} over {2}]

따라서 [eqn: TRIANGLE rm PAB`]의 넓이가 최대일 때 높이는

[eqn: {sqrt {26}} over {2} + sqrt {13} `]이다. [eqn: rm bar{AB} = sqrt {26}`]이므로

[eqn: TRIANGLE rm PAB`]의 최댓값은 [eqn: {13} over {2} LEFT ( 1+ sqrt {2} RIGHT )`]이다.

28. [출제의도] 부정방정식 이해하기

[eqn: x ^{2} -8x+16-15=n ^{2} `]

[eqn: (x-4) ^{2} -n ^{2} =15]

[eqn: (x-4+n)(x-4-n)=15]

[eqn: {cases{x-4+n=15&#x-4-n=1&}}]또는 [eqn: {cases{x-4+n=5&#x-4-n=3&}}]이다.

따라서 [eqn: x=12] 또는 [eqn: x=8`]이다.

그러므로 자연수 [eqn: x`]의 모든 값의 합은 [eqn: 20`]이다.

29. [출제의도] 항등식 이해하기

[eqn: f` LEFT ( `x-2+ {1} over {x} RIGHT ) =x ^{3} -2+ {1} over {x ^{3}}]

[eqn: = LEFT ( x+ {1} over {x} RIGHT ) ^{3} -3 LEFT ( x+ {1} over {x} RIGHT ) -2]

[eqn: = LEFT { LEFT ( x-2+ {1} over {x} RIGHT ) +2 RIGHT } ^{3} -3 LEFT { LEFT ( x-2+ {1} over {x} RIGHT ) +2 RIGHT } -2`]에서

[eqn: f`(x)`=`(`x+2) ^{3} `-`3`(`x+2)`-2]

[eqn: =`x ^{3``} `+6x ^{2} ``+`9x`]가 된다. 따라서

[eqn: p`=`6,~q`=`9,~r``=`0`]이므로 [eqn: p`q`+`r`=`54`]이다.

30. [출제의도] 삼각형의 넓이 문제 추론하기

[eqn: cosA``=` {6 ^{2} +5 ^{2} -4 ^{2}} over {2 TIMES 6 TIMES 5} = {3} over {4}`]이므로 [eqn: sinA``=` {sqrt {7}} over {4}`]이다.

[eqn: rm ` TRIANGLE ABC`]의 넓이[eqn: = {1} over {2} TIMES 6 TIMES 5 TIMES {sqrt {7}} over {4} = {15` sqrt {7}} over {4}]

[eqn: rm bar{PF} = it x`]라 하면

[eqn: {15` sqrt {7}} over {4}]=[eqn: {1} over {2} LEFT ( 6x``+``4 sqrt {7} ``+` {5 sqrt {7}} over {2} RIGHT )]    [eqn: THEREFORE ~x`=` {sqrt {7}} over {6}]

[eqn: rm △EFP= {1} over {2} TIMES {sqrt {7}} over {6} TIMES {sqrt {7}} over {2} sin( pi-A)= {7 sqrt {7}} over {96}]

[eqn: THEREFORE ~p+q=103`]