◦ 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 정확히 쓰시오.

2012학년도 3월 고2 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시            수학 영역

성명			수험 번호						2

수학 영역

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수학 영역

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◦ 답안지의 해당란에 성명과 수험 번호를 쓰고, 또 수험 번호와 답을 정확히 표시하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면, 그 ‘0’ 도 답란에 반드시 표시하시오.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

8

1. 두 집합 [eqn: A= LEFT { 1,``2,``3,``4,``5 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 4,``5,``6,``7 RIGHT }`]에 대하여 집합 [eqn: A-B`]의 모든 원소의 합은? [2점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

2. 다항식 [eqn: x ^{3} -2x+4`]를 [eqn: x+1`]로 나눈 나머지는? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

3. 복소수 [eqn: z``=`2+i`]에 대하여 [eqn: ``z bar{z} ``(`z`+` bar{z} `)`]의 값은? (단, [eqn: bar{z`}`]는 [eqn: z`]의 켤레복소수이다.) [2점]

① [eqn: 16]	② [eqn: 17]	③ [eqn: 18]	④ [eqn: 19]	⑤ [eqn: 20]

4. [eqn: abc != 0`]인 세 실수 [eqn: a,~b,~c`]에 대하여 [eqn: a+b+c=0`]일 때,

[eqn: {b+c} over {a} + {c+a} over {b} + {a+b} over {c} `]의 값은? [3점]

① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -3]	④ [eqn: -2`]	⑤ [eqn: -1]

5. 두 함수 [eqn: f(x),~g(x)`]에 대하여 [eqn: LEFT ( g CIRC f RIGHT ) LEFT ( x RIGHT ) =3x+2], [eqn: f ^{`-1} LEFT ( 2 RIGHT ) =1`]일 때, [eqn: g(2)`]의 값은? (단, [eqn: f ^{`-1} `]는 [eqn: f`]의 역함수이다.) [3점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

6. 방정식 [eqn: (x ^{2} +2x-4) ^{3} +1=0`]의 서로 다른 실근의 개수는? [3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

7. 분수함수 [eqn: y= {2} over {x+3} `+`1`]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: m`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: n`]만큼 평행이동하면 [eqn: y= {-2x+6} over {x-2} `]의 그래프와 일치한다. [eqn: m+n`]의 값은? [3점]

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 6]

8. 두 실수 [eqn: x,~y`]에 대하여 [eqn: sqrt {x} sqrt {y} =`- sqrt {xy} `]가 성립하고 등식 [eqn: x ^{2} +2x-(y+3)i`=15+4i`]를 만족한다. 두 실수 [eqn: x,~y`]의 곱 [eqn: xy`]의 값은? [3점]

① [eqn: 32]	② [eqn: 33]	③ [eqn: 34]	④ [eqn: 35]	⑤ [eqn: 36]

9. 두 집합
[eqn: A= LEFT { x``|`` (x-1)`(`x-26)``>`0` RIGHT }], [eqn: B=left{x``|`` (`x-a)`(`x-`a ^{2} ``)` LEQ ``0`right}`]에
대하여 [eqn: A SMALLINTER B=` EMPTYSET `]이 되도록 하는 정수 [eqn: a`]의 개수는? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

10. 이차방정식 [eqn: x^2`+`ax`+`b`=`0`]의 두 근이 [eqn: alpha,~beta`]이고
[eqn: x^2`+`bx`+`a`=`0`]의 두 근이 [eqn: 1 over alpha , `~{ 1} over {beta }`]이다. [eqn: a`+`b`]의 값은?
(단, [eqn: a,~b`]는 실수이다.) [4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

11. 그림과 같이 원점을 지나는 직선 [eqn: l`]이 원점 [eqn: rm O`]와 다섯 개의 점 [eqn: rm A(5,`0)], [eqn: rm B(5,`1)], [eqn: rm C(3,`1)], [eqn: rm D(3,`3)], [eqn: rm E(0,`3)`]을 선분으로 이은 도형 [eqn: rm OABCDE`]의 넓이를 이등분한다. 이때 직선 [eqn: l`]의 기울기는 [eqn: {q} over {p}`]이다. [eqn: p+q`]의 값은? (단, [eqn: p,~q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

[eqn: rmO]

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: rmD]

[eqn: rmE]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: l]

① [eqn: 15]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 17]	④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 19]

12. 두 집합 [eqn: A= LEFT { -1,``2 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { x``|``mx`+1`=x` RIGHT }`]에 대하여
[eqn: A CUP B=A`]를 만족시키는 모든 실수 [eqn: m`]의 값의 합은? [4점]

① [eqn: - {5} over {2}]	② [eqn: -1]	③ [eqn: {1} over {2}]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {7} over {2}]

13. 한 변의 길이가 [eqn: p`]인 정사각형과 세 변의 길이가 각각 [eqn: a,~b,~c`]인 직각삼각형이 있다. 직각삼각형의 빗변의 길이가 [eqn: c`]이고  [eqn: c`=`a+2`]를 만족한다. 다음은 ‘두 도형의 넓이가 같으면 [eqn: a,~b,~p`] 중 적어도 하나는 정수가 아니다.’라는 것을 증명하는 과정이다.

[증명]

두 도형의 넓이가 같으므로 [eqn: ab``=`] 이다.

(가)

[eqn: a ^{2} ``+`b ^{2} ``=c ^{2} `]이므로 [eqn: b ^{2} `=`] 이고

(나)

[eqn: 8`p ^{2} =] 이다.

(다)

여기서 [eqn: a,~b,~p`]를 모두 정수라 하면,

[eqn: b ^{2} `=`] 에서 [eqn: b`]는 짝수이므로  [eqn: b=2b']( [eqn: b prime`]은 자연수)라 할 때,

(나)

[eqn: p ^{2} `=` {2b prime } over {2} ` TIMES {2b prime +2} over {2} ` TIMES ` {2b prime -2} over {2}`=`b prime `(b prime +1)(b prime -1)`]이 된다.

우변은 연속된 세 자연수의 곱이므로 제곱수가 될 수 없다. 따라서 모순이다. 그러므로 [eqn: a,~b,~p`] 중 적어도 하나는 정수가 아니다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 들어갈 식을 각각 [eqn: f(p)], [eqn: g(a)], [eqn: h(b)`]라 할 때, [eqn: f(1)+g(2)+h(3)`]의 값은? [4점]

① [eqn: 25]	② [eqn: 27]	③ [eqn: 29]	④ [eqn: 31]	⑤ [eqn: 33]

14. 남학생 [eqn: 12`]명과 여학생 [eqn: 2`]명이 일렬로 설 때, 여학생끼리는 이웃하지 않고 남학생끼리는 서로 이웃한 학생 수가 항상 짝수가 되도록 줄을 서는 경우의 수는 [eqn: N`` TIMES 12`!`]이다. 자연수 [eqn: N`]의 값은?
[3점]

① [eqn: 36]	② [eqn: 38]	③ [eqn: 40]	④ [eqn: 42]	⑤ [eqn: 44]

15. 네 조건
[eqn: p``:``x`]는 정수이다.	[eqn: q``:``x ^{2}`]은 정수이다.

[eqn: r``:``x ^{3}`]은 정수이다.	[eqn: s``:``x ^{4}`]은 정수이다.
에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: r`]는 [eqn: s`]이기 위한 충분조건이다. ㄴ. ([eqn: p] 이고 [eqn: r`])는 [eqn: q`]이기 위한 충분조건이다. ㄷ. ([eqn: p] 또는 [eqn: s`])는 [eqn: q`]이기 위한 필요조건이다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

16. 그림과 같이 점 [eqn: LEFT ( 1,``0 RIGHT )`]을 지나는 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )`]의 그래프와 [eqn: y=x`]의 그래프가 두 점 [eqn: LEFT ( -1,``-1 RIGHT )`], [eqn: LEFT ( 4,``4 RIGHT )`]에서 만나고 그 외의 점에서 만나지 않는다. [eqn: LEFT . LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} =f(x)f ^{`-1} (x)` RIGHT .`]를 만족시키는 모든 실수 [eqn: x`]의 값의 합은? (단, [eqn: f ^{`-1}]는 [eqn: f`]의 역함수이다.) [3점]

[eqn: y`=`f(x)]

[eqn: y`=`x]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: (4,~4)]

[eqn: (-1,`-1)]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

17. 그림과 같이 삼각함수 [eqn: f(x)=sinkx(0 LEQ x LEQ 5pi over 2k )`]의 그래프와 직선 [eqn: y= 3 over 4 `]이 만나는 점의 [eqn: x`]좌표를 각각 [eqn: alpha,~beta,~gamma~(alpha<beta<gamma)`]라 할 때, [eqn: f(alpha + beta + gamma)`]의 값은? (단, [eqn: k`]는 양의 실수이다.) [4점]

[eqn: alpha]

[eqn: beta]

[eqn: gamma]

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y= 3 over 4]

[eqn: y= f(x)]

① [eqn: -1]	② [eqn: - 7 over8]	③ [eqn: - 3 over 4]	④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 3 over 4]

18. 이차방정식 [eqn: x ^{2} -2mx-3m-8=0`]의 두 근 중 적어도 하나는 양의 실수가 되도록 하는 정수 [eqn: m`]의 최솟값을 [eqn: k`]라 할 때, [eqn: k ^{2} `]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 9]	④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 25]

19. 그림과 같이 두 원 [eqn: C it ` _{1} :`x ^{2} +y ^{2} =1`]과 [eqn: C it ` _{2} :`x ^{2} +y ^{2} =8`]이 있다.  원 [eqn: C _{1} `]에 접하는 직선 [eqn: l`]의 방정식은 [eqn: ax+by+1=0`]이다. 직선 [eqn: l`]에 평행하고 원 [eqn: C _{2} `]에 접하는 두 직선을 각각 [eqn: l _{1},~l _{2}`]라 하자. 점 [eqn: {rm P} it rm _{1} ` LEFT ( x _{1} ,`y _{1} RIGHT ) `]은 직선 [eqn: l _{1}] 위에 있고, 점 [eqn: {rm P } _{2} ` LEFT ( x _{2} ,`y _{2} RIGHT )`]는 직선 [eqn: l _{2} `]와 원 [eqn: C _{2}`]의 접점이다. [eqn: left(ax_1 +by_1 +1right)left(ax_2 +by_2 +1right)`]의 값은? [4점]

[eqn: {rm P} _{1} ` LEFT ( x _{1} ,`y _{1} RIGHT )]

[eqn: {rm P } _{2} ` LEFT ( x _{2} ,`y _{2} RIGHT )]

[eqn: l]

[eqn: l_1]

[eqn: rm O]

[eqn: l_2]

[eqn: C_1]

[eqn: C _{2}]

[eqn: x]

[eqn: y]

① [eqn: -7]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -1]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 5]

20. 그림과 같이 중심이 [eqn: rm O`]이고 반지름이 [eqn: 1`]인 원에 내접하는 사각형 [eqn: rmABCD`]의 꼭짓점이 원둘레를 [eqn: 8`]등분한 점에 위치하고 있다. 사각형 [eqn: rmABCD`]의 넓이는? [4점]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: RMC]

[eqn: rm D]

[eqn: rm O]

① [eqn: sqrt {2} -1]	② [eqn: {sqrt {2}} over {2}]	③ [eqn: 2 over3 sqrt {2}]

④ [eqn: 3 over 4sqrt {2}]	⑤ [eqn: sqrt {2}]

21. 방정식 [eqn: x ^{2} +x+1=0`]의 한 근을 [eqn: omega `]라 하자.
집합 [eqn: W=][eqn: LEFT { ``a+b omega vert a`,``b는````실수 RIGHT } `]의 원소 [eqn: alpha `=`p+q` omega `]([eqn: p,~q`]는 실수)에 대하여 [eqn: N`( alpha )=p ^{2} +q ^{2} -pq`]로 정의한다. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: bar{alpha}`]는 [eqn: alpha `]의 켤레복소수이다.) [4점]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: N`(2+ omega )=3] ㄴ. [eqn: W`]의 모든 원소 [eqn: alpha `]에 대하여 [eqn: N```(` alpha `)`=` alpha bar{alpha }`]이다. ㄷ. [eqn: W`]의 모든 원소 [eqn: alpha ,` beta `]에 대하여 [eqn: N`( alpha beta )=N`( alpha `)N`(beta )`]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

단답형(22 ~ 30)

22. [eqn: ab=2], [eqn: a ^{2} +b ^{2} =28`]일 때, [eqn: {b} over {a} + {a} over {b} `]의 값을 구하시오. [3점]

23. 정의역이 [eqn: LEFT { x``|``-2 LEQ x LEQ 2 RIGHT } `]인 이차함수 [eqn: y=x ^{2} +6x+a`]의 최솟값이 [eqn: -2`]일 때, 최댓값을 구하시오. (단, [eqn: a`]는 상수이다.) [3점]

24. [eqn: sin theta ``+`cos theta ``=`sin theta `cos theta `]일 때, [eqn: `sin theta `cos theta `]의 값은 [eqn: a + b sqrt { 2}`]이다. [eqn: 10a-b`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a,~b`]는 유리수이다.) [3점]

25. 그림과 같이 직선 [eqn: l``:``2x+3y=12`]와 두 점 [eqn: rm A it (4,``0)], [eqn: rm B it (0,``2)`]가 있다. [eqn: rm ` bar{AP} = bar{BP} `]가 되도록 직선 [eqn: l`]위의 점 [eqn: rm P it (a,``b)`]를 잡을 때,  [eqn: 8a+4b`]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: l]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: rmB]

[eqn: rmA]

[eqn: rm P(it a,~b)]

26. 그림과 같이 [eqn: 1`]행에는 [eqn: rm A,~B,~C,~D`]의 문자가 하나씩 적힌 카드를 배열하고 [eqn: 2`]행에는 [eqn: rm a,~b,~c,~d`]의 문자가 하나씩 적힌 카드를 배열한다. [eqn: rm A`]가 적힌 카드와 [eqn: rm a`]가 적힌 카드가 같은 열에 배열되지 않도록 하는 방법의 수를 구하시오. [3점]

	([eqn: 1]열)	([eqn: 2]열)	([eqn: 3]열)	([eqn: 4]열)
([eqn: 1]행)
([eqn: 2]행)

27. 그림과 같이 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =13] 위의 두 정점 [eqn: rm A(-3,``-2)], [eqn: rm B(2,``-3)`]과 원 위의 동점 [eqn: rm P`]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rm ABP`]의 넓이의 최댓값은 [eqn: {q} over {p} LEFT ( 1+ sqrt {2} RIGHT )`]이다. [eqn: pq`]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p,~q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmP]

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

28. [eqn: x^2`-`8x`+`1`]이 어떤 자연수의 제곱이 되도록 하는 모든 자연수 [eqn: x`]의 값의 합을 구하시오. [4점]

29. 삼차다항식 [eqn: f`(x)`=x ^{3}+px ^{2} +qx+r`]가 있다. [eqn: 0`]이 아닌 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f` LEFT ( x-2+ {1} over {x} RIGHT ) =x ^{3} -2+ {1} over {x ^{3}} `]이 성립할 때, [eqn: p`q`+`r`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p,~q,~r`]는 상수이다.) [4점]

30. 그림과 같이 [eqn: \ bar{AB}=6], [eqn: rm bar{BC} =4], [eqn: rm bar{CA} =5`]인 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 내부의 한 점 [eqn: rm P`]에서 세 변 [eqn: rmBC], [eqn: \CA], [eqn: rm AB`]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm D,~E,~F`]라 한다. [eqn: rm bar{PD} = sqrt {7}], [eqn: rm bar{PE} ={sqrt {7}} over {2} `]일 때, 삼각형 [eqn: rm EFP`]의 넓이는 [eqn: {q } over {p} sqrt{7}`]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p,~q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

A

F

B

D

C

E

P

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.