2012학년도 3월 고1 전국연합학력평가

정답 및 해설

• 수학 영역 •

정 답

1	⑤	2	③	3	①	4	①	5	⑤
6	②	7	④	8	④	9	①	10	⑤
11	②	12	③	13	②	14	④	15	③
16	③	17	⑤	18	④	19	②	20	③
21	②	22	[eqn: 25]	23	[eqn: 298]	24	[eqn: 42]	25	[eqn: 24]
26	[eqn: 11]	27	[eqn: 35]	28	[eqn: 18]	29	[eqn: 720]	30	[eqn: 138]

해 설

1. [출제의도] 분모의 유리화를 이용하여 식을 계산하기

[eqn: sqrt {3} - sqrt {2} + {1} over {sqrt {3} - sqrt {2}} ``]

[eqn: = sqrt {3} - sqrt {2} + {sqrt {3} `+` sqrt {2}} over {( sqrt {3} `-` sqrt {2} `)( sqrt {3} `+` sqrt {2} `)} ``]

[eqn: = sqrt {3} -sqrt {2} + sqrt {3} + sqrt {2} ``]

[eqn: =2 sqrt {3} ``]

2. [출제의도] 다항식 계산하기

[eqn: {x+3} over {2} + {2x-4} over {3} ``= {3(x+3)+2(2x-4)} over {6} = {7x+1} over {6}`]이므로

[eqn: A= {7} over {6} ,~B= {1} over {6} ``]

따라서 [eqn: A-B=1``]

3. [출제의도] 이차함수의 최솟값 계산하기

[eqn: y=`x ^{2} -4x+10`]

[eqn: `=`(x-2) ^{2} +6``]

따라서 [eqn: x=2`]에서 최솟값 [eqn: 6`]을 갖는다.

4. [출제의도] 제곱근의 성질 이해하기

[eqn: sqrt {LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2}} + sqrt {LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2}} = sqrt {LEFT ( 3- sqrt {5} RIGHT ) ^{2}} + sqrt {LEFT ( 1- sqrt {5} RIGHT ) ^{2} `}]

[eqn: = LEFT ( 3- sqrt {5} RIGHT ) - LEFT ( 1- sqrt {5} RIGHT )]

[eqn: =2]

5. [출제의도] 연립일차방정식의 해의 의미 이해하기

[eqn: x=2,~y=1`]이 연립방정식 [eqn: {cases{2x+ay=5~ CDOTS `㉠#x+2y=b~````` CDOTS `㉡``}} `]의 해이므로 ㉠에 대입하면 [eqn: a=1], ㉡에 대입하면 [eqn: b=4``]

따라서 [eqn: a+b=5``]

6. [출제의도] 제곱근의 뜻을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

넓이가 [eqn: 5``]인 정사각형의 한 변의 길이는 [eqn: sqrt5 `]이므로

[eqn: a=3- sqrt {5}], [eqn: b=3+ sqrt {5} ``]

따라서 [eqn: a`b= LEFT ( 3- sqrt {5} RIGHT ) LEFT ( 3+ sqrt {5} RIGHT ) =4`]

7. [출제의도] 정의된 기호의 뜻과 순환소수의 의미 이해하기

① [eqn: <3.5 dot{3} >`=0.5dot{3} ,~<100 TIMES 3.5dot{3}>`=0.dot{3}``]

② [eqn: <9. dot{2} 3 dot{5} >`=0.dot{2}3dot{5} ,~<100 TIMES 9. dot{2} 3 dot{5} >`=0.dot{5}2dot{3}``]

③ [eqn: <12.31 dot{4} >`=0.31 dot{4} ,~<100 TIMES 12.31 dot{4} >`=0. dot{4} ``]

④ [eqn: <17. dot{9} dot{1} >`=0. dot{9} dot{1} ,~<100 TIMES 17. dot{9} dot{1} >`=0. dot{9} dot{1}]

⑤ [eqn: <21.1 dot{4} dot{5} >`=0.1dot{4}dot{5},~<100 TIMES 21.1 dot{4} dot{5} >`=0.dot{5}dot{4}``]

8. [출제의도] 확률의 성질 이해하기

주머니에서 하나의 공을 꺼낼 때 빨간 공을 꺼낼 확률이 [eqn: {1} over {6} `]이므로 빨간 공 이외의 공을 꺼낼 확률은 [eqn: {5} over {6}`]이다.

(적어도 한 사람이 빨간 공을 꺼낼 확률)

[eqn: =1-`](두 사람 모두 빨간 공 이외의 공을 꺼낼 확률)

[eqn: =1- {5} over {6} TIMES {5} over {6} = {11} over {36} ``]

9. [출제의도] 일차함수를 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

[eqn: x=0`]일 때 [eqn: y=32], [eqn: x=100`]일 때 [eqn: y=212`]이므로

[eqn: y = 9 over 5 x+32``]

따라서 [eqn: t= 9 over 5 TIMES20+32 =68``]

10. [출제의도] 표준편차의 의미 이해하기

표준편차는 평균을 중심으로 변량이 흩어진 정도를 나타내는 것이므로 표준편차가 가장 작은 모둠은 [eqn: rmE`]이다.

11. [출제의도] 연립일차부등식의 풀이를 통한 해의 의미 이해하기

[eqn: cases{3x-5<4~ CDOTS`㉠ #x GEQa~~~~`` CDOTS`㉡ }`]에서 ㉠을 풀면 [eqn: x<3`]이고,
연립부등식을 만족하는 정수 [eqn: x``]가 [eqn: 2``]개이므로 이를 수직선 위에 나타내면 그림과 같다.

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 0]

[eqn: a]

따라서 [eqn: 0<a LEQ1``]

12. [출제의도] 원에서 비례 관계를 이용하여 현의 길이 계산하기

[eqn: rm bar{CD} = it `x`]라 하면 원에서의 비례 관계에 의해

[eqn: rm bar { PA} TIMES bar { PF}= bar { PB} TIMES bar { PE}`][eqn: =rm bar { QE} TIMES bar { QB}``][eqn: =rm bar { QD} TIMES bar { QC}`]이므로

[eqn: 4 TIMES 14=5(x+5)`]  [eqn: therefore~x= {31} over {5} ``]

13. [출제의도] 삼각형의 넓이비 이해하기

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: rmD]

[eqn: rmA]

[eqn: rmP]

[eqn: rmQ]

[eqn: rm △APC= {2} over {3} �△ABC], [eqn: rm △CQA= {2} over {3} �△CDA`]이므로

[eqn: rm □APCQ = △APC+△CQA]

[eqn: rm = 2 over 3 left( △ABC+△CDA right)]

[eqn: rm= {2} over {3} □ABCD]

따라서 [eqn: rm□APCQ = {2} over {3} TIMES48 =32]

14. [출제의도] 그래프를 이용하여 이차함수 추론하기

ㄱ. 위로 볼록한 포물선이므로 [eqn: a<0``]

꼭짓점의 [eqn: x`]좌표 [eqn: -{b}over{2a}>0`]이므로 [eqn: b>0``]

따라서 [eqn: ab<0] (거짓)

ㄴ. [eqn: x=1`]일 때 함숫값이 양수이므로 [eqn: a+b+c>0] (참)

ㄷ. 대칭축이 [eqn: x=1`]이고 점 [eqn: LEFT ( 0,``c RIGHT )`]를 지나므로
점 [eqn: LEFT ( 2,``c RIGHT )`]를 지난다. (참)

15. [출제의도] 등변사다리꼴의 성질 증명하기

사각형 [eqn: rmACED`]는 평행사변형이므로

[eqn: rm bar{AD} + bar{BC} = bar{CE} + bar{BC} = BOX{ ``bar{BE}``}] … ㉠

[eqn: rm TRIANGLE DBE`]가 직각이등변삼각형이므로 [eqn: rm bar BH `=` bar DH `=` bar HE`]

[eqn: therefore rm ` bar{BE} =] [eqn: BOX{``rm ` 2bar{DH}``}``] … ㉡

㉠, ㉡에 의해서

[eqn: rm □ABCD={1} over {2} left( rm bar{AD} + bar{BC}right ) TIMES bar{DH}=][eqn: BOX{`` rm {bar{DH}} ^{``2``}} it}]

16. [출제의도] 일차함수를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

그림과 같이 네 직선 [eqn: x=1,~x=3,``~y=`-1,~y=4`]의 교점을 각각 [eqn: rmA,~B,~C,~D`]라 하면 [eqn: rm□ABCD=2 TIMES5=10``]

[eqn: y`=`-1]

[eqn: rmA]

[eqn: rmD]

[eqn: rmF]

[eqn: 3]

[eqn: 1]

[eqn: rmC]

[eqn: rmB]

[eqn: rmE]

[eqn: a]

[eqn: 3a]

[eqn: y]

[eqn: y`=`4]

[eqn: y`=`ax]

[eqn: rm O]

[eqn: 4]

[eqn: x]

[eqn: x`=`1]

[eqn: x`=`3]

[eqn: -1]

일차함수 [eqn: y=ax`]의 그래프가 직사각형 [eqn: rmABCD`]의 넓이를 이등분할 때 직선 [eqn: rmAB,~CD`]와의 교점을 각각 [eqn: rm E,~F`]라 하면 점 [eqn: rmE,~F`]의 좌표는 각각 [eqn: (1,~a),~(3,~3a)`]이다.

[eqn: rmbarAE``][eqn: =4-a], [eqn: rmbarDF`=4-3it a`]이므로

[eqn: rm□AEFD``][eqn: ={1over2}{left{(4-a)+(4-3a)right} TIMES2}`=5``]

[eqn: THEREFORE~a={3over4}``]

17. [출제의도] 상대도수분포다각형의 해석을 통한 자료의 의미 추론하기

ㄱ. [eqn: rmA`]반에서 수학 점수가 [eqn: 40`]점 이상 [eqn: 60`]점 미만인 학생의 상대도수가 [eqn: 0.2`]이므로 [eqn: 0.2 TIMES 30=6`(명)] (참)

ㄴ. [eqn: rmA`]반의 상대도수분포다각형이 [eqn: rmB`]반보다 오른쪽으로 치우쳐 있으므로 [eqn: rmA`]반의 평균이 더 높다. (참)

ㄷ. 상대도수분포다각형과 가로축으로 둘러싸인 도형의 넓이는 (계급의 크기)[eqn: TIMES](상대도수의 총합)이므로 두 도형의 넓이는 같다. (참)

18. [출제의도] 닮음비를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

삼각형 [eqn: rmABD`]가 직각삼각형이므로 [eqn: rmbarBD =13]

선분 [eqn: rmAP`]가 [eqn: rmangleDAB`]의 이등분선이므로
[eqn: rmbarBA ``:`barAD =barBP` ` :`barPD =5`: 12`]
따라서 [eqn: rmbar BP =13 TIMES 5 over 17 = 65 over 17 ``]

같은 방법으로 삼각형 [eqn: rmBCD`]에서 [eqn: rm barDQ = 65 over 17 ``]

[eqn: rmbarPQ = 13 - 2 TIMES 65 over 17 = 91 over 17 ``]

[eqn: THEREFORE `a+b=108``]

19. [출제의도] 도형의 닮음비와 넓이비의 관계 이해하기

삼각형 [eqn: rmA'B'B`]에서 [eqn: rmangleB'BA'=60°`]이고 [eqn: rm bar{B prime B} `: bar{BA prime } `=1`:`2`]이므로 삼각형 [eqn: rmA'B'B`]는 직각삼각형이다.
[eqn: rm bar{AB`} : bar{A prime B prime } =`1:` sqrt {3} `]이므로 정육각형 [eqn: rm `ABCDEF`]와 정육각형 [eqn: rm `A ^{prime } B ^{prime } C ^{prime } D ^{prime } E ^{prime } F ^{prime } `]의 닮음비는 [eqn: 1: sqrt {3} ``]

따라서 넓이비는 [eqn: 1:3`]

20. [출제의도] 삼각비를 구하는 수학 내적 문제 해결하기

반원에 대한 원주각의 크기는 [eqn: 90°`]이므로
[eqn: rmangle BCA=90°``]

호 [eqn: rm BC`]에 대한 중심각의 크기는 [eqn: 180° TIMES {1} over {5} =36°`]이므로
[eqn: rm angleCAB=18°`]

직각삼각형 [eqn: rmABC`]에서 [eqn: sin18°= rm {bar{BC}} over {bar{AB}}= bar { BC}``]

21. [출제의도] 피타고라스의 정리를 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

[eqn: rmA 섬]

[eqn: 50 rmkm]

[eqn: 30rmkm]

[eqn: 40 rmkm]

[eqn: 130 rmkm]

실종 선박을 최초로 탐지한 순간의 구조선의 위치는 [eqn: rmA``]섬에서 서쪽으로 [eqn: 40 rmkm] 떨어진 지점이므로, 구조선이 이동한 거리는 [eqn: 130 rmkm`]이고 그 시각은 [eqn: 10`]시 [eqn: 15`]분이다.

22. [출제의도] 이차방정식의 풀이를 통한 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: (x+3)(x-4)=0]

[eqn: x=`-3`] 또는 [eqn: x=4``]

따라서 [eqn: a ^{2} +b ^{2} =25``]

23. [출제의도] 인수분해 공식 이해하기

[eqn: x=300`]이라 하면

[eqn: (x-5)(x+1)+9=x ^{2} -4x+4``]

[eqn: ``=(x-2) ^{2} ``]

[eqn: ``=(300-2) ^{2} ``]

[eqn: ``=298 ^{2} ``]

따라서 자연수 [eqn: N`]의 값은 [eqn: 298``]

24. [출제의도] 최대공약수와 최소공배수의 성질 이해하기

[eqn: A`]는 두 수 [eqn: 12`]와 [eqn: 18`]의 최대공약수이므로 [eqn: 6`]

[eqn: B`]는 두 수 [eqn: 12`]와 [eqn: 18`]의 최소공배수이므로 [eqn: 36``]

따라서 [eqn: A+B=42``]

25. [출제의도] 삼각형의 무게중심의 성질 이해하기

[eqn: 72]

[eqn: rmA]

[eqn: rmD]

[eqn: rmB]

[eqn: rmM]

[eqn: rmC]

[eqn: rmG]

[eqn: rmG']

변 [eqn: rmBC`]의 중점을 [eqn: rmM``]이라 하면 선분 [eqn: rm AM,~DM`]은 각각 삼각형 [eqn: rmABC,~DBC`]의 중선이므로

[eqn: rm bar{AG}`` :` bar{GM} =2:1], [eqn: rm bar{DG'}` :` bar{G'M} =2:1]

[eqn: rmTRIANGLE MG'G`□` TRIANGLE MDA`]이고, 닮음비는 [eqn: 1:3``]

따라서 [eqn: rm bar{GG prime } = {1} over {3} bar{AD} =24``]

26. [출제의도] 연립일차방정식의 풀이를 통한 해의 의미 이해하기

정답을 맞힌 [eqn: 2`]점 문항 개수를 [eqn: x], 맞힌 [eqn: 3`]점 문항 개수를 [eqn: y`]라 하면

배점	맞힌 문항 수	받은 점수
[eqn: 2``]	[eqn: x`]	[eqn: 2x`]
[eqn: 3``]	[eqn: y``]	[eqn: 3y``]
[eqn: 4``]	[eqn: y-3``]	[eqn: 4(y-3)``]
계	[eqn: 22``]	[eqn: 71``]

[eqn: x+y+(y-3)=22], [eqn: x+2y=25`` CDOTS ``]㉠

[eqn: 2x+3y+4(y-3)=71], [eqn: 2x+7y=83`` CDOTS ``]㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: x=3,~y=11]

따라서 맞힌 [eqn: 3`]점 문항의 개수는 [eqn: 11``]

27. [출제의도] 삼각비를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

그림과 같이 색칠된 직각삼각형에서 세 변의 길이의 비가 [eqn: 2`:`1`:`sqrt { 3}]이므로 세 각의 크기는 [eqn: 90° ,~30° ,~60° `]이다.

[eqn: 60^ DEG]

[eqn: 5]

[eqn: 10]

(큰 원과 닿은 부분의 길이)[eqn: =`14 pi ` TIMES {240} over {360} = {28} over {3} pi]

(작은 원과 닿은 부분의 길이)[eqn: =`4 pi ` TIMES {120} over {360} = {4} over {3} pi]

따라서 벨트와 바퀴가 닿은 두 부분의 길이의 합은  [eqn: {32} over {3} pi`] 이다.

∴ [eqn: a+b=35``]

28. [출제의도] 수형도를 이용하여 경우의 수 계산하기

만의 자리와 일의 자리가 [eqn: 1`]인 경우는 수형도와 같다.

따라서 전체 경우의 수는 [eqn: 3 TIMES 6=18`]

29. [출제의도] 피타고라스의 정리와 닮음의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

정사각형 [eqn: rm ABCD`]를 접었다 펼치면 그림과 같다.

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: rm A]

[eqn: rm D]

[eqn: rmP]

[eqn: rmM]

[eqn: rmN]

[eqn: rm Q]

[eqn: rm R]

[eqn: rm B']

[eqn: rm bar{MN} = bar{NC} = it `x`]라 하면 [eqn: rm bar{DN} =24- it `x``]

[eqn: rm bar{AM} = bar{MD} =12`]이고 [eqn: rm TRIANGLE MND`]가 직각삼각형이므로

[eqn: LEFT ( 24-x RIGHT ) ^{`2} +12 ^{`2} =x` ^{2}], [eqn: x=15``]  ∴ [eqn: rmbarMN =15], [eqn: rm bar{DN} =9``]

[eqn: rm △APM□△DMN`]이므로 [eqn: rm ` bar{AP} `: bar{AM} = bar{DM} `: bar{DN} =4:3``]

[eqn: THEREFORE ` rm bar{AP} =16,~barPM =20]

[eqn: rm bar{B'P} = bar{B'M} - bar{PM} =4``]

[eqn: rm △APM□△B'PQ`]이므로 [eqn: rmbarB'Q =3,~barPQ =5`]

점 [eqn: rmQ`]에서 변 [eqn: rm BC`]와 평행한 선을 그어 변 [eqn: rmDC`]와 만나는 점을 [eqn: rmR`]라 하면 삼각형 [eqn: rmNQR`]는 직각삼각형이다.
[eqn: rmbarQR =24,~ bar { NR}=12`]이므로 [eqn: l` ^{2} =24 ^{2} +12 ^{2} =720``]

[별해]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: rm A]

[eqn: rm D]

[eqn: rmP]

[eqn: rmM]

[eqn: rmN]

[eqn: rm Q]

[eqn: rm R]

[eqn: rm B']

[eqn: {rmANGLEMCD}=x`]라 하면 [eqn: TRIANGLE rm MCN`]이 이등변삼각형이므로
[eqn: {rmANGLEMND}=2x], [eqn: {rmANGLECNQ}=][eqn: {rmANGLEMNQ}=90° -x`]
따라서 직각삼각형 [eqn: rm QRN`]에서 [eqn: {rmANGLENQR}=x`]이므로
[eqn: TRIANGLE rm QRN≡`][eqn: TRIANGLE rm CDM`]
[eqn: THEREFORE ~l` ^{2} =24 ^{2} +12 ^{2} =720``]

30. [출제의도] 회전체의 부피를 구하는 과정 추론하기

책에 진술된 내용에서

[eqn: V=2 pi TIMES {a+b} over {2} TIMES (b-a)c]

[eqn: ````=2 pi TIMES (a와~b의~평균) TIMES (직사각형~넓이)`]

[eqn: =2 pi TIMES LEFT ( l과~m~사이의~거리 RIGHT ) TIMES LEFT ( 직사각형~넓이 RIGHT ) `]이므로

[eqn: {V}=2pi TIMES3 TIMES23=138pi``]

따라서 [eqn: {V} over {pi }=138``]