• 수리 영역 •

수리‘가’형 정답

1	③	2	④	3	②	4	⑤	5	①
6	②	7	④	8	④	9	①	10	③
11	②	12	①	13	②	14	③	15	⑤
16	⑤	17	④	18	③	19	③	20	②
21	①	22	[eqn: 15`]	23	[eqn: 27`]	24	[eqn: 130`]	25	[eqn: 140`]
26	[eqn: 3`]	27	[eqn: 10`]	28	[eqn: 12`]	29	[eqn: 17`]	30	[eqn: 7`]

해 설

1. [출제의도] 로그의 계산을 할 수 있는지 묻는 문제이다.

[eqn: log _{`2} `3+log` _{2} ` {8} over {3} =log` _{2} `left( 3 TIMES {8} over {3} right)][eqn: `=log` _{2} `2 ^{3} `=3]

2. [출제의도] 삼각함수의 극한을 계산할 수 있는지 묻는 문제이다.

(주어진 식)[eqn: = lim _{x -> 0} {} ` {sin2x} over {x} -lim _{x -> 0} {sinx} over {x}][eqn: =1]

3. [출제의도] 배각의 공식을 이용하여 삼각함수의 값을 구할 수 있는지 묻는 문제이다.

[eqn: cos2 theta][eqn: =2`cos ^{2} theta `-1][eqn: =2` TIMES {9} over {16} `-1][eqn: = {1} over {8}]

4. [출제의도] 삼각함수의 부정적분을 구할 수 있는지 묻는 문제이다.

[eqn: f(x)][eqn: = int _{} ^{} {sinxdx}][eqn: =``-cosx+C`] ([eqn: C``]는 적분상수)

[eqn: THEREFORE] [eqn: f( pi )-f(0)][eqn: =`-cos pi +`cos0``=`2]

5. [출제의도] 곡선의 접선의 기울기를 구할 수 있는지묻는 문제이다.

[eqn: x ^{3} +xy+y ^{3} -8=0]에 [eqn: y=0`]을 대입하면 [eqn: x=2`]이다.

[eqn: x ^{3} +xy+y ^{3} -8=0]의 양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면

[eqn: 3x ^{2} +y+xy`'+3y ^{2} y'=0`]

따라서 점 [eqn: (2,``0)]에서의 접선의 기울기는 [eqn: -6]이다.

6. [출제의도] 정규분포의 확률을 구할 수 있는지 묻는 문제이다.

물고기 한 마리의 무게를 확률변수 [eqn: X`]라 하면

[eqn: {rmP} (X ge 830) ={rmP} LEFT ( Z ge 830-800 over 50 RIGHT )`][eqn: ={rmP}(Z ge 0.6)`]

[eqn: =0.5 -{rmP}(0 le Z le 0.6)`][eqn: =0.5-0.2257=0.2743`]

7. [출제의도] 조건부확률을 구할 수 있는지 묻는 문제이다.

임의로 뽑은 한 명이 여학생일 사건을 [eqn: F], 봄을 선택한 학생일 사건을 [eqn: A]라 하자.

[eqn: rm `P( it A`)=0.6times0.55+0.4times0.65=0.59]

[eqn: rm `P( it F cap A `)=0.4times0.65=0.26] 이므로
[eqn: rm `P( it `F``|`A)][eqn: rm =` {P( it F``CAP``A) rm} over {`P( it A) rm}][eqn: = {26} over {59}]

8. [출제의도] 분수부등식의 해를 구할 수 있는지 묻는 문제이다.

(i) [eqn: f(x)>0], [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) le f ^{-1} LEFT ( x RIGHT )]에서 [eqn: 2<x le`5]

(ii) [eqn: f(x)<0], [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) ge f ^{-1} LEFT ( x RIGHT )]에서 [eqn: -5`` LEQ `x` LEQ `-3]

따라서 구하는 정수 [eqn: x]의 개수는 [eqn: 6]이다.

9. [출제의도] 일차변환의 합성을 이해할 수 있는지 묻는 문제이다.

일차변환 [eqn: f CIRC g CIRC f]를 나타내는 행렬은

[eqn: {pmatrix{0&1#1&0}}][eqn: pmatrix{ cos theta&```` -sin theta# sin theta& ```````````cos theta}][eqn: {pmatrix{0&1#1&0}}][eqn: = {pmatrix{``````cos theta &``sin theta #-sin theta &````cos` theta }}]

[eqn: LEFT ( f CIRC g CIRC f RIGHT ) ( P it )=f( P)`]에서

[eqn: {pmatrix{``````cos theta &``sin theta #-sin theta &````cos` theta }}][eqn: pmatrix{1# root3}][eqn: =pmatrix{root3 # 1}]이므로

[eqn: cos theta+sqrt {3} `sin theta = sqrt {3}], [eqn: -sin theta+sqrt {3} `cos theta =1]

따라서 [eqn: sin theta = {1} over {2}], [eqn: cos theta = {sqrt {3}} over {2}]이므로 [eqn: tan theta = {sqrt {3}} over {3}]

10. [출제의도] 행렬의 성질을 추론할 수 있는지 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: AB=BA]이면 [eqn: A` ^{2} B`=][eqn: `ABA=][eqn: BA` ^{2} `] (참)

ㄴ. (반례) [eqn: A`=` {pmatrix{`0```&1`#`0```&0`}} `], [eqn: B`=` {pmatrix{`1```&0`#`0```&0`}} `] (거짓)

ㄷ. [eqn: A`(`AB`)`=`(`AB`)A`=`E`]이므로 [eqn: AAB`=`ABA`]의 양변의 왼쪽에 [eqn: A` ^{-1} `]을 곱하면 [eqn: AB=BA] (참)

11. [출제의도] 좌표로 표시된 벡터의 크기의 최솟값을 구할 수 있는지 묻는 문제이다.

삼각형 [eqn: rmABC]의 무게중심 [eqn: rm G]는 [eqn: rm G`(4,`5,`6)]이다.

[eqn: rm left| {vec PA + vec PB + vec PC} over3 right |][eqn: rm = LEFT | vec{PG} RIGHT |]이다.

이때, [eqn: rm LEFT | vec{PG} RIGHT |]의 값이 최소이려면 점 [eqn: rm G]에서 [eqn: xy]평면에 내린 수선의 발이 점 [eqn: rm P]일 때이므로 [eqn: rm P][eqn: rm (4,`5,`0)]일 때 [eqn: rm LEFT | vec{PG} RIGHT |]의 최솟값은 [eqn: 6`]이다.

12. [출제의도] 수학적 귀납법을 이용하여 등식을 증명할 수 있는지 묻는 문제이다.

[eqn: a`=`-1], [eqn: f(m)`=`- {m(m+1)} over {2} `]이므로

[eqn: a`+f(`9`)=`(-1)`+ LEFT ( - 45 RIGHT ) `=`-46]

13. [출제의도] 공간좌표를 이용하여 문제를 해결할 수 있는지 묻는 문제이다.

[eqn: {rmA}(1,``3,``2)`], [eqn: rm B(1,``-3,``-2)], [eqn: rm C(1,``3,``-2)]이므로 삼각형 [eqn: rmABC]는 [eqn: rm angle C = 90DEG`]인 직각삼각형이다.

따라서 구하는 원의 반지름의 길이는 [eqn: 1over 2 rm bar{AB} = sqrt 13]

14. [출제의도] 함수의 극한과 연속성을 이해할 수 있는지 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: lim _{x`` -> ``-1-0} {} ``f`(x) times lim _{x`` -> ``-1-0}g`(x`)`=1times0 =`0`]이고

[eqn: lim _{x`` -> ``-1+0} {} ``f`(x) times lim _{x`` -> ``-1+0}g`(x`)`=0times(-1)` =`0`]이므로

[eqn: lim _{x`` -> ``-1} {} ``f`(x)g`(x`)`=0] (참)

ㄴ. [eqn: lim _{x`` -> ``1-0} ``f`(x)- lim _{x`` -> ``1-0} g`(x`)`=`0-(-1)=1]이고

[eqn: lim _{x`` -> ``1+0} ``f`(x)- lim _{x`` -> ``1+0} g`(x`)`=`1-0=1]이므로

[eqn: lim _{x`` -> ``1} `left{ f`(x)-g`(x`) right}`=`1] (참)

ㄷ. [eqn: g(f(0))`=g(-1)=0], [eqn: lim _{x -> 0} {}` g(f(x))`=`lim_t->-1+0 g(t)= `-1]이므로 함수 [eqn: g(f(x))`]는 [eqn: x=0`]에서 불연속이다. (거짓)

15. [출제의도] 지수함수에서 넓이의 최솟값을 구할 수 있는지 묻는 문제이다.

직사각형의 가로의 길이는 [eqn: beta - alpha `=`4`]이고, 세로의 길이는 [eqn: 3` ^{alpha } -(`-3` ^{- beta } `)`]이므로 직사각형의 넓이를 [eqn: S`]라 하면

[eqn: S`=][eqn: ` LEFT ( beta - alpha RIGHT )][eqn: LEFT ( `3` ^{alpha } +3` ^{- beta } ` RIGHT )][eqn: `=`4 LEFT ( `3` ^{alpha } +`3` ^{- alpha -4} ` RIGHT )]

[eqn: GEQ 4 TIMES 2 sqrt {3` ^{alpha } ` CDOT `3` ^{- alpha -4}}][eqn: `=` {8} over {9} `]

(단, 등호는 [eqn: alpha =-2], [eqn: beta = 2]일 때 성립)

따라서 직사각형의 넓이의 최솟값은 [eqn: {8} over {9} `]이다.

16. [출제의도] 쌍곡선의 성질을 이용하여 문제를 해결할 수 있는지 묻는 문제이다.

두 점근선의 교점을 원점으로 하고, 두 초점이 [eqn: x]축 위에 있는 좌표평면에서 쌍곡선 [eqn: H``]의 방정식을 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1`] ([eqn: a>0,``b>0])이라 하자.

두 초점의 좌표가 [eqn: rm A(2,`0)], [eqn: rmD(-2,`0)]이므로 [eqn: a ^{2} +b ^{2} = 2^2]

직선 [eqn: rm BE]가 점근선이므로 [eqn: {b} over {a} =][eqn: tan {pi } over {3} = sqrt {3}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: rm bar DP `-` bar AP][eqn: =`2a`=2]

17. [출제의도] 함수의 그래프의 성질을 추측할 수 있는지 묻는 문제이다.

[eqn: f` prime (x)=e` ^{x} - {1} over {x ^{2}}]이고 [eqn: f` '' (x)=e ` ^{x} + {2} over {x ^{3}}]이다.

ㄱ. [eqn: f `prime (alpha)=][eqn: e ^{alpha } - {1} over {alpha ` ^{2}} =0]에서 [eqn: e ^{alpha } = {1} over {alpha ^{2}}] (참)

ㄴ. 모든 양수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f`''(x)>0]이므로 곡선     [eqn: y=f(x)`]의 변곡점은 존재하지 않는다. (거짓)

ㄷ. [eqn: f` prime ( alpha )=0]이고 모든 양수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f`''(x)>0]이므로 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x`=`alpha`]에서 극소이자 최소이다. (참)

18. [출제의도] 벡터의 내적을 구할 수 있는지 묻는 문제이다.

두 벡터 [eqn: rm ` vec{AP}`], [eqn: rm vec AB `]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 하자.

[eqn: rm ` vec{AP} BULLET vec{AB} `=][eqn: rm ` LEFT |` vec{AP} `RIGHT | `LEFT |` vec{AB} `RIGHT | `cos theta =left|` vec{rm AB} `right| ^{2}]에서 [eqn: rm ` LEFT | vec{AP} RIGHT | `cos theta = left| vec{rm AB} right|]가 성립하므로 점 [eqn: rm P]는 점 [eqn: rmB]를 지나고 직선 [eqn: rm AB]에 수직인 평면과 구의 교선인 원 위에 있다.

이때, 이 원의 반지름의 길이는 구의 중심과 직선 [eqn: rm AB`] 사이의 거리와 같다.

한편, 원점 [eqn: rmO]에서 직선 [eqn: { x+1} = { 2-y} = z`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH][eqn: (t-1,``2-t,``t)]라 하면

[eqn: (t-1,`2-t,`t) BULLET (1,`-1,````1)=0]에서 [eqn: t=1]이다.

이때, [eqn: rm `H(0,`1,`1)]이므로 [eqn: rm bar OH = root2 `]이다.

따라서 구하는 도형의 길이는 [eqn: 2 sqrt {2} pi]이다.

19. [출제의도] 적분과 미분을 이용하여 수면의 높이를 구할 수 있는지 묻는 문제이다.

수면의 높이가 [eqn: h]일 때 물의 부피 [eqn: V``]는

[eqn: V= pi int _{0} ^{h} {x ^{2}} dy= pi int _{0} ^{h} {(2 ^{y-1} ) ^{2} dy}]이므로

[eqn: {dV} over {dt} = {dV} over {dh} CDOT ` {dh} over {dt} `][eqn: = pi (2 ^{2h-2} ) {dh} over {dt}], [eqn: pi (2 ^{2 a-2} ) cdot 6][eqn: =12pi]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a={3} over {2}]

20. [출제의도] 행렬의 연산을 이용하여 행렬을 나타낼 수 있는지 묻는 문제이다.

[eqn: rm R_1]지점에서 도로망을 따라 [eqn: rm S_2]지점까지 최단 거리로 가는 방법의 수는 [eqn: a_11]×[eqn: a_12][eqn: +][eqn: a_12]×[eqn: a_22]이므로 행렬 [eqn: A^2]의 [eqn: (1,````2)]성분과 같다.

21. [출제의도] 도형에서 무한등비급수의 합을 활용할 수 있는지 묻는 문제이다.

[eqn: rm bar{A _{1} P_{1}} ``= rm ` bar{A_{1} A _{2}} ``=2`]이므로 [eqn: l`_1 = {2 } over 3 pi]이다.

한편, 꼭짓점 [eqn: \A_1]에서 선분 [eqn: \B_1 C_1]에 내린 수선의 발을 [eqn: \H]로 놓으면 [eqn: bar{ \ { A }_{it 1} H } `` =`3 sqrt { 3}]

[eqn: bar{ \ { A }_{it 2} H } ``= bar{ \ { A }_{it 1} H } `` -` bar{ \ { A }_{it 1} A_2 }][eqn: = 3 sqrt { 3} - 2]

그러므로 수열 [eqn: "{" l_n "}"]은 첫째항이 [eqn: {2 } over 3 pi `]이고 공비가 [eqn: 1- {2 sqrt { 3}} over 9]인 등비수열을 이룬다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf} { ``l_n ``} = { 2 over 3 pi } over { 1- left ( 1 - {2 sqrt { 3} }over {9} right)} = sqrt { 3} `pi]

22. [출제의도] 무리방정식의 해를 구할 수 있는지 묻는 문제이다.

[eqn: root x+10 = x-10`]의 양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: (x-6)(x-15)=0]

[eqn: ∴] [eqn: x=15] ([eqn: BECAUSE] [eqn: x ge10])

23. [출제의도] 등차수열의 일반항을 구할 수 있는지 묻는 문제이다.

[eqn: a_2 -a_3 +a_4 -a_5 +a_6 = a_2 +( -a_3 +a_4 )+(-a_5 +a_6 )]

[eqn: = a+3(a+1)][eqn: = 4a+3][eqn: `=15]에서 [eqn: a= 3]

[eqn: ∴] [eqn: a`_7 = a+6(a+1 )][eqn: =7a +6 =27]

24. [출제의도] 중복조합을 이용하여 실생활 문제를 해결할 수 있는지 묻는 문제이다.

[eqn: rm {} _{4} H _{8} - _{4} H _{4}][eqn: = _{11} rm C _{3} - _{7} rm C _{3}][eqn: =165-35][eqn: =130]

25. [출제의도] 로그와 관련된 실생활 문제를 해결할 수 있는지 묻는 문제이다.

[eqn: 70 = 10 ``log``{``1 over 10^5``}over {x_0} = 10(`-5- log``x_0 `)]    …… ㉠

[eqn: a = 10` log``{10^2} over {x_0} = 10(2 - log``x_0 )]         …… ㉡

㉡-㉠을 계산하면 [eqn: a-70 = 70]

[eqn: ∴] [eqn: a=140]

26. [출제의도] 일차변환의 행렬을 이용하여 문제를 해결할 수 있는지 묻는 문제이다.

일차변환 [eqn: f`]에 의하여 점 [eqn: rm P( it x,``y)]가 [eqn: rm P'( it x ',``y')]으로 옮겨진다고 하면

[eqn: {pmatrix{-1&2#```````1&a}} {pmatrix{x#y}} = {pmatrix{-x+2y#x+ay}} = {pmatrix{x prime #y prime }}]

에서 두 직선 [eqn: x prime =`2], [eqn: y'=x'`+`1`]로 각각 옮겨지는 두 직선 [eqn: l], [eqn: l`']은 [eqn: -x+2y``=`2], [eqn: x+ay=-x+2y+1]이다.

이때, 수직인 두 직선 [eqn: l], [eqn: l`']의 기울기는 각각 [eqn: 1over2], [eqn: -2 over a-2]이므로 [eqn: 1over2 cdot -2 over a-2 = `-1]에서 [eqn: a = 3]이다.

27. [출제의도] 함수의 최댓값과 최솟값을 구할 수 있는지 묻는 문제이다.

[eqn: g(x)=][eqn: 2sin LEFT ( x+ {pi } over {3} RIGHT ) =t]라 하면 [eqn: -2 LEQ t LEQ 2]이다.

[eqn: ( f circ g )(x) =f(t) = t^3 - 3t^ 2 +15]에서

[eqn: f` prime (t)=`3t`(t-2)]이므로 [eqn: f(t)]는 [eqn: t=0]에서 극대이다.

따라서 [eqn: f(0)=15], [eqn: f(-2) = -5], [eqn: f(2)=11]이므로 구하는 최댓값과 최솟값의 합은 [eqn: f(0)`+][eqn: f(-2)`=`][eqn: 10]이다.

28. [출제의도] 연속확률변수의 평균을 구할 수 있는지 묻는 문제이다.

[eqn: int _{0} ^{a} {2e ^{-x} dx} =][eqn: LEFT [ -2e ^{-x} RIGHT ] _{0} ^{a} =1]에서 [eqn: a=ln2]이다.

[eqn: {rmE }(X)= int _{0} ^{ln2} {2xe ^{-x} dx}= LEFT [ -2xe ^{-x} RIGHT ] _{0} ^{ln2} + int _{0} ^{ln2} {2e ^{-x} dx}] [eqn: =1-ln2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: 10p+q=12]

29. [출제의도] 정적분을 이용하여 넓이를 구할 수 있는지 묻는 문제이다.

[eqn: rmA(1,~0)]이고 [eqn: S_1 = S_2]이므로

[eqn: int _{0} ^{1} {} LEFT { -(x+1) ^{3} +8-k RIGHT } dx =0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: 4k=4`times {17} over {4} `=17]

30. [출제의도] 두 직선이 이루는 각의 크기를 구할 수 있는지 묻는 문제이다.

선분 [eqn: rmAN]의 중점을 [eqn: rm P]라 하면 두 직선 [eqn: rm CN], [eqn: rm MP]가 서로 평행하므로 두 직선 [eqn: rm BM], [eqn: rm CN]이 이루는 각의 크기는 두 직선 [eqn: rm BM], [eqn: rm MP]가 이루는 각의 크기와 같다.

이때, [eqn: rm bar AB = 4]라 하면 [eqn: rm bar BM = 2root3], [eqn: rm bar MP = root3]이고,

직각삼각형 [eqn: rm BNP]에서 [eqn: rm bar{BP} = sqrt {13}]이다.

따라서 삼각형 [eqn: rm BMP]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: cos theta~][eqn: rm = left| { {{bar BM } ^{2} +{ bar{ MP} } ^{2} } - { bar BP} ^{2} } over {rm 2 {bar BM} cdot bar{MP } } right|][eqn: =` {1} OVER 6]

[eqn: THEREFORE] [eqn: `p+q=6+1=7]

수리‘나’형 정답

1	③	2	①	3	④	4	③	5	④
6	②	7	⑤	8	③	9	②	10	③
11	③	12	①	13	①	14	④	15	⑤
16	④	17	⑤	18	⑤	19	②	20	②
21	①	22	[eqn: 120`]	23	[eqn: 27`]	24	[eqn: 128`]	25	[eqn: 140`]
26	[eqn: 25`]	27	[eqn: 15`]	28	[eqn: 7`]	29	[eqn: 800`]	30	[eqn: 31`]

해 설

1. ‘가’형과 동일

2. [출제의도] 행렬의 계산을 할 수 있는지 묻는 문제이다.

[eqn: A^2 -AB][eqn: = A(A-B)][eqn: = pmatrix { ``1``&``2`` #``0`` &``1`` }][eqn: pmatrix { ``1``&~~`0`` #``1`` &``-1 ``}][eqn: = pmatrix { ``3``&``-2`` #``1`` &``-1`` }]

따라서 모든 성분의 합은 [eqn: 3-2+1-1=1]이다.

3. [출제의도] 함수의 극한을 계산할 수 있는지 묻는 문제이다.

[eqn: lim _{x` -> `1} {} {x-1} over {sqrt {x+3} -2}][eqn: `= lim _{x` -> `1} {( sqrt {x+3} +2)}][eqn: =2+2=4`]

4. [출제의도] 서로 독립인 사건의 확률을 계산할 수 있는지 묻는 문제이다.

[eqn: {rmP}(A cup B`) = {rmP}(A)+{rmP}(B`)-{rmP}(A cap B`)`]

[eqn: = {rmP}(A)+{rmP}(B`)-{rmP}(A ) {rm P}( B`)`]

[eqn: = 2 over 3 +{rm P}(B) - 2 over 3 {rm P}(B)`][eqn: = 11 over 12]

[eqn: THEREFORE] [eqn: {rmP}(B)= 3 over 4`]

5. [출제의도] 함수의 미분가능성을 이해할 수 있는지 묻는 문제이다.

함수 [eqn: f(x)`]는 연속함수이다.

[eqn: f` prime `(`x`)= {cases{``3x ^{2} +a~~&(`x>1`)#``4x&(`x`<`1`)}}`]

[eqn: lim _{ x`->`1+0 } { } (3x^2 +a) = lim _{ x`->`1-0 } ``{ 4x} `]에서 [eqn: 3+a=4`]이다.

[eqn: ∴] [eqn: a=1`]

6. ‘가’형과 동일

7. [출제의도] 정적분의 값을 비교할 수 있는지 묻는 문제이다.

이차함수 [eqn: f(x)`]의 그래프는 그림과 같다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: C<B<A`]

8. [출제의도] 확률을 구할 수 있는지 묻는 문제이다.

[eqn: {` _{3`} rm C it rm _{2} it} over {` _{n+3`} rm C it rm _{2} it} = {6} over {(n+3)(n+2)} `][eqn: = 1 over 12`]

[eqn: n^2 +5n -66=(n+11)(n-6)=0`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: n=6`]

9. [출제의도] 함수의 최댓값과 최솟값을 구할 수 있는지 묻는 문제이다.

[eqn: g(x) =`t`]로 놓으면 [eqn: -1 le t le 1`]이고

[eqn: (`f CIRC g`)(`x`)`][eqn: =`f`(`t)`][eqn: =`t` ^{3} `+`3`t` ^{2} `+`2`]

[eqn: f` prime (`t`)`=`3`t` ^{2} `+`6`t`][eqn: =`0`]에서 [eqn: t`=`0`] 또는 [eqn: t`=`-2`]

이때, [eqn: f`(`0`)`=`2`], [eqn: f`(`-1`)`=`4`], [eqn: f`(`1`)`=`6`]이므로 구하는 최댓값과 최솟값의 합은 [eqn: 8`]이다.

10. ‘가’형과 동일

11. [출제의도] 등비수열의 일반항의 자릿수를 구할 수 있는지 묻는 문제이다.

[eqn: log``a _{21} =log``(4 cdot 5 ^{20})][eqn: ``=2`log``2`+`20`log```5]

[eqn: ``=2 TIMES 0.3010`+`20 TIMES LEFT ( 1-0.3010 RIGHT )][eqn: ``=14.5820]

따라서 지표가 [eqn: 14]이므로 [eqn: a _{`21} `]은 [eqn: 15]자리의 자연수이다.

12. ‘가’형과 동일

13. [출제의도] 정적분과 미분의 관계를 이해할 수 있는지 묻는 문제이다.

주어진 등식의 양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면

[eqn: f`(`x`)`=``f `prime (`x`) `f(`x`)``+``f`(`x`)`f` prime (`x`)`]이므로

[eqn: f`(`x`) LEFT { `1-2`f` prime (`x`)` RIGHT } `=`0`]이다.

이때, 함수 [eqn: f(x)`]는 상수함수가 아닌 다항함수이므로 [eqn: f` prime (`x`)`=` {1} over {2} `]이다.

이때, [eqn: f`(`1`)`=`0`]이므로 [eqn: f`(`x`)`=` {1} over {2} x`-` {1} over {2}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f`(`3`)`=`1`]

14. [출제의도] 함수의 극한값을 추론할 수 있는지 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: lim _{x`` -> `+0} {f`(`x`)`=}][eqn: lim _{x`` -> ``-0} {f`(`x`)`=`-1}] (참)

ㄴ. [eqn: lim _{x`` -> ``1+0} {LEFT { f`(x)+g(x) RIGHT } != }][eqn: lim _{x`` -> ``1-0} {LEFT { f(x)+g(x) RIGHT } }] (거짓)

ㄷ. [eqn: lim _{x`` -> ``-1+0} {} f`(`x`)`g`(`x`)`=][eqn: lim _{x`` -> ```-1-0} {} f`(`x`)`g`(`x`)`=`0`]이므로

[eqn: lim _{x` -> `-1} {} f`(`x`)`g`(`x`)`=`0`] (참)

15. ‘가’형과 동일

16. [출제의도] 도형에서 함수의 극한값을 구할 수 있는지 묻는 문제이다.

중심이 [eqn: rm P it `(`x,````y`)]이므로 [eqn: x`]축에 접하는 원의 반지름의 길이는 [eqn: y`]이다. 두 원이 외접하므로 [eqn: bar{rm PA it} `=y+1]

즉, [eqn: sqrt {x` ^{2} `+`(y-3)` ^{2}} `=`y+1`]이다.

[eqn: x` ^{2} `+`(y-3)` ^{2} `=`(y+1)` ^{2} `]에서 [eqn: x` ^{2} `=`8y-8`]

이때, [eqn: x` -> ` INF `]이면 [eqn: y` -> ` INF `]이므로

[eqn: THEREFORE] [eqn: lim _{x` -> ` INF } {}{{bar{ rmPH } } ^ {2} it} over {bar{rm PA it} it} `=` lim _{x` -> ` INF } {} {x ^{2}} over {y+1} `][eqn: `=` lim _{y` -> ` INF } {} {8y-8} over {y+1} `=8`]

17. [출제의도] 무한급수와 정적분의 관계를 이해할 수 있는지 묻는 문제이다.

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} sum _{k=1} ^{n} ` {1} over {n} `f` LEFT ( -1`+` {2k} over {n} RIGHT ) = {1} over {2} ` int _{-1} ^{````1} {(`3x ^{`3} +4x ^{`2} -`2x`-1)`dx`}]

[eqn: =` int _{``0} ^{1} {} LEFT ( 4x ^{`2} -1 RIGHT ) `dx][eqn: =` {1} over {3}]

18. [출제의도] 그래프의 성질을 추론할 수 있는지 묻는 문제이다.

주어진 행렬이 나타내는 그래프는 그림과 같다.

따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 참이다.

19. [출제의도] 속도와 거리의 관계를 이해할 수 있는지 묻는 문제이다.

[eqn: t`]에서의 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]의 위치를 각각 [eqn: x _{rm P it} `], [eqn: x `_{rmQ it} `]라 하면

[eqn: x _{rm P it} `=`5+ int _{0} ^{t} {`(`3t ^{2} -2`)} `dt=t` ^{3} -2`t+5],

[eqn: x _{rm Q it} `=`k+ int _{0} ^{t} {`1`} dt=t+k]

이때, 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]가 만나려면 [eqn: t^3 -2t +5 = t+k] 즉, [eqn: t^3 -3t +5 = k]이어야 한다.

[eqn: f`(t)=t ^{3} -3`t+5`]라 하면 [eqn: f` prime (t)=3t ^{2} -3=3(t-1)(t+1)`]이므로 [eqn: t>0]에서 함수 [eqn: f`(t`)`]의 그래프는 그림과 같다.

직선 [eqn: y`=`k`]와 곡선 [eqn: y`=`f`(`t`)`]가 서로 다른 두 점에서 만날 조건은 [eqn: 3<k<5`]이므로 정수 [eqn: k`]는 [eqn: 4`]이다.

20. ‘가’형과 동일

21. ‘가’형과 동일

22. [출제의도] 이항정리에서 이항계수를 구할 수 있는지 묻는 문제이다.

[eqn: {} _{10} `{rmC}` _{3} = {10 times 9 times 8} over {3 times2 times 1} =120]

23. ‘가’형과 동일

24. [출제의도] 곡선의 접선의 방정식을 구할 수 있는지 묻는 문제이다.

[eqn: y` prime `=3x ^{`2} `-2`]이므로 곡선 위의 점 [eqn: (2,````4)]에서의 접선의 기울기는 [eqn: 10]이다.

따라서 구하는 접선의 방정식은

[eqn: y-4 = 10(x-2)], [eqn: y=10x-16]

[eqn: S = 1 over 2 cdot 16 cdot 8 over 5 = 64 over 5]

[eqn: THEREFORE] [eqn: 10S```=128]

25. ‘가’형과 동일

26. [출제의도] 로그방정식을 이용하여 실근의 개수를 구할 수 있는지 묻는 문제이다.

[eqn: log``x`=X`]로 놓으면 주어진 방정식은

[eqn: X ^{2} + LEFT ( log``2+log``4 RIGHT ) X+ LEFT ( log``2 RIGHT ) LEFT ( log``4 RIGHT ) + LEFT ( log``k RIGHT ) ^{2} =0]

주어진 조건을 만족하려면 [eqn: X`]에 대한 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 판별식 [eqn: D`]는

[eqn: D= LEFT ( log``2+log``4 RIGHT ) ^{2} -4 LEFT ( log``2 RIGHT ) LEFT ( log``4 RIGHT ) -4 LEFT ( log``k RIGHT ) ^{2} >0]

[eqn: - {1} over {2} `log``2`<log``k`< {1} over {2} `log``2`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: {1} over {sqrt {2}} <`k`< sqrt {2}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: 10( alpha ^{2} + beta ^{2} )=10 left( `{1} over {2} +2 `right)=25]

27. [출제의도] 중복조합의 수를 구할 수 있는지 묻는 문제이다.

[eqn: `_3+4-1 {rmC}_4 = ``_6 {rmC}_4 = `_6 {rmC}_2 = {6 times5} over 2 = 15`]

28. [출제의도] 연속확률변수의 평균을 구할 수 있는지 묻는 문제이다.

[eqn: rm E it (X)``][eqn: = int _{0} ^{{1} over {2}} {`x ^{2} `} dx+ int _{{1} over {2}} ^{1} {(`5x ^{2} -2x`)`} dx][eqn: = 3 over 4]

[eqn: THEREFORE] [eqn: p+q=7`]

29. [출제의도] 행렬의 거듭제곱과 수열의 합을 추론할 수 있는지 묻는 문제이다.

[eqn: P= {pmatrix{```````2&```````1#-3&-1}}]이라 하면 [eqn: A^n][eqn: =][eqn: (3P)`^n = 3`^n P``^n]이다.

행렬 [eqn: P``^n]의 모든 성분의 합을 [eqn: T`_n]이라 하면 행렬 [eqn: A^n]의 모든 성분의 합은 [eqn: S_n = 3`^n T_n]이므로 [eqn: S`_n = 3`^n+1]이 성립하려면 [eqn: T`_n =3`]이어야 한다.

[eqn: T`_1 =` -1], [eqn: T`_2 = `-3], [eqn: T`_3 = `-2], [eqn: T`_4 = 1], [eqn: T`_5 = 3],

[eqn: T`_6 = 2], [eqn: T ` _{7} =`-1], [eqn: cdots]

이므로 [eqn: n= 6k-1][eqn: (`k]는 자연수[eqn: `)]일 때 [eqn: T_n`=3`]이다.

따라서 구하는 [eqn: 100`] 이하의 모든 자연수의 합은 첫째항이 [eqn: 5`]이고 제[eqn: 16`]항이 [eqn: 95`]인 등차수열의 첫째항부터 제[eqn: 16`]항까지의 합이므로 [eqn: {16(5+95)} over 2 =800`]이다.

30. [출제의도] 수열의 합을 구할 수 있는지 묻는 문제이다.

[eqn: S _{n} = sum _{k=1} ^{n} (8k-4)-1][eqn: =4n^2 -1`] ([eqn: n=1,``2,``3,``cdots])

[eqn: sum _{n=1} ^{10} {1} over {S _{n}} `][eqn: `=` sum _{n=1} ^{10} {1} over {4n ^{2} -1} `][eqn: `=` {1} over {2} sum _{n=1} ^{10} LEFT ( {1} over {2n-1} - {1} over {2n+1} RIGHT )]

[eqn: = {1} over {2} LEFT ( {1} over {1} - {1} over {21} RIGHT ) = {10} over {21} `]

[eqn: THEREFORE] [eqn: p+q=31`]