1. [eqn: log_{``2}` 3 + log_{``2} `8over3]의 값은? [2점]

수리 영역(가 형)

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수리 영역(가 형)

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2011학년도 10월 고3 전국연합학력평가 문제지

수리 영역(가 형)

제 2 교시

① [eqn: 2]	② [eqn: {5} over {2}]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: {7} over {2}]	⑤ [eqn: 4]

12

2. [eqn: lim_{x`->`0} `{sin` 2x` - sin`x` } over x]의 값은? [2점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

3. [eqn: cos` theta `= {3} over {4}]일 때, [eqn: cos `2 theta`]의 값은? [2점]

① [eqn: {1} over {16}]	② [eqn: {1} over {8}]	③ [eqn: {3} over {16}]	④ [eqn: {1} over {4}]	⑤ [eqn: {5} over {16}]

4. 함수 [eqn: f`(`x`)]의 도함수가 [eqn: f`'(`x`)=sin`x`]일 때, [eqn: f( `pi `)-f(`0` )]의 값은?

[3점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

5. 곡선 [eqn: x^3 +xy+y^3 -8=0]과 [eqn: x`]축이 만나는 점에서의 접선의 기울기는? [3점]

① [eqn: -6]	② [eqn: -5]	③ [eqn: -4]	④ [eqn: -3]	⑤ [eqn: -2]

[eqn: z`]	[eqn: {\P}`(0 le Z``le z)`]
[eqn: 0.3`]	[eqn: 0.1179`]
[eqn: 0.4`]	[eqn: 0.1554`]
[eqn: 0.5`]	[eqn: 0.1915`]
[eqn: 0.6`]	[eqn: 0.2257`]

6. 어느 양식장의 물고기의 무게는 평균 [eqn: 800``\g`], 표준편차 [eqn: 50``\g`]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 양식장에서 임의로 선택한 물고기 한 마리의 무게가 [eqn: 830``\g`] 이상일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [3점]

① [eqn: 0.2257`]	② [eqn: 0.2743`]	③ [eqn: 0.3085`]	④ [eqn: 0.3446`]	⑤ [eqn: 0.3821`]

7. 남학생 [eqn: 600]명과 여학생 [eqn: 400]명에게 봄과 가을 중에서 언제 수학여행을 가고 싶은 지 하나만 선택하도록 하였더니, 남학생의 [eqn: 55%]와 여학생의 [eqn: 65%]가 봄을 선택하였다. 이 [eqn: 1000]명의 학생 중에서 임의로 한 명을 뽑았더니 봄을 선택한 학생이었을 때, 이 학생이 여학생일 확률은? [3점]

① [eqn: {20} over {59}]	② [eqn: {22} over {59}]	③ [eqn: {24} over {59}]	④ [eqn: {26} over {59}]	⑤ [eqn: {28} over {59}]

8. 그림은 역함수가 존재하는 함수 [eqn: y=f `LEFT ( `x `RIGHT )]의 그래프와 직선 [eqn: y=x`]를 나타낸 것이다.

[eqn: -5 LEQ x LEQ 5]에서 부등식 [eqn: {f `LEFT ( `x` RIGHT )-f` ^{-1`}(`x`)} over {`f LEFT (` x `RIGHT )} `le0`]을 만족시키는 모든 정수 [eqn: x`]의 개수는? (단, [eqn: f `^{-1}` LEFT (` x` RIGHT )]는 [eqn: f LEFT (` x `RIGHT )]의 역함수이다.) [3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

9. 직선 [eqn: y= x`]에 대한 대칭변환 [eqn: f`]와 원점을 중심으로 [eqn: theta`]만큼 회전하는 회전변환 [eqn: g`]가 있다. 행렬 [eqn: P= pmatrix { 1 # sqrt { 3} }]에 대하여 [eqn: LEFT ( f circ g circ f` RIGHT ) ({`P`})=f`(` P`)`]가 성립하도록 상수 [eqn: theta`]의 값을 정할 때,

[eqn: tan theta`]의 값은? [3점]

① [eqn: sqrt3over3]	② [eqn: 3over4]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: sqrt3]	⑤ [eqn: 2]

10. 두 이차정사각행렬 [eqn: A,~B``]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: E``]는 단위행렬이고, [eqn: O``]는 영행렬이다.) [3점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: AB=BA`]이면 [eqn: A^2 B = B A^2`]이다. ㄴ. [eqn: AB=O``]이면 [eqn: AB=BA`]이다. ㄷ. [eqn: A^2 B= E``]이면 [eqn: AB=BA`]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

11. 좌표공간의 세 점 [eqn: rm A (3,````4,````5)`], [eqn: rm B (4,````8,````6)`], [eqn: rm C (5,````3,````7)`]과 [eqn: xy`]평면 위의 점 [eqn: rm P`]에 대하여 [eqn: rm left| {vec PA + vec PB + vec PC} over3 right |]의 최솟값은? [3점]

① [eqn: 3`]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 9]	④ [eqn: 12`]	⑤ [eqn: 15`]

12. 다음은 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 등식

[eqn: sum _{k=1} ^{n} (-1) ` ^{k-1} `(`n+1-k)` ^{2}][eqn: `=` sum _{k=1} ^{n} k`]   [eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

<증명>

(1) [eqn: n`=`1`]일 때, (좌변)[eqn: `=`1`], (우변)[eqn: `=`1`]이므로 ㉠이 성립   한다.

(2) [eqn: n`=`m`]일 때 ㉠이 성립한다고 가정하면

[eqn: sum _{k=1} ^{m} (-1)` ^{k-1} `(`m+1-k)` ^{2}][eqn: `=` sum _{k=1} ^{m} `k`]

이다. [eqn: n=m+1`]일 때 ㉠이 성립함을 보이자.

[eqn: sum _{k=1} ^{m+1} (-1)` ^{k-1} `(`m+2-k)` ^{2}]

[eqn: `=`][eqn: (-1)^0 `(m+1)^2][eqn: `+LEFT ( `-1` RIGHT ) ^{1} `m ^{2}][eqn: `+`][eqn: cdots] [eqn: +`][eqn: (-1)^m`․`1^2`]

[eqn: `=`][eqn: (m+1)^2 `][eqn: +`][eqn: BOX{```` ^{`} (가) _{`````} `} `][eqn: `‧`sum _{k=1} ^{m} (-1)` ^{k-1} `(`m+1-k)` ^{2}]

[eqn: `=`][eqn: (m+1)^2 `][eqn: +`][eqn: BOX{````^ `(나)_`````~}]

[eqn: =` sum _{k=1} ^{m+1}` k]

그러므로 [eqn: n`=`m+1`]일 때도 ㉠이 성립한다.

따라서 (1), (2)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여     ㉠이 성립한다.

위의 증명에서 (가)에 알맞은 수를 [eqn: a`]라 하고, (나)에 알맞은 식을 [eqn: f`(`m`)]이라 할 때, [eqn: a+ f`(`9`)`]의 값은? [4점]

① [eqn: -46]	② [eqn: -44]	③ [eqn: -42]	④ [eqn: -40]	⑤ [eqn: -38`]

13. 좌표공간에서 점 [eqn: {rmA}(1,````3,````2)`]를 [eqn: x`]축에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rmB`]라 하고, 점 [eqn: rmA`]를 [eqn: xy`]평면에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rmC`]라 하자. 세 점 [eqn: rmA`], [eqn: rmB`], [eqn: rmC`]를 지나는 원의 반지름의 길이는? [3점]

① [eqn: 2 root3`]	② [eqn: root13`]	③ [eqn: root14`]	④ [eqn: root15`]	⑤ [eqn: 4`]

14. 그림은 열린 구간 [eqn: (-2,````2)]에서 정의된 두 함수 [eqn: y=f`(`x)`], [eqn: y=g`(`x)`]의 그래프이다. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: lim _{x`` -> ``-1} `` f`(`x`)g`(`x`)`=`0] ㄴ. [eqn: lim _{x`` -> ``1} ``left{ f`(`x`)-g`(`x`) right}`=`1] ㄷ. 함수 [eqn: g(f`(`x`))`]는 [eqn: x=0`]에서 연속이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

15. 함수 [eqn: y=3^{`x}`]의 그래프 위의 점 [eqn: rmP(it alpha ,````3 ^{`alpha } `)]과 함수 [eqn: y=`-3 ^{`-x}]의 그래프 위의 점 [eqn: rmQ(it `beta` ,```-3 ` ^{- beta } `)]에 대하여 [eqn: beta`` -`alpha `=`4`]가 성립한다. 그림과 같이 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]를 지나고 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축과 평행한 직선을 그려 만들어지는 직사각형의 넓이의 최솟값은? [4점]

① [eqn: 2over9]	② [eqn: { 2sqrt2} over {9 }]	③ [eqn: { 4over9}]	④ [eqn: { 4sqrt2} over {9 }]	⑤ [eqn: 8over9]

16. 한 변의 길이가 [eqn: 2`]인 정육각형 [eqn: rm ABCDEF`]와 쌍곡선 [eqn: H``]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 쌍곡선 [eqn: H``]의 초점은 점 [eqn: rm A]와 점 [eqn: rm D]이다.

(나) 쌍곡선 [eqn: H``]의 점근선은 직선 [eqn: rm BE]와 직선 [eqn: rm CF]이다.

쌍곡선 [eqn: H``]와 변 [eqn: rm AB]가 만나는 점을 [eqn: rm P]라 할 때, [eqn: rm bar DP `-` bar AP]의 값은? [3점]

① [eqn: 1over2`]	② [eqn: 1]	③ [eqn: root2`]	④ [eqn: root3`]	⑤ [eqn: 2`]

17. 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f`(`x`)][eqn: =][eqn: e ^{x} + {1} over {x}]이 [eqn: x=alpha`]에서 극값을 가질 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: e`]는 자연로그의 밑이다.) [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: e ^{alpha} = {1} over {alpha ^{2}}] ㄴ. 곡선 [eqn: y=f`(`x`)`]의 변곡점이 존재한다. ㄷ. 함수 [eqn: f`(`x`)`]는 [eqn: x=alpha`]에서 최솟값을 갖는다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

18. 좌표공간에서 중심이 원점이고 직선 [eqn: { x+1} = { 2-y} = z`]와 서로 다른 두 점 [eqn: rm A`], [eqn: rm B]에서 만나는 구와 이 구 위를 움직이는 점 [eqn: rm P`]가 있다. 두 벡터 [eqn: rmvec {AP}], [eqn: rmvec {AB}]에 대하여 [eqn: rm ` vec{AP} bullet vec AB `=`| {vec AB } |` ^2]이 성립할 때, 점 [eqn: rm P]가 나타내는 도형의 길이는? [4점]

① [eqn: pi]	② [eqn: 2 pi]	③ [eqn: 2sqrt2 pi]	④ [eqn: 2sqrt3 pi]	⑤ [eqn: 4pi]

19. 그림과 같이 원점 [eqn: rm O`]와 점 [eqn: rm A left( 1over2 ,````0 right)`]에 대하여 선분 [eqn: rm OA]와 곡선 [eqn: y=1+log _{2} x] [eqn: LEFT ( 1over2 LEQ x LEQ 4 RIGHT)]를 [eqn: y`]축의 둘레로 회전시켜 만든 회전체 모양의 그릇이 있다.

이 그릇을 평평한 바닥에 놓고 매초 [eqn: 12pi ``rm cm ^{3}]의 일정한 비율로 물을 넣고 있다. 수면이 상승하는 속도가 [eqn: {6 }``rm cm/초]가 되는 순간의 수면의 높이는 [eqn: a`][eqn: rm cm]이다. [eqn: a`]의 값은? (단, 좌표축의 눈금 단위는 [eqn: rm cm]이다.) [4점]

① [eqn: 1over2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3over2`]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 5over2]

20. 그림과 같은 두 개의 도로망이 있다.

이차정사각행렬 [eqn: A`]의 [eqn: (i,````j)]성분 [eqn: a`_{`i`j}] ([eqn: i=1,````2], [eqn: j=1,````2])를

[eqn: a`_{`i`j}][eqn: =][eqn: left(`_`][eqn: rm P_{it `i}]지점에서 도로망을 따라 [eqn: rm Q_{it `j}]지점까지 최단 거리로 가는 방법의 수[eqn: `_`right)]

로 정의하자.

다음 중 [eqn: rm R_{it`1}]지점에서 도로망을 따라 [eqn: rm S_{it `2}]지점까지 최단 거리로 가는 방법의 수와 같은 것은? (단, 모든 도로는 서로 평행하거나 수직이다.) [4점]

① 행렬 [eqn: 2A]의 [eqn: (1,````2)]성분

② 행렬 [eqn: A^2]의 [eqn: (1,````2)]성분

③ 행렬 [eqn: A^2]의 [eqn: (2,````1)]성분

④ 행렬 [eqn: A]의 [eqn: (1,````2)]성분과 [eqn: (2,````2)]성분의 곱

⑤ 행렬 [eqn: A]의 [eqn: (1,````2)]성분과 [eqn: (2,````1)]성분의 곱

21. 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 6`]인 정삼각형 [eqn: {rmA}_1 `{rmB}_1 `{rmC}_1`]이 있다.  꼭짓점 [eqn: \A_1]을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 1over 3 bar{\A_1 `B_1 }]인 원이 삼각형 [eqn: \A_1` B_1` C_1]과 만나는 점을 각각 [eqn: \P_1], [eqn: \Q_1]이라 하고 삼각형 [eqn: \A_1` B_1` C_1]의 내부에 있는 호 [eqn: \P_1` Q_1]을 이등분하는 점을 [eqn: \A_2]라 하자. 점 [eqn: \A_2]를 꼭짓점으로 하고 나머지 두 꼭짓점 [eqn: \B_2], [eqn: \C_2]가 변 [eqn: \B_1` C_1] 위에 있는 정삼각형 [eqn: \A_2` B_2` C_2]를 그린다.

꼭짓점 [eqn: \A_2]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 1over 3 bar{\A_2` B_2 }]인 원이 삼각형 [eqn: \A_2` B_2` C_2]와 만나는 점을 각각 [eqn: \P_2], [eqn: \Q_2]라 하고 삼각형 [eqn: \A_2` B_2` C_2]의 내부에 있는 호 [eqn: \P_2` Q_2]를 이등분하는 점을 [eqn: \A_3]이라 하자. 점 [eqn: \A_3]을 꼭짓점으로 하고 나머지 두 꼭짓점 [eqn: \B_3], [eqn: \C_3]이 변 [eqn: \B_1` C_1] 위에 있는 정삼각형 [eqn: \A_3` B_3` C_3]을 그린다.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 호 [eqn: {\P}_n` {\Q}_n]의 길이를 [eqn: l`_n]이라 할 때, [eqn: sum _{ n=1} ^{inf }l`_n]의 값은? [4점]

① [eqn: sqrt 3 pi]	② [eqn: { 3sqrt3} over {2 }pi]	③ [eqn: 2sqrt3 pi]

④ [eqn: {5sqrt3 }over2 pi]	⑤ [eqn: 3sqrt3 pi]

단답형

22. 무리방정식 [eqn: root x+10 = x-10`]의 실근을 구하시오. [3점]

23. 첫째항이 [eqn: a`]이고 공차가 [eqn: a`+1`]인 등차수열 [eqn: left{`a ` _{`n} `right}`]이

[eqn: a _{`2} -`a_{`3} +`a _{`4} -`a _{`5} +`a _{`6} `=`15`]

를 만족시킬 때, [eqn: a _{`7} `]의 값을 구하시오. [3점]

24. [eqn: 4`]명의 학생에게 [eqn: 8`]자루의 연필 모두를 나누어 주는 방법 중에서 연필을 한 자루도 받지 못하는 학생이 생기는 경우의 수를 구하시오. (단, 연필은 서로 구별하지 않는다.) [3점]

12

25. 어떤 음원에서 나오는 음향출력이 [eqn: x`][eqn: (rm`W)]일 때, 음향파워레벨 [eqn: L `_{w} `(rm`dB)]는 다음과 같이 계산한다.

[eqn: L` _{w} =10``log` {x} over {x` _{0}}]

(단, [eqn: x ` _{0}]은 기준 음향출력을 나타내는 상수이다.)

일반적인 대화에서 나오는 음향출력이 [eqn: {1} over {10 `^{5}} (rm`W)]일 때, 음향파워레벨은 [eqn: 70`(rm`dB)]이라고 한다. 비행기 엔진 소리에서 나오는 음향출력이 [eqn: 10 ` ^{2} `(rm`W)]일 때, 음향파워레벨은 [eqn: a``( \`dB)]이다. 이때, [eqn: a`]의 값을 구하시오. [3점]

26. 행렬 [eqn: pmatrix{ -1& ```2# ```````1& `````a``}]가 나타내는 일차변환 [eqn: f`]에 의하여 서로 수직인 두 직선 [eqn: l`], [eqn: l`']이 각각 두 직선 [eqn: x=2], [eqn: y=x+1`]로 옮겨지도록 하는 실수 [eqn: a`]의 값을 구하시오. [4점]

27. 실수 전체의 집합에서 정의된 두 함수

[eqn: f`(`x`)=x^3 -3x^2 +15`], [eqn: g`(`x`)= sin`x +root3 ` cos` x `]

에 대하여 합성함수 [eqn: (` f circ g `)(`x`)]의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오. [4점]

28. 양수 [eqn: a`]에 대하여 연속확률변수 [eqn: X``]가 갖는 값의 범위가 [eqn: 0` LEQ X` LEQ a`]이고 확률밀도함수는 [eqn: f`(`x`)=2e^-x`]이다. 확률변수 [eqn: X``]의 평균이 [eqn: {\E}`(`X``) `=p-ln `q `]일 때, [eqn: 10`p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: e]는 자연로그의 밑이고, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 자연수이다.) [4점]

29. 그림과 같이 삼차함수 [eqn: f`(`x`)=`-(x+1) ^{3} +8`]의 그래프가 [eqn: x`]축과 만나는 점을 [eqn: rm A`]라 하고, 점 [eqn: rm A`]를 지나고 [eqn: x`]축에 수직인 직선을 [eqn: l`]이라 하자. 또, 곡선 [eqn: y=f`(`x`)]와 [eqn: y`]축 및 직선 [eqn: y=k`]([eqn: 0<k<7])로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S_1]이라 하고, 곡선 [eqn: y=f`(`x`)]와 직선 [eqn: l`] 및 직선 [eqn: y=k`]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S_2]라 하자. 이때, [eqn: S_1`=`S_2]가 되도록 하는 상수 [eqn: k`]에 대하여 [eqn: 4k`]의 값을 구하시오. [4점]

30. 정사면체 [eqn: rmABCD`]에서 두 모서리 [eqn: rmAC`], [eqn: rmAD`]의 중점을 각각 [eqn: rmM`], [eqn: rmN`]이라 하자. 직선 [eqn: rmBM`]과 직선 [eqn: rmCN`]이 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta`]라 할 때, [eqn: cos `theta`=`q overp `]이다. [eqn: p +q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`]와 [eqn: `q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.