2012학년도 대수능 9월 모의평가 수리영역 나형 정답 및 해설

1.

출제의도 : 로그의 성질을 활용하여 계산할 수 있는가?

[eqn: log_2 12 +log_2 { 4} over {3 } = log_2 (12 TIMES { 4} over {3 } ) = log_2 16]

[eqn: =log_2 2^4 =4]

<답> ④

2.

출제의도 : 무한수열의 극한값을 구할 수 있는가?

[eqn: lim _{ n->inf} { { 3n^2 +5} over {2n^2 +n } } =lim _{ n->inf} { { 3 + { 5} over {n^2 } } over {2 + { 1} over {n } } } = { 3} over {2 }]

<답> ③

3.

출제의도 : 역행렬을 구할 수 있는가?

[eqn: `A^-1 = { 1} over { 3} pmatrix{2&```-1#-3&```3}]이므로

[eqn: `3A^-1 = pmatrix{2&```-1#-3&```3}] 이다.

따라서 [eqn: `3A^-1] 의 모든 성분의 합은

[eqn: 2+(-1)+(-3)+3 =1]

<답> ④

4.

출제의도 : 확률의 성질을 이해하고 있는가?

두 사건 [eqn: A,```B] 가 독립이므로

[eqn: P(A SMALLINTERB) =P(A)P(B)]이다.

이 때

[eqn: P(A SMALLUNIONB) =P(A)+P(B)-P(A SMALLINTERB)]

이므로

[eqn: { 4} over {5 } = { 1} over {2 } +P(B)- { 1} over { 2}P(B)]

[eqn: THEREFORE```P(B) = { 3} over {5 }]

[eqn: THEREFORE``` P(A SMALLINTERB) = { 1} over { 2} TIMES { 3} over {5 } = { 3} over {10 }]

<답> ⑤

5.

출제의도 : 지수방정식의 해를 구할 수 있는가?

[eqn: 2^x +2^5-x =33]에서 양변에 [eqn: 2^x]을 곱하고 식을   정리하면

[eqn: (2^x )^2 -33 BULLET 2^x +32 =0]

[eqn: (2^x -1)(2^x -32) =0]

따라서 [eqn: 2^x =1] 또는 [eqn: 2^x =32] 이므로

[eqn: x=0] 또는 [eqn: x=5] 이다.

따라서 모든 실근의 합은 [eqn: 5]이다.

<답> ②

6.

출제의도 : 확률분포표에서 평균을 구할 수 있는가?

주어진 확률분포표에서 확률의 합은 1이므로

[eqn: a+ { 1} over {4 } +b =1,`````a+b= { 3} over {4 }] ---㉠

또 확률변수 [eqn: X]의 평균 [eqn: E(X)=5]이므로

[eqn: 1TIMESa +3 TIMES { 1} over {4 } +7 TIMESb =5 ,``````a+7b = { 17} over { 4}]  ---㉡

㉡[eqn: -]㉠ 을 계산하면

[eqn: 6b= { 14} over {4 } ``````````` THEREFORE ``b= { 7} over {12 }]

<답> ③

7.

출제의도 : 로그부등식을 풀 수 있는가?

메뉴가 10이고 항목이 [eqn: n]개씩이므로

걸리는 전체시간은

[eqn: 10 LEFT { 2+ { 1} over {3 } {rm log_2}` (n+1) RIGHT}]

이 때 [eqn: 10 LEFT { 2+ { 1} over {3 } {rm log_2}` (n+1) RIGHT } LEQ 30] 에서

[eqn: 2+ { 1} over {3 } {rm log_2}` (n+1) LEQ 3 ,` `````` {rm log_2}` (n+1) LEQ 3]

[eqn: n+1 LEQ 2^3 ,`````n LEQ 7]

따라서 [eqn: n]의 최댓값은 7이다.

<답> ①

8.

출제의도 : 등비수열의 일반항을 구할 수 있는가?

등비수열[eqn: left{a_n `right}] 의 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r]라고 하면

[eqn: S_2 =a_1 +a_2 =a(1+r)]  [eqn: S_4 = { a(r^4 -1)} over {r-1 } = { a(r-1)(r+1)(r^2 +1)} over {r-1 }]

[eqn: = a(r+1)(r^2 +1)]

이므로

[eqn: { S_4} over {S_2 } = { a(r+1)(r^2 +1)} over {a(r+1) } =r^2 +1 =9]

[eqn: THEREFORE ```r^2 =8]

따라서 [eqn: { a_4} over {a_2 } = { ar^3} over {ar } =r^2 =8]이다.

<답> ④

9.

출제의도 : 무한등비급수를 이용하여 도형의 넓이를 구할 수 있는가?

[eqn: R_1]에서 주어진 원의 반지름의 길이가 1이므로 넓이는 [eqn: pi] 이고 긴 대각선의 길이는 8이다.

이 때 [eqn: R_2]에서 새로 생긴 마름모의 긴 대각선의 길이가 3이므로 짧은 대각선의 길이는 [eqn: {3} over 2{}]

이다. 따라서 이 마름모 안에 새로 생긴 원의 반지름의 길이는 [eqn: { 3} over {8 }]이므로 [eqn: R_2]에 들어 있는 원의 넓이의 합은 [eqn: pi + 2 TIMES LEFT ( { 3} over {8 } RIGHT )^2 pi] 이다.

같은 방법으로 [eqn: R_n]에 들어 있는 모든 원의 넓이의 합[eqn: S_n]을 구하면

[eqn: S_n =pi +2 TIMES { 9} over {64 }pi +4 TIMES LEFT ( { 9} over {64 } RIGHT )^2 pi + ```CDOTS# ````+2^n-1 TIMES LEFT ( { 9} over {64 } RIGHT )^n pi]

[eqn: = { pi (1- LEFT ( { 9} over {32 } RIGHT ) ^n )} over {1-{ 9} over {32 } }]

[eqn: THEREFORE `` lim _{ n->inf} { S_n } = { pi} over {1- { 9} over {32 } } = { 32} over {23 } pi]

<답> ④

10.

출제의도 : 정적분을 활용하여 도형의 넓이를 구할 수 있는가 ?

[eqn: x^2 -x+2 =2] 에서 [eqn: x^2 -x=x(x-1)=0]이므로

곡선과 직선의 교점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 0]과 [eqn: 1]이다.

따라서 구하는 도형의 넓이는

[eqn: int _{ 0} ^{1 } { 2-(x^2 -x+2)} dx]  [eqn: =int _{ 0} ^{1 } { (-x^2 +x )} dx]

[eqn: = LEFT [ - { 1} over {3 } x^3 + { 1} over { 2}x^2 RIGHT ]_0 ^1]

[eqn: =`` - { 1} over {3 }+ { 1} over {2 } = { 1} over { 6}]

<답> ②

11.

출제의도 : 그래프로부터 함수의 좌극한과 우극한을 구할 수 있는가?

주어진 그래프에서

[eqn: lim_x->-1-0 "f(x)"} +f(0)+ lim_x->1+0 "f(x)"]

[eqn: = 1+2+(-1) =2]

<답> ⑤

12.

출제의도 : 확률의 성질을 활용하여 확률을

구할 수 있는가 ?

주사위 1개를 던져서 나오는 눈의 수가 6의 약수인 경우는 1, 2, 3, 6 이므로 나올 확률은 [eqn: { 4} over {6 } = { 2} over {3 }]

또 동전 3개를 동시에 던져서 앞면이 1개 나올 확률은 [eqn: { 3} over {8 }] 이고 동전 2개를 동시에 던져서 앞면이 1개 나올 확률은 [eqn: { 2} over {4}] 이다.

따라서 구하는 확률은

[eqn: { 2} over { 3} TIMES { 3} over { 8} + { 1} over {3 } TIMES { 2} over { 4} = { 1} over {4 } + { 1} over { 6} = { 5} over {12 }]

<답> ③

13.

출제의도 : 정적분의 성질을 알고 활용할 수 있는가?

ㄱ. [eqn: f(x)=x]라고 하면

[eqn: int _{ 0} ^{ 3} { x} dx = LEFT [ { 1} over { 2} x^2 RIGHT ]_0^3 = { 9} over {2 }]

[eqn: 3int _{ 0} ^{ 1} { x} dx = 3LEFT [ { 1} over { 2} x^2 RIGHT ]_0^1 = {3} over {2 }]

따라서 [eqn: int _{ 0} ^{ 3} { x} dx != 3int _{ 0} ^{ 1} { x} dx]  (거짓)

ㄴ. 정적분의 성질에 의하여 참이다.

ㄷ. [eqn: f(x)=x]라고 하면

[eqn: int _{ 0} ^{ 1} { x^2} dx = LEFT [ { 1} over {3} x^3RIGHT ]_0^1 = { 1} over {3 }]

[eqn: LEFT { int _{ 0} ^{ 1} { x} dx RIGHT }^2 = LEFT ( LEFT [ { 1} over { 2} x^2 RIGHT ]_0^1 RIGHT )^2 = {1} over {4 }]

따라서[eqn: int _{ 0} ^{ 1} { x^2} dx][eqn: != LEFT { int _{ 0} ^{ 1} { x} dx RIGHT }^2] (거짓)

따라서 보기 중 옳은 것은 ㄴ이다.

<답> ①

14.

출제의도 : 행렬의 연산을 할 수 있는가?

[eqn: B= pmatrix{ p&q#r &s }]라 하면 (가)에서

[eqn: pmatrix{ p&q#r &s }][eqn: pmatrix{ 1#-1 }= pmatrix{ p-q#r-s } = pmatrix{ 0#0 }]

∴ [eqn: p=q,~r=s]

∴ [eqn: B= pmatrix{ p&p#r &r }]

이때, (나)에서

[eqn: AB = pmatrix{ p+r&p+r#a(p+r) & a(p+r) } = 2 pmatrix{ 1&1#a&a }]

이므로 [eqn: p+r =2]이다.

또,

[eqn: BA = pmatrix{ p(1+a)&p(1+a)#r(1+a) & r(1+a) } = 4 pmatrix{ p&p#r&r }]

이므로 [eqn: 1+a = 4] 즉, [eqn: a=3]이다.

(∵ [eqn: 1+a != 4]이면 [eqn: p=0], [eqn: r=0]이므로 모순이다.)

따라서 [eqn: A+B= pmatrix{ 1+p&1+p#a+r&a+r }]의 (1, 2)성분과 (2, 1)성분의 합은

[eqn: 1+p +a+r = 1+a+(p+r)]

[eqn: = 1+3+2= 6]

<답> ③

15.

출제의도 : 곡선의 접선의 방정식을 구할 수 있는가 ?

[eqn: y`'= 3x^2]이므로 접점의 좌표를 A[eqn: (a, a^3 -2 )]라 하면 점 A에서의 접선의 방정식은

[eqn: y-alpha^3 +2 = 3alpha^2 (x-alpha)]

∴ [eqn: y= 3alpha^2 x - 2alpha^3 -2]

이 접선이 점 (0, -4)를 지나야 하므로

[eqn: -4 = -2alpha^3 -2]

∴ [eqn: alpha =-1]

따라서 접선의 방정식은 [eqn: y= 3x-4]이므로 [eqn: x]절편은	[eqn: a= 4over 3]

<답> ②

16.

출제의도 : 정규분포에서의 확률을 구할 수 있는가 ?

제품 A의 무게를 [eqn: X]라 하면 확률변수 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: N(m,1)]을 따르고, 제품 B의 무게를 [eqn: Y]라 하면 확률변수 [eqn: Y]는 정규분포 [eqn: N(2m,2^ 2 )]을 따른다.

이때,

[eqn: P (X ge k ) = P left( X-m over 1 ge k-m over 1 right)]

[eqn: = P (Z ge k-m )]

이고,

[eqn: P (Y le k ) = P left( Y-2m over 2 le k-2m over 2 right)]

[eqn: = P left(Z le k-2m over2 right)][eqn: = P left(Z ge - k-2m over2 right)]

이므로 두 확률이 같으려면

[eqn: k-m = - k-2m over 2]

이 성립해야 한다.

이때, [eqn: 2k-2m =-k+2m] 즉, [eqn: 3k = 4m]이므로 [eqn: k over m = 4over 3]이다.

<답> ⑤

17.

출제의도 : 상용로그의 지표와 가수를 이해할 수 있는가 ?

[eqn: log x = n +alpha] ([eqn: n]은 정수, [eqn: 0 le alpha < 1])이라 하면 [eqn: f(x) = n,~ g(x) =alpha]이다.

(가)에서 [eqn: 3 g(x) = 3alpha]의 값이 정수이어야 하므로 [eqn: alpha = 0] 또는 [eqn: alpha = 1over 3] 또는 [eqn: alpha = 2over 3]이다.

(i) [eqn: alpha = 0]일 때,

[eqn: log x^2 = 2logx = 2n]이므로 [eqn: f(x^2 ) =][eqn: 2n]이다.

따라서 (나)에서

[eqn: f(x) +f(x^2 ) = n+2n =6]

∴ [eqn: n=2]

따라서 [eqn: log x = 2+0]이므로

[eqn: x=10^2 ~]

(ii) [eqn: alpha = 1over3]일 때,

[eqn: log x^2 = 2logx = 2n + 2over 3]이므로 [eqn: f(x^2 ) =][eqn: 2n]이다.

따라서 (나)에서

[eqn: f(x) +f(x^2 ) = n+2n =6]

∴ [eqn: n=2]

따라서 [eqn: log x = 2+ 1over 3]이므로

[eqn: x=10^{2+ 1over 3}]

(iii) [eqn: alpha = 2over3]일 때,

[eqn: log x^2 = 2logx = 2n + 4over 3 = 2n+1 + 1over 3]이므로

[eqn: f(x^2 ) =][eqn: 2n+1]이다.

따라서 (나)에서

[eqn: f(x) +f(x^2 ) = n+2n+1 =6]

∴ [eqn: n= 5over 3]

이때, [eqn: n]은 정수가 아니므로 모순이다.

따라서 주어진 조건을 만족시키는 모든 [eqn: x]의 값의 곱은

[eqn: 10^2 times 10^{2+ 1over3} = 10^{4+ 1over 3} = 10^{13over3}]

<답> ②

18.

출제의도 : 삼차함수의 역함수가 존재할 조건을 구할 수 있는가 ?

삼차함수 [eqn: f(x)]의 역함수가 존재할 필요충분조건은 이차방정식

[eqn: f'(x) = x^2 -2ax +3a =0]

이 서로 다른 두 실근을 갖지 않는 것이다.

따라서 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: D over 4 = a^2 -3 a le 0]

이므로 [eqn: 0 le a le 3]이다.

따라서 상수 [eqn: a]의 최댓값은 3이다.

<답> ①

19.

출제의도 : 수열의 일반항을 구할 수 있는가?

[eqn: b_2 = (4a_1 -1 ) b_1 = 3]이므로

[eqn: b_n+2 - b_n+1 = b_n+1 - b_n = cdots = b_2 -b_1 =2]

따라서 등차수열 {[eqn: b_n]}은 첫째항이 1이고 공차가 2이므로

[eqn: b_n = 2n-1]

따라서 [eqn: b_n+1 = 2n+1]이므로 (*)에서

[eqn: 2n+1 = (4a_n -1 ) (2n-1)]

∴ [eqn: a_n = 1over 4 left( 2n+1 over 2n-1 +1 right) = n over 2n-1]

따라서 [eqn: f(n) = 2n-1], [eqn: g(n) = n over 2n-1]이므로

[eqn: f(14) times g(5) = 27 times 5 over 9 = 15]

<답> ①

20.

출제의도 : 함수가 연속일 조건을 구할 수 있는가 ?

함수 [eqn: y= "{"g(x)"}"^2]이 [eqn: x=0]에서 연속이므로

[eqn: lim_x->-0 "{"g(x)"}" ^2 = lim_x->+0 "{" g(x)"}"^2][eqn: ="{"g(0)"}"^2]

이 성립해야 한다.

이때 이차함수 [eqn: f(x)]는 연속함수이므로

[eqn: lim_x->-0 "{"g(x)"}" ^2][eqn: = lim_x->-0 "{"f(x+1)"}" ^2 = "{"f(1)"}"^2 = a^2],

[eqn: lim_x->+0 "{" g(x)"}"^2]

[eqn: = lim_x->-0 "{"f(x-1)"}" ^2 = "{"f(-1)"}"^2 = (2+a)^2],

[eqn: "{"g(0)"}"^2 = "{"f(1)"}"^2 = a^2]

이므로 [eqn: a^2 = (2+a)^2] 즉, [eqn: 4a+4=0]이어야 한다.

∴ [eqn: a=-1]

<답> ②

21.

출제의도 : 속도와 거리의 관계를 추론할 수 있는가 ?

ㄱ. [eqn: t=a]일 때, 물체 A의 높이는 [eqn: int_0^a f(t)dt]이고, 물체 B의 높이는 [eqn: int_0^a g(t)dt]이다.

이때, 주어진 그림에서

[eqn: int_0^a f(t)dt][eqn: >][eqn: int_0^a g(t)dt]

이므로 A가 B보다 높은 위치에 있다. (참)

ㄴ. [eqn: 0 le t le b]일 때 [eqn: f(t)- g(t) ge 0]이므로 시각 [eqn: t]에서의 두 물체 A, B의 높이의 차는 점점 커진다.

또, [eqn: b < t le c]일 때 [eqn: f(t) -g(t) < 0]이므로 시각 [eqn: t]에서의 두 물체 A, B의 높이의 차는 점점 줄어든다.

따라서 [eqn: t=b]일 때, 물체 A와 물체 B의 높이의 차가 최대이다. (참)

ㄷ. [eqn: int_0^c f(t)dt = int_0^c g(t) dt]이므로 [eqn: t=c]일 때, 물체 A와 물체 B는 같은 높이에 있다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

<답> ⑤

22.

출제의도 : 함수의 극한을 구할 수 있는가?

[eqn: lim_x->5 { x^2 -25} over {x-5 } = lim_x->5 { (x-5)(x+5)} over {x-5 }]

[eqn: = lim_x->5 ``( {x+5 }) =10]

<답> 10

23.

출제의도 : 등차수열의 일반항을 구할 수 있는가?

주어진 등차수열의 공차를 [eqn: d] 라 하면

[eqn: a_2 =a_1 +d =1]

[eqn: a_1 +a_6 = 2a_1 +5d =8]

따라서 위의 두 식을 연립하면

[eqn: a_1 =-1,```d=2]

[eqn: THEREFORE ```a_21 =a_1 +20d = -1+40 =39]

<답> 39

24. 출제의도 : 행렬의 성분을 구하고 행렬의    곱셈을 할 수 있는가?

[eqn: A=pmatrix {1 &0 #2 & 1 } ``,```````B=pmatrix {3 &4 #4 & 5 }]이므로

[eqn: AB=pmatrix {1 &0 #2 & 1 } pmatrix {3 &4 #4 & 5 } = pmatrix {3 &4 #10 & 13 }]

따라서 행렬 [eqn: AB]의 (2, 2)성분은 13이다.

<답> [eqn: 13]

25.

출제의도 : 무한수열의 극한을 구할 수 있는가?

[eqn: lim_n->inf (10n+1)b_n over a_n = lim_n->inf {(n^2 +1)b_n }over (n+1)a_n TIMES { (n+1)(10n+1)} over {n^2 +1 }]

[eqn: = {7} over {2 } lim _{ n->inf} { { 10+ { 11} over {n } + { 1} over {n^2 } } over { 1+{ 1} over {n^2 }} }]              [eqn: = { 7} over { 2} TIMES 10 =35]

<답> 35

26.

출제의도 :곱의 미분법을 이용하여 미분계수를 구할 수 있는가?

[eqn: f(x)=(x^3 +5)(x^2 -1)] 에서 [eqn: x]에 대하여 미분    하면

[eqn: f'(x)=3x^2 (x^2 -1) +2x(x^3 +5)]

따라서 [eqn: f'(1) = 2 TIMES 6 =12]

<답> 12

27.

출제의도 : 이항계수를 구할 수 있는가?

[eqn: x^3]의 계수는 [eqn: `_5 C_3 times a^2 = 10 a^2]이고,

[eqn: x^4]의 계수는 [eqn: `_5 C_4 times a = 5 a]이다.

따라서 [eqn: 10a^2 = 5a]에서

[eqn: a= 1over 2] (∵ [eqn: a>0])

∴ [eqn: 60 a = 30]

<답> 30

28.

출제의도 : 계차수열을 이용하여 수열의 극한을 구할 수 있는가?

[eqn: a_n = 12times left( 1over 3 right)^n-1] ([eqn: n =1,2,3,cdots])

점 [eqn: P_n]을 지나고 기울기가 [eqn: a_n]인 직선의 방정식은

[eqn: y-b_n ^2 = a_n (x+b_n )] 즉, [eqn: y= a_n x + a_n b_n +b_n ^2]

이 직선과 곡선 [eqn: y=x^2]의 교점의 [eqn: x]좌표는 방정식

[eqn: a_n x + a_n b_n + b_n ^2 = x^2] 즉,

[eqn: (x+b_n ) (x-a_n -b_n ) =0]의 실근이다.

∴ [eqn: b_n+1 = a_n +b_n] (∵[eqn: b_n+1 != - b_n])

이때, [eqn: b_n+1 - b_n = a_n]이므로 수열 {[eqn: b_n]}의 계차수열이 {[eqn: a_n]}이다.

∴ [eqn: b_n = b_1 + sum_k=1^n-1 a_k][eqn: = 1+ sum_k=1^n-1 a_k]

∴ [eqn: lim_n->inf b_n = 1+ lim_n->inf sum_k=1^n-1 a_k]

[eqn: = 1+ sum_k=1^inf 12 left( 1over 3 right)^k-1]

[eqn: = 1+ 12 over { 1- 1over3} = 1+ 18 = 19]

<답> 19

29.

출제의도 : 표본평균의 확률을 구할 수 있는가?

확률변수 [eqn: bar X]는 정규분포 [eqn: N left(50, sigma^2 over 16 right)]을 따르므로

[eqn: P( 50 le bar X le 56 )][eqn: = P left ( 50-50 over {sigma over 4} le {bar X - 50 } over {sigma over 4 } le {56-50 over {sigma over 4 } right) }]

[eqn: = P left ( 0 le Z le {24 over {sigma } right) }]

[eqn: = P ( 0 le Z le 1.5 )]

따라서 [eqn: 24 over sigma = 1.5]이므로

[eqn: sigma = 24 over 1.5 = 24times 2 over 3 = 16]

<답> 16

30.

출제의도 : 주어진 조건을 만족시키는 수열의 일반항을 추론할 수 있는가?

(i) [eqn: n=1]일 때

세 점 [eqn: (1,2^1 ),~(2,2^2 ) ,~(3,2^3 )]이 정사각형과 그 내부에 포함되는 경우이므로

[eqn: a_1 = 2times(2^3 - 2^1 ) = 12]

(ii) [eqn: n=2]일 때

세 점 [eqn: (1,2^1 ),~(2,2^2 ) ,~(3,2^3 )]이 정사각형과 그 내부에 포함되는 경우이므로

[eqn: a_2 = 2times(2^3 - 2^2 ) = 8]

(iii) [eqn: n ge 3]일 때

세 점 [eqn: (n-2,2^n-2 ),~(n-1,2^n-1 ) ,~(n,2^n )]이 정사각형과 그 내부에 포함되는 경우이므로

[eqn: a_n = 2times(2^n - 2^n-2 ) = 3times 2^n-1]

(i), (ii), (iii)에서

[eqn: sum_k=1^7 a_k = 12+8 + 3 (2^2 +2^3 +cdots+2^6 )]

[eqn: = 20 +3 times {2^2 (2^5 -1 )} over 2-1 = 20 + 12 times31 = 392]

<답>	392

참고

위의 풀이의 (iii)에서

세 점 [eqn: (n-1,2^n-1 ),~(n,2^n ) ,~(n+1,2^n+1 )]이 정사각형과 그 내부에 포함되는 경우에는 점 [eqn: (n-2 ,2^n-2 )]도 이 정사각형의 내부에 포함되므로 조건을 만족시키지 않는다.

마찬가지로, 세 점

[eqn: (n,2^n ) ,~(n+1,2^n+1 ) ,~ (n+2 ,2^n+2 )]이 정사각형과  그 내부에 포함되는 경우도 조건을 만족시키지 않는다.