2012학년도 대수능 9월 모의평가 수리영역 가형 정답 및 해설

1.

출제의도 : 로그의 성질을 활용하여 계산할 수 있는가?

[eqn: log_2 12 +log_2 { 4} over {3 } = log_2 (12 TIMES { 4} over {3 } ) = log_2 16]

[eqn: =log_2 2^4 =4]

<답> ④

2.

출제의도 : 두 벡터가 수직일 조건을 구할 수 있는가?

[eqn: veca cdot vecb = (x+1) times1 +2 (-x)]

[eqn: = -x+1 =0]

[eqn: therefore] [eqn: x=1]

<답> ①

3.

출제의도 : 역행렬을 구할 수 있는가?

[eqn: `A^-1 = { 1} over { 3} pmatrix{2&```-1#-3&```3}]이므로

[eqn: `3A^-1 = pmatrix{2&```-1#-3&```3}] 이다.

따라서 [eqn: `3A^-1] 의 모든 성분의 합은

[eqn: 2+(-1)+(-3)+3 =1]

<답> ④

4.

출제의도 : 독립인 두 사건 [eqn: A, B]에 대하여 [eqn: A INTER B]의 확률을 구할 수 있는가?

[eqn: P(A^C ) = 1- P(A) = 6 OVER 7]

[eqn: THEREFORE] [eqn: P(A) = 1 OVER 7]

또한,

[eqn: P( A UNIONB ) = P(A) + P(B) - P(A INTER B )]

[eqn: = P(A) + P(B) - P(A) P(B)]

에서

[eqn: 5 OVER 7 = 1 OVER 7 + P(B) - 1 OVER 7 P(B)], [eqn: 6 OVER 7 P(B) = 4 OVER 7]

[eqn: THEREFORE] [eqn: P(B) = 2 OVER 3]

<답> ⑤

5.

출제의도 : 두 직선이 이루는 각의 크기를 구할 수 있는가?

두 직선 [eqn: y=x], [eqn: y= -2x]가 [eqn: x]축과 이루는 양의 각의 크기를 각각 [eqn: theta_1], [eqn: theta_2]라고 하면

[eqn: tan theta_1 = 1], [eqn: tan theta_2 = -2]

[eqn: therefore] [eqn: tan theta = | tan (theta_1 - theta_2 )|]

[eqn: = | {tantheta_1 - tantheta_2} over {1+ tantheta_1 tantheta_2} |]

[eqn: = |{1-(-2)} over {1+ 1 times(-2)}|]

[eqn: = 3]

<답> ④

6.

출제의도 : 원순열에 대한 경우의 수를 구할 수 있는가?

A와 B를 한 묶음으로 생각해서 5개를 원형의 실험기구에 넣는 경우의 수는

[eqn: (5-1)! = 4! = 24]

또한, A와 B가 자리를 바꾸는 경우의 수는 [eqn: 2! = 2]

따라서 구하고자 하는 경우의 수는

[eqn: 24 TIMES 2 = 48]

<답> ②

7.

출제의도 : 로그부등식을 풀 수 있는가?

메뉴가 10이고 항목이 [eqn: n]개씩이므로

걸리는 전체시간은

[eqn: 10 LEFT { 2+ { 1} over {3 } {rm log_2}` (n+1) RIGHT}]

이 때 [eqn: 10 LEFT { 2+ { 1} over {3 } {rm log_2}` (n+1) RIGHT } LEQ 30] 에서

[eqn: 2+ { 1} over {3 } {rm log_2}` (n+1) LEQ 3 ,` `````` {rm log_2}` (n+1) LEQ 3]

[eqn: n+1 LEQ 2^3 ,`````n LEQ 7]

따라서 [eqn: n]의 최댓값은 7이다.

<답> ①

8.

출제의도 : 합성변환에서 점을 옮길 수 있는가?

합성변환 [eqn: f circ g]를 나타내는 행렬은

2012학년도 대수능 9월 모의평가 수리영역 가형 정답 및 해설

[eqn: pmatrix{-1&3#0&-1} pmatrix{3&1#1&0} = pmatrix{0&-1#-1&0}]

이므로 합성변환  [eqn: f circ g]에 의하여 점 (-1, 1)이 옮겨지는 점의 좌표는

[eqn: pmatrix{0&-1#-1&0} pmatrix{-1#1} = pmatrix{-1#1}]

즉, (-1, 1) 이다.

<답> ①

9.

출제의도 : 연속일 조건을 구할 수 있는가?

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=0]에서 연속이므로

[eqn: a= lim _{ x->0} f(x)]

[eqn: = lim _{ x->0} {e^3x -1 } over {x(e^x + 1)}]

[eqn: = lim _{ x->0}( { e^3x - 1} over 3x times 3 over {e^x + 1} )]

[eqn: = 1 times 3 over 2 = 3 over 2]

<답> ②

10.

출제의도 : 조건부확률을 이용하여 외

적인 상황에서 확률을 구할 수 있는가?

남학생을 선택하는 사건을 [eqn: A], 여학생을 선택하는 사건을 [eqn: B], 자격증 K를 가지고 있는 학생을 선택하는 사건을 [eqn: C]라고 하면

[eqn: P(A) = 2 OVER 5], [eqn: P(B) = 3 OVER 5], [eqn: P(C) = 7 OVER 10]

또한, [eqn: P(A INTER C ) = 1 OVER 5] 이므로

[eqn: P(A) = P(A INTER C ) + P(A INTER C^C )]

[eqn: 2 OVER 5 = 1 OVER 5 + P(A INTER C^C )]

[eqn: THEREFORE] [eqn: P(A INTER C^C ) = 1 OVER 5]

따라서 [eqn: P(C^C ) = 1-P( C) = 3 OVER 10] 이므로

[eqn: P(C^C )= P(A INTER C^C ) + P(B INTER C^C )]

[eqn: 3 OVER 10 = 1 OVER 5 + P( B INTER C^C )]

[eqn: THEREFORE] [eqn: P(B INTER C^C ) = 1 OVER 10]

[eqn: THEREFORE] [eqn: P(B|C^C ) = {P(B INTER C^C )} OVER {P(C^C )} = {1 OVER 10} OVER {3 OVER 10} = 1 OVER 3]

<답> ②

11.

출제의도 : 그래프를 통하여 합성함수의 극한값을 구할 수 있는가?

[eqn: lim _{ x->+0} f(f(x)) = lim _{ t->3-0} f(t) = 3]

[eqn: lim _{ x->2+0} f(f(x)) = f(3) = 2]

[eqn: therefore] [eqn: lim _{ x->+0} f(f(x)) + lim _{ x->2+0} f(f(x))]

[eqn: =3+2= 5]

<답> ⑤

12.

출제의도 : 그래프를 통하여 무리방정식의 실근의 합을 구할 수 있는가?

[eqn: f(-x) =t]라고 하면

[eqn: roott+5 = t-1]

양변을 제곱하면

[eqn: t+5 = t^2 - 2t+1], [eqn: t^2 -3t-4 =0]

[eqn: (t-4)(t+1)=0]

[eqn: therefore] [eqn: t=-1] 또는 [eqn: t=4]

이때, [eqn: t=-1]은 무연근이므로

[eqn: t= f(-x)=4]…㉠

따라서 [eqn: y= f(-x)]의 그래프와 직선

[eqn: y=4]의 교점의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: alpha , beta]라고 하면 그림과 같다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: alpha]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: y=f(-x)]

[eqn: 2]

[eqn: -2]

[eqn: 4]

[eqn: y=4]

[eqn: O]

[eqn: beta]

즉, ㉠을 만족하는 [eqn: x]의 값의 합은

[eqn: alpha+beta over 2 = 2]  [eqn: therefore] [eqn: alpha+beta = 4]

<답> ⑤

13.

출제의도 : 타원의 방정식을 구하고 타원의 정의를 활용할 수 있는가?

조건을 만족하는 타원의 방정식을

[eqn: x^2 over a^2 + y^2 over b^2 = 1] [eqn: (a>b>0]) 라 하면

[eqn: 2a= 10], [eqn: 2b = 6] [eqn: therefore] [eqn: a=5], [eqn: b=3]

따라서, 두 초점 [eqn: F, F']의 좌표를 각각 [eqn: (c, 0)], [eqn: (-c, 0)] ([eqn: c>0])라 하면

[eqn: F( ROOT{5^2 - 3^2} , 0 )], [eqn: F'( -ROOT{5^2 - 3^2} , 0 )]

즉, [eqn: F(4, 0)], [eqn: F'(-4, 0)] 이다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: O]

[eqn: F]

[eqn: F']

[eqn: P]

[eqn: 5]

[eqn: 4]

[eqn: -5]

[eqn: -4]

[eqn: H]

이때, [eqn: BARFF' = BARFP = 8], [eqn: BARPF + BARPF' = 10]이므로

[eqn: BARF'P = 2] 이고 점 [eqn: F]에서 선분 [eqn: PF']에 내린 수선의 발을 [eqn: H]라 하면

[eqn: BARFH = ROOT{8^2 - 1^2} = 3ROOT7]

따라서 구하고자 하는 삼각형 [eqn: PFF']의 넓이는

[eqn: 1 OVER 2 TIMES 2 TIMES 3 ROOT7 = 3ROOT7]

<답> ④

14.

출제의도 : 행렬의 연산을 할 수 있는가?

[eqn: B= pmatrix{ p&q#r &s }]라 하면 (가)에서

[eqn: pmatrix{ p&q#r &s }][eqn: pmatrix{ 1#-1 }= pmatrix{ p-q#r-s } = pmatrix{ 0#0 }]

∴ [eqn: p=q,~r=s]

∴ [eqn: B= pmatrix{ p&p#r &r }]

이때, (나)에서

[eqn: AB = pmatrix{ p+r&p+r#a(p+r) & a(p+r) } = 2 pmatrix{ 1&1#a&a }]

이므로 [eqn: p+r =2]이다.

또,

[eqn: BA = pmatrix{ p(1+a)&p(1+a)#r(1+a) & r(1+a) } = 4 pmatrix{ p&p#r&r }]

이므로 [eqn: 1+a = 4] 즉, [eqn: a=3]이다.

(∵ [eqn: 1+a != 4]이면 [eqn: p=0], [eqn: r=0]이므로 모

순이다.)

따라서 [eqn: A+B= pmatrix{ 1+p&1+p#a+r&a+r }]의 (1, 2)성분과 (2, 1)성분의 합은

[eqn: 1+p +a+r = 1+a+(p+r)]

[eqn: = 1+3+2= 6]

<답> ③

15.

출제의도 : 직선과 평면의 위치관계, 직선과 직선의 위치 관계를 파악할 수 있는가?

ㄱ. [eqn: BARAC BOT BARAD], [eqn: BARAC BOT BARAB] 이므로

[eqn: BARAC BOT (평면ABP)]

따라서 삼각형 [eqn: ACP]는 [eqn: BARAC = BARAP] 이고 [eqn: ANGLE C AP = 90DEG]인 직각삼각형이므로

[eqn: BARCP = ROOT{{BARAC}^2 + {BARAP}^2}}]

[eqn: = ROOT{2 {BARAP}^2}]

[eqn: = ROOT{2 BARBP ^2} = ROOT2 BARBP] (참)

ㄴ. 세 점 [eqn: A, B, C]는 한 평면 위에 있으면서 일직선 위에 있지 않고, 점 [eqn: P]는 그 평면 위의 점이 아니므로 직선 [eqn: AB]와 직선 [eqn: CP]는 만나지 않는다. 즉, 직선 [eqn: AB]와 직선 [eqn: CP]는 꼬인 위치에 있다. (참)

ㄷ. ㄱ에서 [eqn: BARAC BOT (평면ABP)] 이므로

[eqn: BARAC BOT BARPM]

또한, [eqn: BARPM BOT BARAB] 이므로

[eqn: barPM BOT (평면ABC)]

따라서 직선 [eqn: PM]과 직선 [eqn: BC]는 서로 수직이다. (참)

<답> ⑤

16.

출제의도 : 정적분의 성질과 부분적분법을 이용하여 두 영역의 넓이가 같을 조건을 구할 수 있는가?

[eqn: int_0^k x sinx dx = int_k^{pi over 2} ( pi over 2 - x sinx dx ) dx]

[eqn: int_0^k x sinx dx = int_k^{pi over 2} pi over 2 dx - int_k^{pi over 2 } x sinx dx]

[eqn: int_0^k x sinx dx + int_k^{pi over 2 } x sinx dx = int_k^{pi over 2} pi over 2 dx]

[eqn: int_0^{pi over 2} x sinx dx = int_k^{pi over 2} pi over 2 dx]

이때, [eqn: f(x)= x], [eqn: g``'(x)= sinx]라고 하면

[eqn: f``'(x)=1], [eqn: g(x)= - cosx] 이므로

(좌변)[eqn: = [ - x cosx ]_0^{pi over 2} - int_0^{pi over 2} (- cosx)dx]

[eqn: = int_0^{pi over 2} cos x`dx]

[eqn: = [ sinx]_0^{pi over 2} = 1]

(우변)[eqn: = [ pi over 2 x ]_k^{pi over 2} = pi^2 over 4 - pi over 2 k]

따라서 [eqn: 1 = pi^2 over 4 - pi over 2 k] 이므로

[eqn: pi over 2 k = pi^2 over 4 - 1]

[eqn: therefore] [eqn: k = pi over 2 - 2 over pi]

<답> ③

17.

출제의도 : 표본평균의 분포를 이용하여 확률을 계산할 수 있는가?

[eqn: X`]는 정규분포 [eqn: N(m,`30^2 )`]을 따르므로

크기가 [eqn: 9`]인 표본평균 [eqn: bar X`]에 대하여

[eqn: E( bar X ) = m`], [eqn: sigma ( bar X )` = 30 over root9 = 10`]

따라서, [eqn: bar X`]는 정규분포 [eqn: N(m`,``10^2 )`]을 따른다.

[eqn: G(k) = P ( X ≤ m+30k )`]

[eqn: = P left( Z ≤ m+30k-m over 30 `right)`]

[eqn: = P (Z≤ k`)`]

[eqn: H(k) = P ( bar X ≥ m-30k )`]

[eqn: = P left( Z ≥ m-30k-m over10 `right)`]

[eqn: = P ( Z`≥ `-3k` )`]

ㄱ. [eqn: G(0) = P(Z≤0) = 0.5`]

[eqn: H(0) = P(Z≥0) = 0.5`]

∴ [eqn: G(0) = H(0)`] (참)

ㄴ. [eqn: G(3) = P(Z ≤3 ) = 0.5 + P(0 ≤ Z ≤ 3 )`]

[eqn: H(1) = P(Z ≥ -3 )` = P(-3 ≤ Z ≤ 0) + 0.5`]

[eqn: = P(0 ≤ Z ≤ 3 ) + 0.5`]

∴ [eqn: G(3) = H(1)`] (참)

ㄷ. [eqn: G(1) = P(Z≤1 )`], [eqn: H(-1 ) = P( Z ≥3 )`]

이므로

[eqn: G(1) + H(-1) = P( Z ≤ 1) + P(Z ≥ 3 )`]

[eqn: = 1- P(1≤Z≤ 3)`]

[eqn: P(1 ≤ Z ≤ 3 ) > 0`]이므로

[eqn: G(1) + H(-1) `<1`] (거짓)

따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

<답> ③

18.

출제의도 : 좌표공간에서 두 직선의 교점의 좌표를 구할 수 있는가?

직선 [eqn: AB`]의 방정식은

[eqn: x-0 over 1 = y+1 over 2 = z-1 over -1`]

즉, [eqn: x = y+1 over 2 = 1-z`]

점 [eqn: (a,`b,`0)`]을 지나고 [eqn: z`]축에 평행한 직선 [eqn: l`]의 방정식은

[eqn: x=a ,``y= b`]

이므로 직선 [eqn: AB`]와 직선 [eqn: l`]의 교점의 좌표를 [eqn: C(a,`b,`c )`]로 놓을 수 있다.

점 [eqn: C`]는 직선 [eqn: AB`] 위의 점이므로

[eqn: a = b+1 over 2 = 1-c`]

따라서, [eqn: a = b+1 over 2 `]에서 [eqn: b= 2a-1`]이고

점 [eqn: (a,`b,`0`)`]이 원 [eqn: x^2 + y^2 =13`] 위의 점이므로

[eqn: a^2 + b^2 = 13`]

∴ [eqn: a^2 + (2a-1)^2 = 13`]

[eqn: 5a^2 - 4a-12=0`], [eqn: (a-2)(5a+6)=0`]

[eqn: a<0`]이므로 [eqn: a = - 6 over 5`]

∴ [eqn: b = 2a-1 = 2 cdot left( - 6over 5 right) -1 = - 17 over 5`]

∴ [eqn: a+b = - 6over 5 + left( - 17 over 5 right) = - 23 over 5`]

<답> ②

19.

출제의도 : 수열의 일반항을 구할 수 있는가 ?

[eqn: b_2 = (4a_1 -1 ) b_1 = 3]이므로

[eqn: b_n+2 - b_n+1 = b_n+1 - b_n = cdots = b_2 -b_1 =2]

따라서 등차수열 {[eqn: b_n]}은 첫째항이 1이고 공차가 2이므로

[eqn: b_n = 2n-1]

따라서 [eqn: b_n+1 = 2n+1]이므로 (*)에서

[eqn: 2n+1 = (4a_n -1 ) (2n-1)]

∴ [eqn: a_n = 1over 4 left( 2n+1 over 2n-1 +1 right) = n over 2n-1]

따라서 [eqn: f(n) = 2n-1], [eqn: g(n) = n over 2n-1]이므로

[eqn: f(14) times g(5) = 27 times 5 over 9 = 15]

<답> ①

20.

출제의도 : 정적분과 미분의 관계를 이용하여 함숫값을 구할 수 있는가?

조건(나)에서

[eqn: cos x `int_0^x`f(t)`dt` = - sin x `int_{pi over 2 }^x`f(t)`dt`]

양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면

[eqn: - sin x `int_0^x`f(t)`dt`+ cos x` cdotf(x)`]

[eqn: = - cos x `int_{pi over 2 }^x`f(t)`dt` - sin x cdot``f(x)`]

등식의 양변에 [eqn: x= pi over 4`]를 대입하면

[eqn: - root2 over 2 int_0^{ pi over 4 }` f(t)`dt` + root2 over 2 `f left( pi over 4 right)`]

[eqn: = - root2 over 2 int_{pi over 2}^{pi over 4 }`f(t)`dt` - root2 over 2` f left( pi over 4 right)`]

[eqn: root2` f left( pi over 4 right) = root2 over 2 int_0^{ pi over 4 }`f(t)`dt` + root2 over 2 int_{ pi over 4 }^{pi over 2 }`f(t)`dt`]

[eqn: = root2 over 2 int_0^{ pi over 2 } `f(t`)dt`]

[eqn: = root2 over 2 times 1 `] (∵ 조건(가) )

∴ [eqn: f left( pi over 4 right) = root2 over2 times 1over root2` = 1 over 2`]

<답> ④

21.

출제의도 : 합성함수의 미분법을 이용하여 미지수를 구할 수 있는가?

ㄱ. [eqn: alpha ,``beta ,``gamma`]는 방정식 [eqn: f(x) = x`]의 근이므로

[eqn: f(alpha ) = alpha`], [eqn: f ( beta ) = beta], [eqn: f( gamma ) = gamma`]

∴ [eqn: f(f(alpha)) = f(alpha)= alpha`]

[eqn: f(f(beta ) ) = f(beta )= beta`]

[eqn: f(f( gamma)) = f(gamma ) = gamma`]

따라서, [eqn: alpha ,`beta ,` gamma`]는 방정식 [eqn: f(f(x)) = x`]의 근이다. (참)

ㄴ. [eqn: f(x) - x`]가 삼차식이므로

[eqn: h(x) = px^2 + qx+r`]로 놓을 수 있다.

∴ [eqn: f(f(x)) = left{ f(x) - x` right}` g(x) + h(x)`]

[eqn: = left{ f(x) - x `right} `g(x) + px^2 + qx+r`]

[eqn: f(f(alpha )) = p alpha^2 + q alpha + r = alpha`] [eqn: cdots㉠`]

[eqn: f(f(beta )) = p beta^2 + q beta + r = beta``] [eqn: cdots㉡]

[eqn: f(f( gamma )) = p gamma^2 + q gamma + r = gamma`] [eqn: cdots㉢]

㉠-㉡에서 [eqn: p (alpha^2 - beta^2 ) + q (alpha - beta ) = alpha - beta`]

[eqn: alpha ne beta`]이므로 [eqn: p (alpha + beta ) + q = 1`] [eqn: cdots㉣`]

㉡-㉢에서 [eqn: p (beta^2 - gamma^2 ) + q ( beta - gamma ) = beta - gamma`]

[eqn: beta ne gamma`]이므로 [eqn: p ( beta + gamma ) + q = 1`] [eqn: cdots㉤`]

㉣-㉤에서 [eqn: p (alpha - gamma ) =0`]

[eqn: alpha ne gamma`]이므로 [eqn: p=0`]

㉣에서 [eqn: q = 1`]

㉠에서 [eqn: alpha + r = alpha`]이므로 [eqn: r=0`]

∴ [eqn: h(x) = x`] (참)

ㄷ. [eqn: f(f(x)) = left{ f(x) - x right} `g(x) + x`] [eqn: cdots(*)`]

조건(나),(다)에서

[eqn: f(3) = 7`], [eqn: f(f(3)) = 5`]이므로

[eqn: f(f(3)) = left{ f(3) - 3 right}` g(3) + 3`]에서

[eqn: 5 = (7-3) g(3) + 3`]  ∴ [eqn: g(3) = 1over2`]

[eqn: (*)`]의 양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면

[eqn: f`'(f(x))` f`'(x) `]  [eqn: = left{ f`'(x) - 1`right} `g(x) + left{ f(x) - x `right} `g`'(x) +1`]

[eqn: x=3`]을 대입하면

[eqn: f`'(f(3)) `f`'(3) `]

[eqn: = left{ f`'(3) -1 `right}` g(3) + left{ f(3) - 3 `right}` g`'(3) +1`]

조건(나)에서 [eqn: f`'(3) = 0`]이므로

[eqn: 0` = (0-1 ) times 1over2 + (7-3) `g`'(3) +1`]

[eqn: 4 `g'(3) = - 1over2`]

∴ [eqn: g`'(3) = - 1over8`] (거짓)

따라서, 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

<답> ③

22.

출제의도 : 로그함수의 미분법을 이용하여 미분계수를 구할 수 있는가?

[eqn: f(x)= ln `(2x-1)`]에서

[eqn: f`'(x) = 2 over 2x-1`]이므로

[eqn: f`'(10) = 2 over 19`]

∴ [eqn: p+q = 19+2 = 21`]

<답> [eqn: 21`]

23.

출제의도 : 확률밀도함수의 성질을 이용하여 미지수의 값을 구할 수 있는가?

[eqn: int_0^1`f(x)`dx` = 1`]이므로

[eqn: int_0^1` (ax+b)` dx = left[ a over 2 x^2 + bx right]_0^1` = a over 2 +b = 1`]

∴ [eqn: a+2b = 2`] [eqn: cdots㉠`]

[eqn: E(X) = int_0^1`x`f(x)`dx = 7 over 12`]이므로

[eqn: int_0^1` (ax^2 + bx )`dx = left[ a over 3 x^3 + b over 2 x^2 right]_0^1`]

[eqn: = a over 3 + b over 2 = 7 over 12`]

∴ [eqn: 4a+6b = 7`] [eqn: cdots㉡`]

㉠,㉡을 연립하여 풀면

[eqn: a=1 ,``b= 1over2`]

∴ [eqn: 80 ab = 80 times 1 times 1over2 = 40`]

<답> [eqn: 40`]

24.

출제의도 : 분수부등식의 해를 구할 수 있는가?

[eqn: 1over x + 1over x-8` ≤ 0`]

⇔ [eqn: 2x-8 over { x(x-8)}`≤`0]

⇔ [eqn: x(x-4)(x-8)`≤`0` ,```x ne 0 ,```x ne 8`]

[eqn: x`]

[eqn: -]

[eqn: -]

[eqn: +]

[eqn: +]

[eqn: 8]

[eqn: 4]

[eqn: 0]

◦

◦

•

따라서, 주어진 부등식의 해는

[eqn: x<0] 또는 [eqn: 4 ≤ x `< 8`]

이므로 자연수 [eqn: x`]는 [eqn: 4,``5,``6,``7`]이고,

구하는 합은 [eqn: 4+5+6+7 = 22`]이다.

<답> [eqn: 22`]

25.

출제의도 : 무한수열의 극한을 구할 수 있는가?

[eqn: lim_n->inf (10n+1)b_n over a_n = lim_n->inf {(n^2 +1)b_n }over (n+1)a_n TIMES { (n+1)(10n+1)} over {n^2 +1 }]

[eqn: = {7} over {2 } lim _{ n->inf} { { 10+ { 11} over {n } + { 1} over {n^2 } } over { 1+{ 1} over {n^2 }} }]              [eqn: = { 7} over { 2} TIMES 10 =35]

<답> 35

26.

출제의도 : 쌍곡선의 접선의 방정식을 구할 수 있는가?

쌍곡선 [eqn: x^2 over 12 - y^2 over 8 = 1`] 위의 점 [eqn: (a,``b)`]에서의 접선의 방정식은

[eqn: ax over 12 - by over 8 = 1`]

이고, 접선이 타원 [eqn: {(x-2)^2} over 4 + y^2 = 1`]의 넓이를 이등분하므로 접선은 타원의 중

심 [eqn: (2,`0)`]을 지난다.

따라서, [eqn: 2a over 12 - 0 = 1`]에서 [eqn: a = 6`]

또한, [eqn: a^2 over12 - b^2 over 8 = 1`]이므로

[eqn: 36 over12 - b^2 over 8 = 1`]에서 [eqn: b^2 over 8 = 2`], [eqn: b^2 = 16`]

∴ [eqn: a^2 + b^2 = 36 + 16 = 52`]

<답> [eqn: 52`]

27.

출제의도 : 삼각함수의 합성을 이용하여 최댓값을 구할 수 있는가?

삼각형 [eqn: ABD`]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: bar BD`^2 = 1^2 + 1^2 - 2 cdot 1 cdot 1 cdot cos theta`]

[eqn: = 2- 2 cos theta`]

삼각형 [eqn: BCD`]는 정삼각형이므로

삼각형 [eqn: BCD`]의 넓이는

[eqn: root3 over 4 times bar BD`^2` = root3 over 4 (2- 2 cos theta )`]

[eqn: = root3 over 2 (1- cos theta )`]

삼각형 [eqn: ABD`]의 넓이는

[eqn: 1over 2 times 1 times1 times sin theta`= 1over2 `sin theta`]

이므로 사각형 [eqn: ABCD`]의 넓이 [eqn: S`]는

[eqn: S = 1over 2 `sin theta + root3 over2 (1- cos theta )`]

[eqn: = 1over 2 `sin theta - root3 over 2 `cos theta + root3 over2`]

[eqn: = sin left( theta - pi over 3 right) + root3 over2`]

따라서, [eqn: S`]는 [eqn: theta - pi over 3 = pi over 2`] 즉, [eqn: theta = 5over 6 pi`]일

때 최댓값을 갖는다.

∴ [eqn: 60 sin^2 theta` = 60 `sin^2 5over6 pi`]

[eqn: = 60 times left( 1over2 right)^2`]

[eqn: = 15`]

<답> [eqn: 15`]

28.

출제의도 : 계차수열을 이용하여 수열의 극한을 구할 수 있는가?

[eqn: a_n = 12times left( 1over 3 right)^n-1] ([eqn: n =1,2,3,cdots])

점 [eqn: P_n]을 지나고 기울기가 [eqn: a_n]인 직선의 방정식은

[eqn: y-b_n ^2 = a_n (x+b_n )] 즉, [eqn: y= a_n x + a_n b_n +b_n ^2]

이 직선과 곡선 [eqn: y=x^2]의 교점의 [eqn: x]좌표는 방정식

[eqn: a_n x + a_n b_n + b_n ^2 = x^2] 즉,

[eqn: (x+b_n ) (x-a_n -b_n ) =0]의 실근이다.

∴ [eqn: b_n+1 = a_n +b_n] (∵[eqn: b_n+1 != - b_n])

이때, [eqn: b_n+1 - b_n = a_n]이므로 수열 {[eqn: b_n]}의 계차수열이 {[eqn: a_n]}이다.

∴ [eqn: b_n = b_1 + sum_k=1^n-1 a_k][eqn: = 1+ sum_k=1^n-1 a_k]

∴ [eqn: lim_n->inf b_n = 1+ lim_n->inf sum_k=1^n-1 a_k]

[eqn: = 1+ sum_k=1^inf 12 left( 1over 3 right)^k-1]

[eqn: = 1+ 12 over { 1- 1over3} = 1+ 18 = 19]

<답> 19

29.

출제의도 : 두 평면이 이루는 각을 구

하여 정사영의 넓이를 구할 수 있는가?

점 [eqn: P`]가 선분 [eqn: AC`]를 [eqn: 1``:``2`]로 내분하는 점이고, 점 [eqn: C`]에서 평면 [eqn: alpha`]에 이르는 거리가 [eqn: 3]이므로 점 [eqn: P`]에서 평면 [eqn: alpha`]에 이르는 거리는 [eqn: 1`]이다.

따라서, 직선 [eqn: PB`]는 평면 [eqn: alpha`]와 평행하다.

삼각형 [eqn: ABC`]와 평면 [eqn: alpha`]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta`]라고 하자.

평면 [eqn: alpha`]에 평행하고 직선 [eqn: PB`]를 포함하는 평면을 [eqn: beta`]라고 하면

삼각형 [eqn: PBC`]와 평면 [eqn: beta`]가 이루는 각의 크기도 [eqn: theta`]이다.

[eqn: Q]

[eqn: D]

[eqn: C]

[eqn: B]

[eqn: P]

[eqn: x]

[eqn: theta]

[eqn: beta]

점 [eqn: C`]에서 직선 [eqn: PB`]에 내린 수선의 발을 [eqn: D`]라 하고, 점 [eqn: C`]에서 평면 [eqn: beta`]에 내린 수선의 발을 [eqn: Q``]라 하자.

삼수선의 정리에 의하여 [eqn: bar DQ` ⊥`bar PB`]이므로

[eqn: ∠ CDQ = theta`]이다.

[eqn: bar CQ = 3-1 = 2`]이므로

[eqn: bar CD = x`]라 하면 [eqn: sin theta = 2 over x`]이다.

삼각형 [eqn: ABC`]의 넓이가 [eqn: 9`]이므로

삼각형 [eqn: PBC`]의 넓이는 [eqn: 9 times 2 over 3 = 6`]

따라서, [eqn: 1over 2 times bar PB` times x = 6`]에서

[eqn: 1over 2 times 4 times x = 6`], [eqn: x = 3`]

∴ [eqn: sin theta = 2over 3`]

∴ [eqn: cos theta = root{ 1- sin^2 theta } = root{ 1- 4over9} = root5 over 3`]

따라서, 삼각형 [eqn: ABC`]의 평면 [eqn: alpha`] 위로의 정사영의 넓이 [eqn: S`]는

[eqn: S = 9 cos theta = 9 times root5 over 3 = 3root5`]

∴ [eqn: S^2 = 45`]

<답> [eqn: 45`]

30.

출제의도 : 주어진 조건을 만족시키는 수열의 일반항을 추론할 수 있는가?

(i) [eqn: n=1]일 때

세 점 [eqn: (1,2^1 ),~(2,2^2 ) ,~(3,2^3 )]이 정사각형과 그 내부에 포함되는 경우이므로

[eqn: a_1 = 2times(2^3 - 2^1 ) = 12]

(ii) [eqn: n=2]일 때

세 점 [eqn: (1,2^1 ),~(2,2^2 ) ,~(3,2^3 )]이 정사각형과 그 내부에 포함되는 경우이므로

[eqn: a_2 = 2times(2^3 - 2^2 ) = 8]

(iii) [eqn: n ge 3]일 때

세 점 [eqn: (n-2,2^n-2 ),~(n-1,2^n-1 ) ,~(n,2^n )]이 정사각형과 그 내부에 포함되는 경우이므로

[eqn: a_n = 2times(2^n - 2^n-2 ) = 3times 2^n-1]

(i), (ii), (iii)에서

[eqn: sum_k=1^7 a_k = 12+8 + 3 (2^2 +2^3 +cdots+2^6 )]

[eqn: = 20 +3 times {2^2 (2^5 -1 )} over 2-1 = 20 + 12 times31 = 392]

<답>	392

참고

위의 풀이의 (iii)에서

세 점 [eqn: (n-1,2^n-1 ),~(n,2^n ) ,~(n+1,2^n+1 )]이 정사각형과 그 내부에 포함되는 경우에는 점 [eqn: (n-2 ,2^n-2 )]도 이 정사각형의 내부에 포함되므로 조건을 만족시키지 않는다.

마찬가지로, 세 점

[eqn: (n,2^n ) ,~(n+1,2^n+1 ) ,~ (n+2 ,2^n+2 )]이 정사각형과  그 내부에 포함되는 경우도 조건을 만족시키지 않는다.