2011학년도 9월 고2 전국연합학력평가

정답 및 해설

고 2	정답 및 해설	2011학년도 9월 전국연합학력평가

2011학년도 9월 전국연합학력평가	정답 및 해설	고 2

24

수리 영역

“나”형 정답

1	⑤	2	①	3	③	4	②	5	①
6	③	7	④	8	⑤	9	⑤	10	④
11	④	12	③	13	②	14	⑤	15	①
16	⑤	17	②	18	⑤	19	④	20	⑤
21	③	22	[eqn: 14]	23	[eqn: 16]	24	[eqn: 30]	25	[eqn: 4]
26	[eqn: 15]	27	[eqn: 47]	28	[eqn: 3]	29	[eqn: 30]	30	[eqn: 6]

해설

1. [출제의도] 로그 계산하기

[eqn: log _{4} sqrt {8} -log _{{1} over {2}} 4``= {3} over {4} `log _{2} 2+2log _{2} 2= {11} over {4} `]

2. [출제의도] 행렬 계산하기

[eqn: 2X=3B-A]

[eqn: =3 {pmatrix{```1``&-2``#```3``&````````1``}} - {pmatrix{`````1&-2``#-5&````````3``}} `= {pmatrix{2&-4``#```14```&`````0}}]

[eqn: THEREFORE ```X= {pmatrix{``1``&-2``#7&```````0``}} `]

3. [출제의도] 지수 계산하기

[eqn: root {3} of {243} TIMES LEFT ( {1} over {9} RIGHT ) ^{{1} over {3}} =3 ^{{5} over {3}} TIMES 3 ^{- {2} over {3}} =3]

4. [출제의도] 주어진 행렬의 성질 이해하기

이차방정식 [eqn: x ^{2} -2(i+j)x+9=0]의 판별식이

[eqn: D/4= LEFT ( i+j RIGHT ) ^{2} -9`]이므로

(ⅰ) [eqn: (1,~1)]성분 [eqn: D/4=`-5<0`], [eqn: a _{11} =0]

(ⅱ) [eqn: (1,~2)]성분 [eqn: D/4=0`], [eqn: a _{12} =1]

(ⅲ) [eqn: (2,~1)]성분 [eqn: D/4=0`], [eqn: a _{21} =1]

(ⅳ) [eqn: (2,~2)]성분 [eqn: D/4=`7>0`], [eqn: a _{22} =2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: A= {pmatrix{``0``&``1``#1&2}}]

5. [출제의도] 행렬과 그래프의 관계 이해하기

그래프의 연결 상태를 나타내는 행렬은

	[eqn: A]	[eqn: B]	[eqn: C]	[eqn: D]	[eqn: E]
[eqn: A] [eqn: B] [eqn: C] [eqn: D] [eqn: E]	[eqn: {pmatrix{`````0````&````1````&````1````&````1````&````0````#1&0&1&1&1#1&1&0&1&1#1&1&1&0&0#0&1&1&0&0`}}]

이다. 따라서 행렬의 모든 성분의 합은 [eqn: 16`]이다.

6. [출제의도] 행렬의 연산 이해하기

[eqn: LEFT ( A+B RIGHT ) ^{2} =A ^{2} +2AB+B ^{2} `]이면 [eqn: AB=BA`]이므로

[eqn: AB= {pmatrix{1&0#2&0}} {pmatrix{0&x#``2y``&-3}} `= {pmatrix{0&x#0&``2x}}] …… ①

[eqn: BA= {pmatrix{0&x#``2y``&-3}} {pmatrix{1&0#2&0}} `= {pmatrix{2x&0#```2y-6```&``0``}}]  …… ②

①, ②의 각 성분을 비교하면

[eqn: x=0`], [eqn: y=3`] [eqn: THEREFORE ``x+y=3`]

7. [출제의도] 지수법칙 이해하기

[eqn: {8 ^{a} +8 ^{-a}} over {2 ^{a} +2 ^{-a}} ``= {LEFT ( 2 ^{a} +2 ^{-a} RIGHT ) LEFT ( 4 ^{a} -1+4 ^{-a} RIGHT )} over {2 ^{a} +2 ^{-a}}# ``````````````````````````````````= LEFT ( 2 ^{a} +2 ^{-a} RIGHT ) ^{2} -3# ``````````````````````````````````=6]

8. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 수학내적문제 해결하기

그림과 같이 [eqn: TRIANGLE rmABC`]의 외접원의 반지름을 [eqn: R`]라 하자. [eqn: bar{rm AB it} `= bar{rm AC it} `]이므로 [eqn: b=c`]이다.

[eqn: sin rm A it = {a} over {2R}], [eqn: sin rm C it = {c} over {2R}],

[eqn: rm cos`B`=` it {a ^{2} +c ^{2} -b ^{2}} over {2ac} = {a} over {2c}]

[eqn: log _{2} `sin rm A it -log _{2} `cos rm B it -log _{2} ` rm sinC it `]

[eqn: =log _{2} {sin rmA} over {cos rm B`sin rmC} =log _{2} {{a} over {2R}} over {{a} over {2c} TIMES {c} over {2R}} =log _{2} 2=`1]

9. [출제의도] 로그함수 이해하기

그림과 같이 서로 다른 양수 [eqn: a`,~b`,~c```]에 대하여

[eqn: 0<b<a<1<c] 이다.

주어진 조건에서 [eqn: a^x_1`=`b^x_2`=`c^x_3``>``1] 이므로

[eqn: x_1`<`x_2`<0`,````x_3`>`0] 이다. [eqn: THEREFORE] [eqn: x_3`>`x_2`>`x_1`]

10. [출제의도] 행렬과 그래프의 관계 이해하기

그래프의 연결 상태를 나타낸 행렬을 [eqn: P``]라 하자.

[eqn: ````P``= {pmatrix{0&BOX{`````````}&BOX{`````````}&0#```1```&0&1&1#1&1&0&BOX{`````````}#0&BOX{`````````}&0&0}}] 에 대하여

[eqn: a _{ij} =a _{ji} `][eqn: LEFT ( `i`,~j`=`1`,~2`,~3`,~4` RIGHT ) `]이므로

[eqn: ````P``= {pmatrix{``0``&``1``&``1``&``0``#1&0&1&1#1&1&0&0#0&1&0&0}}] 이다.

[eqn: P ^{2} = {pmatrix{``2``&``1``&``1``&``1``#1&3&1&0#1&1&2&1#1&0&1&1}}] 이므로

꼭짓점 [eqn: B`]에서 변을 두 번 거쳐 꼭짓점 [eqn: B`]로 되돌아오는 방법의 수는 [eqn: P ^{2} `]의 [eqn: LEFT ( `2`,~2` RIGHT ) `]성분과 같으므로 [eqn: 3`]이다.

11. [출제의도] 행렬의 연산을 이용하여 수학외적문제 해결하기

[eqn: A`]학교 학생 중 배드민턴을 배우는 학생 수는

[eqn: 0.3 TIMES 300+0.4 TIMES 250]

[eqn: QP``=`` {pmatrix{`0.7`&`0.6`#`0.3`&`0.4`}} {pmatrix{`300`&`200`#`250`&`150`}} `]

[eqn: = {pmatrix{``0.7 TIMES 300+0.6 TIMES 250``&``0.7 TIMES 200+0.6 TIMES 150``#0.3 TIMES 300+0.4 TIMES 250&0.3 TIMES 200+0.4 TIMES 150}}]

[eqn: THEREFORE] 행렬 [eqn: QP``]의 [eqn: pmatrix { 2``,&1` }``]성분이다.

12. [출제의도] 로그함수의 그래프를 이용하여 수학내적문제 해결하기

[eqn: bar{rm AB it} = bar{rmAQ it}]이므로 [eqn: 2bar {rm{AP} } =bar{rm BQ}]이고,

[eqn: bar{rm AP it} =log _{2} 3`]이므로 [eqn: bar{rm BQ it} =2log _{2} 3`]이다.

점 [eqn: rmQ]의 좌표를 [eqn: LEFT ( `a`,~0` RIGHT )]이라 하면

[eqn: 2log _{2} 3=log _{2} a+1]

그러므로 [eqn: a=` {9} over {2}]

[eqn: TRIANGLE rmABQ]의 넓이는 [eqn: 3 rm log _{2} 3]이다.

13. [출제의도] 상용로그의 지표의 성질 이해하기

[eqn: 233`LEQ`logA ^{100} <234]

[eqn: 2.33LEQ`logA<2.34]

[eqn: 46.6` LEQ `20logA<46.8]

[eqn: logA ^{20}]의 지표가 [eqn: 46]이므로 [eqn: A ^{20}]은 [eqn: 47]자리의 수이다.

14. [출제의도] 주어진 지수의 성질 추론하기

ㄱ. [eqn: 3 uparrow 2=3 ^{3} =27] (참)

ㄴ. [eqn: a uparrow LEFT ( n+1 RIGHT ) = UNDERBRACE {a가````` LEFT ( n+1 RIGHT ) 개} {a ^{a ^{a ^{SDOTS ^{` ^{a}}}}}} =a ^{UNDERBRACE {a가`````n개} {a ^{a ^{a ^{SDOTS ^{` ^{a}}}}}}} =a ^{LEFT ( a uparrow n RIGHT )} `]
(참)

ㄷ. [eqn: log(4 uparrow 3)=log4 ^{4 ^{4}} =512log2=154.112`]

따라서 [eqn: 4 uparrow 3]은 [eqn: 155`]자리 자연수이다.(참)

[eqn: THEREFORE ```]ㄱ, ㄴ, ㄷ

15. [출제의도] 상용로그를 이용하여 수학외적문제 해결하기

[eqn: n`]개월 후의 이 제품의 가격은 [eqn: 10 ^{6} TIMES (0.8) ^{{n} over {5}}](원)

가격이 [eqn: 50]만 원 이하가 되는 시기를 계산하면

[eqn: 10 ^{6} TIMES (0.8) ^{{n} over {5}} `` LEQ `5times10 ^{5}]

양변에 상용로그를 취하면

[eqn: log`2+ {n} over {5} `log`0.8 LEQ 0`]

[eqn: n`` GEQ 15.5` CDOTS]

따라서 최소한 [eqn: 16]개월이 지나야 한다.

16. [출제의도] 행렬의 성질 추론하기

두 행렬 [eqn: A= {pmatrix{a&```b`#c&```d`}} `,``X= {pmatrix{x&```y`#z&```w`}} ``]라 두면
[eqn: AX=XA``]이므로

[eqn: bz= BOX{```cy````}] , [eqn: (a-d)y=b(x-w)],
[eqn: (a-d)z=c(x-w)`]이다.

(ⅰ) [eqn: a-d=0``]인 경우

[eqn: A != kE``]에서 [eqn: b != 0``] 또는 [eqn: c != 0] 이므로

[eqn: x=w``]이다.

㉠ [eqn: b != 0] 이면 [eqn: z= {BOX{``cy```}} over {b} `]이므로

[eqn: X= {pmatrix{x&````y`#z&````x`}} = BOX{`` {y} over {b} ```} `A`+` LEFT ( x- {a} over {b} y RIGHT ) `E]

㉡ [eqn: c != 0] 이면 [eqn: y= {bz} over {c}]이므로

[eqn: X= {pmatrix{`x&````y`#`z&````x`}} = {z} over {c} `A`+` LEFT ( x- {a} over {c} z RIGHT ) `E]

(ⅱ) [eqn: a-d != 0]인 경우

[eqn: y= {b(x-w)} over {a-d} ``,`````z= {c(x-w)} over {a-d} ``]이므로

[eqn: X= {x-w} over {a-d} `A+ BOX{`` {aw-dx} over {a-d} ```} `E``]이다.

(ⅰ)과 (ⅱ)에 의해 이차정사각행렬 [eqn: X``]는
[eqn: X=mA+nE``] 형태로 나타낼 수 있다.

17. [출제의도] 역행렬의 성질 이해하기

[eqn: LEFT ( A+E RIGHT ) LEFT ( 2A-E RIGHT ) =E``]

[eqn: 2A ^{2} +A-2E=0]

[eqn: A LEFT ( 2A+E` RIGHT ) =2E`]

[eqn: therefore` LEFT ( 2A+E RIGHT ) ^{-1} = {1} over {2} A]

18. [출제의도] 로그를 이용하여 주어진 집합의 성질 추론하기

ㄱ. [eqn: A _{2} = LEFT { `x`|``log _{2} x RIGHT .]가 유리수,
[eqn: LEFT . 2 LEQ x LEQ 100`]인 자연수[eqn: RIGHT }]
[eqn: = LEFT { `2`,~2 ^{2`} `,~2 ^{3} `,~2 ^{4} `,~2 ^{5} `,~2 ^{6} `` RIGHT } `]
이므로 [eqn: n LEFT ( A _{2} RIGHT ) =6`] (참)

ㄴ. [eqn: n LEFT ( A _{3} RIGHT ) =n LEFT ( A _{9} RIGHT ) =n LEFT ( A _{27} RIGHT ) =n LEFT ( A _{81} RIGHT ) =4`]이므로
[eqn: n LEFT ( A _{3} RIGHT ) +n LEFT ( A _{9} RIGHT ) +n LEFT ( A _{27} RIGHT ) +n LEFT ( A _{81} RIGHT ) =16`] (참)

ㄷ. [eqn: x` IN `A _{m} SMALLINTER A _{n} `]에 대하여
[eqn: x=m ^{p} =n ^{q} `]([eqn: p`], [eqn: q`]는 양의 유리수)
[eqn: y` IN `A _{m}]이면 [eqn: y=m ^{r} =x ^{{r} over {p}} =n ^{{qr} over {p}} `]([eqn: r`]는 양의 유리수) 이므로 [eqn: y` IN A _{n} `]이다. 즉, [eqn: A _{m} ` SUBSET A _{n} `]
같은 방법으로 [eqn: A _{n} ` SUBSET A _{m} `]이므로 [eqn: A _{m} =A _{n} `](참)

[eqn: THEREFORE ```]ㄱ, ㄴ, ㄷ

19. [출제의도] 상용로그를 이용하여 수학외적문제 해결하기

[eqn: ````v _{1} =`k rho g ^{-0.5} A _{1} ^{1.25}]  …… ①

[eqn: 5v _{1} =`k rho g ^{-0.5} A _{2} ^{1.25}]  …… ②

②[eqn: ÷]①을 하면 [eqn: 5= LEFT ( {A _{2}} over {A _{1}} RIGHT ) ^{1.25}]이다.

양변에 상용로그를 취하면

[eqn: log`5=1.25`log {A _{2}} over {A _{1}}]이므로

[eqn: log {A _{2}} over {A _{1}} =0.56=log`3.63]  [eqn: THEREFORE ``` {A _{2}} over {A _{1}} =3.63`]

20. [출제의도] 역행렬의 정의를 이용하여 행렬의 성질 추론하기

ㄱ. [eqn: A(BC)=E``]에서 [eqn: A ^{-1} =BC] (참)

ㄴ. [eqn: A ^{-1} LEFT ( ABC` RIGHT ) A=A ^{-1} A=E`]에서 [eqn: BCA=E]

[eqn: C LEFT ( ABC` RIGHT ) C ^{-1} =C ^{`} C ^{-1} =E`]에서 [eqn: CAB=E]

따라서 [eqn: BCA=CAB] (참)

ㄷ. [eqn: B(CA)=E``]에서 [eqn: B ^{-1} =CA] (참)

[eqn: THEREFORE ```]ㄱ, ㄴ, ㄷ

21. [출제의도] 지수부등식을 이용하여 수학내적문제 해결하기

[eqn: A`=` LEFT { `x` LEFT | `` LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{x+2} `<` LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{x ^{2}} RIGHT } = LEFT { x``|`x+2>x ^{2} RIGHT } RIGHT .]

[eqn: = LEFT { `x`|`-1<x<2 RIGHT } `]

[eqn: B``=` LEFT { `x`|`2 ^{|x-2|} ` LEQ `2 ^{a} ` RIGHT } =` LEFT { `x`|``|x-2|` LEQ `a` RIGHT }]

[eqn: = LEFT { `x`|``2-a LEQ x LEQ 2+a RIGHT } `]

[eqn: A` SMALLINTER`B``=`A`]이므로 [eqn: A SUBSET B``]이다.

그러므로 [eqn: 2-a LEQ`-1`]이고 [eqn: 2 LEQ 2+a]이다.

즉, [eqn: 3LEQ a]이다. [eqn: THEREFORE] [eqn: a`]의 최솟값은 [eqn: 3]이다.

22. [출제의도] 행렬 계산하기

[eqn: A ^{2} +AB=A LEFT ( A+B RIGHT ) = {pmatrix{1&``1#0&``2}} {pmatrix{2&``3#1&``2}} = {pmatrix{3&5#2&4}}]

[eqn: A ^{2} +AB]의 모든 성분의 합은 [eqn: 14]이다.

23. [출제의도] 행렬의 연산 이해하기

[eqn: A ^{-1} = {pmatrix{```a```&```-a-1```#-a+1&a}} `]이므로

[eqn: A+A ^{-1} =2aE``]

양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: A ^{2} + LEFT ( A ^{-1} RIGHT ) ` ^{2} = LEFT ( 4a ^{2} -2 RIGHT ) E``]

모든 성분의 합이 [eqn: 124`]이므로 [eqn: 2 LEFT ( 4a ^{2} -2 RIGHT ) =124]

[eqn: THEREFORE ```a ^{2} =16`]

24. [출제의도] 로그부등식을 이용하여 수학내적문제 해결하기

이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -4x-log _{2} a`]의

그래프의 대칭축은 [eqn: x=2`]이다.

방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0`]이 [eqn: 4<x<5`]에서 한 개의 실근

을 가지려면 [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) <0`], [eqn: f LEFT ( 5 RIGHT ) >0`]이어야 한다.

[eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =-log _{2} a<0`]
[eqn: a>1`]  …… ①

[eqn: f LEFT ( 5 RIGHT ) =`5-log _{2} a>0`]
[eqn: 0<a<32`]  …… ②

①, ②를 동시에 만족하는 [eqn: a`]의 범위는

[eqn: 1<a<32`]

[eqn: THEREFORE] 자연수 [eqn: a`]의 개수는 [eqn: 30](개)

25. [출제의도] 로그함수의 그래프를 이용하여 수학내적문제 해결하기

점 [eqn: rmC``]의 좌표를 [eqn: LEFT ( a`,~0` RIGHT ) `]라 하면

[eqn: LEFT . rm A` it LEFT ( a,``log _{3} a RIGHT ) RIGHT .], [eqn: rm B it (9a,``log _{3} 9a)], [eqn: rmD it LEFT ( 9a`,~0` RIGHT ) `]

이고 [eqn: bar{rm CD}]의 길이는 [eqn: 8a`]이다.

직선 [eqn: rmAB]의 기울기가 [eqn: {1} over {2}]이므로

[eqn: {1} over {2} = {log _{3} 9a-log _{3} a} over {9a-a} = {2} over {8a} = {1} over {4a}]

따라서 [eqn: a=` {1} over {2}]이므로 [eqn: 8a=4`] [eqn: THEREFORE ````rm bar{CD}]의 길이는 [eqn: 4]

26. [출제의도] 행렬과 연립일차방정식의 관계 이해하기

[eqn: {pmatrix{``2``&``-1#``3``&`````````1}} ` {pmatrix{`x`#`y`}} ``=`k {pmatrix{`x`#`2x`}}]를 정리하면

[eqn: {pmatrix{`2-k```&`-1``#`3-2k``&````````1``}} ` {pmatrix{`x`#`y`}} ``=` {pmatrix{`0`#`0`}}] 이다.

연립일차방정식의 해 중에서 [eqn: x `- ` y `+ 5 ``=`0``]을 만족하는 해가 존재하려면 [eqn: x=0`,`y=0] 이외의 해를 가져야 하므로 [eqn: LEFT ( 2-k RIGHT ) TIMES 1- LEFT ( -1 RIGHT ) TIMES LEFT ( 3-2k RIGHT ) `=`0]

따라서 [eqn: k`=` 5 over 3] [eqn: therefore ` 9`k `=` 15]

27. [출제의도] 행렬의 연산을 이용하여 수학내적문제 해결하기

[eqn: A ^{2} = {pmatrix{(x-2) ^{2} +(y+1) ^{2}&0#0&(x-2) ^{2} +(y+1) ^{2}}}]

[eqn: = {pmatrix{25&0#0&25}}]

이므로 점 [eqn: LEFT ( `x`,~y` RIGHT ) `]는 원 [eqn: (x-2) ^{2} +(y+1) ^{2} =25] 위의 점이다.

원의 중심[eqn: (2,~-1)]에서 직선 [eqn: x-y+9=0]까지의 거리는 [eqn: {12} over {sqrt {1 ^{2} +1 ^{2}}} =6 sqrt {2}]이므로
[eqn: m=6 sqrt {2} -5], [eqn: M=6 sqrt {2} +5]이다.

따라서 [eqn: mM= LEFT ( 6 sqrt {2} -5 RIGHT ) LEFT ( 6 sqrt {2} +5 RIGHT ) =47]이다.

[eqn: THEREFORE ``mM=47]

28. [출제의도] 행렬의 연산 이해하기

[eqn: A = {pmatrix{a&b#c&d}}]라 하자. [eqn: A+A ^{-1} =E`]의 양변에 [eqn: A`]를 곱하면 [eqn: A ^{2} -A+E=O``]이다.

양변에 [eqn: A+E``]을 곱해서 정리하면 [eqn: A ^{3} =`-E``]

[eqn: A {pmatrix{1#2}} +A ^{-1} {pmatrix{1#1}} = {pmatrix{0#0}} `]의 양변에 [eqn: A ^{2} `]을 곱하면

[eqn: -E` {pmatrix{1#2}} +A {pmatrix{1#1}} =A ^{2} {pmatrix{0#0}} `]

[eqn: {pmatrix{1#2}} =A {pmatrix{1#1}} = {pmatrix{a&b#c&d}} {pmatrix{1#1}} = {pmatrix{a+b#c+d}}]

따라서 모든 성분의 합은 [eqn: 3`]이다.

29. [출제의도] 로그방정식을 이용하여 수학내적문제 해결하기

[eqn: log _{`3} `x=X``,``log` _{`3} `y=Y``]라 하면,

주어진 식은 [eqn: X`` ^{2} +Y`` ^{2} =10]이고 [eqn: X GEQ 1`,``Y GEQ 1`]

이때, 이를 만족하는 점 [eqn: LEFT ( X`,`Y`` RIGHT ) ``]를 그래프로 나타내면 다음과 같다.

한편, [eqn: log _{`x} `y`=k`]라 두면 [eqn: Y=kX``]이다.

여기서 [eqn: k`]는 원점을 지나는 직선의 기울기이므로 [eqn: LEFT ( `1`,~3` RIGHT ) `]을 지날 때, 최대가 된다.

[eqn: log _{3} `x=X=1`,``log _{3} `y=Y=3`]

[eqn: x=3= alpha `,``y=27=beta`]

[eqn: THEREFORE ``` alpha + beta =30`]

30. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질을 이용하여 수학내적문제 해결하기

[eqn: log`x=2+ alpha `,`log`y`=2+ beta LEFT . RIGHT .]

[eqn: LEFT . (0 LEQ alpha <1,` LEFT . `0 LEQ beta <1 RIGHT ) RIGHT .]라 하자.

(가)에서 [eqn: log`x+log`y=4+( alpha + beta )]의 값이 정수이므로 [eqn: alpha+beta=0] 또는 [eqn: alpha+beta=1]

[eqn: therefore`alpha=beta=0] 또는 [eqn: beta=1-alpha]  [eqn: cdotscdots`①]

(나)에서 [eqn: log`x-log`y= alpha - beta =0.4]  [eqn: CDOTS CDOTS `②]

①, ②에 의해 [eqn: alpha=0.7``,`beta=0.3]이다.

[eqn: log`x=2.7]에서 [eqn: log500<log`x<log`600]이므로

[eqn: x]의 최고자리의 숫자는 [eqn: 5]이다. [eqn: therefore`a=5]

[eqn: log`y=2.3]에서 [eqn: log`100<log``y<log`200]이므로

[eqn: y`]의 최고자리의 숫자는 [eqn: 1]이다. [eqn: therefore`b=1]

[eqn: therefore`a+b=6]