◦ 자신이 선택한 유형(‘가’형 / ‘나’형)의 문제지인지 확인하시오.

◦ 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 정확히 쓰시오.

◦ 답안지의 해당란에 성명과 수험 번호를 쓰고, 또 수험 번호와 답을 정확히 표시하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면 그 ‘0’도 답란에 반드시 표시하시오.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

2011학년도 9월 고2 전국연합학력평가 문제지

수리 영역 (나형)

성명			수험 번호						2

제 2 교시

고 2	수리 영역 (나형)

	수리 영역 (나형)	고 2

8

8

1. [eqn: log _{4} sqrt {8} -log _{{1} over {2}} 4``]의 값은? [[eqn: 2]점]

① [eqn: {3} over {4}]      ② [eqn: {5} over {4}]      ③ [eqn: {7} over {4}]      ④ [eqn: {9} over {4}]      ⑤ [eqn: {11} over {4}]

2. 두 행렬 [eqn: A= {pmatrix{```````1&`-2`#-5&```````3}} ``], [eqn: B= {pmatrix{1&-2`#3&`````1`}} ``]에 대하여

[eqn: 2A+3X=A+3B+X```]를 만족시키는 행렬 [eqn: X``]는? [[eqn: 2]점]

① [eqn: {pmatrix{1&``-2`#7&`````````0`}}]        ② [eqn: {pmatrix{`2&``-2`#`9&``-7`}}]        ③ [eqn: {pmatrix{`1&```-2`#`0&```-6`}}]

④ [eqn: {pmatrix{1&``-2`#1&``-1`}}]        ⑤ [eqn: {pmatrix{1&`````-1`#5&````-3`}}]

3. [eqn: root {3} of {243} TIMES LEFT ( {1} over {9} RIGHT ) ^{{1} over {3}}]의 값은? [[eqn: 2]점]

① [eqn: 3 ^{{1} over {3}}]      ② [eqn: 3 ^{{2} over {3}}]      ③ [eqn: 3]      ④ [eqn: 3 ^{{4} over {3}}]      ⑤ [eqn: 3 ^{{5} over {3}}]

4. 이차정사각행렬 [eqn: A``]의 [eqn: (i,~j)]성분 [eqn: a _{ij} ``]를 이차함수

[eqn: y=x ^{2} -2(i+j)x+9```]의 그래프와 [eqn: x``]축이 만나는 점의 개수로 정의할 때, 행렬 [eqn: A``]는? [[eqn: 3]점]

① [eqn: {pmatrix{`0&````1`#`1&````1`}}]          ② [eqn: {pmatrix{`0&````1`#`1&````2`}}]          ③ [eqn: {pmatrix{`0&````2`#`2&````1`}}]

④ [eqn: {pmatrix{`1&````0`#`0&````2`}}]          ⑤ [eqn: {pmatrix{`1&````1`#`2&````0`}}]

5. 다음 그래프의 연결 상태를 나타내는 행렬의 모든 성분의 합은?

[[eqn: 3]점]

① [eqn: 16]      ② [eqn: 18]      ③ [eqn: 20]      ④ [eqn: 22]      ⑤ [eqn: 24]

6. 두 이차정사각행렬 [eqn: A= {pmatrix{1&``0#2&````0`}} `,``B= {pmatrix{`0&``````````x`#`2y&````-3`}}]이
[eqn: LEFT ( A+B RIGHT ) ^{2} =A ^{2} +2AB+B ^{2} `]을 만족시킬 때, [eqn: x+y``]의 값은?

[[eqn: 3]점]

① [eqn: 1]       ② [eqn: 2]       ③ [eqn: 3]       ④ [eqn: 4]       ⑤ [eqn: 5]

7. 양수 [eqn: a``]가 [eqn: 2 ^{a} +2 ^{-a} =3``]을 만족시킬 때, [eqn: {8 ^{a} +8 ^{-a}} over {2 ^{a} +2 ^{-a}} ``]의 값은? [[eqn: 3]점]

① [eqn: 2]       ② [eqn: 3]       ③ [eqn: 4]       ④ [eqn: 6]       ⑤ [eqn: 8]

8. [eqn: TRIANGLE rmABC`]에서 [eqn: bar{rm AB it} `= bar{rm AC it} `]일 때,

[eqn: log _{2} `sin rm A it -log _{2} `cos rm B it -log _{2} ` rm sinC it `]

의 값은? [[eqn: 4]점]

① [eqn: {1} over {16}]     ② [eqn: {1} over {8}]     ③ [eqn: {1} over {4}]     ④ [eqn: {1} over {2}]     ⑤ [eqn: 1]

9. 그림은 세 양수 [eqn: a`,~b`,~c``]를 밑으로 하는 로그함수의 그래프이다.

[eqn: a ^{x _{1}} `=`b ^{x _{2}} `=`c ^{x _{3}} ``>``1``]일 때, [eqn: x _{1} `,```x _{2} `,```x _{3} ``]의 대소 관계를 옳게 나타낸 것은? [[eqn: 4]점]

① [eqn: x_1`>`x_2`>`x_3`]   ② [eqn: x_2`>`x_1`>`x_3`]   ③ [eqn: x_2`>`x_3`>`x_1`]

④ [eqn: x_3`>`x_1`>`x_2`]   ⑤ [eqn: x_3`>`x_2`>`x_1`]

10. 다음은 꼭짓점이 [eqn: rmA`,~B`,~C`,~D``]인 그래프의 연결 상태를 행렬로 나타낸 것이다.

[eqn: rm ````````````A {matrix{````B&````C&`````D&}}# rm {matrix{A#B#C#D}} `` {pmatrix{`0`&``☐`&``☐``&`0`#1&`0&`1&1#1&`1&`0&☐#0&`☐&`0&0}}]

꼭짓점 [eqn: rm `B`]에서 변을 두 번 거쳐 꼭짓점 [eqn: rm B`]로 되돌아오는 방법의 수는? [[eqn: 3]점]

① [eqn: 0]       ② [eqn: 1]       ③ [eqn: 2]       ④ [eqn: 3]       ⑤ [eqn: 4]

11. 어느 고등학교 [eqn: A``]와 [eqn: B``]에서는 체육활동으로 테니스와 배드민턴을 배우고 있다. 두 학교 [eqn: A,``B``]의 [eqn: 1]학년과 [eqn: 2]학년의 학생 수는 <표[eqn: 1]>과 같다. 두 학교 모두 <표[eqn: 2]>와 같이 [eqn: 1]학년 학생의 [eqn: 70%`]는 테니스를, [eqn: 30%`]는 배드민턴을 배우고, [eqn: 2]학년 학생의 [eqn: 60%`]는 테니스를, [eqn: 40%`]는 배드민턴을 배운다고 한다.

	(단위 : 명)				(단위 : [eqn: %])
학교 학년	[eqn: A]	[eqn: B]		학년 활동	[eqn: 1]학년	[eqn: 2]학년
[eqn: 1]학년	[eqn: 300]	[eqn: 200]		테니스	[eqn: 70]	[eqn: 60]
[eqn: 2]학년	[eqn: 250]	[eqn: 150]		배드민턴	[eqn: 30]	[eqn: 40]
< 표1 >				< 표2 >

<표[eqn: 1]>과 <표[eqn: 2]>를 각각 행렬 [eqn: P``=`` {pmatrix{`300`&`200`#`250`&`150`}}], [eqn: Q``=`` {pmatrix{`0.7`&`0.6`#`0.3`&`0.4`}} ``]로 나타낼 때, [eqn: A``]학교에서 배드민턴을 배우는 학생 수를 나타낸 것은? [[eqn: 3]점]

① [eqn: PQ``]의 [eqn: pmatrix { 1``,&2` }``]성분

② [eqn: PQ``]의 [eqn: pmatrix { 2``,&1` }``]성분

③ [eqn: QP``]의 [eqn: pmatrix { 1``,&2` }``]성분

④ [eqn: QP``]의 [eqn: pmatrix { 2``,&1` }``]성분

⑤ [eqn: QP``]의 [eqn: pmatrix { 2``,&2` }``]성분

12. 함수 [eqn: y=log _{`2`} x+1``]의 그래프 위의 서로 다른 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rm B``]에서 [eqn: x``]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm P,~Q``]라 하자. 점 [eqn: rm `P``]의 좌표가 [eqn: rm LEFT ( {3} over {2} ,~0 RIGHT ) ``]이고 [eqn: bar{rm AB it} = bar{rm AQ it} ``]일 때, [eqn: TRIANGLE rm ABQ``]의 넓이는? [[eqn: 4]점]

① [eqn: 2log_2 3]         ② [eqn: {5} over {2} rm log _{2} 3]         ③ [eqn: 3 rm log _{2} 3]

④ [eqn: {7} over {2} `log _{2} 3]        ⑤ [eqn: 4 rm log _{2} 3]

13. 자연수 [eqn: A`]에 대하여 [eqn: A ^{100}]이 [eqn: 234]자리의 수일 때, [eqn: A ^{20}]은 몇 자리의 수인가? [[eqn: 3]점]

① [eqn: 45]       ② [eqn: 47]       ③ [eqn: 49]       ④ [eqn: 51]       ⑤ [eqn: 53]

14. 자연수 [eqn: a,~n`]에 대하여 [eqn: a uparrown]을

라고 정의하자. 예를 들어, [eqn: 2 uparrow 3=2 ^{2 ^{2}} =16``]이다. <보기>에서
항상 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: log`2=0.3010``])

[[eqn: 4]점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: 3 uparrow 2 =27] ㄴ. [eqn: a uparrow (n+1)=a ^{(a uparrow n)}] ㄷ. [eqn: 4 uparrow 3``]은 [eqn: 155``]자리의 수이다.

	①	ㄱ	②	ㄷ	③	ㄱ, ㄴ
	④	ㄴ, ㄷ	⑤	ㄱ, ㄴ, ㄷ

15. 철수가 인터넷 중고 쇼핑몰을 통해 카메라의 가격을 알아보았더니 카메라의 가격은 전월 대비 매월 일정한 비율로 하락하여 현재 가격이 [eqn: 5`]개월 전보다 [eqn: 20%] 하락되었다는 사실을 알았다. 매월 이와 같은 비율로 카메라의 가격이 계속 하락한다고 할 때, 현재 [eqn: 100]만 원인 카메라의 가격이 [eqn: 50]만 원 이하가 되려면 최소한 몇 개월이 지나야 하는가? (단, [eqn: log`2`=`0.3010``]) [[eqn: 4]점]

① [eqn: 16]개월         ② [eqn: 17]개월         ③ [eqn: 18]개월

④ [eqn: 19]개월         ⑤ [eqn: 20]개월

16. 다음은 [eqn: A != kE``]인 모든 이차정사각행렬 [eqn: A`]에 대하여 행렬 [eqn: X``]가
[eqn: AX=XA``]를 만족하면, 항상 [eqn: X=mA+nE] 형태로 나타낼 수
있음을 증명한 것이다. (단, 행렬 [eqn: A`,~X]의 모든 성분과 [eqn: k`,~m`,~n``]   은 실수이다.)

<증명>
두 행렬 [eqn: A= {pmatrix{a&```b`#c&```d`}} `,``X= {pmatrix{x&```y`#z&```w`}} ``]라 두면 [eqn: AX=XA``]이므로

[eqn: bz= BOX{````(가)````}] , [eqn: (a-d)y=b(x-w)], [eqn: (a-d)z=c(x-w)`]이다.

(ⅰ) [eqn: a-d=0``]인 경우

[eqn: A != kE``]에서 [eqn: b != 0``] 또는 [eqn: c != 0] 이므로 [eqn: x=w``]이다.

㉠ [eqn: b != 0] 이면 [eqn: z= {BOX{````(가)```}} over {b} `]이므로

[eqn: X= {pmatrix{x&````y`#z&````x`}} = BOX{`````(나)`````} `A`+` LEFT ( x- {a} over {b} y RIGHT ) `E]

㉡ [eqn: c != 0] 이면 [eqn: y= {bz} over {c}]이므로

[eqn: X= {pmatrix{`x&````y`#`z&````x`}} = {z} over {c} `A`+` LEFT ( x- {a} over {c} z RIGHT ) `E]

(ⅱ) [eqn: a-d != 0]인 경우

[eqn: y= {b(x-w)} over {a-d} ``,`````z= {c(x-w)} over {a-d} ``]이므로

[eqn: X= {x-w} over {a-d} `A+ BOX{`````(다)`````} `E``]이다.

(ⅰ)과 (ⅱ)에 의해 이차정사각행렬 [eqn: X``]는 [eqn: X=mA+nE``] 형태로 나타낼 수 있다.

위의 증명에서 (가), (나), (다) 에 알맞은 것은? [[eqn: 3]점]

		(가)	(나)	(다)
	①	[eqn: ax]	[eqn: {y} over {b}]	[eqn: {bz-cy} over {a-d}]
	②	[eqn: ax]	[eqn: {a} over {b}]	[eqn: {dx-aw} over {a-d}]
	③	[eqn: cy]	[eqn: {y} over {b}]	[eqn: {bz-cy} over {a-d}]
	④	[eqn: cy]	[eqn: {a} over {b}]	[eqn: {aw-dx} over {a-d}]
	⑤	[eqn: cy]	[eqn: {y} over {b}]	[eqn: {aw-dx} over {a-d}]

17. 이차정사각행렬 [eqn: A`]와 단위행렬 [eqn: E``]에 대하여 [eqn: A+E``]의 역행렬이 [eqn: 2A-E``]라 할 때, [eqn: 2A+E``]의 역행렬은? [[eqn: 3]점]

① [eqn: {1} over {3} A]     ② [eqn: {1} over {2} A]     ③ [eqn: A]     ④ [eqn: {3} over {2} A]     ⑤ [eqn: 2A]

18. [eqn: 2``]이상의 자연수 [eqn: k``]에 대하여
집합 [eqn: A _{k} = LEFT { x``□``log _{`k`} `x` RIGHT . `]가 유리수, [eqn: 2 LEQ x LEQ 100`]인 자연수[eqn: LEFT. ` RIGHT }]라 할 때, <보기>에서 항상 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: n(A)``]는 집합 [eqn: A``]의 원소의 개수이다.) [[eqn: 4]점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: n(A _{2} )=6] ㄴ. [eqn: n(A _{3} )+n(A _{9} )+`n(A _{27} )+`n(A _{81} )=16] ㄷ. [eqn: A _{m} SMALLINTER A _{n} != phi]이면 [eqn: A _{m} =A _{n}]이다.

	①	ㄱ	②	ㄴ	③	ㄱ, ㄴ
	④	ㄴ, ㄷ	⑤	ㄱ, ㄴ, ㄷ

19. 모래시계는 위쪽과 아래쪽으로 용기가 나누어져 있고, 두 용기 사이는 좁은 구멍으로 연결되어 있다. 모래가 위쪽 용기에 위치하도록 모래시계를 뒤집어 놓으면 중력에 의해 모래가 아래로 떨어진다. 이때, 모래가 유출되는 속도 [eqn: v`]는 아래와 같다.

[eqn: x]	[eqn: log`x]
[eqn: 2.00]	[eqn: 0.30]
[eqn: 2.10]	[eqn: 0.32]
[eqn: 2.20]	[eqn: 0.34]
[eqn: VDOTS]	[eqn: VDOTS]
[eqn: 3.53]	[eqn: 0.55]
[eqn: 3.63]	[eqn: 0.56]
[eqn: 3.73]	[eqn: 0.57]

[eqn: v=`k rho g ^{-0.5} A ^{1.25}]

([eqn: k`]는 상수, [eqn: rho `]는 모래의 밀도,
[eqn: g`]는 중력가속도,

[eqn: A`]는 모래 유출 구멍의 넓이)

모래 유출 구멍의 넓이가 [eqn: A _{1} `]일 때 모래 유출 속도를 [eqn: v _{1} ``], 모래 유출 구멍의 넓이가 [eqn: A _{2} ``]일 때 모래 유출 속도를 [eqn: 5v _{1} `]이라 하자. 오른쪽 로그표를 이용하여 구한 [eqn: {A _{2}} over {A _{1}} ``]의 값은? (단, 모래의 밀도와 중력가속도는 일정하다고 가정한다.) [[eqn: 4]점]

① [eqn: 2.10]    ② [eqn: 2.20]    ③ [eqn: 3.53]    ④ [eqn: 3.63]    ⑤ [eqn: 3.73]

20. 세 이차정사각행렬 [eqn: A`,~B`,~C``]와 단위행렬 [eqn: E``]에 대하여

[eqn: ABC=E``]가 성립할 때, <보기>에서 항상 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: A ^{-1} =BC``] ㄴ. [eqn: BCA=CAB] ㄷ. 행렬 [eqn: B``]의 역행렬이 존재한다.

	①	ㄱ	②	ㄴ	③	ㄱ, ㄷ
	④	ㄴ, ㄷ	⑤	ㄱ, ㄴ, ㄷ

21. 두 집합 [eqn: A`=` LEFT { `x` LEFT | `` LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{x+2} `<` LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{x ^{2}} RIGHT } `,`B`=` LEFT { `x`|`2 ^{`|`x-2`|} ` LEQ `2 ^{a} ` RIGHT } `` RIGHT .]에 대하여 [eqn: A` SMALLINTER `B``=`A``]가 성립하도록 하는 실수 [eqn: a`]의 최솟값은?

[[eqn: 4]점]

① [eqn: 1]       ② [eqn: 2]       ③ [eqn: 3]       ④ [eqn: 4]       ⑤ [eqn: 5]

단답형(22∼30)

22. 두 행렬 [eqn: A,``B``]에 대하여 [eqn: A= {pmatrix{1&``1#0&``2}} ``,```A+B= {pmatrix{2&``3#1&``2}} ``]일 때,

[eqn: A ^{2} +AB``]의 모든 성분의 합을 구하시오. [[eqn: 3]점]

23. 행렬 [eqn: A=` {pmatrix{`a&````a+1``#`a-1&``a}}] 에 대하여 행렬 [eqn: A ^{2} `+(A` ^{-1} ) ^{2} ``]의 모든 성분의 합이 [eqn: 124``]일 때, [eqn: a ^{2} ``]의 값을 구하시오. [[eqn: 3]점]

24. [eqn: x``]에 대한 이차방정식 [eqn: x & ^{2} -4x-log _{2} a=0``]이 [eqn: 4<x<5``]에서 한 개의 실근을 갖도록 하는 자연수 [eqn: a``]의 개수를 구하시오. [[eqn: 3]점]

25. 그림과 같이 곡선 [eqn: y=log _{3} x``]와 기울기가 [eqn: {1} over {2} `]인 직선이 두 점 [eqn: rm A,~B`]에서 만나고 점 [eqn: rm A,~B`]에서 [eqn: x``]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm C,~D``]라 하자. [eqn: rm bar{OC} ``: bar{OD} ``=1:9`]일 때, 선분 [eqn: rm {CD} `]의 길이를 구하시오. [[eqn: 3]점]

26. [eqn: x,~y``]에 관한 연립일차방정식 [eqn: {pmatrix{2&``-1#3&`````````1}} {pmatrix{`x`#`y`}} =k {pmatrix{`x`#`2x`}} ``]의 해 중에
방정식 [eqn: x`-`y`+5``=`0``]을 만족시키는 해가 존재할 때, [eqn: 9k`]의 값을 구하시오. [[eqn: 3]점]

27. 행렬 [eqn: A= {pmatrix{2-x&```y+1#y+1&```x-2}} `]가 있다. [eqn: A ^{2} =25E``]를 만족시키는[eqn: x,~y``]에 대하여 점 [eqn: (x,~y)`]를 좌표평면 위에 나타낼 때 만들어지는 도형을 [eqn: S``]라 하자. 도형 [eqn: S``]위의 점에서 직선 [eqn: x-y+9=0```]까지의 거리의 최솟값을 [eqn: m``], 최댓값을 [eqn: M``]이라 할 때, [eqn: mM``]의 값을 구하시오. [[eqn: 4]점]

28. 이차정사각행렬 [eqn: A`]가 [eqn: A+A ^{-1} =E``]와 [eqn: A {pmatrix{1#2}} +A ^{-1} {pmatrix{1#1}} = {pmatrix{0#0}} ``]을 만족시킬 때, 행렬 [eqn: A``]의 모든 성분의 합을 구하시오. [[eqn: 4]점]

29. [eqn: x GEQ 3`,~y GEQ 3```]인 [eqn: x`,~y``]가 [eqn: LEFT ( log` _{3`} x RIGHT ) ^{2} + LEFT ( log` _{3} `y RIGHT ) ^{2} =10``]을 만족시킬 때, [eqn: log` _{x} `y``]가 최대가 되는 [eqn: x`,``y`]의 값을 각각 [eqn: alpha `,~ beta ``]라 하자. [eqn: alpha `+ beta ``]의 값을 구하시오. [[eqn: 4]점]

30. 정수 부분이 세 자리인 두 실수 [eqn: x`,~y``]가 다음 두 조건을 만족한다.

	(가) [eqn: log`x+log`y`]는 정수이다. (나) [eqn: log`x-log`y`=0.4]

[eqn: x]의 최고 자리의 숫자를 [eqn: a], [eqn: y]의 최고 자리의 숫자를 [eqn: b]라 할 때, [eqn: a+b]의 값을 구하시오. (단, [eqn: log2=0.3010`,~log3=0.4771])[[eqn: 4]점]

* 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.