2011학년도 9월 고2 전국연합학력평가

정답 및 해설

고 2	정답 및 해설	2011학년도 9월 전국연합학력평가

2011학년도 9월 전국연합학력평가	정답 및 해설	고 2

24

수리 영역

“가”형 정답

1	⑤	2	①	3	④	4	③	5	①
6	②	7	④	8	③	9	⑤	10	③
11	④	12	⑤	13	②	14	⑤	15	③
16	⑤	17	②	18	①	19	④	20	⑤
21	③	22	[eqn: 240]	23	[eqn: 16]	24	[eqn: 32]	25	[eqn: 4]
26	[eqn: 25]	27	[eqn: 47]	28	[eqn: 308]	29	[eqn: 48]	30	[eqn: 6]

해설

1. [출제의도] 로그 계산하기

[eqn: log _{4} sqrt {8} -log _{{1} over {2}} 4``= {3} over {4} `log _{2} 2+2log _{2} 2= {11} over {4} `]

2. [출제의도] 행렬 계산하기

[eqn: 2X=3B-A]

[eqn: =3 {pmatrix{```1``&-2``#```3``&````````1``}} - {pmatrix{`````1&-2``#-5&````````3``}} `= {pmatrix{2&-4``#```14```&`````0}}]

[eqn: THEREFORE ```X= {pmatrix{``1``&-2``#7&```````0``}} `]

3. [출제의도] 극한값 계산하기

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{4} over {sqrt {n ^{2} +2n+3} ```-n}}# = lim _{n` -> ` INF } {{4} over {sqrt {n ^{2} +2n+3} ```-n} TIMES {sqrt {n ^{2} +2n+3} ```+n} over {sqrt {n ^{2} +2n+3} ```+n}}# = lim _{n` -> ` INF } {{4 sqrt {n ^{2} +2n+3} ```+4n} over {2n+3}}# = lim _{n` -> ` INF } {{4 sqrt {1+ {2} over {n} + {3} over {n ^{2}}} +4} over {2+ {3} over {n}} `=4} ``]

4. [출제의도] 등차수열 이해하기

세 항 [eqn: a _{7} `,``a _{10`} ,``a _{13} `]이 등차수열을 이루므로

[eqn: a _{10} `]은 등차중항이다.

[eqn: a _{10} = {a _{7} +a _{13}} over {2} = {15+25} over {2} =20`]

[eqn: THEREFORE `a _{10} =20`]

5. [출제의도] 행렬과 그래프의 관계 이해하기

그래프의 연결 상태를 나타내는 행렬은

	[eqn: A]	[eqn: B]	[eqn: C]	[eqn: D]	[eqn: E]
[eqn: A] [eqn: B] [eqn: C] [eqn: D] [eqn: E]	[eqn: {pmatrix{`````0````&````1````&````1````&````1````&````0````#1&0&1&1&1#1&1&0&1&1#1&1&1&0&0#0&1&1&0&0`}}]

이다. 따라서 행렬의 모든 성분의 합은 [eqn: 16`]이다.

6. [출제의도] 등비수열의 성질을 이용하여 수학내적문제 해결하기

[eqn: a _{5} ``=a _{1} r ^{4} ``=``1``],  [eqn: a _{1} `=`r ^{-4} ```]

[eqn: M```=`r ^{-4} ` TIMES r ^{-3} ` TIMES r ^{-2} ` TIMES r ^{-1} ` TIMES r ^{0} ` TIMES r ^{1} ` TIMES CDOTS TIMES r ^{15}]

[eqn: =`r ^{5+6+` CDOTS `+15} `=`r ^{110}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: log` _{r} `M```=``log` _{r} `r ^{110} ``=``110]

7. [출제의도] 지수법칙 이해하기

[eqn: {8 ^{a} +8 ^{-a}} over {2 ^{a} +2 ^{-a}} ``= {LEFT ( 2 ^{a} +2 ^{-a} RIGHT ) LEFT ( 4 ^{a} -1+4 ^{-a} RIGHT )} over {2 ^{a} +2 ^{-a}}# ``````````````````````````````````= LEFT ( 2 ^{a} +2 ^{-a} RIGHT ) ^{2} -3# ``````````````````````````````````=6]

8. [출제의도] 무한등비급수의 성질을 이용하여 수학내적문제 해결하기

주어진 무한등비수열이 수렴하려면

[eqn: -1 < 4 sinx -3 le 1]

따라서 [eqn: 1 over 2 < sinx le 1](단, [eqn: 0 le x<2pi])

[eqn: {pi } over {6} <x< {5} over {6} pi]이므로 [eqn: alpha= { pi} over {6 }]이고 [eqn: beta= { 5} over {6 }pi]이다.

[eqn: THEREFORE `` beta - alpha = {2} over {3} pi]

9. [출제의도] 로그함수 이해하기

그림과 같이 서로 다른 양수 [eqn: a`,~b`,~c```]에 대하여

[eqn: 0<b<a<1<c] 이다.

주어진 조건에서 [eqn: a^x_1`=`b^x_2`=`c^x_3``>``1] 이므로

[eqn: x_1`<`x_2`<0`,````x_3`>`0] 이다. [eqn: THEREFORE] [eqn: x_3`>`x_2`>`x_1`]

10. [출제의도] 무한수열의 성질 이해하기

ㄱ. 대우명제 ‘수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]이 수렴하면 수열 [eqn: LEFT { a _{n} `^{2} RIGHT }]이 수렴한다.’가 참이므로 주어진 명제는 참이다. (참)

ㄴ. [eqn: lim _{n -> INF } {LEFT ( a _{n} `+`b _{n} RIGHT )} = alpha `], [eqn: lim _{n -> INF } {LEFT ( a _{n} `-`b _{n} RIGHT )} =beta`]라 두자.
[eqn: lim _{n-> INF } {a _{n} =`} lim _{n -> INF } {LEFT { LEFT ( {a _{n} `+`b _{n}} over {2} RIGHT ) + LEFT ( {a _{n} `-`b _{n}} over {2} RIGHT ) RIGHT }}]
[eqn: = lim _{n -> INF } {LEFT ( {a _{n} `+`b _{n}} over {2} RIGHT )} + lim _{n -> INF } {LEFT ( {a _{n} `-`b _{n}} over {2} RIGHT )}]

[eqn: ``= {alpha + beta } over {2} `]
[eqn: lim _{n-> INF } {b _{n}} = lim _{n -> INF } {LEFT { LEFT ( {a _{n} `+`b _{n}} over {2} RIGHT ) - LEFT ( {a _{n} `-`b _{n}} over {2} RIGHT ) RIGHT }} `]

[eqn: = lim _{n -> INF } {LEFT ( {a _{n} `+`b _{n}} over {2} RIGHT )} - lim _{n -> INF } {LEFT ( {a _{n} `-`b _{n}} over {2} RIGHT )}]
[eqn: ``= {alpha - beta } over {2}]
[eqn: lim _{n -> INF } {a _{n} ` ^{2}} = LEFT ( {alpha + beta } over {2} RIGHT ) ^{2}], [eqn: lim _{n -> INF } {b _{n} ` ^{2}} = LEFT ( {alpha - beta } over {2} RIGHT ) ^{2} `]
따라서 수열[eqn: LEFT { a _{n} `^{2} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{n}` ^{2} RIGHT }]은 수렴한다. (참)

ㄷ. 【반례】 [eqn: a _{n} = LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n}], [eqn: b _{n} = LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n+1}] (거짓)

[eqn: THEREFORE ```]ㄱ, ㄴ

11. [출제의도] 행렬의 연산을 이용하여 수학외적문제 해결하기

[eqn: A`]학교 학생 중 배드민턴을 배우는 학생 수는

[eqn: 0.3 TIMES 300+0.4 TIMES 250]

[eqn: QP``=`` {pmatrix{`0.7`&`0.6`#`0.3`&`0.4`}} {pmatrix{`300`&`200`#`250`&`150`}} `]

[eqn: = {pmatrix{``0.7 TIMES 300+0.6 TIMES 250``&``0.7 TIMES 200+0.6 TIMES 150``#0.3 TIMES 300+0.4 TIMES 250&0.3 TIMES 200+0.4 TIMES 150}}]

[eqn: THEREFORE] 행렬 [eqn: QP``]의 [eqn: pmatrix { 2``,&1` }``]성분이다.

12. [출제의도] 등비수열의 합 이해하기

[eqn: S _{n} = {1} over {2} bar{rm A _{it n-1 rm} A _{it n rm} it} TIMES bar{rm A _{it n rm} B _{it n rm} it} `][eqn: = {1} over {2} TIMES {1} over {2 ^{n-1}} TIMES {3} over {sum _{k=1} ^{n} {1} over {2 ^{k-1}}} `= {3} over {2(2 ^{n} -1)}]

[eqn: THEREFORE ```S _{10} = {3} over {2046} = {1} over {682}]

13. [출제의도] 수열의 귀납적 정의 이해하기

[eqn: a _{n} =a _{1} + sum _{k=1} ^{n-1} 2k=1+n LEFT ( n-1 RIGHT ) =n ^{2} -n+1]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a _{10} =91]

14. [출제의도] 주어진 지수의 성질 추론하기

ㄱ. [eqn: 3 uparrow 2=3 ^{3} =27] (참)

ㄴ. [eqn: a uparrow LEFT ( n+1 RIGHT ) = UNDERBRACE {a가````` LEFT ( n+1 RIGHT ) 개} {a ^{a ^{a ^{SDOTS ^{` ^{a}}}}}} =a ^{UNDERBRACE {a가`````n개} {a ^{a ^{a ^{SDOTS ^{` ^{a}}}}}}} =a ^{LEFT ( a uparrow n RIGHT )} `]
(참)

ㄷ. [eqn: log(4 uparrow 3)=log4 ^{4 ^{4}} =512log2=154.112`]

따라서 [eqn: 4 uparrow 3]은 [eqn: 155`]자리 자연수이다.(참)

[eqn: THEREFORE ```]ㄱ, ㄴ, ㄷ

15. [출제의도] 수열의 합 이해하기

[eqn: a _{9} = sum _{k=1} ^{5} a _{2k-1} - sum _{k=1} ^{4} a _{2k-1}]

[eqn: ``=`25p+190- LEFT ( 16p+152 RIGHT )]
[eqn: ``=9p+38=56````` THEREFORE p=2]

이때, [eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{2k} =4n ^{2} +36n]이므로

[eqn: a _{20} = sum _{k=1} ^{10} a _{2k} - sum _{k=1} ^{9} a _{2k} =112]

[eqn: THEREFORE ``a _{20} =112]

16. [출제의도] 행렬의 성질 추론하기

두 행렬 [eqn: A= {pmatrix{a&```b`#c&```d`}} `,``X= {pmatrix{x&```y`#z&```w`}} ``]라 두면
[eqn: AX=XA``]이므로

[eqn: bz= BOX{```cy````}] , [eqn: (a-d)y=b(x-w)],
[eqn: (a-d)z=c(x-w)`]이다.

(ⅰ) [eqn: a-d=0``]인 경우

[eqn: A != kE``]에서 [eqn: b != 0``] 또는 [eqn: c != 0] 이므로

[eqn: x=w``]이다.

㉠ [eqn: b != 0] 이면 [eqn: z= {BOX{``cy```}} over {b} `]이므로

[eqn: X= {pmatrix{x&````y`#z&````x`}} = BOX{`` {y} over {b} ```} `A`+` LEFT ( x- {a} over {b} y RIGHT ) `E]

㉡ [eqn: c != 0] 이면 [eqn: y= {bz} over {c}]이므로

[eqn: X= {pmatrix{`x&````y`#`z&````x`}} = {z} over {c} `A`+` LEFT ( x- {a} over {c} z RIGHT ) `E]

(ⅱ) [eqn: a-d != 0]인 경우

[eqn: y= {b(x-w)} over {a-d} ``,`````z= {c(x-w)} over {a-d} ``]이므로

[eqn: X= {x-w} over {a-d} `A+ BOX{`` {aw-dx} over {a-d} ```} `E``]이다.

(ⅰ)과 (ⅱ)에 의해 이차정사각행렬 [eqn: X``]는
[eqn: X=mA+nE``] 형태로 나타낼 수 있다.

17. [출제의도] 역행렬의 성질 이해하기

[eqn: LEFT ( A+E RIGHT ) LEFT ( 2A-E RIGHT ) =E``]

[eqn: 2A ^{2} +A-2E=0]

[eqn: A LEFT ( 2A+E` RIGHT ) =2E`]

[eqn: therefore` LEFT ( 2A+E RIGHT ) ^{-1} = {1} over {2} A]

18. [출제의도] 극한의 성질을 이용하여 수학외적문제 해결하기

다음은 직원기둥의 옆면의 전개도에서 최단거리의 선을 나타낸 것이다.

[eqn: a _{1} = sqrt {64 pi ^{2} +10 ^{2}}]

[eqn: a _{2} =2 TIMES sqrt {64 pi ^{2} + LEFT ( {10} over {2} RIGHT ) ^{2}}]

⋮

같은 방법으로 [eqn: a _{n} =n TIMES sqrt {64 pi ^{2} + LEFT ( {10} over {n} RIGHT ) ^{2}}]

[eqn: THEREFORE `][eqn: lim _{n` -> ` INF } {{a _{n}} over {n}} = lim _{n` -> ` INF } {sqrt {64 pi ^{2} + LEFT ( {10} over {n}`RIGHT ) ^{2}}} =8 pi]

19. [출제의도] 상용로그를 이용하여 수학외적문제 해결하기

[eqn: ````v _{1} =`k rho g ^{-0.5} A _{1} ^{1.25}]  …… ①

[eqn: 5v _{1} =`k rho g ^{-0.5} A _{2} ^{1.25}]  …… ②

②[eqn: ÷]①을 하면 [eqn: 5= LEFT ( {A _{2}} over {A _{1}} RIGHT ) ^{1.25}]이다.

양변에 상용로그를 취하면

[eqn: log`5=1.25`log {A _{2}} over {A _{1}}]이므로

[eqn: log {A _{2}} over {A _{1}} =0.56=log`3.63]  [eqn: THEREFORE ``` {A _{2}} over {A _{1}} =3.63`]

20. [출제의도] 역행렬의 정의를 이용하여 행렬의 성질 추론하기

ㄱ. [eqn: A(BC)=E``]에서 [eqn: A ^{-1} =BC] (참)

ㄴ. [eqn: A ^{-1} LEFT ( ABC` RIGHT ) A=A ^{-1} A=E`]에서 [eqn: BCA=E]

[eqn: C LEFT ( ABC` RIGHT ) C ^{-1} =C ^{`} C ^{-1} =E`]에서 [eqn: CAB=E]

따라서 [eqn: BCA=CAB] (참)

ㄷ. [eqn: B(CA)=E``]에서 [eqn: B ^{-1} =CA] (참)

[eqn: THEREFORE ```]ㄱ, ㄴ, ㄷ

21. [출제의도] 도형의 규칙성을 이용하여 수학내적문제 해결하기

수열 [eqn: LEFT { l _{n} RIGHT }]은 [eqn: l _{1} `= {pi} over {3} `], 공비가 [eqn: {5} over {9} `]인 등비수열이므로

[eqn: sum _{it n=1} ^{INF } l _{n} `=`` {{pi } over {3}} over {1- {5} over {9}} `=` {3} over {4} pi it]

수열 [eqn: LEFT { k _{n} RIGHT }]은 [eqn: k _{1} `= {1} over {3} `], 공비가 [eqn: {2} over {3} `]인 등비수열이므로

[eqn: sum _{it n=1} ^{INF } k _{n} `=`` {{1} over {3}} over {1- {2} over {3}} `=`1` it]

[eqn: sum _{it n=1} ^{INF } LEFT ( ``l _{n} +k _{n} ` RIGHT ) `=` sum _{it n=1 rm } ^{INF } it l _{n} + sum _{it n=1 rm } ^{INF } k _{n} it `=` {3} over {4} pi `+1]

[eqn: a= {3} over {4} `], [eqn: b=1`]이므로 [eqn: a+b= {7} over {4} `]이다.

22. [출제의도] 무한급수의 성질 이해하기

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } { LEFT ( 2a _{n} -3 RIGHT ) } =300]   …… ①

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( 2b _{n} +3 RIGHT ) =180]   …… ②

두 무한급수가 수렴하므로 ①[eqn: +]② 하면

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( 2a _{n} -3 RIGHT ) + sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( 2b _{n} +3 RIGHT )][eqn: = sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( 2a _{n} +2b _{n} RIGHT ) =480]

[eqn: THEREFORE ``` sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( a _{n} +b _{n} RIGHT ) =240]

23. [출제의도] 행렬의 연산 이해하기

[eqn: A ^{-1} = {pmatrix{```a```&```-a-1```#-a+1&a}} `]이므로

[eqn: A+A ^{-1} =2aE``]

양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: A ^{2} + LEFT ( A ^{-1} RIGHT ) ` ^{2} = LEFT ( 4a ^{2} -2 RIGHT ) E``]

모든 성분의 합이 [eqn: 124`]이므로 [eqn: 2 LEFT ( 4a ^{2} -2 RIGHT ) =124]

[eqn: THEREFORE ```a ^{2} =16`]

24. [출제의도] 수열의 합 이해하기

[eqn: a _{n+1} =S _{n+1} -S _{n} = LEFT ( 2a _{n+1} -1 RIGHT ) - LEFT ( 2a _{n} -1 RIGHT )]

[eqn: =2a _{n+1} -2a _{n} ``]

[eqn: a _{n+1} =2a _{n} `]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]은 공비가 [eqn: 2`]인 등비수열이다.

[eqn: a _{1} =S _{1} =2a _{1} -1]이므로 [eqn: a _{1} =1]이다.

[eqn: a _{n} =2 ^{n-1} `]이므로 [eqn: a _{6} =2 ^{5} =32`]

[eqn: THEREFORE ``a _{6} =32`]

25. [출제의도] 로그함수의 그래프를 이용하여 수학내적문제 해결하기

점 [eqn: rmC``]의 좌표를 [eqn: LEFT ( a`,~0` RIGHT ) `]라 하면

[eqn: LEFT . rm A` it LEFT ( a,``log _{3} a RIGHT ) RIGHT .], [eqn: rm B it (9a,``log _{3} 9a)], [eqn: rmD it LEFT ( 9a`,~0` RIGHT ) `]

이고 [eqn: bar{rm CD}]의 길이는 [eqn: 8a`]이다.

직선 [eqn: rmAB]의 기울기가 [eqn: {1} over {2}]이므로

[eqn: {1} over {2} = {log _{3} 9a-log _{3} a} over {9a-a} = {2} over {8a} = {1} over {4a}]

따라서 [eqn: a=` {1} over {2}]이므로 [eqn: 8a=4`] [eqn: THEREFORE ````rm bar{CD}]의 길이는 [eqn: 4]

26. [출제의도] 무한급수의 성질 이해하기

[eqn: sum _{ n`=`1} ^{ INF } { a_n} over { 5^n}`=`1``]이므로 [eqn: lim _{ n->inf} { { a_n} over {5^n } }``=``0``]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: lim _{n -> INF } { {5``- {1} over {2} LEFT ( {2} over {5} RIGHT ) ^{n} + {a _{n}} over {5 ^{n}}} over {{1} over {5} ``+`2 LEFT ( {2} over {5} RIGHT ) ^{n}} ``=``25]

27. [출제의도] 행렬의 연산을 이용하여 수학내적문제 해결하기

[eqn: A ^{2} = {pmatrix{(x-2) ^{2} +(y+1) ^{2}&0#0&(x-2) ^{2} +(y+1) ^{2}}}]

[eqn: = {pmatrix{25&0#0&25}}]

이므로 점 [eqn: LEFT ( `x`,~y` RIGHT ) `]는 원 [eqn: (x-2) ^{2} +(y+1) ^{2} =25] 위의 점이다.

원의 중심[eqn: (2,~-1)]에서 직선 [eqn: x-y+9=0]까지의 거리는 [eqn: {12} over {sqrt {1 ^{2} +1 ^{2}}} =6 sqrt {2}]이므로
[eqn: m=6 sqrt {2} -5], [eqn: M=6 sqrt {2} +5]이다.

따라서 [eqn: mM= LEFT ( 6 sqrt {2} -5 RIGHT ) LEFT ( 6 sqrt {2} +5 RIGHT ) =47]이다.

[eqn: THEREFORE ``mM=47]

28. [출제의도] 규칙성을 이용하여 수학 외적
문제해결하기

[eqn: k`]행의 숫자들이 등차수열을 이루므로

[eqn: k`]행의 첫째항은 [eqn: 1+ {3} over {10} LEFT ( k-1 RIGHT )]

[eqn: k`]행의 [eqn: k`]번째 항은 [eqn: 1+ {4} over {5} LEFT ( k-1 RIGHT )]

[eqn: k`]행의 숫자들의 합을 [eqn: S _{k} `]라 하면

[eqn: S _{k} = {k LEFT { 1+ {3} over {10} LEFT ( k-1 RIGHT ) +1+ {4} over {5} LEFT ( k-1 RIGHT ) RIGHT }} over {2}]

[eqn: = {1} over {2} k LEFT ( {11} over {10} k+ {9} over {10} RIGHT ) `]

[eqn: 66]개의 꼭짓점에 쓰인 수들의 총합은

[eqn: sum _{k=1} ^{11} S _{k} = sum _{k=1} ^{11} {1} over {2} k LEFT ( {11} over {10} k+ {9} over {10} RIGHT ) =308]

29. [출제의도] 등차수열의 합 이해하기

[eqn: sum _{ k=1} ^{n } `a_k ``=`S_n], [eqn: sum_{k=1} ^{ n} ` b_k ``=` T_n`]이라 하면,

[eqn: { S_n }over{T_n } =`` {2n+1} over { n+3 } `]

수열 [eqn: LEFT { `a _{n} ` RIGHT }], [eqn: LEFT { `b _{n} ` RIGHT } `]이 등차수열이므로

[eqn: S _{n} `=`kn(2n+1)], [eqn: T _{n} `=`kn(n+3)] ([eqn: k`]는 상수)

[eqn: S _{1} `=`3k`=`a _{1} =6] 이므로 [eqn: k=2]

[eqn: T _{n} `=`2n(n+3)] , [eqn: b _{1} `=`8]

수열 [eqn: LEFT { `b _{n} ` RIGHT } `]은 [eqn: b _{1} `=`8], 공차 [eqn: 4`]인 등차수열이다.

[eqn: THEREFORE ``b _{11} ``=`48`]

30. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질을 이용하여 수학내적문제 해결하기

[eqn: log`x=2+ alpha `,`log`y`=2+ beta LEFT . RIGHT .]

[eqn: LEFT . (0 LEQ alpha <1,` LEFT . `0 LEQ beta <1 RIGHT ) RIGHT .]라 하자.

(가)에서 [eqn: log`x+log`y=4+( alpha + beta )]의 값이 정수이므로 [eqn: alpha+beta=0] 또는 [eqn: alpha+beta=1]

[eqn: therefore`alpha=beta=0] 또는 [eqn: beta=1-alpha]  [eqn: cdotscdots`①]

(나)에서 [eqn: log`x-log`y= alpha - beta =0.4]  [eqn: CDOTS CDOTS `②]

①, ②에 의해 [eqn: alpha=0.7``,`beta=0.3]이다.

[eqn: log`x=2.7]에서 [eqn: log500<log`x<log`600]이므로

[eqn: x]의 최고자리의 숫자는 [eqn: 5]이다. [eqn: therefore`a=5]

[eqn: log`y=2.3]에서 [eqn: log`100<log``y<log`200]이므로

[eqn: y`]의 최고자리의 숫자는 [eqn: 1]이다. [eqn: therefore`b=1]

[eqn: therefore`a+b=6]

[eqn: x]의 최고자리의 숫자는 [eqn: 5]이다. [eqn: therefore`a=5]

[eqn: log`y=2.3]에서 [eqn: log`100<log``y<log`200]이므로

[eqn: y`]의 최고자리의 숫자는 [eqn: 1]이다. [eqn: therefore`b=1]

[eqn: therefore`a+b=6]