2011학년도 9월 고1 전국연합학력평가

정답 및 해설

고 1	정답 및 해설	2011학년도 9월 전국연합학력평가

2011학년도 9월 전국연합학력평가	정답 및 해설	고 1

12

수리 영역

정답

1	⑤	2	④	3	①	4	⑤	5	③
6	④	7	⑤	8	③	9	②	10	③
11	②	12	②	13	②	14	③	15	④
16	⑤	17	⑤	18	③	19	①	20	①
21	⑤	22	[eqn: 14]	23	[eqn: 18]	24	[eqn: 44]	25	[eqn: 11]
26	[eqn: 13]	27	[eqn: 5]	28	[eqn: 25]	29	[eqn: 200]	30	[eqn: 15]

해설

1. [출제의도] 집합의 서로소 이해하기

[eqn: LEFT { x`|`x는``7의``양의`약수 RIGHT }][eqn: =LEFT { 1,7 RIGHT }]이고

[eqn: LEFT { 1,7 RIGHT } SMALLINTERA= phi]이므로 [eqn: LEFT { 1,```7 RIGHT }]와 [eqn: A]는 서로소

2. [출제의도] 복소수의 사칙연산 계산하기

[eqn: sqrt {2} TIMES sqrt {-2} + {sqrt {2}} over {sqrt {-2}} `= sqrt {2} TIMES sqrt {2} i+ {sqrt {2}} over {sqrt {2} i} ``# ``````````````````````````````````````````````````````````````````````````=2i-i# ``````````````````````````````````````````````````````````````````````````=i]

3. [출제의도] 절댓값이 있는 부등식 계산하기

ⅰ) [eqn: x<2`]일 때

[eqn: -2x+4 LEQ x+1]

[eqn: 3 LEQ 3x]

[eqn: 1 LEQ x]

[eqn: THEREFORE`````][eqn: 1 LEQ x<2][eqn: CDOTS]①

ⅱ) [eqn: x GEQ 2`]일 때

[eqn: 2x-4 LEQ x+1]

[eqn: x LEQ 5]

[eqn: THEREFORE`````] [eqn: 2 LEQ x LEQ 5] [eqn: CDOTS]②

①, ②로부터 주어진 식을 만족하는 [eqn: x]값의 범위는

[eqn: 1 LEQ x LEQ 5]

[eqn: THEREFORE`````]부등식을 만족하는 정수 [eqn: x`]의 개수는 [eqn: 5]개

4. [출제의도] 다항식의 나눗셈 계산하기

[eqn: x ^{2} -x`+1`]

[eqn: 4x+2]

[eqn: 4x ^{3} -2x ^{2} +3x`+1`]

[eqn: 4x ^{3} -4x ^{2} +4x]

[eqn: 2x ^{2} -``x`+``1`]

[eqn: 2x ^{2} -2x`+2`]

[eqn: x`-1`]

[eqn: Q(x)=4x+2```]

∴ [eqn: Q(1)=6]

5. [출제의도] 진리집합 사이의 포함관계로 명제의 참 거짓 추론하기

[eqn: (P`` CUP Q``) SMALLINTER R= EMPTYSET]

[eqn: LRARROW `][eqn: (P`` CUP Q``) SUBSET R ^{C`}]

[eqn: RARROW][eqn: P`` SUBSET R ^{C} `]

[eqn: THEREFORE`````][eqn: p``]이면 [eqn: SIM r]이다.

6. [출제의도] 집합의 연산법칙 이해하기

집합의 연산법칙에 의하여

[eqn: LEFT ( P ^{C} CUP Q`` RIGHT ) ^{C} `-R``=(P SMALLINTER Q ^{C```} ) SMALLINTER R ^{`C} `]

[eqn: =P` SMALLINTER (Q ^{C} ` SMALLINTER R ^{C} ``)]

[eqn: =P` SMALLINTER (Q` CUP R) ^{C}]

[eqn: =P``-(Q CUP R)]

[eqn: = LEFT { `4,`6,`8,`10 RIGHT }]

[eqn: THEREFORE]모든 원소의 합은 [eqn: 28]

7. [출제의도] 실수의 대소 관계 추론하기

[eqn: a>b`]에서 [eqn: ab>0`]이면 [eqn: {1} over {a} `< {1} over {b} `]

그런데 [eqn: {1} over {a} `>1> {1} over {b} `]이므로 [eqn: ab<0`]

[eqn: {1} over {a} `>1`]이므로 [eqn: b<0<a<1]이다.

ㄱ. [eqn: b>1] (거짓)

ㄴ. [eqn: ab<0]이므로 [eqn: a>b`]의 양변에 [eqn: ab]를 곱하면

[eqn: a^2 b<ab^2] (참)

ㄷ. [eqn: ab+1-(a+b)] [eqn: =ab-a-b+1]

[eqn: =a(b-1)-(b-1)][eqn: =(a-1)(b-1)][eqn: >0]         이므로 [eqn: ab+1>a+b`] (참)

8. [출제의도] ‘어떤’과 ‘모든’을 포함한 명제 이해하기

(가)에서 [eqn: A` NSUBSET B``]이고, (나)에서 [eqn: B`]의 모든 원소 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x]는 [eqn: C`]의 원소가 아니므로 [eqn: B`]와 [eqn: C`]는 서로소

[eqn: THEREFORE`````]벤다이어그램 중 두 명제가 참이 되도록 하는 것은

9. [출제의도] 두 점 사이의 거리를 구하여 수학내적문제 해결하기

삼각형 [eqn: rmABC]의 외심을 [eqn: rm O prime]라 하면, 외심[eqn: rm `O` prime]에서 각 꼭짓점까지의 거리가 같으므로 [eqn: rm O prime]는 변 [eqn: rm`BC`]의 중점이다. 따라서 외심의 성질에 의해 삼각형 [eqn: rm`ABC`]는 변 [eqn: rm`BC`]를 빗변으로 하는 직각삼각형이다.

그러므로 [eqn: rm ` {bar{AB }}^2 + {bar{AC }}^2 = {bar{BC}}^2]이고 [eqn: rm bar{BC} =2` bar{O prime A}]이므로 [eqn: rm{bar{BC}}^2 =4` {bar{O prime A}}^2 =4(`3 ^{2} `+2 ^{2} `)=52]

[eqn: THEREFORE] [eqn: rm ` {bar{AB}} ^{2} + {bar{AC}} ^{2} =52]

10. [출제의도] 필요조건과 충분조건 이해하기

조건 [eqn: p]는 조건 [eqn: q]이기 위한 충분조건이지만 필요조건이 아니므로 [eqn: `p`` -> `q]는 참이고 [eqn: q` -> `p]는 거짓이다.

ㄱ. [eqn: x=0]이고, [eqn: y=0]이면 [eqn: LEFT | `0+0` RIGHT | `= LEFT | `0-0` RIGHT | `]

[eqn: THEREFORE ``p`` -> `q]는 참

그러나, [eqn: x=3`,```y=0]이면

[eqn: LEFT | 3+0 RIGHT | = LEFT | `3-0` RIGHT |]이지만 [eqn: x != 0`]이므로 [eqn: q` -> `p]는 거짓

ㄴ. [eqn: x>y>z]이면 [eqn: x-y>0], [eqn: y-z>0],

[eqn: z-x<0]이므로 [eqn: (x-y)(y-z)(z-x)<0]

[eqn: THEREFORE ``p`` -> `q]는 참

그러나 [eqn: x=2,``y=1,`z=5] 일 때,

[eqn: (x-y)(y-z)(z-x)=-12<0] 이지만

[eqn: z>x>y] 이므로 [eqn: q` -> `p]는 거짓

ㄷ. [eqn: ` LEFT | `x` RIGHT | + LEFT | `y` RIGHT | `> LEFT | `x+y` RIGHT |]

[eqn: ` LRARROW `(` LEFT | `x` RIGHT | + LEFT | `y` RIGHT | `) ^{2} `>` LEFT | `x+y` RIGHT | ^{2} `]

[eqn: LRARROW ``x ^{2} +2 LEFT | `x` RIGHT | LEFT | `y` RIGHT | +y ^{2} `>x ^{2} +2xy+y ^{2}]

[eqn: LRARROW `` LEFT | `xy` RIGHT | `>xy]

[eqn: LRARROW ``xy<0`]

[eqn: THEREFORE ``p`` -> `q]와 [eqn: q`` -> `p]는 모두 참

[eqn: THEREFORE `]충분조건이지만 필요조건이 아닌 것은 ㄱ, ㄴ

11. [출제의도] 다항식의 최대공약수 이해하기

다항식 [eqn: f(x)`]를 [eqn: g(x)`]로 나눈 몫을 [eqn: Q(x)]라 하면,

[eqn: f(x)`=g(x)Q(x)`+R(x)]이다.

[eqn: `x+2`]가 [eqn: g(x)]와 [eqn: R(x)]의 인수이므로

[eqn: g(-2)=R(-2)=0]

따라서 [eqn: f(-2)=0]

[eqn: f(-2)=16+4a+2-2=0`] [eqn: THEREFORE `a=-4`]

[eqn: g(-2)=-8-2b+2=0]   [eqn: THEREFORE `b=-3]

[eqn: THEREFORE a+b=-7]

12. [출제의도] 무리식을 이용하여 수학외적문제 해결하기

가속도 [eqn: a=0`]일 때 [eqn: T`]의 값 [eqn: A=2 pi sqrt {{l} over {g}} `],

가속도 [eqn: a= {sqrt {3}} over {2} g`]일 때 [eqn: T`]의 값

[eqn: B=2 pi sqrt {{l} over {g+ {sqrt {3}} over {2} g}} `=2 pi sqrt {{2} over {2+ sqrt {3}}} sqrt {{l} over {g}}]이다.

[eqn: THEREFORE`` {B} over {A} = sqrt {{2} over {2+ sqrt {3}}}] [eqn: = sqrt {4-2 sqrt {3}} = sqrt {3} -1]

13. [출제의도] 이차방정식의 판별식을 활용하여 수학내적문제 해결하기

이차방정식 [eqn: x ^{2} +2 sqrt {2} x-m(m+1)=0`]이 실근을 가지므로 판별식 [eqn: D`]가 [eqn: D GEQ 0]이어야 한다.

[eqn: { D it} over {4} =2+m(m+1)`=`m ^{2} +m+2]

[eqn: =(m+ {1} over {2} ) ^{2} `+ {7} over {4} `>0]

[eqn: THEREFORE] 모든 실수 [eqn: m`]에 대하여 실근을 갖는다. [eqn: CDOTS]①

이차방정식 [eqn: x ^{2} -(m-2)x+4=0]은 허근을 가지므로 판별식 [eqn: D`]가 [eqn: D<0]이어야 한다.

[eqn: D=(m-2) ^{2} -16<0]

[eqn: m ^{2} -4m-12<0]

[eqn: (m+2)(m-6)<0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: -2<m<6] [eqn: CDOTS]②

[eqn: therefore] ①, ②를 동시에 만족시키는 실수 [eqn: m]의 값의 범위는 [eqn: -2<m<6]

14. [출제의도] 켤레복소수의 성질 이해하기

[eqn: alpha bar{alpha } ``= beta ` bar{beta `} ``=3`]에서 [eqn: {1} over {alpha } = {1} over {3} bar{alpha } `], [eqn: {1} over {beta } = {1} over {3} bar{beta `} `]이므로

[eqn: ( alpha + beta ) LEFT ( {1} over {alpha } + {1} over {beta } ` RIGHT ) `=( alpha + beta ) LEFT ( {1} over {3} bar{alpha } + {1} over {3} bar{beta `} RIGHT )# ``````````````````````````````````````````````````````````= {1} over {3} ( alpha + beta ) LEFT ( bar{alpha } + bar{beta } RIGHT )# ``````````````````````````````````````````````````````````= {1} over {3} ( alpha + beta ) LEFT ( ` bar{alpha + beta `} ` RIGHT ) `# ``````````````````````````````````````````````````````````= {1} over {3} TIMES 3=1]

15. [출제의도] 복소수의 거듭제곱의 성질을 이용하여 수학내적문제 해결하기

(가)에서 [eqn: LEFT ( {-1+ sqrt {3} i} over {2} RIGHT ) ^{3} =1`]

이므로 자연수 [eqn: k`]에 대하여 [eqn: n=3k`]

(나)에서  [eqn: LEFT ( - {-1+ sqrt {3} i} over {2} RIGHT ) ^{3k} =(-1) ^{3k} ` LEFT ( {-1+ sqrt {3} i} over {2} RIGHT ) ^{3k}]

[eqn: =(-1) ^{3k} TIMES 1=1]

이므로 자연수 [eqn: l`]에 대하여 [eqn: k=2l``]

그러므로 [eqn: n=6l`]

[eqn: THEREFORE`````][eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 6`]

16. [출제의도] 3차방정식을 이용하여 수학외적문제 해결하기

그림과 같이 필요한 블록의 개수는 8개이므로

[eqn: 8x LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT ) =][eqn: 7x ^{3} +28x ^{2} +20x+5`]

[eqn: x ^{3} -4x ^{2} -4x-5=0]

[eqn: LEFT ( x-5 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} ^{} +x+1 RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE x=5]

17. [출제의도] 무리식의 성질을 이용하여 실수의 대소관계 추론하기

[eqn: LEFT | `ap+bq` RIGHT | ^{`2} `-( sqrt {a ^{2} p+b ^{2} q ^{}} ) ^{2}]

[eqn: =a ^{2} p ^{2} `+2abpq+b ^{2} q ^{2} `-(a ^{2} p+b ^{2} q)]

[eqn: =a ^{2} p(p-1)+b ^{2} q` BOX{``(q-1) ^{} `} +2abpq]

조건에서 [eqn: p+q=1]이므로 [eqn: q=1-p]를 대입하면

[eqn: =a ^{2} p(p-1)+b ^{2} (1-p)(-p)+2abp(1-p)]

[eqn: =p(p-1)(a ^{2} +b ^{2} `-2ab)]

[eqn: = BOX{`(a-b) ^{2} `} ``p(p-1)]

주어진 조건에서 [eqn: p GEQ 0], [eqn: p-1=`-q`` LEQ 0] 이므로

[eqn: p(p-1)` BOX{`` LEQ `} ``0]이고, [eqn: (a-b) ^{2} GEQ 0]

[eqn: (a-b) ^{2} `p(p-1)` LEQ 0]

[eqn: THEREFORE LEFT | `ap+bq` RIGHT | ^{`} ` LEQ sqrt {a ^{2} p+b ^{2} q}]

18. [출제의도] 유리식을 이용하여 수학외적문제 해결하기

수리영역에 응시한 전체 학생 수를 [eqn: A`]라 하면,

남학생이[eqn: x over 100 A`]명,  여학생이 [eqn: y over 100 A`]명

수리영역에 응시한 전체 학생들의 점수의 총합을 [eqn: B`]라 하면, 남학생들의 점수의 총합은 [eqn: a over 100 B`]점, 여학생들의 점수의 총합은 [eqn: b over 100 B`]점

그러므로 남학생의 평균점수는 [eqn: {a over 100 B} over {x over 100 A}= aB over xA`]

여학생의 평균점수는 [eqn: {b over 100 B} over {y over 100 A}= bB over yA`]

따라서 남학생의 평균점수에 대한 여학생의 평균점수의 비의 값을 나타낸 식은

[eqn: {{bB} over {yA}} over {{aB} over {xA}} = {bx} over {ay} `]

19. [출제의도] 삼차방정식을 이용하여 수학내적문제 해결하기

[eqn: x ^{3} +ax ^{2} +bx+c=0`]의 세 근이 [eqn: alpha `], [eqn: beta `], [eqn: gamma`]이므로[eqn: alpha + beta + gamma =-a], [eqn: alpha beta + beta gamma + gamma alpha =b], [eqn: alpha beta gamma =-c]

[eqn: x ^{3} -2x ^{2} +3x-1=0`]의 세 근이

[eqn: {1} over {alpha beta } `], [eqn: {1} over {beta gamma } `], [eqn: {1} over {gamma alpha } `]이므로

ⅰ) [eqn: {1} over {alpha beta } `+ {1} over {beta gamma } + {1} over {gamma alpha } = {alpha + beta + gamma } over {alpha beta gamma } = {a} over {c} =2]

ⅱ) [eqn: {1} over {alpha beta } TIMES {1} over {beta gamma } + {1} over {beta gamma } TIMES {1} over {gamma alpha } + {1} over {gamma alpha } TIMES {1} over {alpha beta }]

[eqn: = {1} over {alpha beta ^{2} gamma } `+ {1} over {alpha beta gamma ^{2}} + {1} over {alpha ^{2} beta gamma }]

[eqn: = {alpha gamma + alpha beta + beta gamma } over {( alpha beta gamma ) ^{2}} = {b} over {c ^{2}} =3]

ⅲ) [eqn: {1} over {alpha beta } TIMES {1} over {beta gamma } TIMES {1} over {gamma alpha } = {1} over {( alpha beta gamma ) ^{2}} = {1} over {c ^{2}} =1]

[eqn: c ^{2} =1]이므로 ⅰ)에서 [eqn: a ^{2} =4], ⅱ)에서 [eqn: b ^{2} =9]

[eqn: ` THEREFORE ````a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} =14]

20. [출제의도] 부등식을 이용하여 수학내적문제 해결하기

(가)

(다)

(나)

피타고라스의 정리에 의해 그림에서 정사각형 (가)의 넓이는 정사각형 (나)의 넓이와 정사각형 (다)의 넓이의 합과 같다.

[eqn: THEREFORE `][eqn: a^2 = b^2 + c^2 `]

이와 같은 관계를 나머지 사각형에 적용하면 모든 정사각형의 넓이의 합은 [eqn: 3a^2 `]

따라서 [eqn: 3a^2 = 75`]이므로 [eqn: a=5`]

그런데 [eqn: a ^{2} =b ^{2} +c ^{2} GEQ 2 sqrt {b ^{2} c ^{2}} =2bc`]이므로

[eqn: 25 GEQ 2bc]

[eqn: THEREFORE `````][eqn: 2abc`]의 최댓값은 [eqn: 125`]

21. [출제의도] 유리식과 무리식을 이용하여 사다리꼴의 성질 추론하기

ㄱ. [eqn: rm`TRIANGLE ABC]와 [eqn: rm` TRIANGLE DBC`]의 높이가 같고 밑변은 공통이므로 두 삼각형의 넓이가 같다.

[eqn: S _{2} +S _{3} =S _{4} +S _{3}]

[eqn: THEREFORE `][eqn: S _{2} =S _{4} `] (참)

ㄴ. 높이가 같은 삼각형에서 밑변의 길이의 비는 넓이의 비와 같으므로 [eqn: rm ` bar{BO} `: bar{OD}]를 [eqn: m`:`n`]이라 하면 [eqn: {S _{1}} over {S _{2}} = {n} over {m} = {S _{4}} over {S _{3}}]이므로 [eqn: S _{1} S _{3} =S _{2} S _{4} `]  (참)

ㄷ. 사다리꼴 [eqn: rm`ABCD`]의 넓이는

[eqn: S _{1} +S _{2} +S _{3} +S _{4} `]이고

ㄱ과 ㄴ에 의하여 [eqn: S _{1} S _{3} =S _{2} S _{4} =S _{4} ^{2} `]이므로

[eqn: S _{1} +S _{2} +S _{3} +S _{4} `][eqn: =S _{1} +S _{3} +2S _{4}]

[eqn: =S _{1} +S _{3} +2 sqrt {S _{1} S _{3}}]

[eqn: =( sqrt {S _{1}} + sqrt {S _{3}} ) ^{2}]  (참)

22. [출제의도] 실수의 연산 이해하기

[eqn: a◎b=`a-3b+2ab``]이므로

[eqn: 4◎2=`4-6+16=14``]

23. [출제의도] 좌표평면 위에서 외분점의 좌표 계산하기

두 점 [eqn: rm A(2,``4),```B(-2,``5)]를 잇는 선분 [eqn: rmAB`]를

[eqn: 1:2]로 외분하는 점의 좌표는

[eqn: LEFT ( `x,~y` RIGHT ) ``= LEFT ( {1 TIMES (-2)-2 TIMES 2} over {1-2} ,~ {1 TIMES 5-2 TIMES 4} over {1-2} RIGHT ) `]

[eqn: =`(`6`,```3)]

[eqn: THEREFORE `````][eqn: `xy=18]

24. [출제의도] 무리식의 성질 이해하기

[eqn: sqrt {alpha + beta +2 sqrt { alpha beta }} `= sqrt {alpha } + sqrt {beta } =2+2 sqrt {2} `]

[eqn: alpha =4], [eqn: beta =8] 또는 [eqn: alpha =8], [eqn: beta =4]이므로

[eqn: alpha + beta =12], [eqn: alpha beta =32]이다.

근과 계수의 관계에서 [eqn: alpha + beta =p], [eqn: alpha beta =q]이므로

[eqn: p=12,`q=32]

[eqn: THEREFORE `````][eqn: p+q=44]

25. [출제의도] 항등식의 성질 이해하기

[eqn: x]에 대한 항등식이므로

[eqn: x=`-1`]대입, [eqn: 1-a+1+b=0]

[eqn: x=2] 대입, [eqn: 16-4a-2+b=0]

[eqn: a]와 [eqn: b]에 관한 연립방정식을 풀면, [eqn: a=4,`b=2]

[eqn: x ^{4} -4x ^{2} -x+2=(x+1)(x-2)f(x)] 이므로

[eqn: x=3]을 대입하면 [eqn: f(3)=11]

26. [출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계 이해하기

이차방정식 [eqn: x ^{2} `+(1-3m)x+2m ^{2} -4m-7=0`]의 두 근을 [eqn: alpha ,~ beta ``]라 하면, 근과 계수의 관계로부터 [eqn: alpha + beta =3m-1`], [eqn: alpha beta =2m ^{2} -4m-7`]이다.

두 근의 차가 [eqn: 4`]이므로 [eqn: LEFT | ` alpha - beta ` RIGHT | `=4``]에서

[eqn: LEFT ( alpha - beta RIGHT ) ^{2} =( alpha + beta ) ^{2} `-4 alpha beta]

[eqn: = LEFT ( 3m-1 RIGHT ) ^{2} -4 LEFT ( 2m ^{2} -4m-7 RIGHT ) =16]

[eqn: m ^{2} +10m+13=0`]

[eqn: THEREFORE `````]실수 [eqn: m]의 모든 값의 곱은 [eqn: 13]

27. [출제의도] 연립방정식을 활용하여 수학내적문제 해결하기

[eqn: {cases{``3x-y+2z=4&``````````` CDOTS CDOTS `①#``x-2y+2z=1&``````````` CDOTS CDOTS `②#``ax+ay-2z=0&``````````` CDOTS CDOTS `③}}]

[eqn: ①-②]에서 [eqn: 2x+y=3]              [eqn: ```CDOTS CDOTS ``④]

[eqn: ②+③]에서 [eqn: (a+1)x+(a-2)y=1 _{}]   [eqn: CDOTS CDOTS ``⑤]

[eqn: ④]식을 [eqn: ⑤]식에 대입하면

[eqn: (5-a)x=7-3a]이고

방정식의 해가 존재하지 않으려면

[eqn: 5-a=0]이고 [eqn: 7-3a !=0]

[eqn: THEREFORE `][eqn: a=5]

28. [출제의도] 복소수의 성질 이해하기

자연수 [eqn: k`]에 대하여

[eqn: i ^{n} = {cases{`````i&``(`n=4k-3``일``때)#-1&``(`n=4k-2``일``때)#-i&``(`n=4k-1``일``때)#````1&``(`n=4k``일`때)}}]

이므로

[eqn: {1} over {i} - {1} over {i ^{2}} + {1} over {i ^{3}} - {1} over {i ^{4}} + CDOTS + {(-1) ^{n+1}} over {i ^{n}}]

[eqn: =`-i+1+i-1+ CDOTS + {(-1) ^{n+1}} over {i ^{n}} `]

[eqn: = {cases{````-`i&``(`n=4k-3``일``때)#1-i&``(`n=4k-2``일``때)#`````1&``(`n=4k-1``일``때)#`````0&``(`n=4k``일`때)}}]

따라서 주어진 등식을 만족하는 [eqn: n`]의 값은 자연수 [eqn: k`]에 대하여 [eqn: n=4k-2]일 때이다.

[eqn: 0<4k-2 LEQ 100]

[eqn: {2} over {4} <k LEQ {102} over {4} ``]이므로 식을 만족하는 자연수 [eqn: k`]는

[eqn: 1,`2,```3,~ CDOTS `,~25] 이다.

[eqn: THEREFORE `````][eqn: 25]개

29. [출제의도] 절대부등식을 이용하여 수학외적문제 해결하기

위의 그림에서와 같이 종이가 접히는 각 점을 [eqn: rm E,`F,`G,`H,`I```]라 하면,

[eqn: bar{rmEF} `+ bar{rmGH} `+ bar{rmIP} `= bar{rmQB} `]

[eqn: bar{rm QE it} `+ bar{rm FG it} `+ bar{rm HI it} `= bar{rm BP it} `]이므로

[eqn: rm bar{QB} it =a`], [eqn: rm bar{BP} it =b`]라 하면 종이띠의 길이가 [eqn: 40`]이므로 [eqn: 2(a+b)=40]에서 [eqn: a+b = 20]이다.

[eqn: l ^{2} =a ^{2} +b ^{2} =(a+b) ^{2} -2ab=400-2ab]

[eqn: 20=a+b GEQ 2 sqrt {ab}]에서 [eqn: ab LEQ 100]이므로

[eqn: THEREFORE `````][eqn: l ^{2} `]의 최솟값은 [eqn: 200]

(다른 풀이)

[eqn: rm bar{QB} it =a`], [eqn: rm bar{BP} it =b`]라 하면 종이띠의 길이가 [eqn: 40`]이므로 [eqn: 2(a+b)=40] [eqn: THEREFORE `][eqn: a+b = 20], [eqn: a ^{2} +b ^{2} =l ^{2}]

실수 [eqn: p,``q,``x,``y`]에 대하여

부등식 [eqn: (p ^{2} +q ^{2} )`(x ^{2} +y ^{2} )` GEQ (px+qy) ^{2`} `]이 절대부등식이므로

[eqn: (1 ^{2} +1 ^{2} )(a ^{2} +b ^{2} ) GEQ (a+b) ^{2} `]

[eqn: 2l ^{2} GEQ 20 ^{2}]

[eqn: THEREFORE `````][eqn: l ^{2} `]의 최솟값은 [eqn: 200]

30. [출제의도] 곱셈공식을 활용하여 수학내적문제 해결하기

[eqn: rm bar{AL _{1}} ``=` it a``(a>0)`]라 하면, [eqn: bar{rm N _{1} M _{1} it} = bar{rm N _{1} C it} `=a`],

[eqn: bar{rm AL _{1} it} cdotbar{rm L _{2} B it} `=1]이므로 [eqn: rm bar{L _{2} B} ``= it ` {1} over {a} `=rm bar{L _{2} M _{2}}]

또한, [eqn: rm bar{L _{1} M _{1}} `]과 [eqn: rm bar{M _{2} N _{2}} `]의 교점을 점[eqn: rmP]라 하고, [eqn: rm bar{L _{1} L _{2}} =][eqn: x]라 하면 [eqn: rm bar{PM _{2}} = bar{rm PM _{1}}][eqn: =x]

평행선의 성질에 의해 [eqn: rm TRIANGLE ABC`], [eqn: rm TRIANGLE L _{2} BM _{2} ``],

[eqn: rm TRIANGLE PM _{2} M _{1} ``], [eqn: rm TRIANGLE N _{1} M _{1} C``]는 모두 닮음이고

닮음비는 [eqn: 4``:` {1} over {a} `:x`:a``]이므로

넓이의 비는 [eqn: 16``:` {1} over {a ^{2}} `:x ^{2} :a ^{2} ``]이다.

삼각형 [eqn: rm ABC]의 넓이를 [eqn: S``], 어두운 부분 전체의 넓이를 [eqn: T`]라 하면

[eqn: S=2T`] 이므로

[eqn: 16k=`2 LEFT ( {1} over {a ^{2}} `+`x ^{2} +a ^{2} ` RIGHT ) k] ([eqn: k`]는 비례상수)

[eqn: 8=` LEFT ( a+ {1} over {a} RIGHT ) ^{2} -2+x ^{2} `]

[eqn: 8=` LEFT ( 4-x RIGHT ) ^{2} -2+x ^{2} `]

[eqn: x ^{2} -4x+3=0`]

[eqn: THEREFORE x=`1`]또는 [eqn: 3`]

[eqn: a+ {1} over {a} =4-x]이고 [eqn: a>0`]이므로

[eqn: 4-x GEQ 2]

즉, [eqn: 0<x LEQ 2`]이므로 구하는 [eqn: x`=1`]

[eqn: THEREFORE `````][eqn: 15` bar{rm L _{1} L _{2} it} `=15]