수리 영역

“나”형 정답

1	①	2	②	3	④	4	④	5	②
6	⑤	7	③	8	⑤	9	①	10	③
11	④	12	⑤	13	③	14	④	15	⑤
16	③	17	①	18	④	19	④	20	①
21	②	22	[eqn: 20]	23	[eqn: 10]	24	[eqn: 36]	25	[eqn: 16]
26	[eqn: 200]	27	[eqn: 35]	28	[eqn: 18]	29	[eqn: 171]	30	[eqn: 15]

해설

1. [출제의도] 로그 계산하기

[eqn: a ^{b} = LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) ^{log _{4} `16} = LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) ^{2} =3`]

2. [출제의도] 역행렬 계산하기

[eqn: A ^{-1}= {pmatrix{-1&`-3#```````1&````````2}}]이므로 [eqn: A+A ^{-1} =E]

따라서 모든 성분의 합은 [eqn: 2]

3. [출제의도] 미분계수 계산하기

[eqn: lim _{x -> 1} {{f(x)-f LEFT ( 1 RIGHT )} over {x-1} =f` prime `(1)}]

[eqn: f` prime `(x)=2x+2]

따라서 [eqn: f` prime LEFT ( 1 RIGHT ) =4]

4. [출제의도] 행렬과 그래프 이해하기

[eqn: a=b=c=e=f=1], [eqn: d=0]이므로

변의 개수는 [eqn: 8]

5. [출제의도] 행렬을 이용하여 수학외적문제 해결하기

[eqn: {cases{20x+15y=600&#25x+20y=770&}}]이므로 [eqn: 5 {pmatrix{4&````3#5&````4}} {pmatrix{x#y}} = {pmatrix{600#770}}]

[eqn: {pmatrix{x#y}} = {1} over {5} {pmatrix{````````4&~-3`#`-5&`~`````4`}} {pmatrix{600#770}}]

[eqn: alpha =-3,` beta =-5]

따라서 [eqn: alpha beta =15]

6. [출제의도] 지수․로그 함수의 그래프 이해하기

[eqn: rm A(2,`1),~B(4,`2),~C(2,`4),~D(1,`2)]이므로

사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이는 [eqn: {9} over {2}]

7. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 수의 성질 추론하기

[eqn: log``x= LEFT [ log``x RIGHT ] + {1} over {k} =(정수)+ {1} over {k}]

[eqn: k=1]일 때, [eqn: A _{1} =phi]

[eqn: k!=1]일 때,

[eqn: A _{k} = LEFT { 10 ^{{1} over {k}} ,``10 ^{1+ {1} over {k}} ,``10 ^{2+ {1} over {k}} ,``10 ^{3+ {1} over {k}} ,``10 ^{4+ {1} over {k}} RIGHT }]

ㄱ. [eqn: LEFT . A _{2} = LEFT { 10 ^{{1} over {2}} ,~10 ^{{3} over {2}} ,~10 ^{{5} over {2}} ,``10 ^{{7} over {2}} `,`10 ^{{9} over {2}} RIGHT . RIGHT } `] 이므로

[eqn: sqrt {10} IN A _{2}] (참)

ㄴ. [eqn: 2]이상의 자연수 [eqn: k`]에 대하여

[eqn: n(A _{k} )=5] (참)

ㄷ. 서로 다른 자연수 [eqn: m,n]에 대하여 [eqn: A _{m} SMALLINTER A _{n} = phi]     (거짓)

8. [출제의도] 지수함수의 성질 이해하기

[eqn: 3 ^{x} =t(t>0)]라 하면

[eqn: y= {t ^{2} +t+9} over {t} =t+1+ {9} over {t}]이고, [eqn: t+ {9} over {t} GEQ 6]

따라서 최솟값은 [eqn: 7]

9. [출제의도] 로그를 이용하여 수학외적문제 해결하기

전력소비량의 증가율을 [eqn: r]이라 하면

[eqn: (1+r) ^{3} A=1.23A]

[eqn: log(1+r)=0.03]

[eqn: log(1+r) ^{8} =8log(1+r)=0.24# ````````````````````````````````````````=log`1.23+log`1.40=log`1.722]

따라서 [eqn: 1.72]배

10. [출제의도] 도함수의 그래프를 이용하여 함수의 그래프 추론하기

[eqn: f` prime `(x)=a(x-2) ^{2}] ([eqn: a<0])이므로

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 2]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f`'(x)]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f(x)]	[eqn: SEARROW]		[eqn: SEARROW]

ㄱ. [eqn: f`'`(0)<0]이므로 [eqn: x=0]에서 감소상태 (참)

ㄴ. 극댓값은 존재하지 않는다. (거짓)

ㄷ. 모든 실수에 대하여 함수 [eqn: f(x)]는 감소함수이

므로 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 [eqn: x]축과 오직 한 점

에서 만난다. (참)

11. [출제의도] 등차․등비수열의 합 계산하기

[eqn: d( rm A,``P _{it n rm} )= it LEFT | 1-n RIGHT | + LEFT | 0-2 ^{n} RIGHT |]이다.

[eqn: sum _{n=1} ^{10} d(rmA,`P _{it n} )= itsum _{n=1} ^{10} (-1+n+2 ^{n} )=2 ^{11} +43]

12. [출제의도] 무한급수의 성질 이해하기

[eqn: a _{n} =2 ^{n} -1] 이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1} over {log _{2} `2 ^{n} ``log _{2} `2 ^{n+1} `} = sum _{n=1} ^{INF } {1} over {n(n+1)} =1]

13. [출제의도] 로그부등식을 활용하여 수학외적문제 해결하기

[eqn: C _{1} `=` {k} over {log`2} `,~C _{2} `=` {k} over {log``n} `]

[eqn: {log``n} over {log``2} `>` {1} over {log``2}] 이므로 [eqn: `n`>`10]

따라서 자연수 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 11]

14. [출제의도] 함수의 극한 이해하기

[eqn: x != 0] 이고 [eqn: -1<x<1] 일 때,

[eqn: 0<1-x ^{2} <1] 이므로

[eqn: f(x)= sum _{n=0} ^{INF } (x ^{4} +x ^{2} )(1-x ^{2} ) ^{n}]

[eqn: = {x ^{4} +x ^{2}} over {1-(1-x ^{2} )} =x ^{2} +1]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{``x ^{2} +1`&( LEFT | x RIGHT | `<``1,```x != 0)``#``````````0&(|x| GEQ 1,```x=0)}}]

따라서 [eqn: lim _{x`-> `-1+0} {``f LEFT ( x RIGHT ) = lim _{x`-> -1+0} {LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT )} `=2}]

15. [출제의도] 행렬을 이용하여 도형의 넓이 추론하기

ㄱ. [eqn: S(A)= {3} over {2}] (참)

ㄴ. [eqn: S(A)= {1} over {2} (c-b)(d-a)]

[eqn: S(kA)= {1} over {2} (kc-kb)(kd-ka)=k ^{2} S(A)] (참)

ㄷ. 행렬 [eqn: A+m`B`]에 의해 정해지는 네 점은 행렬 [eqn: A]에 의해 정해지는 네 점을 [eqn: x]축, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: m]만큼 평행이동한 점이므로 사각형의 넓이는 같다. (참)

16. [출제의도] 무한등비급수를 활용하여 수학내적문제 해결하기

[eqn: ANGLE rm P _{it n-1 rm} AP _{it n rm} = theta _{it n rm}]이라 하면 [eqn: l _{n} = theta _{n}]이고

㈏에 의하여 [eqn: theta _{n} = theta _{1} `r ^{n-1}]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } l _{n} = sum _{n=1} ^{INF } theta _{n} = {theta _{1}} over {1-r} = {8} over {15} pi][eqn: cdots]①

㈐에 의하여 [eqn: theta _{1} (1+r)= {pi } over {2}][eqn: cdots]②

따라서 ①, ②에 의하여 [eqn: r= {1} over {4}]

17. [출제의도] 수열의 극한을 이용하여 수학내적문제 해결하기

두 점 사이의 거리 [eqn: l _{n} = sqrt {8n ^{2} -16}]

따라서 [eqn: ` lim _{n` -> ` INF } {{l _{n}} over {n}} = lim _{`n`` -> INF } {} {sqrt {8n ^{2} -16}} over {n} =2 sqrt {2}]

18. [출제의도] 로그의 성질 이해하기

[eqn: log _{`k} `3 ^{6}]의 값이 정수이므로

[eqn: k=3,~3 ^{2} ,~3 ^{3} ,~3 ^{6}]이다.

따라서  [eqn: 3 TIMES 3 ^{2} TIMES 3 ^{3} TIMES 3 ^{6} =3 ^{12}]

19. [출제의도] 수학적귀납법을 이용하여 증명과정 추론하기

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때,

(좌변)[eqn: =a _{1} = {1} over {2(2+4)} = box{{1} over {12}}]

(우변)[eqn: =] [eqn: {1} over {(1+1) ^{2}} -T _{1}= box{{1} over {12}}]

이므로 (★)이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=m`]일 때, (★)이 성립한다고 가정하면    [eqn: sum _{k=1} ^{m} a _{k}][eqn: = sum _{k=1} ^{m} {1} over {(k+1) ^{2}} -T _{m}]

이다.  [eqn: n=m+1]일 때, (★)이 성립함을 보이자.

[eqn: sum _{k=1} ^{m+1} a _{k}][eqn: = sum _{k=1} ^{m} {1} over {(k+1) ^{2}} -T _{m} +a _{m+1}]            [eqn: = sum _{k=1} ^{m} {1} over {(k+1) ^{2}} -T _{m} +][eqn: box{{1} over {m+2}} (T _{m+1} -T _{m} )]

[eqn: = sum _{k=1} ^{m} {1} over {(k+1) ^{2}} -T _{m+1} +][eqn: {m+3} over {m+2} (T _{m+1} -T _{m} )]

[eqn: = sum _{k=1} ^{m} {1} over {(k+1) ^{2}} -T _{m+1} +][eqn: {1} over {(m+2) ^{2}}]

[eqn: = sum _{k=1} ^{m+1} {1} over {(k+1) ^{2}} -T _{m+1}]

그러므로 [eqn: n=m+1]일 때도 (★)이 성립한다.

따라서 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 (★)이 성립한다.

[eqn: alpha = {1} over {12}], [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) = {1} over {4}]. 따라서 [eqn: {alpha } over {f(2)} = {1} over {3}]

20. [출제의도] 함수의 극대․극소 이해하기

[eqn: h(x)=g(x)-f(x)=(x+2) ^{2} (x-1) ^{2}]

[eqn: h prime (x)=2(x+2)(x-1)(2x+1)]

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: -2]	[eqn: CDOTS]	[eqn: - {1} over {2}]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 1]	[eqn: CDOTS]
[eqn: h` prime (x)]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: h(x)]	[eqn: SEARROW]		[eqn: NEARROW]		[eqn: SEARROW]		[eqn: NEARROW]

따라서 [eqn: h LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) = LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) ^{2} cdot LEFT ( - {3} over {2} RIGHT ) ^{2} = {81} over {16}]

21. [출제의도] 무한등비급수를 활용하여 수학내적문제 해결하기

원 [eqn: A _{n}]의 반지름의 길이를 [eqn: a _{n} `], 원 [eqn: O _{n}]의 반지름의

길이를 [eqn: r _{n} `]라 하면

[eqn: r _{1} =3`], [eqn: a _{n} = {sqrt {3}} over {2} `r _{n+1} `], [eqn: r _{n} -r _{n+1} =a _{n} `]이므로

[eqn: r _{n} -r _{n+1} = {sqrt {3}} over {2} `r _{n+1} `], [eqn: r _{n+1} LEFT ( 1+ {sqrt {3}} over {2} RIGHT ) =r _{n} `]

[eqn: r _{n+1} = {2} over {2+ sqrt {3}} `r _{n} `], [eqn: r _{n+1} =2 LEFT ( 2- sqrt {3} RIGHT ) r _{n} `]

따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } l _{n} = {6 pi } over {1-(4-2 sqrt {3} )} =(6+4 sqrt {3} ) pi]

22. [출제의도] 함수의 연속성 이해하기

[eqn: x=1]에서 함수의 극한값과 함숫값이 같으므로

[eqn: lim _{x -> 1} {{sqrt {ax} -b} over {x-1} =} lim _{x -> 1} {{sqrt {ax} - sqrt {a}} over {x-1}} = {sqrt {a}} over {2} =2]

[eqn: THEREFORE `a=16,~b=4]

따라서 [eqn: a+b=20]

23. [출제의도] 정적분의 정의 이해하기

[eqn: {1} over {2} lim _{n-> INF } {sum _{k=1} ^{n} LEFT ( 1+ {2k} over {n} RIGHT ) ^{3} {2} over {n}} = {1} over {2} int _{1} ^{3} {x ^{3} `dx} =10]

24. [출제의도] 도함수의 성질을 활용하여 수학내적문제 해결하기

[eqn: t]초 후의 정삼각형의 한 변의 길이를 [eqn: x _{t}], 그에 내접하는 원의 반지름의 길이를 [eqn: r _{t}]라 하면,

[eqn: r _{`t`} = {sqrt {3}} over {6} x _{`t}], [eqn: x _{t} =12 sqrt {3} +3 sqrt {3} `t]이므로

[eqn: r _{t} = {12+3t} over {2}]

[eqn: t]초 후 정삼각형에 내접하는 원의 넓이는

[eqn: S` LEFT ( t RIGHT ) = pi LEFT ( {12+3t} over {2} RIGHT ) ^{2}]이므로

[eqn: x _{t} =24 sqrt {3}]일 때, [eqn: t=4]

[eqn: S`` prime LEFT ( 4 RIGHT ) =2 pi LEFT ( {12+3 TIMES 4} over {2} RIGHT ) TIMES {3} over {2} =36 pi]이다.

따라서 [eqn: a=36]

25. [출제의도] 도함수 이해하기

[eqn: f(x)]가 [eqn: n]차 함수이면

[eqn: f`'(x)]는 [eqn: (n-1)]차 함수이다. [eqn: THEREFORE `n=2]

[eqn: f(x)=x ^{2} +ax+b], [eqn: f` prime (x)=2x+a]

[eqn: f(x)f` prime `(x)=(x ^{2} +ax+b)(2x+a)]

[eqn: 3a=-9], [eqn: ab=6] 이므로 [eqn: a=-3,`b=-2]

따라서 [eqn: f LEFT ( -3 RIGHT ) =9-3a+b=16]

26. [출제의도] 정적분을 활용하여 수학내적문제 해결하기

[eqn: A]와 [eqn: C]의 넓이가 같으므로  [eqn: S _{1} =S _{2}]

[eqn: int _{0} ^{2} {(x ^{3} -x ^{2}} -ax)``dx=0] [eqn: THEREFORE `a= {2} over {3}]

따라서 [eqn: 300a=200]

27. [출제의도] 정적분을 활용하여 수학내적문제 해결하기

[eqn: S _{1} `= int _{0} ^{2} {v LEFT ( t RIGHT ) `dt}], [eqn: S _{2} `= int _{2} ^{8} {v LEFT ( t RIGHT ) `dt}], [eqn: S _{3} `= int _{8} ^{16} {v LEFT ( t RIGHT ) `dt}]

라 할 때,

[eqn: S _{1} =-1,```S _{2} =36,```S _{3} =-8]

따라서 [eqn: LEFT ( bar{rm OP} 의```최댓값 RIGHT ) = it S _{1} +S _{2} =35]

28. [출제의도] 수열의 극한을 이용하여 수학내적문제 해결하기

삼각형 [eqn: {rmA}{rmB}_n {rmC}_n]은 한 변의 길이가 [eqn: n`]인 정삼각형

이므로 [eqn: a_n`=`root3 over 2 n times 1 over 3`+`1]

[eqn: a_n`>6`], [eqn: n`> sqrt {300} `]

따라서 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 18]

29. [출제의도] 계차수열 이해하기

등차수열 [eqn: LEFT { a _{k} RIGHT }]의 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: 3a _{1} +3d=3], [eqn: 5a _{1} +19d=33]

[eqn: a _{1} =-1,```d=2]이다.

어두운 영역에 배열된 수열 [eqn: a _{3} `,```a _{7}` ,```a _{15}` ,``` CDOTS]을

[eqn: LEFT { a _{b _{k}} RIGHT }]라 하면 [eqn: b _{k} =3+ sum _{l=1} ^{k-1} 4l=2k ^{2} -2k+3]이고

정십오각형에서 어두운 부분에 대응되는 항은 [eqn: k=7] 일 때이고 [eqn: `b _{7} =87 _{}]이다.

따라서 [eqn: a _{87} =171]

30. [출제의도] 정적분을 이용하여 수학외적문제 해결하기

점 [eqn: rm E,~G]를 지나는 직선을 [eqn: x]축, 점 [eqn: rm H,~F]를 지나는 직선을 [eqn: y]축으로 할 때, 세 점 [eqn: rm B,~H,~C]를 지나는 이차함수는 [eqn: y=-2x ^{2} +1]

교점 [eqn: rmD`']의 좌표는 [eqn: LEFT ( {1} over {2} ,` {1} over {2} RIGHT )]이므로

어두운 부분의 넓이는

[eqn: S _{1} +8S _{2} =1+8 int _{{1} over {2}} ^{{sqrt {2}} over {2}} {LEFT ( -2x ^{2} +1 RIGHT ) dx} = {8 sqrt {2} -7} over {3}]

[eqn: p=8,~q=-7]

따라서 [eqn: p-q=15]