수리 영역

“가”형 정답

1	①	2	②	3	③	4	⑤	5	②
6	④	7	③	8	②	9	①	10	⑤
11	④	12	①	13	③	14	①	15	⑤
16	③	17	④	18	②	19	④	20	④
21	②	22	[eqn: 20]	23	[eqn: 31]	24	[eqn: 36]	25	[eqn: 16]
26	[eqn: 8]	27	[eqn: 12]	28	[eqn: 400]	29	[eqn: 171]	30	[eqn: 32]

해설

1. [출제의도] 로그 계산하기

[eqn: a ^{b} = LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) ^{log _{4} `16} = LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) ^{2} =3`]

2. [출제의도] 역행렬 계산하기

[eqn: A ^{-1}= {pmatrix{-1&`-3#```````1&````````2}}]이므로 [eqn: A+A ^{-1} =E]

따라서 모든 성분의 합은 [eqn: 2]

3. [출제의도] 정적분 계산하기

[eqn: int _{-1} ^{1} {(x ^{3} -3x ^{2} -2x+4)`dx}]

[eqn: =2 int _{0} ^{1} {(-3x ^{2} +4)`dx} =2 LEFT [ -x ^{3} +4x RIGHT ] _{0} ^{1} =6]

4. [출제의도] 이항정리 이해하기

[eqn: {} _{6} ` {rm C} it _{r} `(x ^{2} ) ^{6-r} ` LEFT ( {1} over {x} RIGHT ) ^{r`} = _{6} ` {rm C} it _{r} `x ^{12-3r}]

[eqn: 12-3r=3], [eqn: r=3]

따라서 [eqn: x ^{3}]의 계수는 [eqn: {} _{6} rm C _{3} `=20 it]

5. [출제의도] 행렬을 이용하여 수학외적문제 해결하기

[eqn: {cases{20x+15y=600&#25x+20y=770&}}]이므로 [eqn: 5 {pmatrix{4&````3#5&````4}} {pmatrix{x#y}} = {pmatrix{600#770}}]

[eqn: {pmatrix{x#y}} = {1} over {5} {pmatrix{````````4&~-3`#`-5&`~`````4`}} {pmatrix{600#770}}]

[eqn: alpha =-3,` beta =-5]

따라서 [eqn: alpha beta =15]

6.  [출제의도] 일차변환의 성질 이해하기

[eqn: {pmatrix{a#b}} = {pmatrix{1&``2#3&``6}} {pmatrix{x#y}}] 이므로 [eqn: {pmatrix{a#b}} = {pmatrix{x+2y#3x+6y}} = {pmatrix{2#6}}]

[eqn: THEREFORE ``a=2,```b=6]

따라서 [eqn: ab=12]

7. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 수의 성질 추론하기

[eqn: log``x= LEFT [ log``x RIGHT ] + {1} over {k} =(정수)+ {1} over {k}]

[eqn: k=1]일 때, [eqn: A _{1} =phi]

[eqn: k!=1]일 때,

[eqn: A _{k} = LEFT { 10 ^{{1} over {k}} ,``10 ^{1+ {1} over {k}} ,``10 ^{2+ {1} over {k}} ,``10 ^{3+ {1} over {k}} ,``10 ^{4+ {1} over {k}} RIGHT }]

ㄱ. [eqn: LEFT . A _{2} = LEFT { 10 ^{{1} over {2}} ,~10 ^{{3} over {2}} ,~10 ^{{5} over {2}} ,``10 ^{{7} over {2}} `,`10 ^{{9} over {2}} RIGHT . RIGHT } `] 이므로

[eqn: sqrt {10} IN A _{2}] (참)

ㄴ. [eqn: 2]이상의 자연수 [eqn: k`]에 대하여

[eqn: n(A _{k} )=5] (참)

ㄷ. 서로 다른 자연수 [eqn: m,n]에 대하여 [eqn: A _{m} SMALLINTER A _{n} = phi]     (거짓)

8. [출제의도] 삼각함수의 배각공식 이해하기

[eqn: bar{rm AB it} =3a], [eqn: bar{rm BC it} =4a] [eqn: LEFT ( a>0 RIGHT )]라 할 때

[eqn: bar{rm PQ it} = sqrt {5} a], [eqn: bar{rm PB it} = sqrt {20} a], [eqn: bar{rm BQ it} = sqrt {13} a]

코사인법칙에 의하여 [eqn: cos` theta = {3} over {5}]

따라서 [eqn: cos`2 theta =2cos ^{2} theta `-1=- {7} over {25}]

9. [출제의도] 역함수의 미분법 이해하기

[eqn: f(x)=sin`2x]이므로 [eqn: f(x)]의 역함수 [eqn: g(x)]는

[eqn: x=sin`2y]

[eqn: {dx} over {dy} =2`cos2y], [eqn: {dx} over {dy} =2 sqrt {1-x ^{2}}]

[eqn: g`' LEFT ( x RIGHT ) = {dy} over {dx} = {1} over {2 sqrt {1-x ^{2}}}]

따라서 [eqn: g` prime LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) = {sqrt {3}} over {3}]

10. [출제의도] 함수의 연속성에 대한 성질 추론하기

ㄱ. [eqn: lim _{x`` -> `1+0} {} g(x)= lim _{x -> 1+0} {{1} over {f(x)}} = INF]

[eqn: lim _{x -> 1-0} {g(x)} = lim _{x -> 1-0} {{1} over {f(x)}} =1]

따라서, [eqn: lim _{x`` -> `1} {} g(x)]는 존재하지 않는다.  (거짓)

ㄴ.[eqn: lim _{x`` -> `1-0} {} g(f(x))= lim _{t -> 1-0} {} g(t)= lim _{t -> 1-0} {} {1} over {f(t)} =1]

(참)

ㄷ. [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=0,`±1]을 제외한 열린 구간

[eqn: (-2,`2)]에서 연속이므로 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]도 연속이다.

[eqn: lim _{x`` -> `1+0} {x} ^{2} g(x)= INF], [eqn: lim _{x`` -> `-1-0} {x} ^{2} g(x)= INF]

이므로 [eqn: x=±1]에서 불연속이다.

[eqn: lim _{x`` -> 0} {``x ^{2}} g(x)=0]이고 함숫값과 같으므로

[eqn: x=0]에서 연속이다. (참)

11. [출제의도] 등차․등비수열의 합 계산하기

[eqn: d( rm A,``P _{it n rm} )= it LEFT | 1-n RIGHT | + LEFT | 0-2 ^{n} RIGHT |]이다.

[eqn: sum _{n=1} ^{10} d(rmA,`P _{it n} )= itsum _{n=1} ^{10} (-1+n+2 ^{n} )=2 ^{11} +43]

12. [출제의도] 회전체의 부피 계산하기

[eqn: V= pi int _{e} ^{e ^{2}} {` LEFT ( {1} over {sqrt {x}} RIGHT ) ^{2}} `dx`=pi]

13. [출제의도] 로그부등식을 활용하여 수학외적문제 해결하기

[eqn: C _{1} `=` {k} over {log`2} `,~C _{2} `=` {k} over {log``n} `]

[eqn: {log``n} over {log``2} `>` {1} over {log``2}] 이므로 [eqn: `n`>`10]

따라서 자연수 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 11]

14. [출제의도] 도형의 넓이 계산하기

곡선 [eqn: y=e ^{x} -1]에서 접선 [eqn: l]의 방정식은

[eqn: y-(e-1)=e(x-1)] [eqn: THEREFORE `y=ex-1]

따라서 [eqn: int _{0} ^{1} {(e ^{x} -ex)} `dx= {e} over {2} -1]

15. [출제의도] 행렬을 이용하여 도형의 넓이 추론하기

ㄱ. [eqn: S(A)= {3} over {2}] (참)

ㄴ. [eqn: A= {pmatrix{a``&b#c``&d}}]일 때, [eqn: S(A)= {1} over {2} (c-b)(d-a)]

[eqn: S(kA)= {1} over {2} (kc-kb)(kd-ka)=k ^{2} S(A)] (참)

ㄷ. 행렬 [eqn: A+m`B`]에 의해 정해지는 네 점은 행렬 [eqn: A]에 의해 정해지는 네 점을 [eqn: x]축, [eqn: y]축의 방향으로 각각 [eqn: m]만큼 평행이동한 점이므로 사각형의 넓이는 같다. (참)

16. [출제의도] 무한등비급수를 활용하여 수학내적문제 해결하기

[eqn: ANGLE rm P _{it n-1 rm} AP _{it n rm} = theta _{it n rm}]이라 하면 [eqn: l _{n} = theta _{n}]이고

㈏에 의하여 [eqn: theta _{n} = theta _{1} `r ^{n-1}]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } l _{n} = sum _{n=1} ^{INF } theta _{n} = {theta _{1}} over {1-r} = {8} over {15} pi][eqn: cdots]①

㈐에 의하여 [eqn: theta _{1} (1+r)= {pi } over {2}][eqn: cdots]②

따라서 ①, ②에 의하여 [eqn: r= {1} over {4}]

17. [출제의도] 분수방정식과 무리방정식의 수학내적문제 해결하기

함수 [eqn: y=k+ sqrt {k-x}]의 그래프는 함수 [eqn: y=x]의

그래프를 따라 평행 이동한다.

주어진 방정식의 두 근 [eqn: alpha , beta]에 대하여 [eqn: alpha beta LEQ 0]

을 만족하는 상수 [eqn: k]의 최댓값은 함수

[eqn: y=k+ sqrt {k-x}]의 그래프가 점[eqn: (0,6)]을 지날 때

이다.

따라서 [eqn: k=4]

18. [출제의도] 삼각함수의 극한을 활용하여 수학내적문제 해결하기

[eqn: bar{rm AP it} =2`cos` {theta } over {2}]   [eqn: THEREFORE `S( theta )=4`cos ^{2} ` {theta } over {2} TIMES sin {theta } over {2}]

따라서 [eqn: lim _{theta -> 0} {{S( theta )} over {tan theta }} =2]

19. [출제의도] 수학적귀납법을 이용하여 증명과정 추론하기

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때,

(좌변)[eqn: =a _{1} = {1} over {2(2+4)} = box{{1} over {12}}]

(우변)[eqn: =] [eqn: {1} over {(1+1) ^{2}} -T _{1}= box{{1} over {12}}]

이므로 (★)이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=m`]일 때, (★)이 성립한다고 가정하면    [eqn: sum _{k=1} ^{m} a _{k}][eqn: = sum _{k=1} ^{m} {1} over {(k+1) ^{2}} -T _{m}]

이다.  [eqn: n=m+1]일 때, (★)이 성립함을 보이자.

[eqn: sum _{k=1} ^{m+1} a _{k}][eqn: = sum _{k=1} ^{m} {1} over {(k+1) ^{2}} -T _{m} +a _{m+1}]            [eqn: = sum _{k=1} ^{m} {1} over {(k+1) ^{2}} -T _{m} +][eqn: box{{1} over {m+2}} (T _{m+1} -T _{m} )]

[eqn: = sum _{k=1} ^{m} {1} over {(k+1) ^{2}} -T _{m+1} +][eqn: {m+3} over {m+2} (T _{m+1} -T _{m} )]

[eqn: = sum _{k=1} ^{m} {1} over {(k+1) ^{2}} -T _{m+1} +][eqn: {1} over {(m+2) ^{2}}]

[eqn: = sum _{k=1} ^{m+1} {1} over {(k+1) ^{2}} -T _{m+1}]

그러므로 [eqn: n=m+1]일 때도 (★)이 성립한다.

따라서 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 (★)이 성립한다.

[eqn: alpha = {1} over {12}], [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) = {1} over {4}]. 따라서 [eqn: {alpha } over {f(2)} = {1} over {3}]

20. [출제의도] 무한급수와 정적분의 관계 이해하기

[eqn: lim _{n` -> INF } {` sum _{`k=1} ^{n} {1} over {sqrt {4n ^{2} - LEFT ( n+k RIGHT ) ^{2}}}}]

[eqn: = int _{1} ^{2} {{1} over {sqrt {4-x ^{2}}} dx} = int _{{pi } over {6}} ^{{pi } over {2}} {`d theta = {pi} over {3}}]

21. [출제의도] 무한등비급수를 활용하여 수학내적문제 해결하기

원 [eqn: A _{n}]의 반지름의 길이를 [eqn: a _{n} `], 원 [eqn: O _{n}]의 반지름의

길이를 [eqn: r _{n} `]라 하면

[eqn: r _{1} =3`], [eqn: a _{n} = {sqrt {3}} over {2} `r _{n+1} `], [eqn: r _{n} -r _{n+1} =a _{n} `]이므로

[eqn: r _{n} -r _{n+1} = {sqrt {3}} over {2} `r _{n+1} `], [eqn: r _{n+1} LEFT ( 1+ {sqrt {3}} over {2} RIGHT ) =r _{n} `]

[eqn: r _{n+1} = {2} over {2+ sqrt {3}} `r _{n} `], [eqn: r _{n+1} =2 LEFT ( 2- sqrt {3} RIGHT ) r _{n} `]

따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } l _{n} = {6 pi } over {1-(4-2 sqrt {3} )} =(6+4 sqrt {3} ) pi]

22. [출제의도] 분수방정식 계산하기

[eqn: x ^{3} -1 != 0]이므로 [eqn: x ^{2} +x+1-2 LEFT ( x-1 RIGHT ) =2x+1]의 근 [eqn: alpha =2`]

따라서 [eqn: 10 alpha =20]

23. [출제의도] 조건부확률 계산하기

정팔각형의 꼭짓점 중 임의의 세 점을 택하여 만든 삼각형이 직각삼각형인 사건을 [eqn: A], 이등변삼각형인 사건을 [eqn: B]라 할 때

[eqn: {q} over {p} ={rm P} LEFT ( B``□A RIGHT ) = {{rm P}(A SMALLINTER B)} over {{rm P}(A)}]

[eqn: {rm P}(A)= {{} _{4} {rm C} _{1} TIMES _{6} {rm C} _{1}} over {{} _{8} {rm C} _{3}}], [eqn: {rm P}(A SMALLINTER B)= {{} _{4} {rm C} _{1} TIMES _{2} {rm C} _{1}} over {{} _{8} {rm C} _{3}}]

[eqn: p=3,`q=1]

따라서 [eqn: 10p+q=31]

24. [출제의도] 도함수의 성질을 활용하여 수학내적문제 해결하기

[eqn: t]초 후의 정삼각형의 한 변의 길이를 [eqn: x _{t}], 그에 내접하는 원의 반지름의 길이를 [eqn: r _{t}]라 하면,

[eqn: r _{`t`} = {sqrt {3}} over {6} x _{`t}], [eqn: x _{t} =12 sqrt {3} +3 sqrt {3} `t]이므로

[eqn: r _{t} = {12+3t} over {2}]

[eqn: t]초 후 정삼각형에 내접하는 원의 넓이는

[eqn: S` LEFT ( t RIGHT ) = pi LEFT ( {12+3t} over {2} RIGHT ) ^{2}]이므로

[eqn: x _{t} =24 sqrt {3}]일 때, [eqn: t=4]

[eqn: S`` prime LEFT ( 4 RIGHT ) =2 pi LEFT ( {12+3 TIMES 4} over {2} RIGHT ) TIMES {3} over {2} =36 pi]이다.

따라서 [eqn: a=36]

25. [출제의도] 포물선의 성질 이해하기

점 [eqn: rmA`]의 좌표를 [eqn: (a`,`b`)`]이라 하면, 접선의 방정식에 의해 점 [eqn: rmB`]의 좌표는 [eqn: (-a`,`0`)`]

점 [eqn: rmA`]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발 [eqn: rm H`]의 좌표는 [eqn: (a`,`0`)`] 점 [eqn: rm H`]와 준선사이의 거리는 [eqn: 10]이다.

[eqn: rm bar{BO} `=` bar{OH} it `=a`,` rm bar{HF} ` it `=`10-2a`]

[eqn: {1} over {2} rm bar{BF} TIMES bar{AH} it `=`5`b`=`40]

[eqn: b`=`8,` bar{rm HF it} `=`6`,`a`=`2`,`p`=`8`]  [eqn: rm THEREFORE `A it (2`,`8)`]

따라서 [eqn: ab=16]

26. [출제의도] 일차변환의 합성 이해하기

일차변환 [eqn: f,`g]를 나타내는 행렬을 각각 [eqn: A,B]라 하면 [eqn: A= {pmatrix{`1``&``````0#0&-1}}]

[eqn: B= {pmatrix{`cos` {pi } over {3} ``&-sin` {pi } over {3}#sin` {pi } over {3}&``````cos` {pi } over {3}}} = {pmatrix{{1} over {2}&- {sqrt {3}} over {2}#{sqrt {3}} over {2}&```````` {1} over {2}}}]

합성변환 [eqn: h]를 나타내는 행렬을 [eqn: C`]라 하면

[eqn: C=ABA= {pmatrix{````````` {1} over {2}&`````` {sqrt {3}} over {2}#- {sqrt {3}} over {2}&`````` {1} over {2}}} `], [eqn: C ^{6} =E`]이므로

[eqn: {pmatrix{a#b}} =C ^{2011} ` {pmatrix{2#2}} =C` {pmatrix{2#2}} = {pmatrix{1+ sqrt {3}#1- sqrt {3}}}]

따라서 [eqn: a ^{2} +b ^{2} =8]

27. [출제의도] 중복조합 이해하기

가능한 [eqn: f` LEFT ( 1 RIGHT )]의 경우의 수는 [eqn: 2]가지이고,

공역 [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7]중에서 중복을 허용하여 [eqn: 2]개를 택한 다음 작거나 같은 것부터 차례로 [eqn: 3], [eqn: 4]에 대응시키는 경우의 수는 [eqn: ` _{3} {rm H} _{2} =6]

따라서 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: 12]

28. [출제의도] 여러 가지 수열 이해하기

자릿수가 [eqn: 4n]인 대칭수는 최고자리 숫자와 일의

자리 숫자를 제외한 [eqn: 4n-2]개의 숫자가 서로 대칭이다. 대칭수의 개수 [eqn: a _{4n}]는 연속한 앞 쪽의 [eqn: 2n]개의 숫자 중 최고자리를 제외한 [eqn: 2n-1]개의 숫자에서 [eqn: 1]의 개수가 [eqn: 0]의 개수보다 많은 경우의 수이다.

[eqn: `a _{4n} =` _{2n-1} {rm C} _{n} `+` _{2n-1} {rm C} _{n+1} `+`` CDOTS ``+ _{2n-1} {rm C} _{2n-1}]

[eqn: = {2 ^{2n-1}} over {2}][eqn: `=`2^2n-2 `][eqn: =4 ^{n-1}]

따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {300} over {a _{4n}} = sum _{n=1} ^{INF } 300 LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) `` ^{n-1} =400]

29. [출제의도] 계차수열 이해하기

등차수열 [eqn: LEFT { a _{k} RIGHT }]의 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: 3a _{1} +3d=3], [eqn: 5a _{1} +19d=33]

[eqn: a _{1} =-1,```d=2]이다.

어두운 영역에 배열된 수열 [eqn: a _{3} `,```a _{7}` ,```a _{15}` ,``` CDOTS]을

[eqn: LEFT { a _{b _{k}} RIGHT }]라 하면 [eqn: b _{k} =3+ sum _{l=1} ^{k-1} 4l=2k ^{2} -2k+3]이고

정십오각형에서 어두운 부분에 대응되는 항은 [eqn: k=7] 일 때이고 [eqn: `b _{7} =87 _{}]이다.

따라서 [eqn: a _{87} =171]

30. [출제의도] 정적분을 활용하여 수학내적문제 해결하기

점 [eqn: rmP,Q]는 각각 두 정점 [eqn: rm A,C]와 두 정점 [eqn: rm B,D]로부터 거리의 차가 일정한 점이므로 점 [eqn: rmP,Q]가 나타내는 두 도형은 점 [eqn: rm A,C]와 점 [eqn: rm B,D]를 초점으로 하는 쌍곡선이다.

점 [eqn: rm B,D]를 지나는 직선을 [eqn: x]축, 점 [eqn: rm A,C]를 지나는 직선을 [eqn: y]축이라 하자.

점 [eqn: rmP]가 나타내는 도형의 방정식은

[eqn: x ^{2} -y ^{2} =-2]

점 [eqn: rm Q]가 나타내는 도형의 방정식은

[eqn: x ^{2} -y ^{2} =2]

회전체의 부피는

[eqn: 2 pi LEFT { eqalign{ int _{0} ^{{1} over {2}} {LEFT ( x ^{2} +2 RIGHT ) dx+ int _{{1} over {2}} ^{{3} over {2}} {LEFT ( 2-x RIGHT ) ^{2}}} dx]

[eqn: - int _{sqrt {2}} ^{{3} over {2}} {LEFT ( x ^{2} -2 RIGHT ) dx}} RIGHT }][eqn: = {24-8 sqrt {2}} over {3} pi]

[eqn: THEREFORE `a=24,`b=-8]

따라서 [eqn: a-b=32]