◦ 자신이 선택한 유형(‘가’형/‘나’형)의 문제지인지 확인하시오.

2011학년도 6월 고2 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시            수리 영역

성명			수험 번호						2

‘가’형

수리 영역

‘가’형

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수리 영역

‘가’형

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◦ 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 정확히 쓰시오.

◦ 답안지의 해당란에 성명과 수험 번호를 쓰고, 또 수험 번호와 답을 정확히 표시하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면, 그 ‘0’ 도 답란에 반드시 표시하시오.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

8

1. [eqn: log``_3``root6 `-` log``_3``root2``]의 값은? [2점]

① [eqn: - 2]	② [eqn: - 1 over 2]	③ [eqn: 1 over 4]	④ [eqn: 1 over 2]	⑤ [eqn: 2]

8

2. [eqn: LEFT ( 8 ^{{1} over {2}} -2 ^{{1} over {2}} RIGHT ) ^{2}``]의 값은? [2점]

① [eqn: 2`]	② [eqn: 4`]	③ [eqn: 6`]	④ [eqn: 8`]	⑤ [eqn: 10`]

3. 두 행렬 [eqn: A= pmatrix{``2``&``1``#``6``&``3``}], [eqn: B= pmatrix{~~3&```-2``#```-6``&~~4} ``]에 대하여 행렬 [eqn: AB``-BA`]는? [2점]

① [eqn: pmatrix{``0```&0`#`0```&0``}]	② [eqn: pmatrix{````````2&````````````1``#`-4&``-2}]	③ [eqn: pmatrix{``-2&````-1``#`~~4&```~~2``} ``]

④ [eqn: pmatrix{```````````6&``````````3`#`-12&```-6`}]	⑤ [eqn: pmatrix{`````6&`````-3`#````12&`````-6`}]

4. 첫째항이 [eqn: - 2over3]이고 공차가 [eqn: 2over9]인 등차수열에서 처음으로 자연수가 되는 항은 제[eqn: m`]항이다. [eqn: m]의 값은? [3점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 15]	④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 19]

5. 두 행렬 [eqn: A`], [eqn: B``]에 대하여

[eqn: A+B= {pmatrix{``-3``&``4``#`~~2``&``3``}}`], [eqn: A-2B= {pmatrix{``-2``&``3``#`~~1``&``4``}}`]

일 때, 행렬 [eqn: A-B``]의 모든 성분의 합은? [3점]

① [eqn: 5`]	② [eqn: 6`]	③ [eqn: 7`]	④ [eqn: 8`]	⑤ [eqn: 9`]

6. [eqn: sum _{k=1} ^{9} left{ k(k+1) over 10 + 10over k(k+1) right}]의 값은? [3점]

① [eqn: 40]	② [eqn: 42]	③ [eqn: 44]	④ [eqn: 46]	⑤ [eqn: 48]

7. 두 이차정사각행렬 [eqn: A], [eqn: B``]에 대하여 [eqn: A+B=E], [eqn: AB=O`]일 때,  다음 중 [eqn: A+E``]의 역행렬은? (단, [eqn: E``]는 단위행렬이고, [eqn: O``]는 영행렬이다.) [3점]

① [eqn: {1} over {2} B]	② [eqn: B-E]	③ [eqn: B+E``]

④ [eqn: {1} over {2} (B-E)]	⑤ [eqn: {1} over {2} (B+E)]

8. 길이가 [eqn: 10]인 막대를 길이가 서로 다른 다섯 도막으로 나누어 맨 왼쪽의 도막부터 그 길이를 차례로 [eqn: a_1], [eqn: a_2], [eqn: a_3], [eqn: a_4], [eqn: a _{5} `]라고 하자.

[eqn: a_1], [eqn: a_2], [eqn: a_3], [eqn: a_4], [eqn: a _{5} ``]가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [3점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: a_3 =2] ㄴ. [eqn: a_1 + a_5 =4] ㄷ. [eqn: 2a_2 +a_3 +a_5 =9]

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

9. 세 수

[eqn: A``= 5^ {log``_5``3}``], [eqn: B``= 1 over {log``_4``2}``+ ``1 over {log``_3``5}``], [eqn: C```= {log``_3``30} over {log``_3 ``5}``]

의 대소 관계를 바르게 나타낸 것은? [3점]

① [eqn: A``<B``<C]	② [eqn: A``<C``<B]	③ [eqn: B``<A``<C]

④ [eqn: B``<C``<A]	⑤ [eqn: C``<B``<A]

10. 다음과 같이 홀수인 자연수를 제 [eqn: n`]행에 [eqn: n`]개씩 차례로 나열하였다.

	제 [eqn: 1`]열	제 [eqn: 2`]열	제 [eqn: 3`]열	[eqn: CDOTS]
제 [eqn: 1`]행	[eqn: 1]
제 [eqn: 2`]행	[eqn: 3]	[eqn: 5]
제 [eqn: 3`]행	[eqn: 7]	[eqn: 9]	[eqn: 11]
[eqn: VDOTS]		[eqn: VDOTS]

제 [eqn: p`]행과 제 [eqn: q`]열이 만나는 위치에 있는 수가 [eqn: 101`]일 때, [eqn: p`+`q`]의 값은? [3점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]	④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

11. [eqn: n``]이 자연수일 때, [eqn: x``]에 대한 방정식 [eqn: x ^{n`} =n-12``]의 실근의 개수를 [eqn: f(n)``]이라 하자. [eqn: f`(5)+f`(10)+f(15)+f(20)``]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

12. 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정삼각형 [eqn: rm A_1 B_1 C_1]의 세 변 [eqn: rm A_1 B_1], [eqn: rm B_1 C_1], [eqn: rm C_1 A_1]의 중점을 각각 [eqn: rm P _{1}`], [eqn: rm Q _{1}`], [eqn: rm R _{1}`]이라 하고, 세 삼각형 [eqn: rm A_1 P_1 R_1], [eqn: rm B_1 Q_1 P_1], [eqn: rm C_1 R_1 Q_1]의 무게중심을 각각 [eqn: rm A _{2}`], [eqn: rm B _{2}`], [eqn: rmC _{2}`]라 하자. 또, 삼각형 [eqn: rm A_2 B_2 C_2]의 세 변 [eqn: rm A_2 B_2], [eqn: rm B_2 C_2], [eqn: rm C_2 A_2]의 중점을 각각 [eqn: rm P _{2}`], [eqn: rm Q _{2}`], [eqn: rm R _{2}`]라 하고, 세 삼각형 [eqn: rm A_2 P_2 R_2], [eqn: rm B_2 Q_2 P_2], [eqn: rm C_2 R_2 Q_2]의 무게중심을 각각 [eqn: rm A _{3}`], [eqn: rm B _{3}`], [eqn: rmC _{3}`]이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 삼각형을 그려나갈 때, 삼각형 [eqn: rm A_{it n }B_{it n} C_{it n}]의 둘레의 길이를 [eqn: l _{n}]이라 하자. [eqn: sum _{n=1} ^{8}l_n]의 값은? [4점]

① [eqn: 705over128]	② [eqn: 735over128]	③ [eqn: 765over128]

④ [eqn: 795over128]	⑤ [eqn: 825over128]

13. 올림픽에 참가한 어느 나라가 딴 금메달, 은메달, 동메달의 수를 각각 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]라 할 때 [eqn: 3a+2b+c`]의 값을 그 나라의 메달 가치라 하자. 어떤 연구에 의하면 인구가 [eqn: P``]만 명이고 국내총생산액이 [eqn: G``]억 달러인 나라의 메달 가치 [eqn: S``]는 부등식

[eqn: S LEQ 0.215` LEFT ( P over 100RIGHT ) ^{{1} over {3}} LEFT ( G over 10 RIGHT ) ^{{2} over {3}}`]…… (*)

을 만족시킨다고 한다.

어느 해 올림픽에 참가한 [eqn: rmA]나라의 인구가 [eqn: 6400`]만 명이고, 국내총생산액이 [eqn: 5120`]억 달러라 하자. 부등식 (*)이 항상 성립한다고 할 때, [eqn: rmA]나라의 메달 가치의 최댓값은? [3점]

① [eqn: 51`]	② [eqn: 53`]	③ [eqn: 55]	④ [eqn: 57]	⑤ [eqn: 59]

14. 다음은 행렬 [eqn: X= pmatrix { ``x``& ``y``#``z`` &``w`` }``]와 역행렬을 갖지 않는 이차정사각행렬 [eqn: A`]에 대하여 [eqn: X^{``n} =A``]를 만족시키는 자연수 [eqn: n``]이 존재하면 등식 [eqn: X``^2 =(x+w)X```]가 성립함을 증명한 것이다.

<증명>

행렬 [eqn: X``]가 역행렬을 갖는다고 가정하자.

등식 [eqn: X``^n =A``]의 양변에  을 곱하면

(가)

[eqn: E=``] [eqn: A``]

(가)

가 되어 [eqn: A``]는 역행렬을 갖게 되므로 가정에 모순이다.

∴ [eqn: xw-yz=``]

(나)

따라서

[eqn: X``^2 -(x+w)X=X` LEFT { X-(x+w)E ``RIGHT }``]

[eqn: = pmatrix { ``x``& ``y``#``z`` &``w`` }``box{`` pile{ # }"(다)"pile{ # }`` }]

[eqn: = pmatrix { ``0``&``0`` #``0`` &``0`` }``]

이므로 [eqn: X``^2 =(x+w)X```]가 성립한다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? (단, [eqn: E``]는 단위행렬이다.) [3점]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: (X``^-1 )^n``]	[eqn: 0``]	[eqn: pmatrix { ``-w``& `~~y``#`~~z`` &``-x`` }``]
②	[eqn: (X``^-1 )^n``]	[eqn: 1``]	[eqn: pmatrix { ``-x``& `~~y``#`~~z`` &``-w`` }``]
③	[eqn: (X``^-1 )^n``]	[eqn: 0``]	[eqn: pmatrix { ``-x``& `~~y``#`~~z`` &``-w`` }``]
④	[eqn: (A^-1 )^n``]	[eqn: 1``]	[eqn: pmatrix { ``-w``& `~~y``#`~~z`` &``-x`` }``]
⑤	[eqn: (A^-1 )^n``]	[eqn: 0``]	[eqn: pmatrix { ``-x``& `~~y``#`~~z`` &``-w`` }``]

15. 함수 [eqn: y=log``_a` (`x+b`)``]([eqn: a>0`], [eqn: a!=1`])의 그래프가 그림과 같다.

이때, 함수 [eqn: y=log``_b`(`x+a`)`]의 그래프로 알맞은 것은? [4점]

①	②

③	④

⑤

16. 두 곡선 [eqn: y= log``_4``x``], [eqn: y=log`` _{{1} over {2}} `x``]와 직선 [eqn: x=a``]([eqn: a>1])가 만나는 점을 각각 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`]라 하고, 점 [eqn: rm B`]를 지나고 [eqn: x``]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y= log``_4`x`]와 만나는 점을 [eqn: rm C`]라 하자. [eqn: rm bar AB `=`3``]일 때, 점 [eqn: rm C`]의 [eqn: x``]좌표는? [4점]

① [eqn: 1 over 32]	② [eqn: 1 over 16]	③ [eqn: 1 over 8]	④ [eqn: 1 over4]	⑤ [eqn: 1 over 2]

17. 양의 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: log`` x]의 지표를 [eqn: f`(`x)`], 가수를 [eqn: g`(`x)`]라 하자. [eqn: m`], [eqn: n`]이 자연수일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: f`(`n)+g`(`n)`]의 최솟값은 [eqn: 0`]이다. ㄴ. [eqn: f`(`m)=f`(`n)=2`]이면 [eqn: |`m-n`|`]의 최댓값은 [eqn: 900`]이다. ㄷ. [eqn: m!=n`]이고 [eqn: g`(`m)=g`(`n)=log``7`]이면 [eqn: |`m-n`|`]의 최솟값은 [eqn: 70`]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

18. [eqn: x``], [eqn: y``]에 대한 연립방정식

[eqn: pmatrix { `~~a``&``b`` #``-b`` &``a`` }`` pmatrix { ``x``#``y`` }` = pmatrix { `~~3x+5y``#``-3x+3y`` }``]

가 [eqn: x=0``], [eqn: y=0] 이외의 해를 갖도록 실수 [eqn: a``], [eqn: b``]의 값을 정할 때, [eqn: a^2 +b^2`]의 최댓값과 최솟값을 각각 [eqn: M``], [eqn: m``]이라 하자. [eqn: M``+m``]의 값은? [4점]

① [eqn: 36`]	② [eqn: 40`]	③ [eqn: 44`]	④ [eqn: 48`]	⑤ [eqn: 52`]

19. 세 이차정사각행렬 [eqn: A``], [eqn: B``], [eqn: C```]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: AB=BC``]

(나) [eqn: B``]의 역행렬이 존재한다.

옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: E``]는 단위행렬이다.) [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: A=E``]이면 [eqn: C```=E``]이다. ㄴ. [eqn: A``]의 역행렬이 존재하면 [eqn: C```]의 역행렬도 존재한다. ㄷ. [eqn: A ^{7} B=BC ```^{7} ``]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

20. 두께가 [eqn: d``]([eqn: rm mm])인 물체에 쏜 [eqn: X`]선의 세기를 [eqn: I ` _{0} ``], 그 물체를 통과하여 나온 [eqn: X`]선의 세기를 [eqn: I``]라 하면 이 물체의 [eqn: X`]선에 대한 흡수계수 [eqn: alpha `]는 다음과 같이 정의된다고 한다.

[eqn: alpha = {2.3} over {d} LEFT ( log``I` _{0} -log``I`` RIGHT )]

두께가 [eqn: 2.3`][eqn: rm mm], 흡수계수가 [eqn: 3`]인 물체 [eqn: rmA]와 두께가 [eqn: 2.5`][eqn: rm mm], 흡수계수가 [eqn: 4.6`]인 물체 [eqn: rmB`]에 같은 세기의 [eqn: X`]선을 각각 쏠 때, 물체 [eqn: rmA`]를 통과하여 나온 [eqn: X`]선의 세기는 물체 [eqn: rm B`]를 통과하여 나온 [eqn: X`]선의 세기의 [eqn: k`]배이다. [eqn: k`]의 값은? [4점]

① [eqn: 1over 10]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 100]

21. 두 함수

[eqn: f`(`x)`=`-x ^{`2} +2x+1`], [eqn: g`(`x)`=`a ^{`x} `] ([eqn: a>0], [eqn: a!=1])

이 있다. [eqn: -1 le `x le 2`]에서 두 함수 [eqn: `f `(`g`(`x)`)], [eqn: `g `(`f`(`x)`)]의 최댓값이 같아지도록 하는 모든 [eqn: a`]의 값의 합은? [4점]

① [eqn: {3 sqrt {2}} over {2} `]	② [eqn: {4 sqrt {2}} over {3} `]	③ [eqn: sqrt {2}]	④ [eqn: {2 sqrt {2}} over {3} `]	⑤ [eqn: {sqrt {2}} over {2} `]

단답형

22. 지수부등식 [eqn: 4`^x -3 ``․``2``^x+2 +32 le 0`]을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: x`]의 값의 합을 구하시오. [3점]

23. 두 행렬 [eqn: A= pmatrix { ``2``&``1`` #``4`` &``3`` }``], [eqn: B= pmatrix { ``-5``&`~~~5`` #`````~10`` &``-15`` }``]에 대하여 [eqn: XA=B``]를 만족시키는 행렬 [eqn: X``]의 모든 성분의 합을 구하시오. [3점]

24. 로그방정식 [eqn: left ( log``_3` 9over x right) `left (log``_3`{x over 3 right) +6 =0 `]의 두 근을 [eqn: alpha``], [eqn: beta``]라 할 때, [eqn: alpha beta``]의 값을 구하시오. [3점]

25. 수열 [eqn: LEFT { `a`_n` RIGHT } `]의 계차수열을 [eqn: LEFT { `b`_n` RIGHT } `]이라 하자.

[eqn: a`_1 = 1`], [eqn: b`_n = (`-1)`^n+1 `] ([eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: cdots])

이 성립할 때, [eqn: sum_k=1^m a`_k =100`]을 만족시키는 자연수 [eqn: m`]의 값을 구하시오. [3점]

26. 그림과 같은 그래프가 있다. 이 그래프의 꼭짓점 [eqn: rmA`]에서 꼭짓점 [eqn: rmF``]로 가는 모든 경로의 수를 구하시오. [4점]

27. 두 수열 [eqn: LEFT { `a`_n` RIGHT } `], [eqn: LEFT {` b`_n `RIGHT }]이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 수열 [eqn: LEFT { `a`_n `RIGHT }`]은 첫째항이 [eqn: 2], 공비가 [eqn: 3`]인 등비수열이다.

(나) 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{n} a` _{k}`` b` _{k} =4`n `․` 3 ` ^{n} `]이다.

[eqn: b ` _{5}`]의 값을 구하시오. [4점]

28. 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 지수부등식 [eqn: 5^2x GEQ k ``․`5`^x -2k-5`]가 항상 성립하도록 하는 실수 [eqn: k`]의 값의 범위는 [eqn: alpha LEQ k LEQ beta `]이다. [eqn: left|` alpha`beta``| `]의 값을 구하시오. [4점]

29. 그림은 좌표평면에 직선 [eqn: x=m`]([eqn: m=1,``2,``3,``4`])과 직선 [eqn: y=n`]([eqn: n=1,``2,``3,``4`])의 교점을 나타낸 것이다.

[eqn: 16]개의 교점 중 서로 다른 두 점 ([eqn: x_1], [eqn: y_1]), ([eqn: x_2], [eqn: y_2])를 차례로 택하여 두 점의 [eqn: x], [eqn: y`]좌표를 성분으로 하는 행렬 [eqn: pmatrix { ``x_1``& ``x_2``#``y_1`` & ``y_2``}]를 만든다.
예를 들어 차례로 택한 두 점의 좌표가 각각 ([eqn: 1], [eqn: 3]), ([eqn: 2], [eqn: 4])이면 행렬 [eqn: pmatrix { ``1``&``2`` #``3`` &``4`` }``]가 만들어지고, 차례로 택한 두 점의 좌표가 각각 ([eqn: 2], [eqn: 4]), ([eqn: 1], [eqn: 3])이면 행렬 [eqn: pmatrix { ``2``&``1`` #``4`` &``3`` }``]이 만들어진다.
이와 같이 위의 16개의 교점 중 서로 다른 두 점을 차례로 택하여 만든 행렬 중에서 역행렬을 갖지 않는 것의 개수를 구하시오. [4점]

30. 좌표평면에 다음과 같은 규칙으로 점 [eqn: rm A`_{it n}`] ([eqn: n=1,````2,````3,````cdots])을 정해 나간다. (단, 점 [eqn: rm A`_0 `]의 좌표는 ([eqn: 0], [eqn: 0])이다.)

(가) 점 [eqn: rm A`_1]의 좌표는 ([eqn: 1], [eqn: 1])이다.

(나) [eqn: rm bar {A`_{it n-1}` A`_{it n} } = root 2 `itn `]이고 [eqn: angle rm A`_{it n-1}` A`_{it n}` A`_{it n+1} =`90`°]이다.

(다) 선분 [eqn: rm A`_{it n}` A`_{it n+1}`]은 [eqn: y`]축과 한 점에서 만난다.

삼각형 [eqn: rm A`_19 `A`_20 `A_21 `]의 무게중심의 좌표를 ([eqn: a], [eqn: b])라 할 때, [eqn: a+b`]의 값을 구하시오. [4점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.