◦ 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 정확히 쓰시오.

2011학년도 6월 고1 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시            수리 영역

성명			수험 번호						1

수리 영역

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수리 영역

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◦ 답안지의 해당란에 성명과 수험 번호를 쓰고, 또 수험 번호와 답을 정확히 표시하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면, 그 ‘0’ 도 답란에 반드시 표시하시오.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

8

1. [eqn: {(1+2i)(2-i)`]를 계산하면? (단, [eqn: i= sqrt {-1} `]) [2점]

① [eqn: 4+3i `]	② [eqn: 4-3i `]	③ [eqn: 3+4i`]	④ [eqn: 3-4i `]	⑤ [eqn: -3+4i`]

2. [eqn: x= sqrt {2}`]일 때, [eqn: {(1- sqrt {x} )(1+ sqrt {x} )(1+x)} over {x} `]의 값은? [2점]

① [eqn: - sqrt {2} `]	② [eqn: - {sqrt {2}} over {2} `]	③ [eqn: {sqrt {2}} over {2} `]	④ [eqn: sqrt {2} `]	⑤ [eqn: 2 sqrt {2} `]

3. 다항식 [eqn: x ^{7} +27x ^{4} -x+k`] 를 [eqn: x+1`]로 나눈 나머지가 [eqn: 12`]일 때, 상수 [eqn: k`]의 값은? [2점]

① [eqn: -21`]	② [eqn: -19`]	③ [eqn: -17`]	④ [eqn: -15`]	⑤ [eqn: -13`]

4. 등식 [eqn: 3a+(a-b)` sqrt {2} =4 sqrt {2} +b-2`]를 만족시키는 두 유리수 [eqn: a`], [eqn: b`]의 곱 [eqn: ab`]의 값은? [3점]

① [eqn: 15`]	② [eqn: 18`]	③ [eqn: 21`]	④ [eqn: 24`]	⑤ [eqn: 27`]

5. [eqn: -2<a`<1`]일 때, 의 값은? [3점]

① [eqn: 2a+1`]	② [eqn: 2a-1`]	③ [eqn: a+1`]	④ [eqn: `5]	⑤ [eqn: 1`]

6. 세 양수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: {1} over {a} - {1} over {c} <0`]

(나) [eqn: {1} over {a} + {1} over {c} < {1} over {b} `]

[eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]의 대소 관계를 바르게 나타낸 것은? [3점]

① [eqn: a<b<c`]	② [eqn: b<a<c`]	③ [eqn: b<c<a`]

④ [eqn: c<a<b`]	⑤ [eqn: c<b<a`]

7.  최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 두 다항식 [eqn: A`]와 [eqn: B`]의 최대공약수가 [eqn: x ^{2}(x+1)`]이고 최소공배수가 [eqn: x ^{3}(x +1) `]일 때, 두 다항식의 곱 [eqn: AB`]를 [eqn: (x+1) ^{2} `]으로 나눈 몫은? [3점]

① [eqn: x^3 `]	② [eqn: x ^{5} `]	③ [eqn: x +1 `]

④ [eqn: x ^2 (x+1)^2 `]	⑤ [eqn: x ^{5} (x+1)`]

8. 전체집합 [eqn: U`]의 두 부분집합 [eqn: A`], [eqn: B`]에 대하여

[eqn: A` CUP `B ^{C} =` LEFT { `2,~4,~5,~8,~12` RIGHT }],  [eqn: (A` SMALLINTER `B) ^{C} =` LEFT { `1,~3,~5,~9` RIGHT }]

일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: U= LEFT { `1,~2,~3,~4,~5,~8,~9,~12` RIGHT } `] ㄴ. [eqn: A` SMALLINTER `B`=` LEFT { `8` RIGHT }] ㄷ. 집합 [eqn: A ^{C} SMALLINTER `B`]의 원소의 개수는 [eqn: 3`]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

9. 임의의 두 유리식 [eqn: A`], [eqn: B`]에 대하여 연산 ◎를

[eqn: A◎B= {A+B} over {A-B}`] (단, [eqn: A-B != 0`])

로 정의할 때, [eqn: LEFT ( x◎1 RIGHT ) ◎ LEFT ( 1 over x◎1 RIGHT ) `]을 간단히 하면? [4점]

① [eqn: 1`]	② [eqn: {x ^{2} -1}over {x} `]	③ [eqn: {x ^{2} -1} over {2x} `]

④ [eqn: {x ^{2} +1} over {x}`]	⑤ [eqn: {x ^{2} +1} over {2x}`]

10. 집합 [eqn: A= LEFT { `0,`1,``2,``3` RIGHT } `]의 두 원소 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 연산 △를

[eqn: a`△`b=`]([eqn: ab`]를 [eqn: 4]로 나눈 나머지)

로 정의할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[3점]

		<보 기>
	ㄱ. 연산 △에 대하여 교환법칙이 성립한다. ㄴ. 연산 △에 대한 항등원은 [eqn: 0`]이다. ㄷ. [eqn: 3`]의 연산 △에 대한 역원은 [eqn: 3`]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

11. [eqn: {x+y} over {2z} = {y+2z} over {x} = {2z+x} over {y}`]일 때, [eqn: {x ^{3} +y ^{3} +z ^{3}} over {xyz}]의 값은?

(단, [eqn: x+y+2z` != `0`]) [4점]

① [eqn: 17 over 4 `]	② [eqn: 9} over {2} `]	③ [eqn: 19 over 4 `]	④ [eqn: 5`]	⑤ [eqn: 21} over {4} `]

12. 복소수 [eqn: z`]에 대하여 등식 [eqn: (2+i)z+3`i`` bar{z`} =2+6`i`]가 성립할 때, [eqn: z `bar{z}` `]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1} `]이고, [eqn: bar{z`}]는 [eqn: z]의 켤레복소수이다.)

[3점]

① [eqn: 2`]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 8`]	④ [eqn: 10`]	⑤ [eqn: 13`]

13. 어느 휴대폰 제조 회사에서 휴대폰 판매량과 사용자 선호도에 대한 시장 조사를 하여 다음과 같은 결과를 얻었다.

(가) [eqn: 10]대, [eqn: 20]대에게 선호도가 높은 제품은 판매량이 많다.

(나) 가격이 싼 제품은 판매량이 많다.

(다) 기능이 많은 제품은 [eqn: 10]대, [eqn: 20]대에게 선호도가 높다.

위의 결과로부터 추론한 내용으로 항상 옳은 것은? [3점]

① 기능이 많은 제품은 가격이 싸지 않다.

② 가격이 싸지 않은 제품은 판매량이 많지 않다.

③ 판매량이 많지 않은 제품은 기능이 많지 않다.

④ [eqn: 10]대, [eqn: 20]대에게 선호도가 높은 제품은 기능이 많다.

⑤ [eqn: 10]대, [eqn: 20]대에게 선호도가 높은 제품은 가격이 싸지 않다.

14. [eqn: bar{rm AD it} `=1`], [eqn: bar{rm AB it} `=x`]([eqn: 0<x<1])인 직사각형 [eqn: rmABCD]가 있다. 그림과 같이 사각형 [eqn: rm ABFE`]가 정사각형이 되도록 두 변 [eqn: rm AD`]와 [eqn: rm BC`]위에 두 점 [eqn: rm E`], [eqn: rm F`]를 각각 정하면 두 사각형 [eqn: rm ABCD`]와 [eqn: rm FCDE`]는 닮음이다. 또, 사각형 [eqn: rm GFCH]가 정사각형이 되도록 두 변 [eqn: rm EF`]와 [eqn: rm DC`] 위에 두 점 [eqn: rm G`], [eqn: rm H`]를 각각 정하고, 사각형 [eqn: rm EGJI`]가 정사각형이 되도록 두 변 [eqn: rm ED`]와 [eqn: rm GH`] 위에 두 점 [eqn: rm I`], [eqn: rm J`]를 각각 정한다. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: {1} over {x} = {x} over {1-x}`] ㄴ. [eqn: x ^{3} - 2x + 1=0`] ㄷ. 선분 [eqn: rm `ID`]의 길이는 [eqn: x ^{4}`]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

15. 원 [eqn: rm O`]에 내접하는 정사각형 [eqn: rm ABCD`]의 내부에 한 점 [eqn: rm P`]를 잡는다. 그림과 같이 점 [eqn: rm P`]를 지나고 정사각형의 각 변에 평행한 두 직선이 정사각형의 네 변과 만나는 점을 각각 [eqn: rm E`], [eqn: rm F`], [eqn: rm G`], [eqn: rm H`]라 하자. 다음은  네 직사각형 [eqn: rm AEPH`], [eqn: rm EBFP`], [eqn: rm PFCG`], [eqn: rm HPGD`]의 외접원의 넓이를 각각 [eqn: S _{1} `], [eqn: S _{2} `], [eqn: S _{3} `], [eqn: S _{4} `]라 할 때, [eqn: S _{1} +S _{2} +S _{3} +S _{4} `]의 값이 원 [eqn: rm O`]의 넓이보다 크거나 같음을 증명한 것이다.

<증명>

[eqn: rm bar{AH} = it x`], [eqn: rm bar{HD} = it y`], [eqn: rm bar{DG} = it u`], [eqn: rm bar{GC} = it v`]라 하면 [eqn: x+y=u+v]이다.

또, [eqn: S _{1} +S _{2} +S _{3} +S _{4}= `][eqn: LEFT ( x ^{2} +y ^{2} +u ^{2} +v ^{2} ` RIGHT ) `]이고

(가)

원 [eqn: rm O`]의 넓이는 [eqn: LEFT ( x+y` RIGHT ) ^{2} `]이다.

(나)

한편 [eqn: 2(x ^{2} +y ^{2} +u ^{2} +v ^{2} )-`][eqn: (x+y) ^{2} `]

(다)

[eqn: =(x-u) ^{2`} +(x-v) ^{2} +(y-u) ^{2} +(y-v) ^{2} `][eqn: GEQ 0`]

이므로 [eqn: S _{1} +S _{2} +S _{3} +S _{4} `]의 값은 원 [eqn: rm O`]의 넓이보다 크거나 같다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 값을 모두 더하면?

[4점]

① [eqn: 4`]	② [eqn: 6`]	③ [eqn: pi +1`]	④ [eqn: pi +2]	⑤ [eqn: 2pi+2 `]

16. 다항식 [eqn: f it `(x)`=x ^{3} +9x ^{2} +4x-45`]에 대하여 등식

[eqn: f`(x+a)=x ^{3} +bx-3]

이 [eqn: x`]의 값에 관계없이 항상 성립한다. 이때, 두 상수 [eqn: a`], [eqn: b`]의 합 [eqn: a+b`]의 값은? [4점]

① [eqn: -26]	② [eqn: -24`]	③ [eqn: -22`]	④ [eqn: -20`]	⑤ [eqn: -18`]

17. 다항식 [eqn: f``(x)`=x ^{2} +ax+b]가 [eqn: x-m`]과 [eqn: x-n`]으로 나누어 떨어진다고 하자. 다항식 [eqn: g(x)`]를

[eqn: g(x)=x ^{2} +(m+n-mn)x-m ^{2} n-mn ^{2} `]

이라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: m != n`]) [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: f(m)=f(n)`] ㄴ. [eqn: g(x)`]를 [eqn: x-a`]로 나눈 몫은 [eqn: x-b`]이다. ㄷ. [eqn: 2m+n=0`]이면 [eqn: f(x) `]와 [eqn: g(x)`]에 일차식 이상의 공약수가 존재한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

18. 복소수 [eqn: alpha `], [eqn: beta `]가 [eqn: alpha ^{2} =2i`], [eqn: beta ^{`2} =-2i`]를 만족시킬 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: i= sqrt {-1} `]) [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: alpha beta =2`] ㄴ. [eqn: ( alpha + beta ) ^{4} =16`] ㄷ. [eqn: {alpha - beta } over {alpha + beta }]는 실수이다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

19. 회원이 [eqn: 100`]명인 어느 동호회에서 전체 회의를 열기로 하였다. 모든 회원에게 미리 참석 가능 여부를 물었더니 참석할 수 있다고 응답한 회원이 [eqn: 67`]명, 모르겠다고 응답한 회원이 [eqn: 33`]명이었다. 그런데 실제로 전체 회의에 참석한 회원은 [eqn: 50`]명이었다. 이때, 참석할 수 있다고 응답한 회원 중에서 참석하지 않은 회원의 수를 [eqn: p`], 모르겠다고 응답한 회원 중에서 참석하지 않은 회원의 수를 [eqn: q`]라고 할 때, [eqn: p-q`]의 최댓값과 최솟값의 합은? [3점]

① [eqn: 32`]	② [eqn: 34`]	③ [eqn: 36`]	④ [eqn: 38`]	⑤ [eqn: 40`]

20. 중력가속도가 [eqn: G`]이고 질량이 [eqn: M`]인 행성 주위를 공전하는 인공위성의 공전반지름의 길이가 [eqn: r`]일 때, 이 인공위성의 공전주기 [eqn: T`]는

[eqn: T=k sqrt {{r ^{3}} over {GM}}`](단, [eqn: k`]는 상수이다.)

이다. [eqn: rm A`]행성의 중력가속도는 [eqn: rm B`]행성의 중력가속도의 [eqn: 3`]배, [eqn: rm A`]행성의 질량은 [eqn: rm B`]행성의 질량의 [eqn: 10`]배라 하자. [eqn: rm A`]행성 주위를 공전하는 인공위성의 공전반지름의 길이가 [eqn: rm B`]행성 주위를 공전하는 인공위성의 공전반지름의 길이의 [eqn: 1.5`]배라 할 때, [eqn: rm A`]행성의 주위를 공전하는 인공위성의 공전주기는 [eqn: rm B`]행성의 주위를 공전하는 인공위성의 공전주기의 몇 배인가? [3점]

① [eqn: { sqrt {5}} over {30}]배	② [eqn: {sqrt {5}} over {20}]배	③ [eqn: { sqrt {5}} over {10}]배

④ [eqn: {3 sqrt {5}} over {20}]배	⑤ [eqn: {3sqrt {5}} over {10}]배

21. 평면 위에 한 변의 길이가 [eqn: 4`]인 정사각형 [eqn: rm ABCD`]가 있다. 변 [eqn: rm `BC`]는 직선 [eqn: l`] 위에 있고, 꼭짓점 [eqn: rm B`]에 대응하는 직선 [eqn: l`] 위의 점을 [eqn: RMP`]라 하자. 그림은 이 정사각형이 직선 [eqn: l`]을 따라 미끄러짐 없이 한 바퀴 구른 후의 모습이다. 이때, 꼭짓점 [eqn: RMB`]에 대응하는 직선 [eqn: l`] 위의 점을 [eqn: RMQ`]라 하자.

꼭짓점 [eqn: RMA`]가 움직인 거리는 [eqn: x`]이고, 두 점 [eqn: RMP`], [eqn: RMQ`] 사이의 거리는 [eqn: y`]이다. [eqn: d= {4x} over {pi } - {y} over {4} `]라 할 때, [eqn: {1} over {sqrt {d} +2} + {1} over {sqrt {d} -2} `]의 값은? [4점]

① [eqn: {1} over {5} `]	② [eqn: {1} over {4} `]	③ [eqn: {3} over {10} `]	④ [eqn: {2} over {5} `]	⑤ [eqn: {1} over {2} `]

단답형

22. 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여  [eqn: (x+1) ^{4}=x^4 + ax^3 + bx^2 +4x + 1`]이 성립할 때, 두 상수 [eqn: a`], [eqn: b`]의 합 [eqn: a+b`]의 값을 구하시오. [3점]

23. [eqn: sqrt {5+sqrt {5} + sqrt {6+ 2sqrt {5}}`]의 정수 부분을 [eqn: n`]이라 할 때, [eqn: n`]의 값을 구하시오. [3점]

24. 두 조건 [eqn: p:` {sqrt {x+1}} over {sqrt {x-8}} =`- {sqrt {x+1 over { {x-8}} `], [eqn: q`: a-8<x<a+3`]에 대하여 [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 충분조건일 때, 상수 [eqn: a]의 최솟값을 구하시오. [3점]

25. [eqn: x+y+z=0`], [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =5`]일 때, [eqn: x ^{2} y ^{2} +y ^{2} z ^{2} +z ^{2} x ^{2} = {q} over {p}`]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`], [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

[3점]

26. 농도가 [eqn: a]%인 소금물 [eqn: 100`]g과 [eqn: b]%의 소금물 [eqn: 200`]g을 섞어 [eqn: p`]%의 소금물을 얻었다. 또, 농도가 [eqn: a]%인 소금물 [eqn: 200`]g과 [eqn: b]%의 소금물 [eqn: 100`]g을 섞어 [eqn: q`]%의 소금물을 얻었다. [eqn: p:q=2:3`]일 때, [eqn: {3a ^{2} +4b ^{2}} over {ab} `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: ab`!=0`]) [3점]

27. 전체집합 [eqn: U= LEFT { it x`|`1 LEQ x LEQ 12,~x는~자연수 RIGHT } `]의 두 부분집합 [eqn: A= LEFT { 1,``2 RIGHT } `], [eqn: B= LEFT { 2,``3,``5,``7 RIGHT }`]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 [eqn: U`]의 부분집합 [eqn: X`]의 개수를 구하시오. [4점]

(가) [eqn: A CUP X=X`]

(나) [eqn: LEFT ( B-A RIGHT ) SMALLINTER X= LEFT { 5,``7 RIGHT }`]

28. 복소수 [eqn: alpha =(2-n-5i) ^{2} `]에 대하여 [eqn: alpha ^{2}`]이 음의 실수가 되도록 하는 자연수 [eqn: n`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: i= sqrt {-1} `]) [4점]

29. [eqn: 15`]세 이상 인구 중에서 취업자와 실업자를 합쳐서 경제 활동 인구라 하고, 나머지를 비경제 활동 인구라 한다. 한 지역의 인력 활용 정도를 판단하는 지표로 고용률과 실업률이 주로 사용되며 그 산출식은 다음과 같다.

[eqn: (고용률)= {(취업자```수)} over {(15세```이상```인구)} TIMES 100`(%)]

[eqn: (실업률)= {(실업자```수)} over {(경제~활동~`인구)} TIMES 100`(%)]

[eqn: rm A] 지역과 [eqn: rm B] 지역의 [eqn: 15`]세 이상 인구의 비는 [eqn: 3``:`4`], 실업자 수의 비는 [eqn: 5``:`6`]이고, 두 지역의 실업률은 같다. [eqn: rm A] 지역과 [eqn: rm B] 지역의 고용률의 비가 [eqn: m``:`n`]일 때, [eqn: 3m + n`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: m`], [eqn: n`]은 서로소인 자연수이다.) [4점]

30. 두 집합 [eqn: A`], [eqn: B`]에 대한 세 연산 , , 을 다음과 같이 정의한다.

[eqn: X`], [eqn: Y`], [eqn: Z`]가 자연수를 원소로 갖는 집합일 때, 아래 그림에서 집합 [eqn: X`]의 모든 원소의 합을 [eqn: s`]라 하자. [eqn: s`]의 최솟값을 구하시오.

[4점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.