2교시 정답 및 해설

• 2교시 수리 영역 •

[가 형]

1	③	2	②	3	①	4	④	5	①
6	⑤	7	③	8	③	9	④	10	④
11	①	12	③	13	②	14	⑤	15	⑤
16	④	17	①	18	②	19	⑤	20	②
21	③	22	[eqn: 3]	23	[eqn: 10]	24	[eqn: 32]	25	[eqn: 16]
26	[eqn: 2]	27	[eqn: 120]	28	[eqn: 24]	29	[eqn: 170]	30	[eqn: 9]

1. [출제의도] 행렬의 덧셈과 곱셈 계산하기

[eqn: AB+B= {pmatrix{`1&```````````1`#`0&````-2`}} {pmatrix{`3&```0`#`2&```1`}} + {pmatrix{`3&````0`#`2&````1`}} = {pmatrix{````````8&``````````1`#`-2&```-1`}}]

따라서 모든 성분의 합은 [eqn: 6]

2. [출제의도] 지수와 로그의 성질을 알고 계산하기

[eqn: log` _{4} `(`2 ^{{7} over {2}} TIMES 2 ^{{1} over {2}} )][eqn: `=log _{`4} `2 ^{4} =` log_ {`4} {4^2}=` 2]

3. [출제의도] 함수의 극한의 뜻을 이해하기

[eqn: lim _{x`` -> `` INF } {LEFT { LEFT ( 1+ {1} over {x} RIGHT ) ^{x} RIGHT } ^{-2}}=e ^{-2} ``= {1} over {e ^{2}}]

4. [출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이해하기

[eqn: y= {pi } over {3} -x]이므로
(준식) [eqn: = sqrt {3} `cosx+2sin LEFT ( {pi } over {3} -x RIGHT )]
[eqn: =2 sqrt {3} `cosx`-sinx]

[eqn: = sqrt {13} `sin LEFT ( alpha -x RIGHT ) `]
[eqn: left(pile{` #` }]단, [eqn: sin `alpha = {2 sqrt {39}} over {13}], [eqn: cos` alpha `= {sqrt {13}} over {13}][eqn: pile{` #` } right)]

따라서 최댓값은 [eqn: sqrt {13}]

5. [출제의도] 무리방정식의 해 구하기

[eqn: sqrt {x ^{2} +x-1} =t]라 하면
[eqn: 2x ^{2} +2x-1+ sqrt {x ^{2} +x-1} `=2]에서

[eqn: 2t ^{2} +1+t=2]이므로 [eqn: LEFT ( 2t-1 RIGHT ) LEFT ( t+1 RIGHT ) `=0]

그러므로 [eqn: t= {1} over {2} `` LEFT ( BECAUSE `t GEQ 0 RIGHT )]
[eqn: THEREFORE] [eqn: sqrt {x ^{2} +x-1} = {1} over {2}]에서 [eqn: x ^{2} +x- {5} over {4} =0]

따라서 모든 실근의 곱은 [eqn: - {5} over {4}]

6. [출제의도] 여러 가지 수열의 일반항 구하기

[eqn: a _{n+1} -a _{n} =n+1]이므로

[eqn: a_n = a _1 + sum _{k=1} ^{n-1 } {(k+1)]

[eqn: = 1+ {(n-1)(n+2)} over 2]

따라서 [eqn: a _{15} =1+ {14 TIMES 17} over {2} =120]

7. [출제의도] 수열의 합과 일반항 사이의 관계 이해하기

[eqn: a _{n} =S _{n} -S _{n-1}][eqn: =2n+2(`n GEQ 2)]

[eqn: S _{`1}=5]이므로 [eqn: a_{`1}=5]

따라서 [eqn: a _{`1} + a _{`6} = 5+2 TIMES6+2=19]

8. [출제의도] 도함수를 활용하여 추론하기

함수 [eqn: f` LEFT ( x RIGHT )]의 정의역은 [eqn: x<5`]이다.

[eqn: f` prime (x)= {-2} over {5-x} + {x} over {2}=0`]에서 [eqn: x=1] 또는 [eqn: x=4],

[eqn: f` prime prime (x)= {-2} over {(x-5) ^{2}} + {1} over {2}=0`]에서
[eqn: x=3`( BECAUSE ~x<5)`]이므로 함수 [eqn: f` prime (x)`], [eqn: f prime prime(x)`], [eqn: f(x)]를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x`]	…	[eqn: 1]	…	[eqn: 3`]	…	[eqn: 4`]	…	[eqn: 5`]
[eqn: f` prime (x)`]	[eqn: -`]	[eqn: 0`]	[eqn: +`]	[eqn: +`]	[eqn: +`]	[eqn: 0`]	[eqn: -`]
[eqn: f prime prime(x)`]	[eqn: +`]	[eqn: +`]	[eqn: +`]	[eqn: 0]	[eqn: -`]	[eqn: -`]	[eqn: -`]
[eqn: f(x)`]	□	[eqn: f(1)]	□	[eqn: f(3)]	□	[eqn: f(4)]	□

[eqn: left( pile{` #` }]단, [eqn: f(1)= 1 OVER 4 + 4ln 2], [eqn: f(3) = 9 over 4 + 2ln 2],
[eqn: f(4)=4][eqn: pile{` #` } right)]

ㄱ. (참)

ㄴ. 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 변곡점의 개수는 [eqn: 1]이다. (거짓)

ㄷ. 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y= 1over4]은 다음과 같으므로 방정식 [eqn: f(x)= 1over 4]의 실근의 개수는 [eqn: 1]이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ

[eqn: rmO]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y= rm {1} over {4}]

[eqn: x]

[eqn: y]

9. [출제의도] 그래프와 행렬의 관계를 이해하기

주어진 그래프를 행렬로 나타내면

[eqn: rm A``B``C``D``E]

[eqn: {matrix{0&``0&``1&``1&``0#0&``0&``1&``0&``1#1&``1&``0&``1&``1#1&``0&``1&``0&``0#0&``1&``1&``0&``0}}]

[eqn: pile{ rm A # B # C # D # E }]

이므로 [eqn: p=1], [eqn: q=0]이고 꼭짓점 [eqn: rm C`]에서 다른 한 꼭짓점을 지나 다시 꼭짓점 [eqn: rm C`]로 돌아오는 방법은 [eqn: rmCAC], [eqn: rm CBC], [eqn: rm CDC], [eqn: rm CEC]이므로 [eqn: r=4]이다.

따라서 [eqn: p+q+r=5]

10. [출제의도] 연립일차방정식과 행렬의 관계를 이해하기

연립일차방정식 [eqn: {pmatrix{1&``2`#``2``&`3`}} {pmatrix{`x`#`y`}} `= {pmatrix{`k&``1`#```1``&``k`}} {pmatrix{`x`#`y`}}]에서

[eqn: {pmatrix{`1-k&1``#`1&3-k`}} {pmatrix{`x`#`y`}} `= {pmatrix{`0`#`0`}}] [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: ㉠]이 [eqn: x=0], [eqn: y=0] 이외의 해를 가지므로
[eqn: (1-k)(3-k)-1=0]

따라서 모든 상수 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: 4]

11. [출제의도] 행렬의 뜻을 알고 추론하기

ㄱ. [eqn: A=2B+E`]이므로

[eqn: AB=(2B+E)B][eqn: =2B^2 + B]

[eqn: = B(2B+E)][eqn: =BA] (참)

ㄴ. (반례) [eqn: A= {pmatrix{`1&```0`#`0&```1`}}], [eqn: B= {pmatrix{`-1`````&```````0`#````````0`````&-1`}}] (거짓)

ㄷ. (반례) [eqn: A= {pmatrix{``1``&``0`#`1&``1`}}], [eqn: B= {pmatrix{`0```&`0`#`0```&`1`}}] (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ

12. [출제의도] 함수의 극한 이해하기

[eqn: rm bar{P _{it 0 rm} rm `P _{1}} = bar{P _{it 1 rm} rm `P _{2}} =` CDOTS `= bar{P _{it n-1 rm} rm `P _{it n rm}} =2sin {pi } over {2n}]
이므로 각 정삼각형의 넓이는 [eqn: sqrt {3} `sin ^{2} LEFT ( {pi } over {2n} RIGHT ) `]이다.
따라서 [eqn: lim _{n`` -> ``INF } {n`․`S(n)}`` = lim _{n`` -> `` INF } {sqrt {3} n ^{2} TIMES sin ^{2} LEFT ( {pi } over {2n} RIGHT )}]

[eqn: = {sqrt {3}} over {4} pi ^{2} `]

13. [출제의도] 무한수열의 극한 이해하기

[eqn: f(n)= {{n(n+1)(2n+1)} over {6}} over {n ^{2} +2n} ``= {2n ^{`2} +3n+1} over {6n+12}]

따라서 [eqn: lim _{n`` -> `` INF } {{f(n)} over {n}} `` = lim _{n`` -> `` INF } {{2n ^{`2} +3n+1} over {6n^{`2}+12n}}][eqn: = 1 over 3]

14. [출제의도] 정적분을 뜻을 알고 추론하기

ㄱ. 구간 [eqn: (`0,``1`)]에서 [eqn: {d` LEFT { f(x) RIGHT } ^{2}} over {dx} `=2f(x)f` prime (x)`]

[eqn: {d ^{2} ` LEFT { f(x) RIGHT } ^{2}} over {dx ^{2}} `=2 LEFT { f` prime (x) RIGHT } ^{2} `+2f(x)f` '' (x)]이므로

[eqn: {d ^{2} ` LEFT { f(x) RIGHT } ^{2}} over {dx ^{2}} >0]

[eqn: THEREFORE `]함수 [eqn: y= LEFT { f(x) RIGHT } ^{2}]의 그래프는 구간 [eqn: (`0,```1`)]에서 아래로 볼록하다. (참)

ㄴ. [eqn: 1-x=t]라 하면

[eqn: int _{0} ^{1} {f(1-x)dx= int _{0} ^{1} {f(t)dt}}]이므로

[eqn: int _{0} ^{1} {LEFT { f(x)+f(1-x) RIGHT } dx=2 int _{0} ^{1} {f(x)dx}}]

조건에 의해 구간 [eqn: (`0,```1`)]에서 함수 [eqn: y=f(x)]의

그래프의 개형은 다음과 같고

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm`A(`1,``0`)]

[eqn: rm`B(`1,``2`)]

[eqn: rm`C(`0,``1`)]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: int _{0} ^{1} {f(x)dx}]의 값은 사다리꼴 [eqn: rm COAB]의 넓이보다 작다.

[eqn: therefore] [eqn: int _{0} ^{1} {LEFT { f(x)+f(1-x) RIGHT } dx<3}] (참)

ㄷ. ㄱ과 ㄴ에 의해

[eqn: {LEFT { f LEFT ( {k-1} over {n} RIGHT ) RIGHT } ^{2} + LEFT { f LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) RIGHT } ^{2}} over {2} · {1} over {n}][eqn: GEQ int _{{k-1} over {n}} ^{{k} over {n}} {LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} dx}]

이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{n} {LEFT { f LEFT ( {k-1} over {n} RIGHT ) RIGHT } ^{2} + LEFT { f LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) RIGHT } ^{2}} over {2} · {1} over {n}][eqn: GEQ int _{0} ^{1} {LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} dx}](참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

15. [출제의도] 미분계수의 정의를 이용하여 문제해결하기

[eqn: f` prime (0)= lim _{x ``-> ``0} {{f(x)-f(0)} over {x-0} `} `]

[eqn: = lim _{x ``->`` 0} {{{x ^{2} `sin2x} over {1-cosx} -0} over {x-0} `} `][eqn: = lim _{x ``->`` 0} {{x`sin2x} over {1-cosx}}]

[eqn: = lim _{x ``->`` 0} {{2x`sinx`cosx(1+cosx)} over {sin ^{2} x}}]

[eqn: = lim _{x`` -> ``0} {`2cosx(1+cosx){{x`} over {sinx}}}][eqn: =4`]

16. [출제의도] 지수방정식을 활용한 실생활문제 해결하기

점 [eqn: rmA]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: k]라 하면 점 [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: k+2], 점 [eqn: rmC]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: k+4]이다.

[eqn: a ^{k} +2= {12} over {5}]에서 [eqn: a ^{k} = {2} over {5}] [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: a ^{k+2} +2= {9} over {2}]에서 [eqn: a ^{k+2} = {5} over {2}] [eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: ㉠], [eqn: ㉡]에 의해 [eqn: a ^{2} =left( {5} over {2} `right) ^{2}]이므로 [eqn: a= {5} over {2}]

[eqn: h=a ^{k+4} +2 = LEFT ( {2} over {5} RIGHT ) ` LEFT ( {5} over {2} ` RIGHT ) ^{4} +2= {141} over {8}]

따라서 [eqn: h= {141} over {8}]

17. [출제의도] 수열의 귀납적 정의를 알고 추론하기

[eqn: f LEFT ( n RIGHT ) = {n+1} over {n}], [eqn: g LEFT ( n RIGHT ) =5n`]이므로

[eqn: f LEFT ( 5 RIGHT ) TIMES g LEFT ( 10 RIGHT ) =60]

18. [출제의도] 무한등비급수의 합 구하기

[eqn: rm B_{it n}]

[eqn: rm G_{it n}]

[eqn: rm E_{it n}]

[eqn: rm H_{it n}]

[eqn: rm C_{it n}]

[eqn: rm D_{it n}]

[eqn: rm A_ {it n}]

[eqn: O_{it n}]

[eqn: O_{it n+1}]

[eqn: rm I _{it n+1}]

[eqn: rm F_{it n}]

원 [eqn: O _{it `n+1}]의 중심을 [eqn: rm `I _{`itn+1}]이라 하고 반지름의 길이를 [eqn: r _{n+1}]이라 하면 직각삼각형 [eqn: rm `I _{it n+1} B _{it n} F _{it n}]에서
피타고라스의 정리에 의해
[eqn: LEFT ( r _{n} +r _{n+1} RIGHT ) ^{2} = LEFT ( 2r _{n} -r _{n+1} RIGHT ) ^{2} +r _{n} ^{2}]
[eqn: 2r _{n} r _{n+1} =4r _{n} ^{2} -4r _{n} r _{n+1}]
[eqn: {r _{n+1}} over {r _{n}} = {2} over {3}]이므로 [eqn: {S _{n+1}} over {S _{n}} = {4} over {9}]
[eqn: {r _{2}} over {r _{1}} = {2} over {3}]이므로 [eqn: `S _{1} =4- LEFT ( 2+ LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2} pi RIGHT ) =2- {4} over {9} pi]
[eqn: THEREFORE] [eqn: LEFT { S _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 2- {4} over {9} pi], 공비가 [eqn: {4} over {9}]인

무한등비수열이다.
따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{it `n} = {2- {4} over {9} pi } over {1- {4} over {9}} = {18-4 pi } over {5}]

19. [출제의도] 도함수를 활용하여 추론하기

ㄱ. [eqn: f(x)=px ^{3} +qx ^{2} +rx```(p>0)]라 하고
[eqn: g(x)=mx][eqn: (m != 0)]라 하자.

두 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=f(x)-g(x)]의 변곡점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: - {q} over {3p}]이므로 곡선 [eqn: y=f(x)-g(x)]의

변곡점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: a]이다. (참)

ㄴ. 그림과 같이 함수 [eqn: y=f(x)-g(x)]의 그래프는 원점을 지나고 [eqn: x=b]에서 [eqn: x]축에 접하므로
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) =px(x-b) ^{2}]이다.

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: b]

[eqn: {b} over {3}]

[eqn: y=f(x)-g(x)]

[eqn: LEFT { f(x)-g(x) RIGHT } { prime } =p(x-b)(3x-b)]이므로

함수 [eqn: f(x)-g(x)]는 [eqn: x= {b} over {3}]에서 극댓값을 갖는다. (참)

ㄷ. [eqn: h(x)=f(x)-g(x)= px(x-b)^2]
이라 하면 ㄱ 에서 [eqn: h prime prime(a) =0]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: a= 2b over 3]이므로 [eqn: {b-a} over {a} `= {1} over {2}] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

20. [출제의도] 매개변수로 나타내어진 함수를 미분하기

[eqn: {dx} over {d theta } =sec ^{2} theta `], [eqn: {dy} over {d theta } =`-2cos theta `sin theta `]이고

[eqn: x=1`]일 때, [eqn: theta = {pi } over {4} `]이므로

(접선의 기울기)[eqn: ={-2cos {pi } over {4} `sin {pi } over {4}} over {sec ^{2} {pi } over {4}} =- {1} over {2}]

21. [출제의도] 함수의 연속의 뜻을 알고 추론하기

ㄱ. [eqn: lim _{ x``->``1} {f(x)g(x)} = f(1)g(1) = 0]이므로

[eqn: x=1]에서 연속이다. (참)

ㄴ. [eqn: lim _{x ``-> ``0} {f(g(x))=} 0]이고 [eqn: f(g(0))=`-1]이므로

[eqn: x=0]에서 연속이 아니다. (거짓)

ㄷ. [eqn: lim _{x`` ->`` -1} {g(f(x))} =g(f(-1))=1]이므로

[eqn: x=-1]에서 연속이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ

22. [출제의도] 삼각방정식의 해 구하기

[eqn: cosx=t]([eqn: -1 LEQ t LEQ 1])라 하면
[eqn: cos 2x - 2cos x=2t ^{2} -2t-1]
[eqn: 2t ^{2} -2t-1=k]가 실근을 갖도록 하는 [eqn: k]의 값의 범위는 [eqn: - {3} over {2} LEQ k LEQ 3]이다.

따라서 [eqn: k]의 최댓값은 [eqn: 3]

23. [출제의도] 접선의 방정식 구하기

곡선 [eqn: y=2x ^{2} +1`]위의 점 [eqn: (`-1,```3`)`]에서의

접선의 방정식은 [eqn: y=-4x-1] [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

직선 [eqn: ㉠]이 곡선 [eqn: y=2x ^{3} -ax+3`]에 접하므로
접점의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: t`]라 하면

점 [eqn: (` t,```2t ^{3} -at+3 `)]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y=(6t ^{2} -a)(x-t)+2t ^{3} -at+3`]

[eqn: =(6t ^{2} -a)x-4t ^{3} +3`] [eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: ㉡]이 [eqn: ㉠]과 같으므로 [eqn: `t=1`]

따라서 [eqn: a=10]

24. [출제의도] 연속함수의 뜻 이해하기

[eqn: lim _{ x`` ->``2} {left( {a sqrt {x + 2} +b }right) =0]이므로 [eqn: 2a+b=0]

[eqn: lim _{x`` -> ``2} {{a sqrt {x+2} -2a} over {x-2}}][eqn: = lim _{x`` -> ``2} {{a} over { sqrt {x+2} + 2 }}][eqn: = 2]

따라서 [eqn: a=8], [eqn: b=`-16]이므로 [eqn: 2a-b=32]

25. [출제의도] 삼각함수의 배각공식을 이해하여 문제해결하기

[eqn: ANGLE{rmCAD= ANGLEBAD}``= theta][eqn: LEFT ( 0< theta < {pi } over {4} RIGHT )]라 하면

[eqn: cos`2 theta = 1-2sin ^{2} theta = {5} over {8}]이므로 [eqn: sin` theta = {sqrt {3}} over {4}]
[eqn: {bar{rm CD it}} over {bar{rm `AD it}} `= sin theta][eqn: =p root3]

따라서 [eqn: 1 over p^2 `=16]

26. [출제의도] 여러 가지 함수의 정적분 구하기

[eqn: int _{0 } ^{ 1} {left( 1+2e^-x right) }`dx - int _{1} ^{e} {` {lnx} over {x ^{`2}} `} dx`][eqn: = LEFT [ x-2e ^{-x} RIGHT ] _{0} ^{1} - LEFT { LEFT [ - {ln`x} over {x} RIGHT ] _{1} ^{e} - int _{1} ^{e} {LEFT. LEFT ( - {1} over {x ^{2}} RIGHT ) dx` RIGHT }} RIGHT .]

[eqn: =2]

27. [출제의도] 여러 가지 수열에 관한 문제해결하기

[eqn: a_n]부터 [eqn: a_n+5]까지의 항의 값을 [eqn: 3]으로 나눈 나머지를 나열하면 [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 0], [eqn: 0]이므로 [eqn: S_{`n}]부터 [eqn: S_{`n+5}]까지의 항의 값을 [eqn: 3]으로 나눈 나머지를 나열하면
[eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 1], [eqn: 0], [eqn: 0], [eqn: 0]이다. (단, [eqn: n=6k-5], [eqn: k]는 자연수)

따라서 [eqn: 40 TIMES 3=120]

28. [출제의도] 도함수를 활용하여 실생활문제 해결하기

잘라낸 정사각형의 한 변의 길이를 [eqn: x`]라 하고
상자의 부피를 [eqn: V(x)`]라 하면

[eqn: V(x)`][eqn: =x(6-2x)(12-2x)`][eqn: (단,`0<x<3)]

[eqn: V`` prime (x)`][eqn: =12(x ^{2} -6x+6)`=0]이므로

[eqn: x=3- sqrt {3} `]에서 최댓값을 갖는다.

따라서 [eqn: M=24 sqrt {3} `]이므로 [eqn: sqrt {3}over 3 M=24]

29. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질을
이용하여 문제해결하기

ⅰ) [eqn: 1 LEQ n LEQ 9]일 때, [eqn: [f(2)] LEQ 3], [eqn: [f(3)] >3]
이므로 [eqn: n GEQ `3]이면 [eqn: [f(n)]>3]
∴ [eqn: [f(n)] LEQ 3]을 만족시키는 [eqn: n]은 [eqn: 1,`2]이므로
[eqn: n]의 개수는 [eqn: 2]이다.

ⅱ) [eqn: 10 LEQ n LEQ 99]일 때,
[eqn: [f(25)] LEQ 3], [eqn: [f(26)]>3]이므로
[eqn: n GEQ `26]이면 [eqn: [f(n)]>3]
∴ [eqn: [f(n)] LEQ 3]을 만족시키는
[eqn: n]은 [eqn: 10,`11,`12, ```CDOTS ,`25]이므로 [eqn: n]의 개수는 [eqn: 16]이다.

ⅲ) [eqn: 100 LEQ n LEQ 999]일 때,

[eqn: [f(251)]=3], [eqn: [f(252)]=4]이므로
[eqn: n GEQ `252]이면 [eqn: [f(n)]>3]

∴ [eqn: [f(n)] LEQ 3]을 만족시키는
[eqn: n]은 [eqn: 100,`101,`102,` ```CDOTS ,`251]이므로
[eqn: n]의 개수는 [eqn: 152]이다.

따라서 ⅰ), ⅱ), ⅲ)에 의하여 [eqn: [f(n)] LEQ 3]을

만족시키는 자연수 [eqn: n]의 개수는 [eqn: 170]이다.

30. [출제의도] 정적분을 활용하여 문제해결하기

ⅰ) [eqn: x<1`]일 때, [eqn: int _{0} ^{x} {(-t+1)`dt=x}]이므로

[eqn: - {x ^{2}} over {2} +x=x`] [eqn: THEREFORE] [eqn: x=0`]

ⅱ) [eqn: x GEQ 1`]일 때,

[eqn: int _{0} ^{1} {(-t+1)`dt} `+ int _{1} ^{x} {(t-1)`dt} ``=x]

[eqn: {1} over {2} + LEFT ( {x ^{2}} over {2} -x+ {1} over {2} RIGHT ) =x`]

[eqn: x ^{2} -4x+2=0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: x=2+ sqrt {2} ( BECAUSE x GEQ 1)`]

ⅰ), ⅱ)에 의해 양수인 실근은 [eqn: x=2+ sqrt {2} `]이므로
[eqn: m=2], [eqn: n=1]이다.

따라서 [eqn: m ^{3} +n ^{3} =9]

[나 형]

1	③	2	②	3	⑤	4	④	5	②
6	⑤	7	③	8	⑤	9	④	10	④
11	①	12	③	13	②	14	①	15	①
16	④	17	①	18	②	19	④	20	③
21	③	22	[eqn: 2]	23	[eqn: 6]	24	[eqn: 32]	25	[eqn: 7]
26	[eqn: 15]	27	[eqn: 120]	28	[eqn: 23]	29	[eqn: 170]	30	[eqn: 40]

1~2. ‘가’형과 같음

3. [출제의도] 역행렬의 뜻 이해하기

[eqn: AB= {pmatrix{`a&```2`#`1&```3`}} {pmatrix{```````1&```-1`#`-2&``````````a`}} = {pmatrix{`a-4&`````````a`#`-5&`````-1+3a`}}]

행렬 [eqn: AB]의 역행렬이 존재하지 않으므로

[eqn: (a-4)(-1+3a)+5a=0]

[eqn: 3a^2 - 8a +4 =0]

따라서 모든 상수 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: 8 over 3]

4. [출제의도] 등비수열의 뜻 이해하기

[eqn: a+b=4], [eqn: a+b+c=13]에서
[eqn: a(1+r)=4], [eqn: a(1+r+r ^{2} )=13]이므로
[eqn: {r ^{2} +r+1} over {r+1} = {13} over {4}], [eqn: 4r ^{2} -9r-9=0]
[eqn: THEREFORE] [eqn: r=3] 또는 [eqn: r= `- {3} over {4}]

따라서 모든 항이 양수이므로 [eqn: r=3]

5. [출제의도] 행렬의 곱셈 이해하기

[eqn: A ^{2} = {pmatrix{````````2&```````7`#`-1&-3`}}], [eqn: A ^{3} =`-E`](단, [eqn: E`]는 단위행렬)이므로 [eqn: A + A^2 + A^3 +A^4 + A^5 + A^6 =O]

[eqn: therefore] [eqn: A + A^2 + A^3 + ``CDOTS`` + A^2010 + A^2011 = A]

따라서 모든 성분의 합은 [eqn: 7]

6~7. ‘가’형과 같음

8. [출제의도] 지수부등식 해결하기

[eqn: x GEQ 0`], [eqn: `y GEQ 0`] [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: 2 ^{y} LEQ 4 ^{2-x}]에서 [eqn: y LEQ -2x+4] [eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: ` LEFT ( {1} over {4} ` RIGHT ) ^{y} = LEFT ( ` {1} over {2} ` RIGHT ) ^{2y} GEQ LEFT ( ` {1} over {2} ` RIGHT ) ^{5-x} `]에서

[eqn: 2y LEQ -x+5] [eqn: CDOTS CDOTS ㉢]

[eqn: ㉠], [eqn: ㉡], [eqn: ㉢]을 만족시키는 점 [eqn: (`x,```y`)]를 좌표평면 위에 나타내면 다음과 같다.

[eqn: rm P(1,`2)]

[eqn: rmO]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm 4]

[eqn: rm 2]

[eqn: rm {5} over {2}]

[eqn: rm 5]

[eqn: y=-x+k]

이때, [eqn: x+y=k]라 하면

두 직선 [eqn: y=-2x+4], [eqn: y=` - 1 over2 x+ 5over2]의
교점 [eqn: rm P(`1,```2`)]에서 [eqn: x+y]의 값이 최대이다.

따라서 [eqn: x+y]의 최댓값은 [eqn: 3]

9~11. ‘가’형과 같음

12. [출제의도] 로그의 성질을 알고 실생활 문제해결하기

[eqn: S _{`1} =20`log` {aV it rm _{0}} over {V _{0} it rm } =6.02],

[eqn: S _{`2} =20`log` {bV it rm _{0}} over {V it rm _{0}} =36.02] 이므로

[eqn: S _{`2} -S _{`1}][eqn: =20`log` {b} over {a} =30] [eqn: therefore] [eqn: log`{ b } over { a} = 3 over 2]

따라서 [eqn: {b} over {a} =10 ^{{3} over {2}} =10 sqrt {10}]

13. ‘가’형과 같음

14. [출제의도] 무한수열의 극한값 구하기

원점 [eqn: rmO]에서  직선 [eqn: y=x + 1 over n]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH_{itn}]이라 하면

(삼각형 [eqn: rm O P_{itn} Q_{itn}]의 높이)[eqn: = bar{rm OH it _{`it n}} = {sqrt {2}} over {2n} `],

(삼각형 [eqn: rm O P_{itn} Q_{itn}]의 밑변의 길이)

[eqn: =2` TIMES bar{rm P it rm _{n} rm H it rm _{n} it} =2 sqrt {1- rm bar{OH} it rm _{n} ^{2} it}][eqn: = {sqrt {4n ^{2} -2}} over {n}]

[eqn: therefore A _{n} = {sqrt {2n ^{2} -1}} over {2n ^{2}}]

따라서 [eqn: lim _{n -> INF } {`n `․` A _{n}} = {sqrt {2}} over {2}]

15. [출제의도] 지수방정식의 해 구하기

[eqn: 2 ^{x} =t(t>0)]라 하면

[eqn: 2 ^{`x} -6+2 ^{`3-x}][eqn: = t -6 + 8 over t =0]에서
[eqn: t=2] 또는 [eqn: t=4]이므로 [eqn: alpha =1], [eqn: beta =2][eqn: (BECAUSE alpha < beta)]

따라서 [eqn: alpha +2 beta =5]

16~18. ‘가’형과 같음

19. [출제의도] 함수의 극한값 구하기

[eqn: rm barOP = it root { t^2 + 2t }]이므로 [eqn: S`(t)= ( t^2 + 2t ) pi]

원 [eqn: C`] 위의 점 [eqn: rm P]에서의 접선의 방정식이

[eqn: tx+root2t y = t^2 +2t]이므로 [eqn: rm Q it (` t+2, ```0`)]

[eqn: rm bar OQ = it t+2], [eqn: rm bar PQ = it root 2t+4]이므로

[eqn: lim _{t` -> `+0} {rm {it S(`t) rm} over {rm bar{OQ} - rm bar{PQ}} = lim _{it t` -> +`0} {it {(t ^{2} +2t) pi } over {(t+2)- sqrt {2t+4}}} rm} it =4 pi]

따라서 [eqn: lim _{t` -> `+0} {rm {it S(`t) rm} over {rm bar{OQ} - rm bar{PQ}} =4pi]

20. [출제의도] 무한급수의 뜻을 알고 추론하기

ㄱ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1} over {sqrt {n+1} + sqrt {n}}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} LEFT ( sqrt {n+1} - 1 ` RIGHT )][eqn: = inf]

[eqn: therefore] [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}]은 발산 (참)

ㄴ. (반례) [eqn: a _{n} = {1} over {3 ^{n}} ,``b _{n} =2] (거짓)

ㄷ.  [eqn: a _{1} =1], [eqn: a _{n+1`} = 1 over n+1 a_n]이므로

[eqn: a_2 = 1 over 2 a_1], [eqn: a_3 = 1 over 3 a_2], [eqn: cdots], [eqn: a_n = 1 over n a_n-1]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a _{n`} = 1 over {2 TIMES 3 TIMES4 TIMES · · · TIMES n} a_1 = 1 over n!]이므로

[eqn: a_n+2 over a_n][eqn: = 1 over n+1 - 1 over n+2]

[eqn: sum _n=1^inf a_n+2 over a_n =sum _n=1 ^inf left( 1 over n+1 - 1 over n+2 right)][eqn: = 1 over 2] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ

21. ‘가’형과 같음

22. [출제의도] 무한수열의 극한값 구하기

[eqn: lim _{n -> INF } {} {3} over {sqrt {n ^{2} +3n+2} -n}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {LEFT . {3(sqrt {n ^{2} +3n+2} +n)} over {(sqrt {n ^{2} +3n+2} -n)(sqrt {n ^{2} +3n+2} +n)}]

[eqn: =2]

23. [출제의도] 로그함수의 그래프의 성질을 이해하기

[eqn: bar{rm BC it} `=log _{a} `4`-log _{b} `4`=2] [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 [eqn: y]좌표가 같으므로

[eqn: log _{a} `2=log _{b} `4] [eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: ㉠], [eqn: ㉡]에 의하여

[eqn: log _{a} `4`-log _{a} `2][eqn: =log _{a} `2`=2]에서 [eqn: a= sqrt {2}], [eqn: b=2]

따라서 [eqn: a ^{2} +b ^{2} =6]

24. ‘가’형과 같음

25. [출제의도] 함수의 극한에 관한 성질을 알고 추론하기

조건 (가)에 의해 [eqn: f(x)-3x^3 = 2x^2 + ax +b]라 하면

[eqn: lim _{ x``->``0} { f(x) over x }``=][eqn: lim _{ x`->`0} { { 3x^3 + 2x^2 + ax +b } over x }=2]이므로
[eqn: a=2], [eqn: b=0]
따라서 [eqn: f(x)=3x ^{3} +2x ^{2} +2x]이므로 [eqn: f(1)=7]

26. [출제의도] 역행렬의 뜻 이해하기

[eqn: A= {pmatrix{`a&````b`#`c&```d`}}]라 할 때,

행렬 [eqn: A]는 역행렬을 갖지 않으므로 [eqn: ad=bc]

ⅰ) [eqn: a=b=c=d`]인 경우 [eqn: 3]가지

ⅱ) [eqn: a`d=bc=2]인 경우 [eqn: 4]가지

ⅲ) [eqn: a`d=bc=3]인 경우 [eqn: 4]가지

ⅳ) [eqn: a`d=bc=6]인 경우 [eqn: 4]가지

따라서 행렬 [eqn: A]의 개수는 [eqn: 15]

27. ‘가’형과 같음

28. [출제의도] 로그방정식의 해 구하기

[eqn: log _{3} x `․` log _{2} y = {log _{2} x} over {log_2 3}`․` {log _{3} y} over {log_3 2}=6]

[eqn: log _{2} x=X], [eqn: log _{3} y=Y`]라 하면

[eqn: {cases{X+Y=5#XY=6}}]이므로

[eqn: {cases{X=2#Y=3}}] 또는 [eqn: {cases{X=3#Y=2}}]

즉, [eqn: {cases{x=4#y=27}}] 또는 [eqn: {cases{x=8#y=9}}]

따라서 [eqn: beta - alpha]의 최댓값은 [eqn: 23]

29. ‘가’형과 같음

30. [출제의도] 등비수열의 합 구하기

점 [eqn: (`x,```y`)]가 나타내는 영역은 두 대각선의 길이가 각각 [eqn: 2 TIMES LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2n-1}], [eqn: 2TIMES left( 1over2 right)^2n]인 마름모의 내부와
두 대각선의 길이가 각각 [eqn: 2TIMES left( 1over2 right)^2n+1], [eqn: 2TIMES left( 1over2 right)^2n]인
마름모의 외부의 공통 부분(어두운 부분)이므로

[eqn: a _{n} =3 TIMES LEFT ( {1} over {16} RIGHT ) ^{n}]

[eqn: left( {1over2}right)^{2n}]

[eqn: left( {1over2}right)^{2n-1}]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: left( {1over2}right)^{2n+1}]

[eqn: rm O]

[eqn: S _{10} = 3 sum _{k=1} ^{10} LEFT ( {1} over {16} RIGHT ) ^{k}][eqn: = {1} over {5} LEFT { 1- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{40} RIGHT }]

따라서 [eqn: log_{1over2}left( 1-5S_10 right)` = 40]