◦ 자신이 선택한 유형(‘가’형/‘나’형)의 문제지인지 확인하시오.

2011학년도 3월 고3 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시            수리 영역

성명			수험 번호						3

‘나’형

수리 영역

‘나’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

수리 영역

‘나’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

◦ 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 정확히 쓰시오.

◦ 답안지의 해당란에 성명과 수험 번호를 쓰고, 또 수험 번호와 답을 정확히 표시하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면, 그 ‘0’ 도 답란에 반드시 표시하시오.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

8

1. [eqn: log` _{3} 12`-`log` _{3} {4} over {27} `]의 값은? [2점]

① [eqn: log` _{3} `16]	② [eqn: log` _{3} `21`]	③ [eqn: 3`]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: log` _{3} `90]

2. 두 행렬 [eqn: A= pmatrix{1&```-1#`1`&```-1}], [eqn: B= pmatrix{`0&```1`#`1&```0`} ``]에 대하여 [eqn: X+AB=B```]를 만족시키는 행렬 [eqn: X``]의 모든 성분의 합은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

3. [eqn: lim _{n -> INF } {} {n`(n`+`cos`n` pi )} over {n ^{2} `+`1} ``]의 값은?　[2점]

① [eqn: 1``]	② [eqn: 2``]	③ [eqn: 3``]	④ [eqn: 4``]	⑤ [eqn: 5``]

4. [eqn: 3` ^{x} +3` ^{1-x} ``=`10``]일 때, [eqn: 9 ^{``x} `+`9 ^{`1-`x} ``]의 값은? [3점]

① [eqn: 91`]	② [eqn: 92``]	③ [eqn: 93``]	④ [eqn: 94``]	⑤ [eqn: 95``]

5. 그래프의 꼭짓점 사이의 연결 관계를 행렬로 나타낼 때, 그 행렬의 모든 성분의 합은? [3점]

① [eqn: 14`]	② [eqn: 16`]	③ [eqn: 18`]	④ [eqn: 20`]	⑤ [eqn: 22]

6. [eqn: 1``]보다 큰 세 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c``]에 대하여

[eqn: log` _{a`} 2=log` _{b} `5=log` _{c} `10=log` _{abc} `x]

가 성립할 때, 실수 [eqn: x``]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {10}]	② [eqn: sqrt {10}]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 10 sqrt {10}]	⑤ [eqn: 100]

7. [eqn: x], [eqn: y``]에 대한 연립방정식 [eqn: pmatrix{``5&`2``#``2&`5``} ` pmatrix{`x`#`y`} `=k` pmatrix{`x`#`y`} ``]가 [eqn: x=0`], [eqn: y=0`]이외의 해를 갖도록 하는 모든 상수 [eqn: k``]의 값의 합은? [3점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

8. 모든 양의 실수 [eqn: x``]에 대하여 부등식

[eqn: log` _{a} (`x+1`)-log` _{a} `x>log` _{b} (`x+1`)-log` _{b} `x>0``]

을 만족시키는 세 양의 실수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: 1] 사이의 대소관계로 옳은 것은? (단, [eqn: a != 1`], [eqn: b != 1`]) [3점]

① [eqn: 1<a<b]	② [eqn: a<1<b]	③ [eqn: a<b<1]

④ [eqn: 1<b<a]	⑤ [eqn: b<1<a]

9. 양의 정수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: log``n``]의 지표를 [eqn: f`(`n`)``], 가수를 [eqn: g`(`n`)``]이라 할 때, 다음 조건을 만족시키는 양의 정수 [eqn: n``]의 개수는? [3점]

(가) [eqn: f`(`3`)`<`f`(`n`)`<`f`(`2011`)``]

(나) [eqn: LEFT { `g`(`n`) RIGHT } ^{2} `-`g`(`n`)`+`log`2`․`log`5``<0``]

① [eqn: 326]	② [eqn: 328]	③ [eqn: 330]	④ [eqn: 332]	⑤ [eqn: 334]

10. 두 행렬

[eqn: A```=` pmatrix{``log _{``2} `(`x`+1`)`&````log` _{2} `(`y`-3`)`#-`1`&```1`} ``], [eqn: B```=` pmatrix{``1`+`log` _{3} `x``&``1`#`log` _{`3} `y`&``1`} ``]

에 대하여 [eqn: A``]의 역행렬이 존재하지 않고, [eqn: B``]의 역행렬도 존재하지 않을 때, 두 실수 [eqn: x], [eqn: y`]의 곱 [eqn: x`y``]의 값은? [3점]

① [eqn: {11}over{3}``]	② [eqn: 4``]	③ [eqn: {13}over{3}``]	④ [eqn: {14}over{3}``]	⑤ [eqn: 5``]

11. 두 이차정사각행렬 [eqn: A`,~B```]에 대하여 [eqn: A+B```=E``], [eqn: AB```=`-E```]가 성립할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: E``]는 단위행렬이다.) [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: A ^{2} `+B`` ^{2} =`3E] ㄴ. [eqn: A ^{n+2} +B ^{`n+2} =A ^{n+1} +B ^{`n+1} +A ^{n} +B ^{`n}] ([eqn: n=1`,``2`,``3`,`` CDOTS `]) ㄷ. [eqn: A ^{9} +B ^{`9} `=76E````]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

12. 첫째항이 [eqn: 1``]인 무한등비수열 [eqn: LEFT { `a _{n} ` RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} =`3]일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( `a _{3n-2} ``-`a _{3n-1} ` RIGHT ) ``]의 값은? [3점]

① [eqn: {7} over {19}]	② [eqn: {8} over {19}]	③ [eqn: {9} over {19}]	④ [eqn: {10} over {19}]	⑤ [eqn: {11} over {19}]

13. 액체의 끓는 온도 [eqn: T``]([eqn: ° rm C``])와 증기압력 [eqn: P``]([eqn: rm mmHg`]) 사이에

[eqn: log`P```=`a``+` {b} over {`c``+T``} `] ([eqn: a,``b,``c``]는 상수이고 [eqn: T```>`-c``])

인 관계가 성립한다. 표는 어떤 액체의 끓는 온도에 대한 증기압력을 나타낸 것이다.

끓는 온도([eqn: ° rm C``])	[eqn: 0``]	[eqn: 5`]	[eqn: 10`]
증기압력([eqn: \mmHg`])	[eqn: 4.8``]	[eqn: 6.6``]	[eqn: 8.8``]

이 표를 이용하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: log``2`=`0.301`]로 계산한다.) [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: 0.602`<`a`+` {b} over {c} `<`0.699``] ㄴ. [eqn: b`<`0``] ㄷ. [eqn: P``<`10` ^{a} ``]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

14. 그림과 같이 지수함수 [eqn: y``=a` ^{x} `]와 [eqn: y``=a` ^{2x} ``]의 그래프는 직선 [eqn: y``=`x``]와 각각 서로 다른 두 점에서 만난다. [eqn: y``=a` ^{x} `]의 그래프, [eqn: y``=a` ^{2x} ``]의 그래프와 직선 [eqn: x``=`k`]의 교점을 각각 [eqn: rm P], [eqn: rm Q`]라 하고 직선 [eqn: y``=`x`]와 직선 [eqn: x`=`k`]의 교점을 [eqn: rm R``]라 하자.

[eqn: k``=`2``]이면 두 점 [eqn: rm Q`]와 [eqn: rm R``]가 일치할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: a``>`1``]) [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: k``=`4``]이면 두 점 [eqn: rm Q`]와 [eqn: rm R``]가 일치한다. ㄴ. [eqn: bar{rm PQ it} ``=`12``]이면 [eqn: bar{\QR}`=`8``]이다. ㄷ. [eqn: bar{rm PQ it} ``=` {1} over {8} ``]을 만족시키는 실수 [eqn: k``]의 값의 개수는 [eqn: 2``]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

15. 그림과 같이 [eqn: rm bar{PQ`} = bar{PR`} =2]이고 [eqn: rm ANGLE QPR=90°]인 삼각형 [eqn: rm PQR]의 내접원과 세 변 [eqn: rm PQ`], [eqn: rm QR`], [eqn: rm RP`]의 접점을 각각 [eqn: rm P_1], [eqn: rm Q _{1}], [eqn: rm R _{1}]이라 하자. 또, 삼각형 [eqn: rm PP _{1} R _{1}]의 내접원과 세 변 [eqn: rm PP _{1} `], [eqn: rm P _{1} R _{1} `], [eqn: rm R _{1} P`]의 접점을 각각 [eqn: rm P _{2}], [eqn: rm Q _{2}], [eqn: rm R _{2}]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n``]번째 얻은 세 점 [eqn: rm P _{it n rm}], [eqn: rm Q _{it `n rm}], [eqn: rm R _{it `n rm}]을 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rm P _{it n` rm} Q _{it `n` rm} R _{it `n rm} `]의 넓이를 [eqn: S _{n}``]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n} = {p+q sqrt {2}}]를 만족시키는 두 유리수 [eqn: p`,``q``]의 합 [eqn: p+q``]의 값은? [4점]

① [eqn: 1 over 7]	② [eqn: 2over7]	③ [eqn: 3over7]	④ [eqn: 4over7]	⑤ [eqn: 5over7]

16. 그림과 같이 좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm A _{1} ` LEFT ( `1`,`` sqrt {3} ` RIGHT ) ``]과 점 [eqn: rm B it rm _{1} ` LEFT ( `2`,``0` RIGHT ) ``]이 있다. 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여 직선 [eqn: y`=` sqrt {3} x``] 위의 점 [eqn: rm A _{it n} ``]과 [eqn: x]축 위의 점 [eqn: rm B _{it n rm} ``]이 다음 식을 만족시킨다.

[eqn: bar{rm OA _{it n+1}} `=` bar{rm OA _{it n}} `+`a``], [eqn: bar{rm OB _{it n+1}} `=` bar{rm OB _{it n}} `+`b``]

삼각형 [eqn: rm OA _{it n rm} B _{it n rm} ``]의 넓이를 [eqn: S _{n}``]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {{`S _{n} `} over {n ^{2}} `=5 sqrt {3}}]이 되도록 하는 양의 정수 [eqn: a`,``b``]의 순서쌍 [eqn: (`a`,``b`)]의 개수는? (단, [eqn: \O``]는 원점이다.) [4점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

17. 다음은 자연수 [eqn: n``]에 대하여 등식

[eqn: sum _{i=1} ^{2n-1} LEFT { `i+ LEFT ( n-1 RIGHT ) ^{2} ` RIGHT } = LEFT ( `n-1` RIGHT ) ^{3} +n ^{3}] [eqn: cdots cdots](*)

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

<증명>

(1) [eqn: n=1]일 때, [eqn: 1+0 ^{2} =0 ^{3} + 1 ^{3}] 이므로 (*)이 성립한다.

(2) [eqn: n=k]일 때, (*)이 성립한다고 가정하고,
[eqn: n=k+1]일 때 (*)이 성립함을 보이자.
[eqn: sum _{i=1} ^{2k+1} LEFT ( `i+k ^{2} ` RIGHT )] [eqn: = sum _{i=1} ^{2k-1} LEFT { `i+ LEFT ( `k-1` RIGHT ) ^{2} ` RIGHT } `+ sum _{i=1} ^{2k-1} LEFT ( `2k-1` RIGHT ) +]

(가)

[eqn: =]
그러므로 [eqn: n=k+1]일 때도 (*)이 성립한다.
따라서 (1), (2)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 (*)이 성립한다.

(나)

위의 (가)에 알맞은 식을 [eqn: f(`k`)``], (나)에 알맞은 식을 [eqn: g(`k`)``]라 할 때, [eqn: {g(`4`)} over {f(`4`)} ``]의 값은? [3점]

① [eqn: {23} over {7}]	② [eqn: {24} over {7}]	③ [eqn: {25} over {7}]	④ [eqn: {26} over {7}]	⑤ [eqn: 27 over 7]

18. 두 수열 [eqn: LEFT { `a _{n} ` RIGHT } ``], [eqn: LEFT { ``b _{n} ` RIGHT } ``]은 첫째항이 모두 [eqn: 1``]이고

[eqn: a _{n+1} `=`3`a _{n} `], [eqn: b _{n+1} `=` LEFT ( `n+1` RIGHT ) `b _{n} ``][eqn: (`n=1,``2,``3,``` CDOTS `)]

을 만족시킨다. 수열 [eqn: LEFT { c_{n}` RIGHT }``]을

[eqn: c _{n} `=` cases{``a _{n} `&`~~`(a _{n} `` < `b _{n} `)`#``b _{n} `&``````````(a _{n} ``GE`b _{n} `)`} ``]

이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{50} ``2`c _{n} ``]의 값은? [4점]

① [eqn: 3` ^{50} -20]	② [eqn: 3` ^{50} -19]	③ [eqn: 3` ^{50} -15]

④ [eqn: 3` ^{50} -11]	⑤ [eqn: 3` ^{50} -7]

19. 자연수 [eqn: `n`]에 대하여 다음과 같이 제[eqn: `n`]행에 [eqn: 0``]과 [eqn: 1``]사이의 유리수 중에서 분모는 [eqn: 2` ^{n} ``]이고 분자는 홀수인 모든 수를 작은 것부터 차례로 나열하였다.

제[eqn: `1`]행	[eqn: {1}over{2}`]

제[eqn: `2`]행	[eqn: {1}over{4}`], [eqn: {3}over{4}``]

제[eqn: `3`]행	[eqn: {1}over{8}`], [eqn: {3}over{8}`], [eqn: {5}over{8}`], [eqn: {7}over{8}``]

⋮　　　　　　	⋮

제[eqn: `n`]행의 마지막 수를 [eqn: a` _{n} `], 제[eqn: `n`]행의 모든 수의 합을 [eqn: b _{n} `]이라 할 때 [eqn: lim _{n -> INF } {{b _{n}} over {LEFT ( `2` ^{n} +1` RIGHT ) `a _{n}}}]의 값은? [4점]

①　[eqn: 1over4]	②　[eqn: 1over2]	③　[eqn: 1]	④　[eqn: 2]	⑤　[eqn: 4]

20. 어느 공원에는 아래 그림과 같이 [eqn: rm A``]지점에서 출발하여 [eqn: rmA``]지점으로 돌아오는 제[eqn: `1`]산책로, [eqn: rm A``]지점에서 출발하여 [eqn: rm B``]지점으로 이어지는 제[eqn: `2`]산책로, [eqn: rm B``]지점에서 출발하여 [eqn: rm A``]지점으로 이어지는 제[eqn: `3`]산책로가 있고, 각 산책로의 거리는 [eqn: 1][eqn: ` rm km``]이다.

이 산책로들을 따라 다음과 같은 규칙으로 산책한 거리가 [eqn: n`][eqn: rm km``]일 때, [eqn: rm A``]지점에서 출발하여 [eqn: rm A``]지점에 도착하는 방법의 수를 [eqn: a` _{n} `], [eqn: rm A``]지점에서 출발하여 [eqn: rm B``]지점에 도착하는 방법의 수를 [eqn: b` _{n}]이라 하자.

(가) 각 산책로에서는 화살표 방향으로만 진행해야 한다.

(나) 같은 산책로를 반복할 수 있다.

(다) 지나지 않는 산책로가 있을 수 있다.

[eqn: a` _{7} +`b` _{7} ``]의 값은? (단, [eqn: n`]은 자연수이다.) [4점]

①　[eqn: 21]	②　[eqn: 29]	③　[eqn: 34]	④　[eqn: 42]	⑤　[eqn: 55]

21. 좌표평면 위의 원점 [eqn: rm O``]와 점 [eqn: rm P _{1} (`1,``0`)`]이 있다. 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여 점 [eqn: rm P _{it n rm} it LEFT ( `x _{n} `,```y _{n} ` RIGHT )]은 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 동경 [eqn: rm OP _{it n}]이 나타내는 각의 크기는 [eqn: {`n-1` } over {3}pi]이다.

(나) [eqn: bar{{rm OP} _{n+1}} = cases{&{1} over {2} ` bar{{rm OP} _{n}} `&(`y _{n} >0)#&bar{{rm OP} _{n}} `~~~``&(`y _{n} =0)#&{4} over {3} bar{{rm OP} _{n}} ``````&(`y _{n} <0)} ``]

[eqn: bar{{rm OP}` _{50}}]의 값은? [4점]

① [eqn: LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{8}]	② [eqn: LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{16}]	③ [eqn: {1} over {2} LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ^{7}]

④ [eqn: {1} over {3} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{14}]	⑤ [eqn: {1} over {4} LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ^{8}]

단답형

22. [eqn: root {n} of {2} times root {n} of {8} `` = root 8 of 2 `]를 만족시키는 자연수 [eqn: n``]의 값을 구하시오.

[3점]

23.  수열 [eqn: LEFT { `a _{n} ` RIGHT } `]이 첫째항과 공비가 모두 [eqn: 5`]인 등비수열일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{20} log ` _{25} `a` _{n}] 의 값을 구하시오. [3점]

24. 수열 [eqn: LEFT { `a _{n} ` RIGHT }]의 계차수열 [eqn: LEFT { ``b _{n} ` RIGHT }]에 대하여

[eqn: lim _{n -> INF } {`a _{n}} `=`100], [eqn: b _{n} = {4} over {n ^{2} +2n}]

일 때, [eqn: a` _{1}]의 값을 구하시오. [3점]

25. 수열 [eqn: LEFT { `a _{n} ` RIGHT } ``]의 첫째항부터 제[eqn: `n``]항까지의 합 [eqn: S_{n}``]이

[eqn: S` _{n} `=` _{n`+`2} rm `C` it rm _{3} ``] ([eqn: n`=`1`,``2`,``3`,``cdots``])

일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{10} `` LEFT ( `a _{n+1} `-`a _{n} `` RIGHT ) `]의 값을 구하시오. [3점]

26. 자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: 1``]부터 [eqn: 6n``]까지의 자연수의 총합을 [eqn: A _{n}], [eqn: 1``]부터 [eqn: 6n``]까지의 자연수 중에서 [eqn: 3``]의 배수를 제외한 자연수의 총합을 [eqn: B _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {` {A _{n}} over {B _{n}} `= {q} over {p}}]이다. 이때, 서로소인 자연수 [eqn: p`,~q``]의 합 [eqn: p+q``]의 값을 구하시오. [3점]

27. 수열 [eqn: LEFT { `a` _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: a` _{n}]은 자연수이다.

(나) [eqn: LEFT | ``a` _{n} `- sqrt {n} `` RIGHT | `< {1} over {2}]

[eqn: sum _{n=1} ^{90} a` _{n}]의 값을 구하시오. [4점]

28. [eqn: x``]에 대한 방정식 [eqn: cosx```= {1} over {(2n-1) pi } x] ([eqn: n=1,``2,``3,`` CDOTS ``])의 양의 실근의 개수를 [eqn: a` _{n} ``]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{24} {500} over {` LEFT ( a _{n`} +1 RIGHT ) LEFT ( a _{n} +3 RIGHT )} ``]의 값을 구하시오. [4점]

29. 그림과 같은 그래프가 있다. 이 그래프의 꼭짓점 [eqn: rm A``]에서 꼭짓점 [eqn: rm B``]로 가는 경로 중에서 세 꼭짓점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q], [eqn: rm R``]를 모두 지나는 것의 개수를 구하시오. [4점]

30. [eqn: n`]차 정사각행렬 [eqn: A``]의 [eqn: (`i,``j`)] 성분 [eqn: a _{ij}``]를

[eqn: a _{ij} `=(`i-1`)`n+j] (단, [eqn: 1 LEQ i LEQ n], [eqn: 1 LEQ j LEQ n])

이라 하자. [eqn: n``]이하의 자연수 [eqn: k``]에 대하여 [eqn: f(`k`)`]를 행렬 [eqn: A``]의 [eqn: (`k`,``n-k+1`)] 성분이라 할 때, [eqn: 12 `lim _{n -> ` INF } {{sum _{k=1} ^{n} f(`k`)} over {n ^{3}}}] 의 값을 구하시오. (단, [eqn: n``]은 자연수이다.) [4점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.