2010학년도 10월 고2 학업성취도평가

정답 및 해설

고 2	정답 및 해설	2010학년도 10월 학업성취도평가

2010학년도 10월 학업성취도평가	정답 및 해설	고 2

3

수리 영역

“가”형 정답

1	②	2	③	3	①	4	⑤	5	③
6	③	7	②	8	⑤	9	①	10	④
11	①	12	③	13	③	14	②	15	④
16	②	17	⑤	18	④	19	③	20	②
21	⑤	22	[eqn: 16]	23	[eqn: 32]	24	[eqn: 12]	25	[eqn: 109]
26	[eqn: 10]	27	[eqn: 40]	28	[eqn: 23]	29	[eqn: 11]	30	[eqn: 200]

해설

1. [출제의도] 행렬의 곱 계산하기

[eqn: A^2`=`pmatrix{1& ``-1 # 0& ~~4}]이므로 모든 성분의 합은 [eqn: 4`]이다.

2. [출제의도] 거듭제곱근 계산하기

[eqn: sqrt {2} ÷ root {5} of {4 sqrt {2}} `=`2 ^{{1} over {2}} ÷ LEFT ( 2 ^{2} times2 ^{{1} over {2}} RIGHT ) ^{{1} over {5}} `]

[eqn: = 2^{1 over 2}`÷`2^{1 over 2}]

[eqn: = 1]

3. [출제의도] 수열의 극한값 계산하기

[eqn: lim _{ n->inf} { 1 over {root{n^2`+`4n`-`3}-n}`]

[eqn: =][eqn: lim _{ n->inf} { {root{n^2`+`4n`-`3}+n}over {4n`-`3}]

[eqn: =][eqn: 1 over 2]

4. [출제의도] 로그함수의 성질 이해하기

[eqn: f(alpha)`=`3`,`f(beta)`=`5`]이므로 [eqn: alpha`=`a^3`,`beta`=`a^5`]이다.

[eqn: f(x)`=`2`]에서 [eqn: x`=`a^2`]이므로

[eqn: x`=`beta over alpha`]이다.

5. [출제의도] 등차중항의 성질 이해하기

[eqn: a_n`=`2n`]이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{10} {1} over {a _{k} a _{k+1}} `=` sum _{k=1} ^{10} {1} over {4k(k+1)} `]

[eqn: = {1} over {4} sum _{k=1} ^{10} LEFT ( {1} over {k} - {1} over {k+1} RIGHT )]

[eqn: = 1 over 4 left(1 over 1`-`1 over 11 right)]

[eqn: = 5 over 22]

6. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질 이해하기

[eqn: log`x`=`2.6767`]이므로 [eqn: x`=`475`]

[eqn: log`left(2 over 5 right)^20 `=`20(log `4`-`1)]

[eqn: =`-7.96]

[eqn: log`left(2 over 5 right)^20 `]의 지표가 [eqn: -8]이므로 [eqn: y`=`8]

[eqn: therefore][eqn: x`+y`=`483`]

7. [출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이용하여 수학외적문제 해결하기

[eqn: n`]일째 판매량을 [eqn: a_n`]이라 하면,

[eqn: a _{1} `=`1`,~a _{2} `=`2`,~2a _{n} `+`a _{n+2} `=`3a _{n+1} `]이다.

[eqn: a_n`=`2^n-1`]이므로

첫째 날부터 [eqn: 10`]일간 전체 판매량은

[eqn: {1times(2 ^{10} `-`1)} over {2-1} `=`1023`]개이다.

8. [출제의도] 역행렬의 성질을 이용하여 추론하기

[eqn: A`=`pmatrix{a& ``b # c& ``d}]라 하면

[eqn: A`+E`=`pmatrix{a+1& ``b # c& ``d+1}`,`A`-E`=`pmatrix{a-1& ``b # c& ``d-1}`]의 역행렬이 모두 존재하지 않으므로

[eqn: a+d`=`0`,`ad`-`bc=-1]

ㄱ. [eqn: ad`-`bc=-1]이므로 [eqn: A^-1`]이 존재 [eqn: therefore](참)

ㄴ. [eqn: a^2`+bc=bc^`+`d^2`=`1]이므로

[eqn: A^2`=`pmatrix{a^2 + bc& ``ab+bd # ac+cd&`` bc+d^2}`=`pmatrix{1& ``0 # 0&`` 1}`] [eqn: therefore](참)

ㄷ. [eqn: A^2`=`E`]이므로

[eqn: A+A^2 +A^3 +cdots+A^2n `]

[eqn: = A+E+A+E+ cdots+A+E]

[eqn: = n(A+E)] [eqn: therefore](참)

9. [출제의도] 수열의 규칙을 이용하여 수학내적문제 해결하기

[eqn: {rmA}_n`=`left(1`,`6(n-1) over n right)`,`{rmA}_n+1`=`left(1`,`6n over n+1 right)`]

[eqn: S_n`=`1 over 2 times 1 timesleft(6n over n+1 - 6(n-1) over n right)]

[eqn: = 3 over n(n+1)`]

[eqn: therefore][eqn: lim _{ n->inf} { n^2 S_n`}=3`]

10. [출제의도] 로그부등식 이해하기

[eqn: {2} over {3} `cos ^{2} x-sinx<0] 이므로

[eqn: sinx > 1 over 2]이다. ∴[eqn: pi over 6 < x< pi over 2]

따라서, [eqn: alpha + beta `=` {2} over {3} pi] 이다.

11. [출제의도] 알고리즘과 순서도 이해하기

[eqn: n]	[eqn: a]
[eqn: 1]	[eqn: 2]
[eqn: 2]	[eqn: 2 TIMES 2+2=2 ^{2} +2]
[eqn: 3]	[eqn: 2 LEFT ( 2 ^{2} +2 RIGHT ) +2=2 ^{3} +2 ^{2} +2]
[eqn: 4]	[eqn: 2 ^{4} +2 ^{3} +2 ^{2} +2]
[eqn: vdots]	[eqn: vdots]
[eqn: 10]	[eqn: 2 ^{10} +2 ^{9} +2 ^{8} + CDOTS +2=2 ^{11} -2]

12. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 추론하기

[eqn: 2^n ≤ A<2^n+1]이므로 [eqn: f(n)=2^n]

ㄱ. [eqn: f(2)=4] [eqn: therefore](참)

ㄴ. (좌)[eqn: =][eqn: f(2n)=2 ^{2n} `]

(우)[eqn: =][eqn: 2f(n)=2 ^{n+1} `], (좌)[eqn: !=](우) [eqn: therefore](거짓)

ㄷ. [eqn: f(1)+f(2)`+cdots+f(n)`]

[eqn: =`{2(2^n - 1)} over 2-1`=`2^n+1 -2`=`f(n+1)-2]

[eqn: therefore](참)

13. [출제의도] 역행렬의 성질을 이용하여 수학내적문제 해결하기

행렬 [eqn: A= {pmatrix{`a&`b`#`c&`d`}}]는 역행렬이 존재하지 않으므로 [eqn: ad-bc=0]이다. [eqn: {b-0} over {a-0} = {d-0} over {c-0}]이므로 직선 [eqn: rm `{OP}]의 기울기와 직선 [eqn: rm{OQ}]의 기울기는 같다.

직선 [eqn: y`=`mx`]와 원이 서로 다른 두 점에서 만나는 [eqn: m`]의 범위는 [eqn: - {sqrt {3}} over {3} `<`m`<` {sqrt {3}} over {3} `]이다.

(단, [eqn: rm`O]는 원점이다.)

14. [출제의도] 로그를 이용하여 수학외적문제 해결하기

[eqn: 2009`]년에서 [eqn: n`]년 후의 배출량을 [eqn: a_n`]이라 하면

[eqn: a _{n} `=`4 TIMES 10 ^{7} ` TIMES (0.91) ^{n}]

[eqn: 4 TIMES 10 ^{7} TIMES (0.91) ^{n} ` LEQ `2times10 ^{7}]

[eqn: n GEQ 7.`5]이므로 [eqn: 2017]년이다.

15. [출제의도] 수학적 귀납법을 이용하여 증명하기

(ⅰ) [eqn: n=1] 일 때

(좌변)=[eqn: a !] , (우변)=[eqn: a !]

이므로 (★)이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=m] 일 때

(★)이 성립한다고 가정하면

[eqn: sum _{ k=1} ^{ m} { (a+k-1)!} over {(k-1)! } = { (a+m)!} over {(a+1)(m-1)! }] 이다.

[eqn: n=m+1] 일 때, (★)이 성립함을 보이자.

[eqn: sum _{ k=1} ^{ m+1} { (a+k-1)!} over {(k-1)! } = sum _{ k=1} ^{ m} { (a+k-1)!} over {(k-1)! }+][eqn: (a+m)! over m!]

[eqn: = { (a+m)!} over {(a+1)(m-1)! } +][eqn: (a+m)! over m!]

[eqn: = {(a+m)!} over {(m-1)!} LEFT ( {1} over {a+1} + {``1 over m} `RIGHT )]

[eqn: = { (a+m+1)!} over {(a+1)m! }]

따라서 [eqn: n=m+1] 일 때도 (★)이 성립한다.

그러므로 모든 자연수 [eqn: n] 에 대하여 (★)이 성립한다.

16. [출제의도] 로그함수를 이용하여 수학외적문제 해결하기

[eqn: x`]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: 6]	[eqn: 7]	[eqn: 8]	[eqn: 9]
[eqn: f(x)]	[eqn: 1]	[eqn: log _{2} 3]	[eqn: 2]	[eqn: log _{2} 5]	[eqn: log _{2} 6]	[eqn: log _{2} 7]	[eqn: 3]	[eqn: log _{2} 9]	[eqn: log _{2} 10]
움직임	서	[eqn: +1]	남	[eqn: +1]	[eqn: +1]	[eqn: +1]	서	[eqn: +1]	[eqn: +1]

위의 표에 의해서 로봇의 최종위치는 [eqn: rmB]이다.

17. [출제의도] 무한수열의 극한 이해하기

[eqn: b_n`=`{3n^2 + 2n -3a_n } over {n^2 a_n`-`na_n +3`]이라 하면,

[eqn: a_n`=`{3n^2 + 2n -3b_n } over {n^2 b_n`-`nb_n +3`]

[eqn: lim _{ n->inf} {b_n }`=`6]이므로 [eqn: lim _{ n->inf} {a_n }`=`1 over 2]

[eqn: therefore][eqn: lim _{ n->inf} {{a_n +4n} over {n a_n - 3}}`=`8]

18. [출제의도] 여러 가지 수열을 이용하여 수학외적문제 해결하기

[eqn: a _{1} =0,~a _{2} =1,~a _{3} =3,~a _{4} =7,~cdots]

[eqn: b _{1} =1,~b _{2} =2,~b _{3} =4,~b _{4} =8,~ CDOTS] 이므로

[eqn: a_n`=`2^n-1 -1`,`b_n`=`2^n-1`]이다.

[eqn: sum _{n=1} ^{7}{ a _{n}} over {b _{n}} `=`sum _{n=1} ^{7} left(1 - left(1 over 2 right)^n-1 right)]

[eqn: = 321 over 64]

[eqn: therefore] [eqn: p+q`=`385]

19. [출제의도] 도형의 배열의 규칙을 이해하여 추론하기

규칙에 의해 도형을 배열하면

제[eqn: (3k-2)]행은 ○로 끝나고,

제[eqn: (3k-1)]행은 △로 끝나고,

제[eqn: 3k]행은 ○로 끝난다.

ㄱ. [eqn: 5]행은 ○,△,□,○,△ [eqn: therefore](참)

ㄴ. □로 끝나는 행이 없으므로 □로 시작하는 행은 없다. [eqn: therefore](거짓)

ㄷ. [eqn: 1]～[eqn: 3]행까지 모든 ○는 [eqn: 3]개,  [eqn: 4]～[eqn: 6]행까지 모든 ○는 [eqn: 6]개, [eqn: cdots]이므로 [eqn: 1]～[eqn: 3n]행까지 모든 ○는 총 [eqn: 3n(n+1) over 2]개. [eqn: therefore](참)

20. [출제의도] 등비수열을 이용하여 수학내적문제 해결하기

[eqn: S _{n} `=` sqrt {2} S _{n-1} `]이므로 [eqn: a _{n} `= sqrt {sqrt {2}} a _{n-1} `]이다.

[eqn: a _{1} a _{2} CDOTS a _{8} `=`a _{1} ^{8} `․`2 ^{7} `=`2 ^{11}]

[eqn: a _{1} `=` root 2]이므로 [eqn: S_1`=`root3 over 2]이다.

21. [출제의도] 등차수열을 이용하여 수학내적문제 해결하기

[eqn: b_1`=`a_1`+`R(1)`=`7]

[eqn: b_10`-`b_5`=`(a_10`+R(10))`-`(a_5`+R(5))`=`5]이므로 공차가 [eqn: 1]이 된다.

[eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]을 나열하면

[eqn: 6,`6,`6,`6,``11,``11,``11,``11,``11,``16,``16,``16,``16,``16, CDOTS]

이다.

[eqn: therefore][eqn: R(S _{14} )`=`4`]

22. [출제의도] 로그 계산하기

[eqn: 4log _{3} 27`-`log _{{1} over {3}} 81`=`log _{3} (3 ^{12} times3 ^{4} )`=`16]

23. [출제의도] 등비수열의 성질 이해하기

첫째항을 [eqn: a`], 공비를 [eqn: r`]이라 하면,

[eqn: (a_1 + a_2 ) : (a_2 +a_3 )`=`1:2`]

[eqn: a(1+r) : ar(1+r)`=`1:2`]

[eqn: r`=`2]이다.

[eqn: therefore][eqn: a_10 over a_5`=`r^5`=32]

24. [출제의도] 지수방정식의 성질 이해하기

[eqn: 2^x`=`t`]라 하면 [eqn: t^2`-`24t`+`k`=`0]의 두 근은 [eqn: 2 ^{alpha }], [eqn: 2 ^{beta } `]이므로 근과 계수와의 관계에서 [eqn: k`=`128]

[eqn: t`=`8`,`16]이므로 근은 [eqn: 3`,~4]  [eqn: therefore][eqn: alpha`beta`=`12]

25. [출제의도] 지수함수를 이용하여 수학내적문제 해결하기

[eqn: rm A left(-2,`16 right)`,~B left(-2,`` {1} over {4} right)`,~C left(1`,`` {1} over {4} right)`,~D left(1,``2 right)]

이므로 사각형 [eqn: rmABCD`]의 넓이는

[eqn: LEFT { LEFT ( 16- {1} over {4} RIGHT ) + LEFT ( 2- {1} over {4} RIGHT ) RIGHT } TIMES 3 TIMES {1} over {2} `=` {105} over {4}]

[eqn: therefore][eqn: p+q`=`109]

26. [출제의도] 행렬과 그래프의 관계 이해하기

그림과 같이 각 꼭짓점을 [eqn: rm A,~B,~C,~D]라 하면

	⇒

[eqn: M^2`=`pmatrix{3``&1``&2``&1 #1``&2``&1``&``2 #2``&1``&3``&1 #1``&2``&1``&2 }]이다.

[eqn: therefore][eqn: a+b+c+d`=`10]

27. [출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이용하여 수학내적문제 해결하기

[eqn: x ^{2} + sqrt {a _{n}} x+a _{n+1} -1=0]의

판별식 [eqn: D`=`a_n`+`4`-4a_n+1]에서

[eqn: D=0]이므로 [eqn: a_n+1`=`1 over 4 a_n +1]이다.

따라서, [eqn: lim _{ n->inf} {a_n }`=`4 over 3`]이므로 [eqn: 30alpha`=`40]이다.

28. [출제의도] 여러 가지 수열을 이용하여 수학내적문제 해결하기

점 [eqn: {rmP}_2n-1`]의 [eqn: x]좌표는

[eqn: 1-3+5-7+cdots+(-1)^n+1 (2n-1)]

점 [eqn: {rmP}_2n`]의 [eqn: y`]좌표는

[eqn: 2-4+6-8+cdots+(-1)^n+1 2n]

점 [eqn: rmP _{it2n}]의 [eqn: x`]좌표는 점 [eqn: {rmP}_2n-1`]의 [eqn: x]좌표와 같다.

[eqn: rmP_22`]의 좌표는 [eqn: (11`,12)]이므로 [eqn: x+y`=`23]이다.

29. [출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이용하여 수학외적문제 해결하기

[eqn: S_n+1`=`2S_n`+1]이므로 [eqn: S _{n} `=`4times2 ^{n-1} `-1]

[eqn: 4times2 ^{n-1} `-1` GEQ `3000]을 만족하는 [eqn: n`]의 최솟값은 [eqn: 11]이다.

30. [출제의도] 무한수열의 극한을 이용하여 수학외적문제 해결하기

[eqn: a _{1} =7], [eqn: a _{2} =19], [eqn: a _{3} =37], [eqn: a _{4} =61], [eqn: cdots]

[eqn: a _{n} =7+ sum _{k=1} ^{n-1} 6 LEFT ( k+1 RIGHT ) =3n ^{2} +3n+1]

[eqn: b_n`=`6times100times(n+1)^2`=`600(n+1)^2`]

[eqn: therefore][eqn: lim _{ n->inf} {b_n over a_n }`=`200]

“나”형 정답

1	②	2	③	3	④	4	⑤	5	①
6	③	7	②	8	⑤	9	①	10	④
11	④	12	③	13	③	14	②	15	④
16	②	17	①	18	①	19	③	20	②
21	⑤	22	[eqn: 16]	23	[eqn: 15]	24	[eqn: 20]	25	[eqn: 109]
26	[eqn: 10]	27	[eqn: 55]	28	[eqn: 40]	29	[eqn: 896]	30	[eqn: 12]

해설

1. [출제의도] 행렬의 곱 계산하기

[eqn: A^2`=`pmatrix{1& ``-1 # 0& ~~4}]이므로 모든 성분의 합은 [eqn: 4`]이다.

2. [출제의도] 거듭제곱근 계산하기

[eqn: sqrt {2} ÷ root {5} of {4 sqrt {2}} `=`2 ^{{1} over {2}} ÷ LEFT ( 2 ^{2} times2 ^{{1} over {2}} RIGHT ) ^{{1} over {5}} `]

[eqn: = 2^{1 over 2}`÷`2^{1 over 2}]

[eqn: = 1]

3. [출제의도] 등차수열의 일반항 계산하기

첫째항을 [eqn: a`], 공차를 [eqn: d`]이라 하면,

[eqn: a _{2} =a+d`=`8`,`~a _{7} =a+6d`=`33]

[eqn: a`=`3`,`d`=`5]이므로

[eqn: a_10`=`48]이다.

4. [출제의도] 로그함수의 성질 이해하기

[eqn: f( alpha )`=`3`,``f( beta )`=`5`]이므로 [eqn: alpha`=`a^3`,`beta`=`a^5`]이다.

[eqn: f(x)`=`2`]에서 [eqn: x`=`a^2`]이므로

[eqn: x`=`beta over alpha`] 이다.

5. [출제의도] 행렬과 그래프의 관계 이해하기

연결관계를 행렬로 나타내면 [eqn: {pmatrix{0``&1``&1``&1``&1#1``&0``&1``&0``&1#1``&1``&0``&0``&0#1``&0``&0``&0``&1#1``&1``&0``&1``&0}]

6. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질 이해하기

[eqn: log`x`=`2.6767`]이므로 [eqn: x`=`475`]

[eqn: log`left(2 over 5 right)^20 `=`20(log `4`-`1)]

[eqn: =`-7.96]

[eqn: log`left(2 over 5 right)^20 `]의 지표가 [eqn: -8]이므로 [eqn: y`=`8]

[eqn: therefore][eqn: x`+y`=`483`]

7. [출제의도] 지수부등식의 성질 이해하기

판별식이 [eqn: D LEQ 0]이므로

[eqn: 2^a (2^a`-`4)≤0]

[eqn: a≤2]이므로 [eqn: a`]의 최댓값은 [eqn: 2]이다.

8. [출제의도] 역행렬의 성질을 이용하여 추론하기

[eqn: A`=`pmatrix{a& ``b # c& ``d}]라 하면

[eqn: A`+E`=`pmatrix{a+1& ``b # c& ``d+1}`,`A`-E`=`pmatrix{a-1& ``b # c& ``d-1}`]의 역행렬이 모두 존재하지 않으므로

[eqn: a+d`=`0`,`ad`-`bc=-1]

ㄱ. [eqn: ad`-`bc=-1]이므로 [eqn: A^-1`]이 존재 [eqn: therefore](참)

ㄴ. [eqn: a^2`+bc=bc^`+`d^2`=`1]이므로

[eqn: A^2`=`pmatrix{a^2 + bc& ``ab+bd # ac+cd&`` bc+d^2}`=`pmatrix{1& ``0 # 0&`` 1}`] [eqn: therefore](참)

ㄷ. [eqn: A^2`=`E`]이므로

[eqn: A+A^2 +A^3 +cdots+A^2n `]

[eqn: = A+E+A+E+ cdots+A+E]

[eqn: = n(A+E)] [eqn: therefore](참)

9. [출제의도] 등비수열의 합을 이용하여 수학외적문제 해결하기

10년 동안 예상되는 총 관중의 수는

[eqn: {3`times`10 ^{6}` times`1.1(1.1^10`-`1)} over {1.1`-`1}`=`5.28times10^7] 이므로

[eqn: 5280]만 명이다.

10. [출제의도] 로그부등식 이해하기

[eqn: {2} over {3} `cos ^{2} x-sinx<0] 이므로

[eqn: sinx > 1 over 2]이다. ∴[eqn: pi over 6 < x< pi over 2]

따라서, [eqn: alpha +beta`=`2 over 3 pi] 이다.

11. [출제의도] 행렬의 연산을 이용하여 수학외적문제 해결하기

겨울방학 운영비의 총합은 [eqn: v`],

겨울방학 참가비의 총합은 [eqn: y`]이므로

보조금의 총합은 [eqn: v-y`]이다.

12. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 추론하기

[eqn: 2^n ≤ A<2^n+1]이므로 [eqn: f(n)=2^n]

ㄱ. [eqn: f(2)=4]  [eqn: therefore](참)

ㄴ. (좌)[eqn: =][eqn: f(2n)=2 ^{2n} `]

(우)[eqn: =][eqn: 2f(n)=2 ^{n+1} `], (좌)[eqn: !=](우) [eqn: therefore](거짓)

ㄷ. [eqn: f(1)+f(2)`+cdots+f(n)`]

[eqn: =`{2(2^n - 1)} over 2-1`=`2^n+1 -2`=`f(n+1)-2]

[eqn: therefore](참)

13. [출제의도] 역행렬의 성질을 이용하여 수학내적문제 해결하기

행렬 [eqn: A= {pmatrix{`a&`b`#`c&`d`}}]는 역행렬이 존재하지 않으므로 [eqn: ad-bc=0]이다. [eqn: {b-0} over {a-0} = {d-0} over {c-0}]이므로 직선 [eqn: rm `{OP}]의 기울기와 직선 [eqn: rm{OQ}]의 기울기는 같다.

직선 [eqn: y`=`mx`]와 원이 서로 다른 두 점에서 만나는 [eqn: m`]의 범위는 [eqn: - {sqrt {3}} over {3} `<`m`<` {sqrt {3}} over {3} `]이다.

(단, [eqn: rm`O]는 원점이다.)

14. [출제의도] 로그를 이용하여 수학외적문제 해결하기

[eqn: 2009`]년에서 [eqn: n`]년 후의 배출량을 [eqn: a_n`]이라 하면

[eqn: a _{n} `=`4 TIMES 10 ^{7} ` TIMES (0.91) ^{n}]

[eqn: 4 TIMES 10 ^{7} TIMES (0.91) ^{n} ` LEQ `2times10 ^{7}]

[eqn: n GEQ 7.`5]이므로 [eqn: 2017]년이다.

15. [출제의도] 등차수열의 합을 이용하여 증명하기

[eqn: n`]부터 [eqn: 2n`]까지 분모가 [eqn: 3]인 유리수들을 나열하면

[eqn: {3n} over {3}],[eqn: {3n+1} over {3}],[eqn: {3n+2} over {3`}],[eqn: CDOTS],[eqn: {6n-2} over {3}],[eqn: {6n-1} over {3}],[eqn: {6n} over {3}]이고

이 수열은 공차가 [eqn: {1} over {3}], 항의 개수는 [eqn: 3n+1]인 등차수열이므로

이 수열의 합 [eqn: S= {3n(3n+1)} over {2}]이다.

[eqn: n`]부터 [eqn: 2n`]까지의 정수는

[eqn: n], [eqn: n+1`], [eqn: n+2`], [eqn: CDOTS], [eqn: 2n-2], [eqn: 2n-1`], [eqn: 2n`]이고,

이 수열의 합 [eqn: T= 3n(n+1) over 2]이다.

따라서, [eqn: n`]과 [eqn: 2n`]사이에 있는 수 중 분모가 [eqn: 3`]인 모든 기약분수의 합은 [eqn: S-T][eqn: =][eqn: 3n^2]이다.

16. [출제의도] 로그함수를 이용하여 수학외적문제 해결하기

[eqn: x`]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: 6]	[eqn: 7]	[eqn: 8]	[eqn: 9]
[eqn: f(x)]	[eqn: 1]	[eqn: log _{2} 3]	[eqn: 2]	[eqn: log _{2} 5]	[eqn: log _{2} 6]	[eqn: log _{2} 7]	[eqn: 3]	[eqn: log _{2} 9]	[eqn: log _{2} 10]
움직임	서	[eqn: +1]	남	[eqn: +1]	[eqn: +1]	[eqn: +1]	서	[eqn: +1]	[eqn: +1]

위의 표에 의해서 로봇의 최종위치는 [eqn: rmB]이다.

17. [출제의도] 로그의 성질 이해하기

[eqn: p`=`4^k`], [eqn: 2q`=`10^k`], [eqn: p+3q`=`25^k`]

[eqn: LEFT ( `2q` RIGHT ) ^{2} ``=p` LEFT ( `p+3q` RIGHT ) `]

[eqn: 4q^2 -3pq - p^2 =0]

[eqn: q over p`=`1] 또는 [eqn: - 1 over 4]

[eqn: p,~q]는 모두 양수이므로 [eqn: therefore][eqn: q over p`=`1]

18. [출제의도] 지수․로그부등식을 이용하여 수학내적문제 해결하기

[eqn: log _{`x} LEFT ( log _{`x`} `y RIGHT ) >0] 에서

(i) [eqn: 0<x<1]일 때 [eqn: 0<x<y<1]

(ii) [eqn: x>1] 일 때 [eqn: 1<x<y]

[eqn: 9 ^{`y} -28`‧`3 ^{`y} `+`27``<`0] 에서

[eqn: 0<y<3]

따라서, [eqn: (x,`y)]가 존재하는 영역은 다음 그림과 같다.

19. [출제의도] 등비수열의 성질을 이용하여 추론하기

첫째항 [eqn: a`], 공비 [eqn: r`]이라 하면,

[eqn: a _{n+1} >a _{n}]이므로 [eqn: r]은 [eqn: 1]이 아닌 양수이다.

ㄱ. [eqn: a_1 a_5`=`a^2 r^4], [eqn: a_2 a_4`=`a^2 r^4] [eqn: therefore](참)

ㄴ. (반례) [eqn: p`=`3`,~q=4,~s`=1,~t`=2]이면

[eqn: a _{p} a _{q} `=`a _{3} a _{4} `=`a ^{2} r ^{5}]

[eqn: a _{s} a _{t} `=`a _{1} a _{2} `=`a ^{2} r] [eqn: therefore](거짓)

ㄷ. [eqn: a_1 a_3`=`a_2^2`,`a_4 a_6`=`a_5^2`, cdots]이므로

[eqn: (a_1 a_2 a_3 )(a_4 a_5 a_6 )cdots(a_3p-2 a_3p-1 a_3p )`]

[eqn: =`a _{2} ^{``3} a _{5} ^{``3} CDOTS a _{3p-1} ^{``3}] [eqn: therefore](참)

20. [출제의도] 등비수열을 이용하여 수학내적문제 해결하기

[eqn: S _{n} `=` sqrt {2} S _{n-1} `]이므로 [eqn: a _{n} `= sqrt {sqrt {2}} a _{n-1} `]이다.

[eqn: a_1 a_2 cdotsa_8`=`a_1 ^8` ․`2^7`=`2^11]

[eqn: a _{1} `=` root 2]이므로 [eqn: S_1`=`root3 over 2]이다.

21. [출제의도] 등차수열을 이용하여 수학내적문제 해결하기

[eqn: b_1`=`a_1`+`R(1)`=`7]

[eqn: b_10`-`b_5`=`(a_10`+R(10))`-`(a_5`+R(5))`=`5]이므로 공차가 [eqn: 1]이 된다.

[eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]을 나열하면

[eqn: 6,`6,`6,`6,``11,``11,``11,``11,``11,``16,``16,``16,``16,``16, CDOTS]

이다.

[eqn: therefore][eqn: R(S _{14} )`=`4`]

22. [출제의도] 로그 계산하기

[eqn: 4log _{3} 27`-`log _{{1} over {3}} 81`=`log _{3} (3 ^{12} times3 ^{4} )`=`16]

23. [출제의도] 지수방정식 이해하기

[eqn: 2^x`=`t`]라 하면 [eqn: t+ 8 over t`=`6]

[eqn: t=2] 또는 [eqn: 4]이므로 [eqn: x=1] 또는 [eqn: 2]

[eqn: (1+2alpha)(1+2beta)`=`15]

24. [출제의도] 역행렬을 이용하여 수학내적문제 해결하기

[eqn: a_n`=`2n-3]이므로

[eqn: A`=`pmatrix{2n-1& ``2n-3 # 2n+1&``2n-1}]이고

[eqn: A^-1`=`1 over 4pmatrix{~~2n-1& ``-2n+3 # -2n-1&~~2n-1}]

[eqn: A+A^-1`]의 모든 성분의 합 [eqn: 8n-4`=`156]

[eqn: therefore][eqn: n=][eqn: 20]

25. [출제의도] 지수함수를 이용하여 수학내적문제 해결하기

[eqn: rm A left(-2,`16 right)`,~B left(-2,`` {1} over {4} right)`,~C left(1`,`` {1} over {4} right)`,~D left(1,``2 right)]

이므로 사각형 [eqn: rmABCD`]의 넓이는

[eqn: LEFT { LEFT ( 16- {1} over {4} RIGHT ) + LEFT ( 2- {1} over {4} RIGHT ) RIGHT } TIMES 3 TIMES {1} over {2} `=` {105} over {4}]

[eqn: therefore][eqn: p+q`=`109]

26. [출제의도] 행렬과 그래프의 관계 이해하기

그림과 같이 각 꼭짓점을 [eqn: rm A,~B,~C,~D]라 하면

	⇒

[eqn: M^2`=`pmatrix{3``&1``&2``&1 #1``&2``&1``&``2 #2``&1``&3``&1 #1``&2``&1``&2 }]이다.

[eqn: therefore][eqn: a+b+c+d`=`10]

27. [출제의도] 등비수열의 성질 이해하기

[eqn: a_n`=`ar^n-1`]이므로

[eqn: a _{n+1} `-`2a _{n} `=`a(r-2)r ^{n-1} `=`15`times`5 ^{n-1}]

[eqn: a`=`5,~r=5]

[eqn: therefore][eqn: log_5 (a_1 times a_2 timescdots times a_10 )`=`log_5 5^55`=`55]

28. [출제의도] 역행렬의 성질 이해하기

[eqn: pmatrix{m+1 & ``1 # n+1&``n-4}pmatrix{x#y}`=`pmatrix{1 & ~~2 # 1&``-1}pmatrix{x#y}]

[eqn: {pmatrix{m&``-1#n&``n-3}} {pmatrix{x#y}} `=` {pmatrix{0#0}}]이 [eqn: x=0`,`y=0] 이외의 해를 가지므로 [eqn: mn-3m+n`=`0] 이다.

[eqn: LEFT ( m+1 RIGHT ) LEFT ( n-3 RIGHT ) =`-3] 을 만족하는

정수 [eqn: m,~n]의 순서쌍 [eqn: (m,n)]은

[eqn: (-4,``4),~(2,``2),~(0,``0),~(-2,``6)] 이다.

따라서, [eqn: m^2 +n^2`]의 최댓값은 [eqn: 40] 이다.

29. [출제의도] 등차․등비수열을 이용하여 수학내적문제 해결하기

제[eqn: 8]행의 첫 번째 수 [eqn: 2^7]이 첫째항이고,

[eqn: 2^8]이 공차인 등차수열의 제[eqn: 4]항이 제[eqn: 11]행의 [eqn: 4]번째 적힌 수이다.

따라서, [eqn: 2 ^{7} + LEFT ( 4-1 RIGHT ) TIMES 2 ^{8} =7times2 ^{7} =896] 이다.

30. [출제의도] 등비수열을 이용하여 수학내적문제 해결하기

수열 [eqn: LEFT { A _{n} ` RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: pi], 공비가 [eqn: 1 over 9`]인 등비수열이므로 [eqn: A _{n} `=` pi LEFT ( {1} over {9} RIGHT ) ^{n-1}]이다.

[eqn: left(1over 9 right)^n-1`pi<`left(1over 3right)^20`pi]

[eqn: n>11]이므로 자연수 [eqn: n`]의 최솟값은 [eqn: 12]이다.