◦ 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 정확히 쓰시오.

◦ 답안지의 해당란에 성명과 수험 번호를 쓰고, 또 수험 번호와 답을 정확히 표시하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면, 그 ‘0’ 도 답란에 반드시 표시하시오.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

2010학년도 10월 고1 학업성취도평가 문제지

수리 영역

성명			수험 번호						1

제 2 교시

고 1	수리 영역

	수리 영역	고 1

8

8

1. [eqn: (1-2i) + {3+i} over {1-i} `]를 계산하면? (단, [eqn: i= sqrt {-1} `]) [[eqn: 2]점]

① [eqn: 2]                   ② [eqn: 2i]                  ③ [eqn: 4i]

④ [eqn: 2-2i]                ⑤ [eqn: 2+2i]

2. 다항식 [eqn: A=4x^3 + 2 x^2 + x -1 `], [eqn: B=x^2 -3 `], [eqn: C=x+1`]에 대하여 [eqn: A-2BC`]를 계산하면? [[eqn: 2]점]

① [eqn: 2x^3 -3x^2 + 5]              ② [eqn: 2x^3 +7x^2 + 5]

③ [eqn: 2x^3 -7x - 5]               ④ [eqn: 2x^3 -3x + 7]

⑤ [eqn: 2x^3 +7x + 5]

3. 전체집합 [eqn: U= LEFT { 1`,``2`,``3`,``4 RIGHT } `]의 두 부분집합 [eqn: A= LEFT { 3`,``4 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 1`,``2`,``4 RIGHT } `]에 대하여 [eqn: LEFT ( A ^{C} SMALLINTER B` RIGHT ) ^{C} SMALLINTER B`]는? [[eqn: 2]점]

①	[eqn: phi]                  ② [eqn: LEFT { 1 RIGHT }]                 ③ [eqn: LEFT { 2 RIGHT }]

④ [eqn: LEFT { 4 RIGHT }]                  ⑤ [eqn: LEFT { 1`,``4 RIGHT }]

4. [eqn: x= sqrt {11- sqrt {96}}]일 때, [eqn: LEFT ( x+ sqrt {3} RIGHT ) ^{2} `]의 값은? [[eqn: 3]점]

① [eqn: 9]       ② [eqn: 8]	③ [eqn: 7]       ④ [eqn: 6]       ⑤ [eqn: 5]

5. 수직선 위의 두 점 [eqn: rm A(-2)`,```B(3)`]에 대하여 선분 [eqn: rm AB`]를 [eqn: 2:3`]으로 내분하는 점을 [eqn: rm P], [eqn: 2:1`]로 외분하는 점을 [eqn: rm Q`]라 하자. 이때 선분 [eqn: rm PQ`]의 중점의 좌표는? [[eqn: 3]점]

① [eqn: 4]       ② [eqn: 2]	③ [eqn: 0]       ④ [eqn: -2]       ⑤ [eqn: -4]

6. 유리수 [eqn: a`,```b`]에 대하여

[eqn: {a} over {2+ {2} over {2+ {2} over {2+ {2} over {2+ {2} over {sqrt {3} +1}}}}} =2 sqrt {3} +b]

일 때, [eqn: a+b`]의 값은? [[eqn: 3]점]

① [eqn: 2]       ② [eqn: 1]       ③ [eqn: 0]       ④ [eqn: -1]       ⑤ [eqn: -2]

7. 원 [eqn: (x-2) ^{2} +(y+3) ^{2} =9`]와 중심이 [eqn: (-1`,```1)`]이고 반지름의 길이가 [eqn: r`]인 원이 있다. 두 원이 서로 만난다고 할 때, [eqn: r`]의 최댓값과 최솟값의 합은? [[eqn: 3]점]

① [eqn: 6]        ② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]        ④ [eqn: 9]        ⑤ [eqn: 10]

8. 세 실수 [eqn: a`,```b`,```c`]에 대하여 [eqn: a+b<b `], [eqn: ab<a`], [eqn: c over b > c `]가 성립할 때, 항상 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[[eqn: 3]점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: b>1`] ㄴ. [eqn: ac>0] ㄷ. [eqn: b+c<0]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

9. 삼차다항식 [eqn: ax ^{3} +3x+b`]가 [eqn: (x-1) ^{2} `]으로 나누어 떨어지도록 상수 [eqn: a,~b`]의 값을 정할 때, [eqn: a-b`]의 값은? [[eqn: 3]점]

①	[eqn: -2]       ② [eqn: -1]       ③ [eqn: 1]       ④ [eqn: 2]       ⑤ [eqn: 3]

10. 전체집합 [eqn: U`]에서 정의된 조건 [eqn: p(x)`]의 진리집합을 [eqn: P`], 조건 [eqn: q(x)`]의 진리집합을 [eqn: Q`]라 하자.

‘모든 [eqn: x`in U`]에 대하여 [eqn: p(x)`] 또는 [eqn: SIM q(x)`]’

가 참일 때, [eqn: P`], [eqn: Q`]의 관계로 항상 옳은 것은?

(단, [eqn: SIM q(x)`]는 조건 [eqn: q(x)`]의 부정이다.) [[eqn: 3]점]

①	[eqn: P` SMALLINTER Q ^{C} = phi]        ② [eqn: P ^{C} ` SMALLINTER Q= phi]        ③ [eqn: P` SMALLINTER Q= phi]

④ [eqn: P` CUP Q=U]           ⑤ [eqn: P=Q]

11. 복소수 [eqn: z``]에 대하여 [eqn: z ^{2} =9+12i`]일 때, [eqn: z bar{z}`]의 값은?

(단, [eqn: i=sqrt-1 `], [eqn: bar { z}`]는 [eqn: z`]의 켤레복소수이다.) [[eqn: 3]점]

① [eqn: 13]       ② [eqn: 14]       ③ [eqn: 15]       ④ [eqn: 16]       ⑤ [eqn: 17]

12. 그림과 같이 [eqn: rm bar{AD} =120`]인 직사각형 [eqn: rm ABCD`]가 있다. 점 [eqn: rm P`]는 [eqn: rm A`]에서 출발하여 [eqn: rm D`]방향으로 매초 [eqn: a ^{2} `] 만큼, 점 [eqn: rm Q`]는 [eqn: rm C`]에서 출발하여 [eqn: rmB`]방향으로 매초 [eqn: 5a`]만큼 이동한다. 점 [eqn: rm P,```Q`]가 동시에 출발하여 [eqn: 5]초 후 사다리꼴 [eqn: rm PABQ`]와 사다리꼴 [eqn: rm PQCD`]의 넓이의 비가 [eqn: 5:7`]이 되도록 상수 [eqn: a`]의 값을 정할 때, 모든 [eqn: a`]의 값의 합은? (단, [eqn: 0<a< 4.8]) [[eqn: 4]점]

①	[eqn: 2]        ② [eqn: 3]        ③ [eqn: 4]        ④ [eqn: 5]        ⑤ [eqn: 6]

13. 어떤 기하프로그램을 이용하여 도형을 그린 후, ‘이동’ 버튼을 누르면 이 도형은 평행이동

[eqn: f``:`(x`,```y) ``-> `(x+a `,```y+b` )`]

에 의하여 이동된다. 이 프로그램을 이용하여 그림과 같이 원 [eqn: C _{1} `]을 그린 후, ‘이동’ 버튼을 누르면 원 [eqn: C _{1} `]은 원 [eqn: C _{ 2} `]로 이동된다.

이 프로그램을 이용하여 직선 [eqn: y=mx+n`]을 그린 후, ‘이동’ 버튼을 눌렀더니 이동된 후의 직선의 방정식도 [eqn: y=mx+n`]이었다. 이때 상수 [eqn: a`,```b`,```m`]의 합 [eqn: a+b+m`]의 값은? [[eqn: 3]점]

① [eqn: - {5} over {3}]      ② [eqn: -1]      ③ [eqn: {1} over {3}]      ④ [eqn: 1]      ⑤ [eqn: {5} over {3}]

14. 갑과 을이 같은 직선 주로를 같은 방향으로 달리는 시합을 하기로 하였다. 을의 속력은 갑의 속력의 [eqn: p`]배이고 갑과 을은 일정한 속력으로 달린다고 한다. 갑이 을보다 [eqn: q`][eqn: ( rm `m)`]만큼 앞서서 출발할 때, 을이 갑을 따라 잡을 때까지 을이 달린 거리[eqn: (rm `m)`]를 [eqn: p`,```q`]를 이용하여 나타낸 식으로 항상 옳은 것은? [[eqn: 4]점]

① [eqn: {2p} over {p+q} `]             ② [eqn: {2q} over {p+q} `]             ③ [eqn: {pq} over {p-1}]

④ [eqn: {p+q} over {p-1} `]               ⑤ [eqn: {p+q} over {p+1}]

15. 다음은 [eqn: p`]가 [eqn: 5`]이상의 소수일 때, [eqn: p^2 - 1 `]은 [eqn: 24`]의 배수임을 증명한 것이다.

	<증명> [eqn: p`]는 [eqn: 5`]이상의 소수이므로 [eqn: p`]는 [eqn: 2`]의 배수가 아니고 [eqn: 3`]의 배수도 아니다. (i) [eqn: p`]가 [eqn: 2`]의 배수가 아니므로 [eqn: p=2a+1 `]인 [eqn: 2`]이상의 어떤 정수 [eqn: a`]가 존재한다. 따라서 [eqn: p^2 - 1 =(p+1)(p-1) `]에서 [eqn: p^2 - 1 `]은 항상 의 배수이다. (가) (ii) [eqn: p`]가 [eqn: 3`]의 배수가 아니므로 [eqn: p=3b+1 `] 또는 [eqn: p=`] 인 [eqn: 2`]이상의 어떤 정수 [eqn: b`]가 존재한다. 따라서 (나) [eqn: p^2 - 1 =(p+1)(p-1) `]에서 [eqn: p^2 - 1 `]은 항상 의 배수이다. (다) (i), (ii)에 의해서 [eqn: p^2 - 1 `]은 [eqn: 24`]의 배수이다.

위의 증명 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [[eqn: 4]점]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: 3]	[eqn: 3b-1]	[eqn: 8]
②	[eqn: 3]	[eqn: 3b-2]	[eqn: 8]
③	[eqn: 8]	[eqn: 3b-1]	[eqn: 8]
④	[eqn: 8]	[eqn: 3b-2]	[eqn: 3]
⑤	[eqn: 8]	[eqn: 3b-1]	[eqn: 3]

16. 사차방정식 [eqn: (x ^{2} +x) ^{2} +(x ^{2} +x)-6=0`]의 두 실근을 [eqn: alpha `], [eqn: beta `], 두 허근을 [eqn: gamma ``], [eqn: delta `] 라 할 때, [eqn: gamma delta - alpha beta `] 의 값은? [[eqn: 3]점]

①	[eqn: 2]        ② [eqn: 3]        ③ [eqn: 4]        ④ [eqn: 5]        ⑤ [eqn: 6]

17. 그림과 같이 두 원

[eqn: {C_1}``:``(x+6) ^{2} +y ^{2} =10 ^{2}], [eqn: {C_2} ``:``(x-15) ^{2} +y ^{2} =17 ^{2}]

이 [eqn: y`]축 위의 두 점 [eqn: rm A`,```B`]에서 만난다. 점 [eqn: rm A`,```B`]가 아닌 원 [eqn: C _{1} `]위의 어떤 점 [eqn: rmP`]에 대하여 직선 [eqn: rmPA`]가 원 [eqn: C _{2} `]와 만나는 점 중 [eqn: rm A`]가 아닌 점을 [eqn: rmQ _{ 1}`], 직선 [eqn: rm PB`]가 원 [eqn: C _{2} `]와 만나는 점 중 [eqn: rm B`]가 아닌 점을 [eqn: rm Q _{2} `]라 하자.

옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [[eqn: 4]점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: rm bar{AB} =16] ㄴ. [eqn: rm TRIANGLE PAQ _{2} `□ rm TRIANGLE PBQ _{1} `] ㄷ. [eqn: rm bar{PQ _{1}}]의 최댓값은 [eqn: 42]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④	ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

18. 다음은 [eqn: □rmABCD`]의 무게중심 [eqn: rmG`]를 구하는 과정이다.

	위의 [eqn: □rmABCD`]에서 [eqn: TRIANGLE rmABC`]의 무게중심을 [eqn: rmG _{1}`], [eqn: TRIANGLE rm ACD`]의 무게중심을 [eqn: rm G _{2}`]라 하자. [eqn: rm`G _{1} ,``G _{2}`]를 지나는 가늘고 긴 막대 위에 사각형을 올려 놓으면 [eqn: TRIANGLE rmABC`]와 [eqn: TRIANGLE rm ACD`]가 모두 평형을 이루기 때문에 [eqn: □rmABCD`]는 평형을 이룬다. 따라서 무게중심 [eqn: rmG`]는 선분 [eqn: rm `G _{1}G _{2} `]위에 있다. 이때 [eqn: TRIANGLE rmABC`]의 넓이와 [eqn: TRIANGLE rm ACD`]의 넓이의 비가 [eqn: m``:`n`]이면 [eqn: □rmABCD`]의 무게중심 [eqn: rmG`]의 좌표는 선분 [eqn: rm `G _{1}G _{2} `]를 [eqn: n``:`m`]으로 내분하는 점이다.

위의 설명에 따라 좌표평면 위의 네 점 [eqn: rm O(0`,```0)`], [eqn: rm A(4`,```0)`], [eqn: rm B(2`,```4)`], [eqn: rm C(0`,```2)`]를 꼭짓점으로 하는 [eqn: □rmOABC`]의 무게중심의 좌표를 구하면 [eqn: rm G LEFT ( alpha` ,``` beta RIGHT )`]이다. [eqn: alpha + beta `]의 값은? [[eqn: 4]점]

①	[eqn: {12} over {5}]      ② [eqn: {16} over {5}]      ③ [eqn: {18} over {5}]      ④ [eqn: {22} over {5}]      ⑤ [eqn: {26} over {5}]

19. 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 이차부등식 [eqn: x ^{2} +(k-2)x+k ^{2} GEQ 0`]이 항상 성립하기 위한 실수 [eqn: k`]의 값의 범위는? [[eqn: 3]점]

①	[eqn: k LEQ `-2`] 또는 [eqn: k GEQ {2} over {3}]	② [eqn: -2 LEQ k LEQ - {1} over {3}]

③ [eqn: k LEQ - {2} over {3}] 또는 [eqn: k GEQ {1} over {3} `]	④ [eqn: {1} over {3} LEQ k LEQ 2]

⑤ [eqn: - {1} over {3} LEQ k LEQ 1]

20. 제과점을 운영하는 유진이는 [eqn: A`,``B`] 두 종류의 쿠키를 만들어 판매하려고 한다. 두 종류의 쿠키 [eqn: 1`]개를 만드는 데 필요한 밀가루의 양, 버터의 양과 쿠키 [eqn: 1`]개의 판매가격은 표와 같다.

	[eqn: A]	[eqn: B]
밀가루([eqn: rmg])	[eqn: 15]	[eqn: 10]
버터([eqn: rmg])	[eqn: 6`]	[eqn: 10]
판매가격(원)	[eqn: k]	[eqn: 1000]

하루에 사용할 수 있는 밀가루와 버터의 양이 각각 [eqn: rm 4500g`], [eqn: rm 2700g`]이다. 하루에 쿠키를 판매한 총 금액이 [eqn: 30]만원이 되게 하려고 할 때, 쿠키 [eqn: A`]의 판매가격 [eqn: k`]의 최솟값은? (단, 만든 쿠키는 모두 팔리는 것으로 한다.) [[eqn: 4]점]

① [eqn: 700]                   ② [eqn: 750]                   ③ [eqn: 800]

④ [eqn: 850]                   ⑤ [eqn: 900]

21. 두 지점 [eqn: rm A`,```B`]사이에 폭이 각각 [eqn: 20`,```10 sqrt {2} `]인 두 직선 도로가 [eqn: 45 {DEG }]의 각을 이루며 만나고 있다. 그림과 같이 두 도로가 만나는 지점 중 한 점을 [eqn: rm O`]라 하고, 이 점을 원점으로 하는 좌표평면을 그렸더니 두 지점 [eqn: rm A`,```B`]의 좌표는 각각 [eqn: rmA(-110`,```50)`,`][eqn: rmB(20`,```-30)`]이 되었다.

[eqn: rmA`]지점에서 [eqn: rm `B`]지점으로 가는 거리가 최소가 되도록 두 도로 위에 횡단보도를 설치하였을 때, 두 횡단보도를 모두 지나 [eqn: rmA`]지점에서 [eqn: rm `B`]지점까지 가는 최단거리는? (단, 횡단보도를 걷는 거리는 도로의 폭과 같다.) [[eqn: 4]점]

① [eqn: 150-10 sqrt {2}]        ② [eqn: 150- sqrt {2}]         ③ [eqn: 160+ sqrt {2}]

④ [eqn: 150+10 sqrt {2}]         ⑤ [eqn: 160+10 sqrt {2}]

단답형(22～30)

22. 집합 [eqn: A`,```B`]에 대하여 [eqn: n LEFT ( A RIGHT ) -n LEFT ( B` RIGHT ) =3`], [eqn: n LEFT ( A-B` RIGHT ) =10`,] [eqn: n LEFT ( A SMALLINTER B` RIGHT ) =5`]일 때, [eqn: n LEFT ( A CUP B` RIGHT ) `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: n LEFT ( X` RIGHT ) `]는 집합 [eqn: X`]의 원소의 개수이다.) [[eqn: 3]점]

23. 이차방정식 [eqn: 2x^2 +4x-3=0`]의 두 근을 [eqn: alpha`,```beta `]라 할 때, [eqn: 1 over alpha + 1 over beta = n over m`]이다. [eqn: mn`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: m`], [eqn: n`]은 서로소인 자연수이다.) [[eqn: 3]점]

24. 두 다항식 [eqn: A=x ^{3} +2x+k,~B=x ^{2} +6x+k+6`]의 최대공약수가 일차식이 되도록 실수 [eqn: k`]의 값을 정할 때, [eqn: LEFT | `k` RIGHT | `]의 값을 구하시오.

[[eqn: 4]점]

25. 실수 [eqn: x`,```y`]에 대하여 두 조건 [eqn: p`,```q`]는

[eqn: p`:`x ^{2} + LEFT ( y-1 RIGHT ) ^{2} LEQ 25`], [eqn: q`:`3x+4y+k GEQ 0`]

이다. 조건 [eqn: p`]는 조건 [eqn: q`]이기 위한 충분조건일 때, [eqn: k`]의 최솟값을 구하시오. [[eqn: 3]점]

26. 어느 공원에 가로의 길이가 [eqn: rm10m`]이고 세로의 길이가 [eqn: rm12m`]인 직육면체모양의 매점과 식수대가 그림과 같이 배치되어 있다. 매점의 [eqn: rmA`]지점에 서 있는 사람이 [eqn: rmB`]지점에 있는 식수대를 보기 위해 이동해야 하는 거리[eqn: LEFT ( rmm RIGHT )]의 최솟값을 구하시오. (단, 사람과 식수대의 크기와 부피는 고려하지 않고, 매점과 식수대 사이에는 어떠한 장애물도 없으며 공원의 지면은 평면으로 간주한다.)

[[eqn: 4]점]

27. 직선 [eqn: (2k+1)x+(k+1)y-4=0`]을 직선 [eqn: y=x`]에 대하여 대칭이동한 직선은 실수 [eqn: k`]의 값에 관계없이 항상 점 [eqn: (a,```b)`]를 지난다. 이때 [eqn: a-b]의 값을 구하시오. [[eqn: 4]점]

28. 한 변의 길이가 [eqn: 4`]인 정사각형 [eqn: rm `ABCD`]가 있다. 그림과 같이 선분 [eqn: rm AB`]와 선분 [eqn: rm AD`]위에

[eqn: rm barAM_1 ``:`bar{M_1 M_2} ``:`bar{M_2 B} ``=` rm barAN_1 ``:`bar{N_1 N_2} ``:`bar{N_2 D}`]

[eqn: left(rm barAM_1 > bar{M_1 M_2} >bar{M_2 B} right)]

가 되도록 점 [eqn: rm M_1 `,```M_2 `]와 점 [eqn: rm N_1 `,```N_2 `]를 잡는다. 정사각형 [eqn: rm `ABCD`]의 내부에 점 [eqn: rm M_1 `,```M_2 `]에서 선분 [eqn: rm AD`]에 평행하도록 선분을 그리고, 점 [eqn: rm N_1 `,```N_2 `]에서 선분 [eqn: rm AB`]에 평행하도록 선분을 그린다. 빗금 친 부분의 넓이를 [eqn: S_1 `], 어두운 부분의 넓이를 [eqn: S_2 `]라 하자.

[eqn: rm barAM_1 ⋅ bar{M_2 B} ``=` 1`], [eqn: S_1 ``:S_2 ``=`2 ``:1`]이다. 선분 [eqn: rm M_1 M_2 `]의 길이를   [eqn: m`]이라 할 때, [eqn: 10`m`]의 값을 구하시오. [[eqn: 4]점]

29. 실수 [eqn: x,~y`]에 대하여 [eqn: x>0`], [eqn: xy(x+y+2)=32`]일 때,

[eqn: (x+y)(y+2)`]의 최솟값을 구하시오. [[eqn: 4]점]

30. 전철, 버스, 승용차로 각각 [eqn: rm 10km`]를 이동할 때 각각의 교통수단에서 발생되는 [eqn: 1`]인당 이산화탄소 배출량은 [eqn: rm 1000g`,~500g`,`] [eqn: rm 2000g`]이라고 한다. 어느 회사의 사원 [eqn: 40]명은 전철, 버스, 승용차의 세 가지 중 한 가지 교통수단만 이용하여 회사와 [eqn: rm10km`]떨어진 사원주택에서 출근한다. 이때 발생되는 이산화탄소의 배출량은 [eqn: rm 40000g]이다.

이산화탄소 배출량을 줄이기 위해 승용차 [eqn: 2`]부제를 실시하여 짝숫날에는 자동차번호 끝번호가 홀수인 승용차의 운전자는 버스를 이용하고, 홀숫날에는 자동차번호 끝번호가 짝수인 승용차의 운전자는 전철을 이용하여 출근하였다. 이때 이산화탄소 배출량은 짝숫날에는 [eqn: rm9000g] 감소하고, 홀숫날에는 [eqn: rm 5000g] 감소하였다. 승용차 [eqn: 2`]부제를 실시하기 이전의 버스 이용자 수를 구하시오. [[eqn: 4]점]

* 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.